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2.6: El Método de las Imágenes con Cargas de Línea y Cilindros

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    Cargos de línea paralela

    El potencial de una carga de línea infinitamente larga\(\lambda\) se da en la Sección 2.5.4 cuando la longitud de la línea L se hace muy grande. Más directamente, conocer el campo eléctrico de una carga de línea infinitamente larga de la Sección 2.3.3 nos permite obtener el potencial por integración directa:

    \[E_{\textrm{r}} = - \frac{\partial V}{\partial \textrm{r}} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} \textrm{r}} \Rightarrow V = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{\textrm{r}}{\textrm{r}_{0}} \nonumber \]

    donde r o es la posición de referencia arbitraria del potencial cero.

    Si tenemos dos cargas de línea de polaridad opuesta a\(\pm \lambda\) una distancia 2 a de distancia, elegimos nuestro origen a medio camino entre, como en la Figura 2-24 a, de manera que el potencial debido a ambas cargas es solo la superposición de potenciales de (1):

    \[V = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{y^{2} + (x + a)^{2}}{y^{2} = (x-a)^{2}}\right)^{1/2} \nonumber \]

    donde el punto de potencial de referencia r o cancela y usamos coordenadas cartesianas. Las líneas equipotenciales son entonces

    \[\frac{y^{2} + (x + a)^{2}}{y^{2} + (x-a)^{2}} = e^{-4 \pi \varepsilon_{0} V/\lambda} = K_{1} \nonumber \]

    donde K 1 es una constante en una línea equipotencial. Esta relación se reescribe completando los cuadrados como

    \[(x - \frac{a(1 +K_{1})}{K_{1} -1})^{2} + y^{2} = \frac{4 K_{1}a^{2}}{(1-K_{1})^{2}} \nonumber \]

    que reconocemos como círculos de radio\(r = 2a \sqrt{K_{1}}/ \vert 1 - K_{1} \vert \) con centros en y =0, x = a (1+ K 1)/(K 1 -1), tal como se dibuja por líneas discontinuas en la Figura 2-24 b. El valor de K1 = 1 es un círculo de radio infinito con centro en\(x = \pm \infty\) y por lo tanto representa el plano x =0. Para valores de K1 en el intervalo\(0 \leq K_{1} \leq 1\) los círculos equipotenciales están en el medio plano izquierdo, mientras que para\(1 \leq K_{1} \leq \infty\) los círculos están en el medio plano derecho.

    El campo eléctrico se encuentra de (2) como

    \[\textbf{E} = - \nabla V = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} (\frac{-4 a x y \textbf{i}_{y} + 2a(y^{2} + a^{2} - x^{2})\textbf{i}_{x}}{[y^{2} + (x + a)^{2}][y^{2} + (x-a)^{2}]}) \nonumber \]

    Una forma de trazar gráficamente la distribución del campo eléctrico es dibujando líneas que están en todas partes tangentes al campo eléctrico, llamadas líneas de campo o líneas de fuerza. Estas líneas están en todas partes perpendiculares a las superficies equipotenciales y nos dicen la dirección del campo eléctrico. La magnitud es proporcional a la densidad de líneas. Para una carga de una sola línea, las líneas de campo emanan radialmente. La situación es más complicada para las dos cargas de línea de polaridad opuesta en la Figura 2-24 con las líneas de campo siempre comenzando en la carga positiva y terminando en la carga negativa.

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    Figura 2-24 (a) Dos cargas de línea paralela de polaridad opuesta a una distancia 2a de separación. b) Las líneas equipotenciales (discontinuas) y de campo (continuas) forman un conjunto de círculos ortogonales.

    Para el campo dado por (5), la ecuación para las líneas tangentes al campo eléctrico es

    \[\frac{dy}{dx} = \frac{E_{y}}{E_{x}} = -\frac{2xy}{y^{2} + a^{2} - x^{2}} \Rightarrow \frac{d(x^{2} + y^{2})}{a^{2} - (x^{2} + y^{2})} + d(\ln y) = 0 \nonumber \]

    donde la última igualdad se escribe de esta manera para que la expresión pueda integrarse directamente a

    \[x^{2} + (y-a \cot K_{2})^{2} = \frac{a^{2}}{\sin^{2} K_{2}} \nonumber \]

    donde K 2 es una constante determinada especificando una sola coordenada (x o, y o) a lo largo de la línea de campo de interés. Las líneas de campo también son círculos de radio\(a/\sin K_{2}\) con centros en x =0,\(y = a \cot K_{2}\) tal como se dibujan por las líneas continuas en la Figura 2-24 b.

    Método de Imágenes

    a) Propiedades generales

    Cuando un conductor está cerca de alguna carga, se induce una distribución de carga superficial en el conductor para terminar el campo eléctrico, ya que el campo dentro de la superficie equipotencial es cero. Esta distribución de carga inducida contribuye entonces al campo eléctrico externo sujeto a la condición límite de que el conductor es una superficie equipotencial de manera que el campo eléctrico termina perpendicularmente a la superficie. En general, la solución es difícil de obtener porque no se puede conocer la distribución de carga superficial hasta que se conozca el campo para que podamos usar la condición límite de la Sección 2.4.6. Sin embargo, la solución de campo no se puede encontrar hasta que se conozca la distribución de carga superficial.

    Sin embargo, para algunas geometrías simples, la solución de campo se puede encontrar reemplazando la superficie conductora por cargas equivalentes dentro del cuerpo conductor, llamadas imágenes, que garantizan que se cumplan todas las condiciones de contorno. Una vez que se conocen las cargas de imagen, el problema se resuelve como si el conductor no estuviera presente pero con una distribución de carga compuesta por las cargas originales más las cargas de imagen.

    (b) Carga de línea cerca de un plano conductor

    El método de imágenes puede adaptar una solución conocida a un nuevo problema reemplazando los cuerpos conductores por una carga equivalente. Por ejemplo, vemos en la Figura 2-24 b que las líneas de campo son todas perpendiculares al plano x =0. Si se colocó un conductor a lo largo del plano x = 0 con una carga de una sola línea\(\lambda\) a x = - a, el campo potencial y eléctrico para x <0 es el mismo que el dado por (2) y (5).

    Se induce una distribución de carga superficial en el plano conductor para terminar el campo eléctrico incidente ya que el campo debe ser cero dentro del conductor. Esta distribución de carga superficial inducida contribuye entonces al campo eléctrico externo para x <0 exactamente de la misma manera que para una sola carga de línea de imagen\(-\lambda\) -at x =+ a

    La fuerza por unidad de longitud en la carga de la línea\(\lambda\) se debe únicamente al campo de la carga de imagen -\(\lambda\);

    \[\textbf{f} = \lambda \textbf{E} (-a, 0) = \frac{\lambda^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0}(2a)} \textbf{i}_{x} = \frac{\lambda^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}a} \textbf{i}_{x} \nonumber \]

    De la Sección 2.4.6 sabemos que la distribución de carga superficial en el plano viene dada por la discontinuidad en componente normal del campo eléctrico:

    \[\sigma(x = 0) = - \varepsilon_{0}E_{x}(x=0) = \frac{- \lambda a}{\pi (y^{2} + a^{2})} \nonumber \]

    donde reconocemos que el campo dentro del conductor es cero. La carga total por unidad de longitud en el plano se obtiene integrando (9) sobre todo el plano:

    \[\lambda_{T} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \sigma (x = 0) dy \\ = -\frac{\lambda a}{\pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dy}{y^{2} +a^{2}} \\ = - \frac{\lambda a}{\pi} \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{y}{a} \bigg|_{- \infty}^{+ \infty} \\ = - \lambda \nonumber \]

    y solo equivale a la carga de imagen.

    Carga de línea y cilindro

    Debido a que las superficies equipotenciales de (4) son cilindros, el método de imágenes también funciona con una carga de línea a\(\lambda\) una distancia D desde el centro de un cilindro conductor de radio R como en la Figura 2-25. Entonces el radio R y la distancia a deben caber (4) como

    \[R = \frac{2a \sqrt{K_{1}}}{\vert 1 - K_{1} \vert}, \: \: \: \: \pm a + \frac{a (1 + K_{1})}{K_{1} - 1} = D \nonumber \]

    donde se usa el signo positivo superior cuando la carga de línea está fuera del cilindro, como en la Figura 2-25 a, mientras que el signo negativo inferior se usa cuando la carga de línea está dentro del cilindro, como en la Figura 2-25 b. Debido a que el cilindro se elige para estar en el medio plano derecho\(1 \leq K_{1} \leq \infty\),, los parámetros desconocidos K 1

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    Figura 2-25 El campo eléctrico que rodea una carga de línea a\(\lambda\) una distancia D del centro de un cilindro conductor de radio R es el mismo que si el cilindro fuera reemplazado por una carga de imagen\(-\lambda\), una\(b = R^{2}/D\) distancia del centro. (a) Carga de línea fuera del cilindro. (b) Carga de línea dentro del cilindro.

    y a se expresan en términos de los valores dados R y D de (11) como

    \[K_{1} = (\frac{D^{2}}{R^{2}})^{\pm 1} , \: \: \: a = \pm \frac{D^{2} - R^{2}}{2D} \nonumber \]

    Para cualquier caso, la carga de la línea de imagen se encuentra entonces a una distancia b del centro del cilindro:

    \[b = \frac{a(1 + K_{1})}{K_{1} - 1} \pm a = \frac{R^{2}}{D} \nonumber \]

    estar dentro del cilindro cuando la carga inductora está afuera (RD < D), and vice versa, being outside the cylinder when the inducing charge is inside (R >).

    La fuerza por unidad de longitud sobre el cilindro se debe entonces solo a la fuerza sobre la carga de la imagen:

    \[F_{x} = - \frac{\lambda^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0}(D-b)} = - \frac{\lambda^{2}D}{2 \pi \varepsilon_{0}(D^{2} - R^{2})} \nonumber \]

    Línea de Alambre

    (a) Cargos por imágenes

    Podemos continuar utilizando el método de imágenes para el caso de dos cilindros equipotenciales paralelos de diferentes radios R1 y R2 teniendo sus centros a una distancia D como en la Figura 2-26. Colocamos una carga de línea a\(\lambda\) una distancia b 1 del centro del cilindro 1 y una carga de línea a\(-\lambda\) una distancia b 2 del centro del cilindro 2, ambas cargas de línea a lo largo de la línea que une los centros de los cilindros. Simultáneamente tratamos los casos donde los cilindros son adyacentes, como en la Figura 2-26 a, o donde el cilindro más pequeño está dentro del mayor, como en la Figura 2-26 b.

    La posición de las cargas de imagen se puede encontrar usando (13) dándose cuenta de que la distancia desde cada carga de imagen hasta el centro del cilindro opuesto es D - b de manera que

    \[b_{1} = \frac{R_{1}^{2}}{D \mp b_{2}}, \: \: \: b_{2} = \pm \frac{R_{2}^{2}}{D-b_{1}} \nonumber \]

    donde se utilizan los signos superiores cuando los cilindros son adyacentes y los signos inferiores se utilizan cuando el cilindro más pequeño está dentro del más grande. Separamos las dos ecuaciones acopladas en (15) en dos ecuaciones cuadráticas en b 1 y b 2:

    \[b_{1}^{2} - \frac{[D^{2} - R_{2}^{2} + R_{1}^{2}]}{D} b_{1} + R_{1}^{2} = 0 \\ b_{2}^{2} \mp \frac{[D^{2} - R_{1}^{2} + R_{2}^{2}]}{D} b_{2} + R_{2}^{2} = 0 \nonumber \]

    con soluciones resultantes

    \[b_{2} = \pm \frac{[D^{2} - R_{1}^{2} + R_{2}^{2}]}{2D} - [(\frac{D^{2} - R_{1}^{2} + R_{2}^{2}}{2D})^{2} - R_{2}^{2}]^{1/2} \\ b_{1} = \frac{[D^{2} + R_{1}^{2} - R_{2}^{2}]}{2D} \mp [({D^{2} + R_{1}^{2} - R_{2}^{2}}{2D})^{2} - R_{1}^{2}]^{1/2} \nonumber \]

    Fuimos cuidadosos de recoger las raíces que yacían fuera de la región entre cilindros. Si las cargas de línea de imagen de igual magnitud pero polaridad opuesta se encuentran en estas posiciones, las superficies cilíndricas están a un potencial constante.

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    Figura 2-26 La solución para el campo eléctrico entre dos cilindros conductores paralelos se encuentra reemplazando los cilindros por sus cargas de imagen. La densidad de carga superficial es mayor donde las superficies del cilindro están más próximas entre sí. A esto se le llama el efecto de proximidad. a) Cilindros adyacentes. (b) Cilindro más pequeño dentro del más grande.

    (b) Fuerza de Atracción

    La fuerza de atracción por unidad de longitud en el cilindro 1 es la fuerza sobre la carga de imagen\(\lambda\) debida al campo de la carga de imagen opuesta\(-\lambda\):

    \[f_{x} = \frac{\lambda^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0}[\pm (D-b_{1})-b_{2}]} \\ = \frac{\lambda^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}[(\frac{D^{2} - R_{1}^{2} + R_{2}^{2}}{2D})^{2} - R_{2}^{2}]^{1/2}} \\ = \frac{\lambda^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} [(\frac{D^{2} - R_{2}^{2} + R_{1}^{2}}{2D})^{2} - R_{1}^{2}]^{1/2}} \nonumber \]

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    (c) Capacitancia por unidad de longitud

    El potencial de (2) en la región entre los dos cilindros depende de las distancias desde cualquier punto a las cargas de línea:

    \[V = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{s_{1}}{s_{2}} \nonumber \]

    Para encontrar la diferencia de voltaje entre los cilindros, seleccionamos los puntos más convenientes etiquetados A y B en la Figura 2-26:

    \[\left. \begin{matrix} A & B \\ s_{1} = \pm (R_{1} - b_{1}) & s_{1} = \pm (D- b_{1} \mp R_{2}) \\ s_{2} = \pm (D \mp b_{2} - R_{1}) & s_{2} = R_{2} - b_{2} \end{matrix} \right. \nonumber \]

    Esta expresión se puede reducir en gran medida usando las relaciones

    \[D \mp b_{2} = \frac{R_{1}^{2}}{b_{1}}, \: \: \: \: D- b_{1} = \pm \frac{R_{2}^{2}}{b_{2}} \nonumber \]

    a

    \[V_{1} - V_{2} = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{b_{1}b_{2}}{R_{1}R_{2}} \\ = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left \{ \begin{matrix} \pm \frac{[D^{2} - R_{1}^{2} - R_{2}^{2}]}{2 R_{1}R_{2}} \end{matrix} \right. \\ \left. \begin{matrix} + [(\frac{D^{2} - R_{1}^{2} - R_{2}^{2}}{2R_{1}R_{2}})^{2} - 1]^{1/2} \end{matrix} \right \} \nonumber \]

    La diferencia de potencial\(V_{1} V_{2}\) está linealmente relacionada con la carga de línea A a través de un factor que solo depende de la geometría de los conductores. Este factor se define como la capacitancia por unidad de longitud y es la relación de carga por unidad de longitud a diferencia de potencial:

    \[C = \frac{\lambda}{V_{1}-V_{2}} = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{ln \left \{ \begin{matrix} \pm \frac{[D^{2} - R_{1}^{2} = R_{2}^{2}]}{2 R_{1}R_{2}} + [(\frac{D^{2} - R_{1}^{2} -R_{2}^{2}}{2 R_{1}R_{2}})^{2} -1]^{1/2} \end{matrix} \right \} } \\ = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\cosh^{-1} (\pm \frac{D^{2} - R_{1}^{2} - R_{2}^{2}}{2R_{1}R_{2}})} \nonumber \]

    donde usamos la identidad*

    \[\ln [y + (y^{2} - 1)^{1/2}] = \cosh^{-1}y \nonumber \]

    * (y =\ cosh x =\ frac {e^ {x} = e^ {-x}} {2}\\ (e^ {x}) ^ {2} - 2ye^ {x} + 1 = 0\\ e^ {x} = y\ pm (y^ {2} - 1) ^ {1/2}\\ x =\ cosh^ {-1} y = y [ln y\ pm (y^ {2} - 1) ^ {1/2}]\)

    Podemos examinar este resultado en varios límites simples. Considere primero el caso para cilindros adyacentes (D > R 1 + R 2).

    1. Si la distancia D es mucho mayor que los radios,

    \[\lim_{D >> (R_{1} + R_{2})} C \approx \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\ln [D^{2}/(R_{1}R_{2})]} = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\cosh^{-1} [D^{2}/(2 R_{1}R_{2})]} \nonumber \]

    2. La capacitancia entre un cilindro y un plano infinito se puede obtener dejando que un cilindro tenga radio infinito pero manteniendo finita la distancia más cercana s = D-RI-R 2 entre cilindros. Si dejamos que R1 se convierta en infinito, la capacitancia se vuelve

    \[\lim_{R_{1} \rightarrow \infty \\ D- R_{1} - R_{2} = s \textrm{ (finite)}} C = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\ln \left \{ \begin{matrix} \frac{s + R_{2}}{R_{2}} + [(\frac{s + R_{2}}{R_{2}})^{2} -1]^{1/2} \end{matrix} \right \}} \\ = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\cosh^{-1} (\frac{s + R_{2}}{R_{2}})} \nonumber \]

    3. Si los cilindros son idénticos de modo que\(R_{1} = R_{2} = R\), la capacitancia por unidad de longitud se reduce a

    \[\lim_{R_{1} = R_{2} = R} C = \frac{\pi \varepsilon_{0}}{\ln \left \{ \begin{matrix} \frac{D}{2R} + [(\frac{D}{2R})^{2} - 1]^{1/2} \end{matrix} \right \} } = \frac{\pi \varepsilon_{0}}{\cosh^{-1} \frac{D}{2R}} \nonumber \]

    4. Cuando los cilindros son concéntricos de manera que D =0, la capacitancia por unidad de longitud es

    \[\lim_{D = 0} C = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\ln (R_{1}/R_{2})} = \frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\cosh^{-1}[(R_{1}^{2} + R_{2}^{2})/(2R_{1}R_{2})]} \nonumber \]


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