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# 5.2: Campo Magnético Debido a Corrientes

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Una vez que se demostró que las corrientes eléctricas ejercen fuerzas sobre los imanes, Ampere inmediatamente demostró que las corrientes eléctricas también ejercen fuerzas entre sí y que un imán podría ser reemplazado por una corriente equivalente con el mismo resultado. Ahora los campos magnéticos podrían encenderse y apagarse a voluntad con su fuerza fácilmente controlada.

## 5-2-1 La Ley Biot-Savart

Biot y Savart cuantificaron las mediciones de Ampere mostrando que el campo magnético B a una distancia r de una carga móvil es

$\textbf{B} = \frac{\mu_{0} q \textbf{v} \times \textbf{i}_{r}}{4 \pi r^{2}} \textrm{teslas (kg s}^{-2} \textrm{A}^{-1}) \nonumber$

como en la Figura 5-7a, donde$$\mu_{0}$$ es una constante llamada permeabilidad del espacio libre y en unidades SI se define como que tiene el valor numérico exacto

$\mu_{0} \equiv 4 \pi \times 10^{-7} \textrm{henry/m ( kg m A}^{-2} \textrm{s}^{-2}) \nonumber$

El$$4 \pi$$ se introduce en (1) por la misma razón que se introdujo en la ley de Coulomb en la Sección 2-2-1. Cancelará una$$4 \pi$$ contribución en leyes de uso frecuente de las que pronto derivaremos (1). En cuanto a la ley de Coulomb, el campo magnético cae inversamente como el cuadrado de la distancia, pero su dirección ahora es perpendicular tanto a la dirección del flujo de carga como a la línea que une la carga al punto de campo.

En los experimentos de Ampere y los de Biot y Savart, el flujo de carga se limitó como una corriente de línea dentro de un cable. Si el cargo se distribuye sobre una línea con

corriente I, o una superficie con corriente por unidad de longitud K, o sobre un volumen con corriente por unidad de área J, utilizamos los elementos de corriente de tamaño diferencial, como en las Figuras 5-7b-5-7d:

$dq \textbf{v} = \left \{ \begin{matrix} \textbf{I} dl & \textrm{(line current)} \\ \textbf{K} dS & \textrm{(surface current)} \\ \textbf{J} dV & \textrm{(volume current)} \end{matrix} \right. \nonumber$

El campo magnético total para una distribución de corriente se obtiene integrando las contribuciones de todos los elementos incrementales:

$\textbf{B} = \left \{ \begin{matrix} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{L} \frac{\textbf{I} dl \times \textbf{i}_{QP}}{r^{2}_{QP}} & \textrm{(line current)} \\ \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{S} \frac{\textbf{K} dS \times \textbf{i}_{QP}}{r^{2}_{QP}} & \textrm{(surface current)} \\ \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V} \frac{\textbf{J} dV \times \textbf{i}_{QP}}{r^{2}_{QP}} & \textrm{(volume current)} \end{matrix} \right. \nonumber$

La dirección del campo magnético debido a un elemento actual se encuentra por la regla de la derecha, donde si el dedo índice de la mano derecha apunta en la dirección de la corriente y el dedo medio en la dirección del punto de campo, entonces el pulgar apunta en la dirección del campo magnético. Este campo magnético B puede entonces ejercer una fuerza sobre otras corrientes, como se indica en la Sección 5-1-1.

## 5-2-2 Corrientes de Línea

Una corriente constante I1 fluye en la dirección z a lo largo de un cable de extensión infinita, como en la Figura 5-8a. Equivalentemente, la regla de la derecha nos permite poner nuestro pulgar en la dirección de la corriente. Después los dedos de la mano derecha se curvan en la dirección de B, como se muestra en la Figura 5-8a. El vector unitario en la dirección de la línea que une un elemento de corriente incremental I 1 dz en z a un punto de campo P es

$\textbf{i}_{QP} = \textbf{i}_{\textrm{r}} \cos \theta - \textbf{i}_{z} \sin \theta = \textbf{i}_{r} \frac{\textrm{r}}{r_{QP}} - \textbf{i}_{z} \frac{z}{r_{QP}} \nonumber$

con distancia

$r_{QP} = (z^{2} + \textrm{r}^{2})^{1/2} \nonumber$

El campo magnético debido a este elemento actual viene dado por (4) como

$d \textbf{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I_{1} dz (\textbf{i}_{z} \times \textbf{i}_{QP})}{r^{2}_{QP}} = \frac{\mu_{0}I_{1} \textrm{r} dz}{4 \pi (z^{2} + \textrm{r}^{2})^{3/2}} \textbf{i}_{\phi} \nonumber$

El campo magnético total de la corriente de línea se obtiene integrando las contribuciones de todos los elementos:

$B_{\phi} = \frac{\mu_{0} I_{1} \textrm{r}}{4 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dz}{(z^{2} + \textrm{r}^{2})^{3/2}} \\ = \frac{\rho_{0} I_{1} \textrm{r}}{4 \pi} \frac{z}{\textrm{r}^{2} (z^{2} + \textrm{r}^{2})^{1/2}} \bigg|_{z = - \infty}^{+ \infty} \\ = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi \textrm{r}} \nonumber$

Si se coloca una corriente$$I_{2}$$ de segunda línea de longitud finita L a una distancia a y paralela a I 1, como en la Figura 5-8b, la fuerza sobre$$I_{1}$$ debido al campo magnético de$$I_{1}$$ es

$\textbf{f} = \int_{-L/2}^{+L/2} I_{2} dz \textbf{i}_{z} \times \textbf{B} \\ int_{-L/2}^{+L/2} I_{2} dz \frac{\mu_{0}I_{1}}{2 \pi a} (\textbf{i}_{z} \times \textbf{i}_{\phi}) \\ = - \frac{\mu_{0} I_{1} I_{2} L}{2 \pi a } \textbf{i}_{r} \nonumber$

Si ambas corrientes fluyen en la misma dirección ($$I_{1}I_{2} >0$$), la fuerza es atractiva, mientras que si fluyen en direcciones opuestas ($$I_{1} I_{2} <0$$), la fuerza es repulsiva. Esto es opuesto en sentido a la fuerza coulómbica donde las cargas opuestas atraen y las cargas similares se repelen.

## 5-2-3 Hojas de Corriente

(a) Hoja Única de Corriente de Superficie

Una corriente constante$$K_{0} \textbf{i}_{z}$$, fluye en el plano y =0, como en la Figura 5-9a. Rompemos la hoja en corrientes de línea incrementales$$K_{0} dx$$, cada una de las cuales da lugar a un campo magnético dado por (8). De la Tabla 1-2, el vector unitario$$\textbf{i}_{\phi}$$ es equivalente a los componentes cartesianos

$\textbf{i}_{\phi} = - \sin \phi \textbf{i}_{x} + \cos \phi \textbf{i}_{y} \nonumber$

Los elementos de carga de línea ubicados simétricamente a una distancia x a cada lado de un punto P tienen y componentes de campo magnético que cancelan pero x componentes que agregan. El campo magnético total es entonces

$B_{x} = - \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\mu_{0} K_{0} \sin \phi}{2 \pi (x^{2} + y^{2})^{1/2}} dx \\ = \frac{- \mu_{0} K_{0}y}{2 \pi} \int_{-infty}^{+ \infty} \frac{dx}{(x^{2} + y^{2})} \\ = \frac{- \mu_{0} K_{0}}{2 \pi} \tan^{-1} \frac{x}{y} \bigg|_{- \infty}^{+ \infty} \\ = \left \{ \begin{matrix} - \mu_{0} K_{0}/2, & y > 0 \\ \mu_{0}K_{0}/2, & y < 0 \end{matrix} \right. \nonumber$

El campo es constante y está dirigido de manera opuesta a cada lado de la hoja.

(b) Losa de Corriente de Volumen

Si la corriente dirigida a z$$J_{0} \textbf{i}_{z}$$ es uniforme sobre un espesor d, como en la Figura 5-9b, dividimos la losa en hojas de corriente incremental$$J_{0} dy'$$. El campo magnético de cada hoja de corriente viene dado por (11). Al sumar las contribuciones de todas las hojas de tamaño diferencial, las que están a la izquierda de un punto de campo dan un campo magnético dirigido negativamente x mientras que las de la derecha aportan un campo dirigido positivamente x:

$B_{x} = \left \{ \begin{matrix} \int_{-d/2}^{+d/2} \frac{- \mu_{0} J_{0} dy'}{2} = \frac{- \mu_{0} J_{0} d}{2}, & y > \frac{d}{2} \\ \int_{-d/2}^{+d/2} \frac{mu_{0}J_{0}dy'}{2} = \frac{\mu_{0}J_{0}d}{2}, & y < - \frac{d}{2} \\ \int_{-d/2}^{y} \frac{- mu_{0}J_{0} dy'}{2} + \int_{y}^{d/2} \frac{mu_{0}J_{0}dy'}{2} = - \mu_{0} J_{0}y, & - \frac{d}{2} \leq y \leq \frac{d}{2} \end{matrix} \right. \nonumber$

La fuerza total por unidad de área en la losa es cero:

$F_{Sy} = \int_{-d/2}^{+d/2} J_{0}B_{x} dy = - \mu_{0}J_{0}^{2} \int_{-d/2}^{+d/2} y dy \\ = - \mu_{0} J_{0}^{2} \frac{y^{2}}{2} \bigg|_{-d/2}^{+d/2} = 0 \nonumber$

Una distribución de corriente no puede ejercer una fuerza neta sobre sí misma.

(c) Dos Hojas de Corriente Paralelas

Si una segunda hoja de corriente con corriente que fluye en la dirección opuesta$$K_{0} \textbf{i}_{z}$$ se coloca en y = d paralela a una hoja de corriente$$K_{0} \textbf{i}_{z}$$ en y = 0, como en la Figura 5-9c, el campo magnético debido a cada hoja sola es

$\textbf{B}_{1} = \left \{ \begin{matrix} \frac{- \mu_{0} K_{0}}{2} \textbf{i}_{x}, & y>0 \\ \frac{\mu_{0}K_{0}}{2} \textbf{i}_{x}, & y< 0 \end{matrix} \right. \: \textbf{B}_{2} = \left \{ \begin{matrix} \frac{\mu_{0}K_{0}}{2} \textbf{i}_{x}, & y > d \\ \frac{- \mu_{0}K_{0}}{2} \textbf{i}_{x}, & y < d \end{matrix} \right. \nonumber$

Así, en la región fuera de las hojas, los campos se cancelan mientras se agregan en la región entre:

$\textbf{B} = \textbf{B}_{1} + \textbf{B}_{2} = \left \{ \begin{matrix} - \mu_{0} K_{0} \textbf{i}_{x}, & 0 < y < d \\ 0, & y < 0, y> d \end{matrix} \right. \nonumber$

La fuerza sobre un elemento de corriente superficial en la segunda hoja es

$\textbf{df} = - K_{0} \textbf{i}_{z} d \textrm{S} \times \textbf{B} \nonumber$

Sin embargo, dado que el campo magnético es discontinuo en la hoja actual, no está claro qué valor de campo magnético usar. Para tomar el límite correctamente, modelamos la hoja actual a y = d como una corriente volumétrica delgada con densidad$$J_{0}$$ y grosor$$\Delta$$, como en la Figura 5-9d, donde$$K_{0} = J_{0} \Delta$$.

Los resultados de (12) muestran que en una losa de corriente de volumen uniforme, el campo magnético cambia linealmente a sus valores en las superficies

$B_{x} (y = d - \Delta) = - \mu_{0} K_{0} \\ B_{x} (y = d) = 0 \nonumber$

de manera que el campo magnético dentro de la losa es

$B_{x} = \frac{\mu_{0}K_{0}}{\Delta} (y-d) \nonumber$

La fuerza por unidad de área sobre la losa es entonces

$\textbf{F}_{S} = - \int_{d - \Delta}^{d} \frac{\mu_{0}K_{0}}{\Delta} J_{0}(y-d) \textbf{i}_{y} dy \\ = \frac{- \mu_{0}K_{0}J_{0}}{\Delta} \frac{(y-d)^{2}}{2} \textbf{i}_{y} \big| _{d - \Delta}^{d} \\ = \frac{\mu_{0}K_{0}J_{0}\Delta}{2} \textbf{i}_{y} = \frac{\mu_{0} K_{0}^{2}}{2} \textbf{i}_{y} \nonumber$

La fuerza actúa para separar las láminas porque las corrientes están en direcciones opuestas y así se repelen entre sí.

Así como encontramos para el campo eléctrico a cada lado de una lámina de carga superficial en la Sección 3-9-1, cuando el campo magnético es discontinuo a cada lado de una hoja de corriente K, siendo B 1 en un lado B 2 y en el otro, el magnético promedio campo se utiliza para calcular la fuerza en la hoja:

$\textbf{df}= \textbf{K} d \textrm{S} \times \frac{(\textbf{B}_{1} + \textbf{B}_{2})}{2} \nonumber$

En nuestro caso

$\textbf{B}_{1} = - \mu_{0} K_{0} \textbf{i}_{x}, \: \: \: \textbf{B}_{2} = 0 \nonumber$

## 5-2-4 Aros de Corriente de Línea

(a) Aro único

Un aro circular de radio a centrado alrededor del origen en el plano xy lleva una corriente constante I, como en la Figura 5-10a. La distancia desde cualquier punto del aro hasta un punto en z a lo largo del eje z es

$r_{QP} = (z^{2} + a^{2})^{1/2} \nonumber$

en la dirección

$\textbf{i}_{QP} = \frac{(-a \textbf{i}_{\textrm{r}} + z \textbf{i}_{z})}{(z^{2} + a^{2})^{1/2}} \nonumber$

de manera que el campo magnético incremental debido a un elemento actual de tamaño diferencial es

$d \textbf{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi r^{2}_{QP}} Ia d \phi \textbf{i}_{\phi} \times \textbf{i}_{QP} \\ = \frac{\mu_{0}Ia d \phi}{4 \pi (z^{2} + a^{2})^{3/2}} (a \textbf{i}_{z} + z \textbf{i}_{\textrm{r}}) \nonumber$

El vector de unidad radial cambia de dirección en función de$$\phi$$, estando dirigido de manera opuesta a -$$\phi$$, de modo que el campo magnético total debido a todo el aro es puramente z dirigido:

$B_{z} = \frac{\mu_{0} Ia^{2}}{4 \pi (z^{2} + a^{2})^{3/2}} \int_{0}^{2 \pi} d \phi \\ = \frac{\mu_{0} Ia^{2}}{2 (z^{2} + a^{2})^{3/2}} \nonumber$

La dirección del campo magnético se puede verificar usando la regla de la derecha. Curling los dedos de la mano derecha en la dirección de.la corriente pone el pulgar en la dirección del campo magnético. Tenga en cuenta que el campo magnético a lo largo del eje z está dirigido positivamente z tanto por encima como por debajo del aro.

b) Dos aros (Hehnholtz Coil)

A menudo se desea tener una región accesible en el espacio con un campo magnético esencialmente uniforme. Esto se puede organizar colocando otra bobina en z = d, como en la Figura 5-1 Ob. Entonces el campo magnético total a lo largo del eje z se encuentra superponiendo el campo de (25) para cada aro:

$\textbf{B}_{z} = \frac{\mu_{0} Ia^{2}}{2} \bigg( \frac{1}{(z^{2} + a^{2})^{3/2}} + \frac{1}{((z - d)^{2} + a^{2})^{3/2}} \bigg) \nonumber$

Vemos entonces que la pendiente de$$B_{z}$$,

$\frac{\partial B_{z}}{\partial z} = \frac{3 \mu_{0} Ia^{2}}{2} \bigg( \frac{-z}{(z^{2} + a^{2})^{5/2}} - \frac{(z-d)}{((z-d)^{2} + a^{2})^{5/2}} \bigg) \nonumber$

es cero en z = d /2. La segunda derivada,

$\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}} = \frac{ 3 \mu_{0}I a^{2}}{2} \bigg( \frac{5z^{2}}{(z^{2} + a^{2})^{7/2}} - \frac{1}{(z^{2} + a^{2})^{5/2}} + \frac{5 (z-d)^{2}}{((z-d)^{2} + a^{2})^{7/2}} - \frac{1}{((z-d)^{2} + a^{2})^{5/2}} \bigg) \nonumber$

también se puede establecer a cero en z = d /2, si d = a, dando un campo altamente uniforme alrededor del centro del sistema, como se representa en la Figura 5-10b. Tal configuración se llama bobina Helmholtz.

(c) Cilindro hueco de corriente superficial

Un cilindro hueco de longitud L y radio a tiene una corriente superficial uniforme$$K_{0} \textbf{i}_{\phi}$$ como en la Figura 5-10c. Tal configuración se dispone en la práctica enrollando firmemente N vueltas de un cable alrededor de un cilindro e imponiendo una corriente I a través del cable. Entonces la corriente por unidad de longitud es

$K_{0} = NI/L \nonumber$

El campo magnético a lo largo del eje z en la posición z debido a cada aro incremental en z' se encuentra a partir de (25) reemplazando z por (z - z') e I por$$K_{0} dz'$$:

$d B_{z} = \frac{ \mu_{0} a^{2} K_{0} dz'}{2 [(z-z')^{2} + a^{2}]^{3/2}} \nonumber$

El campo magnético axial total es entonces

$B_{z} = \int_{z' = -L/2}^{+ L/2} \frac{\mu_{0} a^{2} K_{0}}{2} \frac{dz'}{[(z-z')^{2} + a^{2}]^{3/2}} \\ = \frac{\mu_{0}a^{2} K_{0}}{2} \frac{(z'-z)}{a^{2} [(z-z')^{2} + a^{2}]^{1/2}} \bigg|_{z' = -L/2}^{+L/2} \\ = \frac{\mu_{0}K_{0}}{2} \bigg( \frac{-z + L/2}{[(z-L/2)^{2} + a^{2}]^{1/2}} + \frac{z + L/2}{[(z + L/2)^{2} + a^{2}]^{1/2}} \bigg) \nonumber$]

A medida que el cilindro se vuelve muy largo, el campo magnético lejos de los extremos se vuelve aproximadamente constante

$\lim_{L \rightarrow \infty} B_{z} = \mu_{0} K_{0} \nonumber$

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