6.2: Ley de Faraday para mover medios

Varias aleaciones de hierro que tienen valores muy altos de permeabilidad relativa se utilizan típicamente en relés y máquinas para limitar el flujo magnético para que se encuentre principalmente dentro del material permeable.

6-2-1 Autoinductancia

El circuito magnético simple de la Figura 6-8 tiene una bobina de giro N envuelta alrededor de un núcleo con permeabilidad relativa muy alta idealizada para ser infinita. Hay un pequeño espacio de aire de longitud s en el núcleo. En el núcleo, la densidad de flujo magnético B es proporcional a la intensidad del campo magnético H por una permeabilidad infinita\(\mu\). El campo B debe permanecer finito para mantener el flujo y la tensión de la bobina finitos de manera que el campo H en el núcleo debe ser cero:

\[\lim_{\mu \rightarrow \infty} \textbf{B} = \mu \textbf{H} \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \textbf{H} = 0 \\ \textbf{B} \textrm{ finite} \end{matrix} \right. \nonumber \]

Figura 6-8 El campo magnético es cero dentro de un núcleo magnético infinitamente permeable y es constante en el entrehierro si descuidamos las franjas. El flujo a través del entrehierro es constante en cada sección transversal del circuito magnético y une la bobina N veces.

El campo H solo puede ser distinto de cero en el entrehierro. Este campo emana perpendicularmente de las caras polares ya que no hay corrientes superficiales presentes de manera que la componente tangencial de H es continua y por lo tanto cero. Si descuidamos los efectos del campo de franjas, suponiendo que el espacio s sea mucho menor que el ancho d o profundidad D, el campo H es uniforme en todo el espacio. Usando la ley circuital de Ampere con el contorno mostrado, la única contribución distinta de cero está en el entrehierro,

\[\oint_{L} \textbf{H} \cdot \textbf{dl} = Hs = I_{\textrm{total enclosed}} = Ni \nonumber \]

donde nos damos cuenta de que la corriente de la bobina cruza perpendicularmente a través de nuestro contorno N veces. El flujo total en el espacio de aire es entonces

\[\Phi = \mu_{0} HDd= \frac{\mu_{0} NDd}{s}i \nonumber \]

Debido a que el flujo total a través de cualquier superficie cerrada es cero,

\[\oint_{S} \textbf{B} \cdot \textbf{dS} = 0 \nonumber \]

todo el flujo que sale de S en la Figura 6-8 en el lado del entrehierro ingresa a la superficie a través del núcleo de hierro, ya que descuidamos el flujo de fuga en el campo de flecos. El flujo en cualquier sección transversal en el núcleo de hierro es así constante, dado por (3).

Si la corriente de la bobina\(i\) varía con el tiempo, el flujo en (3) también varía con el tiempo para que se induzca un voltaje a través de la bobina. Utilizamos la forma integral de la ley de Faraday para un contorno que se encuentra dentro del devanado con conductividad óhmica\(\sigma\), área de sección transversal A y longitud total\(l\). Entonces la densidad de corriente y el campo eléctrico dentro del cable es

\[J = \frac{i}{A}, \: \: \: \: E = \frac{J}{\sigma} = \frac{i}{\sigma A} \nonumber \]

para que la fuerza electromotriz tenga una parte óhmica así como una contribución debido al voltaje a través de los terminales:

\[\oint_{L} \textbf{E} \cdot \textbf{dl} = \int_{a'}^{b'} \underbrace{\frac{i}{\sigma A} dl}_{iR\\ \textrm{in wire}} + \int_{b}^{a} \underbrace{\textbf{E} \cdot \textbf{dl}}_{-v \\ \textrm{across terminals}} = - \frac{d}{dt} \int_{S} \textbf{B} \cdot \textbf{dS} \nonumber \]

La superficie S en el lado derecho es bastante complicada debido a la naturaleza espiral del contorno. Si la bobina solo tuviera una vuelta, el lado derecho de (6) solo sería la derivada de tiempo del flujo de (3). Para dos vueltas, como en la Figura 6-9, el flujo une la bobina dos veces, mientras que para N vueltas el flujo total

Figura 6-9 La complicada superficie espiral para el cálculo del flujo enlazado por una bobina de N vueltas puede considerarse como N bucles individuales cada uno enlazando el mismo flujo\(\Phi\).

unido por la bobina es\(N \Phi\). Entonces (6) reduce a

\[v = iR + L \frac{di}{dt} \nonumber \]

donde la autoinductancia se define como

\[L = \frac{N \Phi}{i} = \frac{N \int_{S} \textbf{B} \cdot \textbf{dS}}{\oint_{L} \textbf{H} \cdot \textbf{dl}} = \frac{\mu_{0} N^{2} Dd}{s} \textrm{henry} [\textrm{kg m}^{2} \textrm{ A}^{-2} \textrm{ s}^{-2}] \nonumber \]

Para materiales linealmente permeables, la inductancia siempre es independiente de las excitaciones y solo depende de la geometría. Debido a la geometría fija, la inductancia es una constante y así se tomó fuera de la derivada del tiempo en (7). En geometrías que cambian con el tiempo, la inductancia también será una función del tiempo y debe permanecer bajo la derivada. La inductancia es siempre proporcional al cuadrado del número de vueltas de bobina. Esto se debe a que el flujo\(\Phi\), en el entrehierro es en sí mismo proporcional a N y enlaza la bobina N veces.

Ejemplo 6-1: Autoinductancias

Encuentre las autoinductancias para las bobinas que se muestran en la Figura 6-10.

(a) Solenoide

Una bobina de giro N se enrolla firmemente sobre un núcleo cilíndrico de radio a, longitud l y permeabilidad\(\mu\).

Figura 6-10 Inductancias. (a) Bobina solenoidal; (b) bobina toroidal.

b) Toroide

Una bobina de giro N se enrolla firmemente alrededor de un núcleo de permeabilidad en forma de rosquilla\(\mu\) con una sección transversal rectangular y radios interno y externo _R1 y _R2.

Solución

a)

Una corriente i que fluye en el cable se aproxima a una corriente superficial

\[K_{\phi} = Ni/l \nonumber \]

Si la longitud l es mucho mayor que el radio a, podemos descuidar los efectos de campo de franjas en los extremos y el campo magnético interno es aproximadamente uniforme e igual a la corriente superficial,

\[H_{z} = K_{\phi} = \frac{Ni}{l} \nonumber \]

ya que suponemos que el campo magnético exterior es despreciable. El mismo resultado se obtiene utilizando la ley circuital de Ampere para el contorno mostrado en la Figura 6-10a. El flujo une la bobina N veces:

\[L = \frac{N \Phi}{i} = \frac{N \mu H_{z} \pi a^{2}}{i} = \frac{N^{2} \mu \pi a^{2}{l} \nonumber \]

b) Aplicando la ley circuital de Ampere a los tres contornos mostrados en la Figura 6-10b, solo el contorno dentro del núcleo tiene una corriente neta que pasa a través del mismo:

\[\oint_{L} \textbf{H} \cdot \textbf{dl} = H_{\phi} 2 \pi \textrm{r} = \left \{ \begin{matrix} 0, & \textrm{r} < R_{1} \\ Ni, & R_{1} < \textrm{r} < R_{2} \\ 0, & \textrm{r} > R_{2} \end{matrix} \right. \nonumber \]

El contorno interno no tiene corriente a través de él mientras que el contorno externo que encierra todo el toroide tiene contribuciones iguales pero opuestas de corrientes ascendentes y descendentes.

El flujo a través de cualquier bucle único es

\[\Phi = \mu D \int_{R_{1}}^{R_{2}} H_{\phi} d \textrm{r} \\ = \frac{\mu D N i }{2 \pi} \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{d \textrm{r}}{\textrm{r}} \\ = \frac{\mu D Ni}{2 \pi} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}} \nonumber \]

de modo que la autoinductancia es

\[L = \frac{N \Phi}{i} = \frac{\mu D N^{2}}{2 \pi} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}} \nonumber \]

6-2-2 Renuencia

Los circuitos magnéticos son análogos a los circuitos electrónicos resistivos si definimos la fuerza magnetomotiva (MMF)\(\mathcal{F}\) análoga a la tensión (EMF) como

\[\mathscr{F} = Ni \nonumber \]

El flujo juega entonces el mismo papel que la corriente en los circuitos electrónicos de manera que definimos el análogo magnético a la resistencia como la reluctancia:

\[\mathscr{R} = \frac{\mathscr{F}}{\Phi} = \frac{N^{2}}{L} = \frac{(\textrm{length})}{(\textrm{permeatbility})(\textrm{cross-sectional area})} \nonumber \]

que es proporcional al recíproco de la inductancia.

La ventaja de esta analogía es que las reglas de agregar reluctancias en serie y paralelo obedecen las mismas reglas que las resistencias.

(a) Reluctancias en Serie

Para el núcleo de hierro de permeabilidad infinita en la Figura 6-11 a, con dos huecos finitamente permeables se encuentra la reluctancia de cada hueco de (8) y (10) como

\[\mathscr{R}_{1} = \frac{s_{1}}{\mu_{1}a_{1}D}}, \: \: \: \: \mathscr{R}_{2} = \frac{s_{2}}{\mu_{2}a_{2}D} \nonumber \]

para que el flujo sea

\[\Phi = \frac{\mathscr{F}}{\mathscr{R}_{1} + \mathscr{R}_{2}} = \frac{Ni}{\mathscr{1} + \mathscr{2}} \Rightarrow L = \frac{N \Phi}{i} = \frac{N^{2}}{\mathscr{R}_{1} + \mathscr{R}_{2}} \nonumber \]

El núcleo de hierro con permeabilidad infinita tiene cero reluctancia. Si los huecos permeables fueran también hierro con permeabilidad infinita, las reluctancias de (11) también serían cero para que el flujo

Figura 6-11 Los circuitos magnéticos se analizan más fácilmente desde un enfoque de circuito donde (a) se suman las reluctancias en serie y (b) las permeancias en paralelo se suman.

en (12) se vuelve infinito. Esto es análogo a aplicar una tensión a través de un cortocircuito que resulta en una corriente infinita. Entonces la pequeña resistencia en los cables determina la corriente grande pero finita. De manera similar, en los circuitos magnéticos la pequeña reluctancia de un núcleo de hierro cerrado de alta permeabilidad sin huecos limita el flujo grande pero finito determinado por el valor de saturación de la magnetización.

El campo H es distinto de cero solo en las brechas permeables para que la ley de Ampere rinda

\[H_{1}s_{1} + H_{2}s_{2} = Ni \nonumber \]

Dado que el flujo debe ser continuo en cada sección transversal,

\[\Phi = \mu_{1} H_{1} a_{1}D = \mu_{2} H_{2} a_{2}D \nonumber \]

resolvemos para los campos H como

\[H_{1} = \frac{\mu_{2} a_{2} Ni}{\mu_{1}a_{1}s_{2} + \mu_{2}a_{2}s_{1}}, \: \: \: \: H_{2} \frac{mu_{1}a_{1}Ni}{\mu_{1}a_{1}s_{2} + \mu_{2}a_{2}s_{1}} \nonumber \]

b) Reluctancias en paralelo

Si un hueco en el núcleo de hierro se llena con dos materiales permeables, como en la Figura 6-1 lb, la reluctancia de cada material aún viene dada por (11). Dado que cada material ve la misma fuerza magnetomotiva, como se muestra al aplicar la ley circuital de Ampere a los contornos que pasan a través de cada material,

\[H_{1}s = H_{2}s = N_{i} \Rightarrow H_{1} = H_{2} = \frac{Ni}{s} \nonumber \]

los campos H en cada material son iguales. El flujo es entonces

\[\Phi = (\mu_{1} H_{1} a_{1} + \mu_{2} H_{2} a_{2}) D = \frac{Ni(\mathscr{R}_{1} + \mathscr{R}_{2})}{\mathscr{R}_{1} \mathscr{R}_{2}} = Ni (\mathscr{P}_{1} + \mathscr{P}_{2}) \nonumber \]

donde las permeancias\(\mathscr{P}_{1}\) y\(\mathscr{P}_{2}\) son solo las reluctancias recíprocas análogas a la conductancia.

6-2-3 Transformador de Acción

(a) Los voltajes no son únicos

Considera dos resistencias pequeñas\(R_{1}\) y\(R_{2}\) formar un bucle que encierra una pata de un circuito magnético cerrado con permeabilidad\(\mu\), como en la Figura 6-12. Una bobina de N vueltas excitada en una pata con una corriente variable en el tiempo genera un flujo variable en el tiempo que es aproximadamente

\[\Phi(t) = \mu N A i_{1}/l \nonumber \]

donde\(l\) es la longitud promedio alrededor del núcleo.

Figura 6-12 Los voltajes no son únicos en presencia de un campo magnético variable en el tiempo. Un bucle resistivo que rodea un circuito magnético tiene diferentes voltajes medidos a través del mismo par de nodos. La diferencia de voltaje es igual a la tasa de tiempo del flujo magnético a través del bucle.

Aplicando la ley de Faraday al bucle resistivo que tenemos

\[\oint_{L} \textbf{E} \cdot \textbf{dl} = i (R_{1} + R_{2}) = + \frac{d \Phi (t)}{dt} \Rightarrow i = \frac{1}{R_{1} + R_{2}} \frac{d \Phi}{dt} \nonumber \]

donde descuidamos el autoflujo producido por la corriente inducida\(i\) e invertimos el signo en el término de flujo magnético porque\(\Phi\) penetra en el bucle de la Figura 6-12 en la dirección opuesta a la convención positiva dada por la regla de la derecha ilustrada en la Figura 6-2.

Si ahora mediéramos el voltaje a través de cada resistor, encontraríamos diferentes valores y polaridades opuestas aunque nuestro voltímetro estuviera conectado a los mismos nodos:

\[v_{1} = iR_{1} = + \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} \frac{d \Phi}{dt} \\ v_{2} = - R_{2} = \frac{-R_{2}}{R_{1}+ R_{2}} \frac{d \Phi}{dt} \nonumber \]

Esta no singularidad del voltaje surge debido a que el campo eléctrico ya no está libre de rizos. La diferencia de voltaje entre dos puntos depende de la trayectoria de los cables de conexión. Si algún flujo magnético variable en el tiempo pasa a través del contorno definido por la medición, se obtiene una contribución adicional.

(b) Transformadores ideales

Dos bobinas enrolladas firmemente sobre un núcleo altamente permeable, de manera que todo el flujo de una bobina se une a la otra, forma un transformador ideal, como en la Figura 6-13. Debido a que el núcleo de hierro tiene una permeabilidad infinita, todo el flujo está confinado dentro del núcleo. Las corrientes que fluyen en cada bobina\(i_{2}\),\(i_{1}\) y, se definen de manera que cuando son positivas los flujos generados por cada bobina están en la dirección opuesta. El flujo total en el núcleo es entonces

\[\Phi = \frac{N_{1}i_{1} - N_{2}i_{2}}{\mathscr{R}}, \: \: \: \: \mathscr{R} = \frac{l}{\mu A} \nonumber \]

donde\(\mathscr{R}\) está la renuencia del núcleo y\(l\) es la longitud promedio del núcleo.

El flujo unido por cada bobina es entonces

\[\lamba_{1} = N_{1} \Phi = \frac{\mu A}{l} (N_{1}^{2} i_{1} - N_{1} N_{2} i_{2}) \\ \lambda_{2} = N_{2} \Phi = \frac{\mu A}{l} (N_{1}N_{2}i_{1} - N_{2}^{2} i_{2}) \nonumber \]

Figura 6-13 (a) Un transformador ideal relaciona los voltajes primario y secundario por la relación de vueltas mientras que las corrientes están en la relación inversa de manera que la potencia de entrada es igual a la potencia de salida. El campo H es cero dentro del núcleo infinitamente permeable. (b) En un transformador real, el bucle de histéresis B-H no lineal provoca una corriente primaria no lineal\(i_{1}\) con una secundaria de circuito abierto (\(i_{2}\)=0) a pesar de que la tensión sinusoidal impuesta\(v_{1} = V_{0} \cos \omega t \) fija el flujo para que sea sinusoidal. (c) Un circuito equivalente de transformador más completo.

Figura 6.13

que se puede escribir como

\[\lambda_{1} = L_{1}i_{1}- M i_{2} \\ \lambda_{2} = M i_{1} - L_{2} i_{2} \nonumber \]

donde\(L_{1}\) y\(L_{2}\) son las autoinductancias de cada bobina sola y M es la inductancia mutua entre bobinas:

\[L_{1} = N_{1}^{2} L_{0}, \: \: \: \: L_{2} = N_{2}^{2}L_{0}, \: \: \: \: M = N_{1} N_{2}L_{0}, \: \: \: \: L_{0} = \mu A/l \nonumber \]

En general, la inductancia mutua obedece a la igualdad:

\[M = k(L_{1}L_{2})^{1/2}, \: \: \: \: 0 \leq k \leq 1 \nonumber \]

donde k se llama el coeficiente de acoplamiento. Para una permeabilidad de núcleo no infinita, k es menor que la unidad porque parte del flujo de cada bobina entra en la región de espacio libre y no enlaza la otra bobina. En un transformador ideal, donde la permeabilidad es infinita, no hay flujo de fuga de manera que k = 1.

Desde (23), el voltaje a través de cada bobina es

\[v_{1} = \frac{d \lambda_{1}}{dt} = L_{1} \frac{di_{1}}{dt} - M \frac{di_{2}}{dt} \\ v_{2} = \frac{d \lambda_{2}}{dt} = M \frac{di_{1}}{dt} - L_{2} \frac{di_{2}}{dt} \nonumber \]

Porque sin fugas, la inductancia mutua está relacionada con las autoinductancias como

\[M = \frac{N_{2}}{N_{1}} L_{1} = \frac{N_{1}}{N_{2}} L_{2} \nonumber \]

la relación de voltajes de la bobina es la misma que la relación de vueltas:

\[\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{d \lambda_{1}/dt}{d \lambda_{2}/dt} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \nonumber \]

En el transformador ideal de permeabilidad de núcleo infinito, las inductancias de (24) también son infinitas. Para mantener los voltajes y flujos en (26) finitos, las corrientes deben estar en la relación de giros inversos

\[\frac{i_{1}}{i_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \nonumber \]

La energía eléctrica entregada por la fuente a la bobina 1, llamada devanado primario, es igual a la potencia entregada a la carga a través de la bobina 2, llamada devanado secundario:

\[v_{1} i_{1} = v_{2}i_{2} \nonumber \]

Si\(N_{2} > N_{1}\), el voltaje en el devanado 2 es mayor que el voltaje en el devanado 1 pero la corriente\(i_{2}\) es menor que\(i_{1}\) mantener iguales las potencias.

Si el devanado primario 1 es excitado por un voltaje variable en el tiempo\(v_{1}(t)\) con el devanado secundario 2 cargado por una resistencia de\(R_{L}\) modo que

\[v_{2} = i_{2}R_{L} \nonumber \]

la resistencia efectiva vista por el devanado primario es

\[R_{\textrm{eff}} = \frac{v_{1}}{i_{1}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \frac{v_{2}}{(N_{2}/N_{1})i_{2}} = \bigg(\frac{N_{1}}{N_{2}} \bigg)^{2} R_{L} \nonumber \]

Un transformador se utiliza de esta manera como un transformador de impedancia donde la resistencia efectiva vista en el devanado primario se incrementa por el cuadrado de la relación de vueltas.

(c) Transformadores reales

Cuando el secundario está en circuito abierto (i ₂ = 0), (29) muestra que la corriente primaria de un transformador ideal también es cero. En la práctica, aplicar una tensión sinusoidal primaria\(V_{0} \cos \omega t\) resultará en una pequeña corriente debido a la autoinductancia finita de la bobina primaria. Aunque esta autoinductancia es grande si la permeabilidad del núcleo\(\mu\) es grande, debemos considerar su efecto porque no hay flujo opuesto como resultado de la bobina secundaria de circuito abierto. Además, la curva de histéresis no lineal del hierro como se describe en la Sección 5-5-3c dará como resultado una corriente no sinusoidal aunque el voltaje sea sinusoidal. En el circuito magnético de la Figura 6.13a con\(i_{2} = 0\), el campo magnético es

\[\textbf{H} = \frac{N_{1}i_{1}}{l} \nonumber \]

mientras que el voltaje sinusoidal impuesto también fija el flujo magnético para que sea sinusoidal

\[v_{1} = \frac{d \Phi}{dt} = V_{0} \cos \omega t \Rightarrow \Phi = BA = \frac{V_{0}}{\omega} \sin \omega t \nonumber \]

Así, la mitad superior de la característica de magnetización B-H no lineal en la Figura 6-13b tiene la misma forma que la característica de flujo-corriente con factores de proporcionalidad relacionados con la geometría. Obsérvese que en saturación la curva B-H se aproxima a una línea recta con pendiente\(\mu_{0}\). Para un medio ciclo de flujo dado por (34), la corriente de magnetización de circuito abierto no lineal se encuentra gráficamente en función del tiempo en la Figura 6-13b. La corriente es simétrica a lo largo de la mitad negativa del ciclo de flujo. El análisis de Fourier muestra que esta corriente no lineal está compuesta por todos los armónicos impares de la frecuencia de conducción dominada por los armónicos tercero y quinto. Esto causa problemas en los sistemas de potencia y requiere devanados de transformador adicionales para atrapar las corrientes armónicas más altas, impidiendo así su transmisión.

Un circuito equivalente transformador más realista se muestra en la Figura 6-13c donde las reactancias de fuga\(X_{1}\) y\(X_{2}\) representan el hecho de que todo el flujo producido por una bobina no enlaza la otra. Una pequeña cantidad de flujo se encuentra en la región de espacio libre que rodea los devanados. La reactancia inductiva no lineal\(X_{c}\) representa la característica de magnetización no lineal ilustrada en la Figura 6-13b, mientras que\(R_{c}\) representa la potencia disipada al atravesar el bucle de histéresis a lo largo de un ciclo. Esta potencia disipada por ciclo equivale al área encerrada por el bucle de histéresis. Las resistencias de bobinado son\(R_{1}\) y\(R_{2}\).