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6.5: Energía almacenada en el campo magnético

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    6-5-1 Un Solo Bucle de Corriente

    La cantidad diferencial de trabajo necesaria para superar las fuerzas eléctricas y magnéticas sobre una carga q que se mueve una distancia incremental ds a velocidad v es

    \[dW_{q} = - q (\textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B}) \cdot \textbf{ds} \nonumber \]

    (a) Trabajo eléctrico

    Si la carga se mueve únicamente bajo la acción de las fuerzas eléctricas y magnéticas sin otras fuerzas de origen mecánico, el desplazamiento incremental en poco tiempo dt está relacionado con su velocidad como

    \[\textbf{ds} = \textbf{v} dt \nonumber \]

    Entonces el campo magnético no puede contribuir a ningún trabajo sobre la carga porque la fuerza magnética es perpendicular al desplazamiento de la carga:

    \[d W_{q} = - q \textbf{v} \cdot \textbf{E} dt \nonumber \]

    y el trabajo requerido se debe en su totalidad al campo eléctrico. Dentro de un cable neutro de carga, el campo eléctrico no se debe a las fuerzas coulómbicas sino que surge de la ley de Faraday. La carga móvil constituye un elemento de corriente incremental,

    \[q \textbf{v} = i \textbf{dl} \Rightarrow d W_{q} = - i \textbf{E} \cdot \textbf{dl} dt \nonumber \]

    de manera que el trabajo total necesario para mover todas las cargas en el cable cerrado es solo la suma del trabajo realizado en cada elemento actual,

    \[\begin{align*} dW &= \oint_{L} d W_{q} \\[4pt] &= -i dt \oint_{L} \textbf{E} \cdot \textbf{dl} \\[4pt] &= i dt \frac{d}{dt} \int_{S} \textbf{B} \cdot \textbf{dS} \\[4pt] &= i dt \frac{d \Phi}{dt} \\[4pt] &= i d \Phi \end{align*} \nonumber \]

    que a través de la ley de Faraday es proporcional al cambio de flujo a través del bucle de corriente. Este flujo puede deberse a otras corrientes e imanes (flujo mutuo) así como al flujo propio debido a la corriente\(i\). Obsérvese que la tercera relación en (5) es justamente equivalente a la definición de circuito de la energía eléctrica entregada al bucle:

    \[p = \frac{dW}{dt} = i \frac{d \Phi}{dt} = vi \nonumber \]

    Toda esta energía suministrada para acelerar las cargas en el cable se almacena ya que no se disipa energía en el bucle sin pérdidas y no se realiza ningún trabajo mecánico si el bucle se mantiene estacionario.

    (b) Trabajo Mecánico

    El campo magnético no contribuyó a ningún trabajo en la aceleración de las cargas. Esto no es cierto cuando el cable portador de corriente se mueve en sí mismo un pequeño desplazamiento vectorial ds requiriendo que realicemos trabajos mecánicos,

    \[dW = - (i \textbf{dl} \times \textbf{B}) \cdot \textbf{ds} = i (\textbf{B} \times \textbf{dl}) \cdot \textbf{ds} \\ = i \textbf{B} \cdot (\textbf{dl} \times \textbf{ds}) \nonumber \]

    donde pudimos intercambiar el punto y la cruz usando la identidad de producto triple escalar comprobada en el Problema 1-10a. Definimos S 1 como el área originalmente delimitando el bucle y S 2 como el área delimitadora después de que el bucle haya movido la distancia ds, como se muestra en la Figura 6-30. El área incremental dS 3 es entonces la tira que une las dos posiciones del bucle definidas por la cantidad entre corchetes en (7):

    \[\textbf{dS_{3}} = \textbf{dl} \times \textbf{ds} \nonumber \]

    El flujo a través de cada uno de los contornos es

    \[\Phi_{1} = \int_{S_{1}} \textbf{B} \cdot \textbf{dS}, \: \: \: \: \Phi_{2} = \int_{S_{2}} \textbf{B} \cdot \textbf{dS} \nonumber \]

    donde su diferencia es solo el flujo que pasa hacia afuera a través de\(\textbf{dS}_{3}\):

    \[d \Phi = \Phi_{1} - \Phi_{2} = \textbf{B} \cdot \textbf{dS}_{3} \nonumber \]

    El trabajo mecánico incremental de (7) -necesario para mover el bucle es entonces idéntico a (5):

    \[dW = i \textbf{B} \cdot \textbf{dS}_{3} = i d \Phi \nonumber \]

    Aquí no hubo cambio de entrada de energía eléctrica, con el incremento de la energía almacenada debido enteramente al trabajo mecánico en el movimiento del bucle de corriente.

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    Figura 6-30 El trabajo mecánico necesario para mover un bucle portador de corriente se almacena como energía potencial en el campo magnético.

    6-5-2 Energía e Inductancia

    Si el bucle está aislado y está dentro de un material permeable lineal, el flujo se debe completamente a la corriente, relacionada a través de la autoinductancia del bucle como

    \[\Phi = Li \nonumber \]

    para que (5) o (11) puedan integrarse para encontrar la energía total en un bucle con valores finales de corriente I y flujo\(\Phi\):

    \[W = \int_{0}^{\Phi} i d \Phi \\ = \int_{0}^{\Phi} \frac{\Phi}{L} d \Phi \\ = \frac{1}{2} \frac{\Phi^{2}}{L} = \frac{1}{2} LI^{2} = \frac{1}{2} I \Phi \nonumber \]

    6-5-3 Distribuciones de corriente

    Los resultados de (13) solo son ciertos para un solo bucle de corriente. Para muchos bucles de corriente que interactúan o para distribuciones de corriente, es conveniente escribir el flujo en términos del potencial vectorial usando el teorema de Stokes:

    \[\Phi = \int_{S} \textbf{B} \cdot \textbf{dS} = \int_{S} (\nabla \times \textbf{A}) \cdot \textbf{dS} = \oint_{L} \textbf{A} \cdot \textbf{dl} \nonumber \]

    Entonces cada elemento de corriente de tamaño incremental que lleva una corriente I con flujo\(d \Phi\) ha almacenado energía dada por (13):

    \[dW = \frac{1}{2} I d \Phi = \frac{1}{2} \textbf{I} \cdot \textbf{A} dl \nonumber \]

    Para N elementos de corriente, (15) generaliza a

    \[W = \frac{1}{2} (\textbf{I}_{1} \cdot \textbf{A}_{1} dl_{1} + \textbf{I}_{2} \cdot \textbf{A}_{2} dl_{2} + ... + \textbf{I}_{N} \cdot \textbf{A}_{N} dl_{N}) \\ = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \textbf{I}_{n} \cdot \textbf{A}_{n} dl_{n} \nonumber \]

    Si la corriente se distribuye sobre una línea, superficie o volumen, la suma se reemplaza por integración:

    \[W = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2} \int_{L} \textbf{I}_{f} \cdot \textbf{A} dl & \textrm{(line current)} \\ \frac{1}{2} \int_{S} \textbf{K}_{f} \cdot \textbf{A} d \textrm{S} & \textrm{(surface current)} \\ \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} \textbf{J}_{f} \cdot \textbf{A} d \textrm{V} \textrm{(volume current)} \end{matrix} \right. \nonumber \]

    Recuerde que en (16) y (17) las corrientes y potenciales vectoriales son evaluados todos en sus valores finales en oposición a (11), donde la corriente debe expresarse en función del flujo.

    6-5-4 Densidad de Energía Magnética

    Esta energía almacenada puede pensarse como almacenada en el campo magnético. Suponiendo que tenemos una distribución de volumen libre de corriente\(\textbf{J}_{f}\) que utilizamos (17) con la ley de Ampere para expresar \(\textbf{J}_{f}\)en términos de H,

    \[W = \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} \textbf{J}_{f} \cdot \textbf{A} d \textrm{V} = \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} (\nabla \times \textbf{H}) \cdot \textbf{A} d \textrm{V} \nonumber \]

    donde el volumen V es solo el volumen ocupado por la corriente. Volúmenes mayores (incluyendo todo el espacio) se pueden utilizar en (18), para la región fuera de la corriente tiene\(\textbf{J}_{f} = 0\) por lo que no surgen contribuciones adicionales.

    Uso de la identidad del vector

    \[\nabla \cdot (\textbf{A} \times \textbf{H}) = \textbf{H} \cdot (\nabla \times \textbf{A}) - \textbf{A} \cdot (\nabla \times \textbf{H}) \\ = \textbf{H} \cdot \textbf{B} - \textbf{A} \cdot (\nabla \times \textbf{H}) \nonumber \]

    reescribimos (18) como

    \[W = \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} [ \textbf{H} \cdot \textbf{B} - \nabla \cdot (\textbf{A} \times \textbf{H}) ] d \textrm{V} \nonumber \]

    El segundo término en el lado derecho se puede convertir en una integral de superficie usando el teorema de divergencia:

    \[ \int_{\textrm{V}} \nabla \cdot (\textbf{A} \times \textbf{H}) d \textrm{V} = \oint_{S} (\textbf{A} \times \textbf{H}) \cdot \textbf{dS} \nonumber \]

    Ahora se vuelve conveniente dejar que el volumen se extienda por todo el espacio para que la superficie esté al infinito. Si la distribución de corriente no se extiende hasta el infinito, el potencial vectorial muere al menos como\(1/r\) y el campo magnético como\(1/r^{2}\). Entonces, a pesar de que el área aumenta a medida que\(r^{2}\), la integral de superficie en (21) disminuye al menos como\(1/r\) y por lo tanto es cero cuando S está en el infinito. Entonces (20) se convierte simplemente

    \[W = \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} \textbf{H} \cdot \textbf{B} d \textrm{V} = \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} \mu H^{2} d \textrm{V} = \frac{1}{2} \int_{\textrm{V}} \frac{B^{2}}{\mu} d \textrm{V} \nonumber \]

    donde el volumen V ahora se extiende por todo el espacio. La densidad de energía magnética es así

    \[\omega = \frac{1}{2} \textbf{H} \cdot \textbf{B} = \frac{1}{2} \mu H^{2} = \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu} \nonumber \]

    Estos resultados sólo son ciertos para materiales lineales donde\(\mu\) no depende del campo magnético, aunque puede depender de la posición.

    Para una sola bobina, la energía total en (22) debe ser idéntica a (13), lo que nos da un método alternativo para calcular la autoinductancia a partir del campo magnético.

    6-5-5 El cable coaxial

    (a) Inductancia externa

    Una geometría típica del cable consiste en dos carcasas cilíndricas perfectamente conductoras de radios a y b y longitud\(l\), como se muestra en la Figura 6-31. Una corriente impuesta I fluye axialmente como una corriente superficial en direcciones opuestas en cada cilindro. Descuidamos los efectos de campo de flecos cerca de los extremos para que el campo magnético sea el mismo que si el cilindro fuera infinitamente largo. Usando la ley de Ampere encontramos que

    \[H_{\phi} = \frac{I}{2 \pi \textrm{r}}, \: \: \: a < \textrm{r} < b \nonumber \]

    El flujo magnético total entre los dos conductores es

    \[\Phi = \int_{a}^{b} \mu_{0} H_{\phi} l d \textrm{r} \\ = \frac{\mu_{0} I l}{2 \pi} \ln \frac{b}{a} \nonumber \]

    dando la autoinductancia como

    \[L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_{0}l}{2 \pi} \ln \frac{b}{a} \nonumber \]

    El mismo resultado se puede encontrar con la misma facilidad calculando la energía almacenada en el campo magnético

    \[W = \frac{1}{2} LI^{2} = \frac{1}{2} \mu_{0} \int_{a}^{b} H^{2}_{\phi} 2 \pi \textrm{r} l d \textrm{r} \\ = \frac{\mu_{0} l I^{2}}{4 \pi} \ln \frac{b}{a} \Rightarrow L = \frac{2 W}{I^{2}} = \frac{\mu_{0} \ln (b/a)}{2 \pi} \nonumber \]

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    Figura 6-31 El campo magnético entre dos carcasas cilíndricas portadoras de corriente que forman un cable coaxial está confinado a la región entre cilindros.

    (b) Inductancia interna

    Si el cilindro interior es ahora sólido, como en la Figura 6-32, la corriente a frecuencias suficientemente bajas donde la profundidad de la piel es mucho mayor que el radio, se distribuye uniformemente con la densidad

    \[J_{z} = \frac{I}{\pi a^{2}} \nonumber \]

    de manera que un campo magnético linealmente creciente está presente dentro del cilindro interno mientras que el campo magnético exterior está presente dentro del cilindro interno

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    Figura 6-32 A bajas frecuencias la corriente en un cable coaxial se distribuye uniformemente sobre el conductor central sólido de manera que el campo magnético interno aumenta linealmente con el radio. El campo magnético externo permanece inalterado. Se puede pensar en el cilindro interior como muchas carcasas cilíndricas incrementales de espesor dr que transportan una fracción de la corriente total. Cada proyectil une su propio flujo propio, así como el flujo mutuo de las otras conchas de menor radio. El flujo adicional dentro del conductor portador de corriente da como resultado la inductancia interna del cable.

    sin cambios desde (24):

    \[H_{\phi} = \left \{ \begin{matrix} \frac{I \textrm{r}}{2 \pi a^{2}}, & 0 < \textrm{r} < a \\ \frac{I}{2 \pi \textrm{r}}, & a < \textrm{r} < b \end{matrix} \right. \nonumber \]

    La autoinductancia no se puede encontrar usando la definición de corriente de flujo por unidad para un bucle de corriente ya que la corriente no se restringe a un filamento delgado. Se puede pensar en el cilindro interior tantas carcasas cilíndricas incrementales, como en la Figura 6-32, cada una de las cuales une su propio autoflujo así como el flujo mutuo de las otras carcasas de menor radio. Tenga en cuenta que cada carcasa está a un voltaje diferente debido a las diferencias en el flujo cerrado, aunque los cables terminales que se encuentran en una región donde el campo magnético es insignificante tienen una diferencia de voltaje única bien definida.

    La forma más fácil de calcular la autoinductancia según lo visto por los cables terminales es usar la definición de energía de (22):

    \[W = \frac{1}{2} \mu_{0} \int_{0}^{b} H^{2}_{\phi} 2 \pi l \textrm{r} d \textrm{r} \\ = \pi l \mu_{0} \bigg[ \int_{0}^{a} \bigg( \frac{I \textrm{r}}{2 \pi a^{2}} \bigg)^{2} \textrm{r} d \textrm{r} + \int_{a}^{b} \bigg( \frac{I}{2 \pi \textrm{r}} \bigg)^{2} \textrm{r} d \textrm{r} \bigg] \\ = \frac{\mu_{0} l I^{2}}{4 \pi} \bigg( \frac{1}{4} + \ln \frac{b}{a} \bigg) \nonumber \]

    que da la autoinductancia como

    \[L = \frac{2 W}{I^{2}} = \frac{\mu_{0} l}{2 \pi} \bigg( \frac{1}{4} + \ln \frac{b}{a} \bigg) \nonumber \]

    La contribución adicional de\(\mu_{0} l / 8 \pi\) se llama inductancia interna y se debe al flujo dentro del conductor portador de corriente.

    6-5-6 Autoinductancia, capacitancia y resistencia

    A menudo podemos ahorrarnos más cálculos para la autoinductancia externa si ya conocemos la capacitancia o resistencia para la misma geometría bidimensional compuesta por electrodos altamente conductores sin contribución de inductancia interna. Para la geometría arbitraria mostrada en la Figura 6-33 de profundidad d, la capacitancia, la resistencia y la inductancia se definen como las relaciones de integrales de línea y superficie:

    \[C = \frac{\varepsilon d \oint_{S} \textbf{E} \cdot \textbf{n}_{2} ds}{\int_{L} \textbf{E} \cdot \textbf{dl}} \\ R = \frac{\int_{L} \textbf{E} \cdot \textbf{dl}}{\sigma d \oint_{S} \textbf{E} \cdot \textbf{n}_{2} ds} \\ L = \frac{\mu d \int_{L} \textbf{H} \cdot \textbf{n}_{l} dl}{ \oint_{S} \textbf{H} \cdot \textbf{ds}} \nonumber \]

    Debido a que la región homogénea entre los electrodos está libre de carga y corriente, tanto el campo eléctrico como el magnético pueden derivarse de un potencial escalar que satisfaga la ecuación de Laplace. Sin embargo, el campo eléctrico debe ser incidente normalmente sobre los electrodos mientras que el campo magnético incide tangencialmente de manera que E y H sean perpendiculares en todas partes, estando cada uno a lo largo de las líneas potenciales del otro. Esto se explica en (32) y la Figura 6-33 al tener n s ds perpendiculares a ds y\(\textbf{n}_{s} ds\) perpendiculares a dl. Entonces como C, R y L son independientes de las intensidades de campo, podemos tomar E y H para que ambos tengan magnitud unitaria para que en los productos de LC y L/R las integrales de línea y superficie cancelen:

    \[LC = \varepsilon \mu d^{2} = d^{2} /c^{2}, \: \: \: \: c = 1/ \sqrt{\varepsilon \mu} \\ L/R = \mu \sigma d^{2}, \: \: \: \: RC = \varepsilon/ \sigma \nonumber \]

    Estos productos son entonces independientes de la geometría del electrodo y dependen solo de los parámetros del material y la profundidad de los electrodos

    Reconocemos que la\(L/R\) relación es proporcional al tiempo de difusión magnética de la Sección 6-4-3 mientras que RC es solo el tiempo de relajación de carga de la Sección 3-6-1. En el Capítulo 8 vemos que el\(\sqrt{LC}\) producto es igual al tiempo que tarda una onda electromagnética en propagar una distancia d a la velocidad de la luz c en el medio

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    Figura 6-33 Los campos eléctrico y magnético en la región bidimensional de carga homogénea y libre de corriente entre electrodos huecos pueden derivarse de un potencial escalar que obedece a la ecuación de Laplace. Las líneas de campo eléctrico están a lo largo de las líneas de potencial magnético y viceversa por lo que E y H son perpendiculares. El producto de inductencia-capacitancia es entonces una constante.


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