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6.7: Problemas

  • Page ID
    86766
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Sección 6-1

    \(1\)

    Un bucle circular de radio\(a\) con conductividad óhmica\(\sigma \) y área de sección transversal\(A\) tiene su centro a una pequeña\(D\) distancia de una corriente variable en el tiempo infinitamente larga.

    1.jpg

    (a) Encontrar la inductancia mutua\(M\) y la resistencia\(R\) del bucle. Pista:

    \(\begin{align}&\int \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\tan ^{-1}\left [ \frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}\tan \left ( x/2 \right )}{a+b} \right ],\nonumber \\ & \int \frac{rdr}{\sqrt{D^{2}-r^{2}}}=-\sqrt{D^{2}-r^{2}}\end{align}\)

    (b) Este bucle es estacionario y tiene una autoinductancia\(L\). ¿Cuál es la dependencia del tiempo de la corriente de cortocircuito inducida cuando la corriente de línea se pisa instantáneamente a un nivel de CC\(I\) en\(t = 0\)?

    (c) Repita (b) cuando la corriente de línea haya estado encendida mucho tiempo y de repente se desconecte en\(t = T\).

    (d) Si el bucle no tiene resistencia y se mueve con velocidad radial\(v_{r}=dr/dt\), ¿cuál es la corriente de cortocircuito y el voltaje de circuito abierto para una corriente de línea de CC?

    e) ¿Cuál es la fuerza sobre el bucle cuando transporta una corriente\(i\)? Pista:

    \(\int \frac{\cos \phi d\phi }{D+a\cos \phi }=-\frac{1}{a}\sin ^{-1}\left [ \cos \phi  \right ]+\frac{D}{a\sqrt{D^{2}-a^{2}}}\sin ^{-1}\left ( \frac{a+D\cos \phi }{D+a\cos \phi } \right )\)

    \(2\)

    Un bucle rectangular en el extremo izquierdo viaja con velocidad constante\(U\textbf{i}_{x}\) hacia y a través de una lámina de corriente de superficie dc\(K_{0}\textbf{i}_{y}\) en\(x =0\). El borde derecho del bucle primero alcanza la hoja actual en\(t =0\).

    (a) ¿Cuál es el voltaje de circuito abierto del bucle en función del tiempo?

    (b) ¿Cuál es la corriente de cortocircuito si el bucle tiene autoinductancia\(L\) y resistencia\(R\)?

    (c) Encontrar el voltaje de circuito abierto si la corriente superficial es reemplazada por un fluido con volumen uniformemente distribuido cur rent. La corriente no se altera a medida que pasa el bucle.

    2.jpg

    Considerar específicamente el caso cuando\(d>b\) y luego bosquejar los resultados cuando\(d= b\) y\(d<b\). El borde derecho del bucle de corriente alcanza la corriente de volumen en\(t =0\).

    \(3\)

    Un bucle rectangular cortocircuitado de masa\(m\) y autoinductancia\(L\) se cae con velocidad inicial\(v_{0}\textbf{i}_{x}\) entre las caras polares de un imán que tiene un campo magnético uniforme concentrado\(B_{0}\textbf{i}_{z}\). Negligencia por gravedad.

    3.jpg

    (a) ¿Cuál es el flujo impuesto a través del bucle en función de la posición del bucle\(x\left ( 0< x< s \right )\) dentro del imán?

    (b) Si el alambre tiene conductividad\(\sigma \) y área de sección transversal\(A\), ¿qué ecuación relaciona la corriente inducida\(i\) en el bucle y la velocidad del bucle?

    c) ¿Cuál es la fuerza en el bucle en términos de\(i\)? Obtener una sola ecuación para la velocidad del bucle. (Pista: Vamos\(\omega_{0}^{2}=B_{0}^{2}b^{2}/mL,\quad \alpha =R/L\).)

    d) ¿Cómo varían con el tiempo la velocidad del bucle y la corriente inducida?

    e) Si\(\sigma \rightarrow \infty \), ¿qué velocidad inicial mínima es necesaria para que el bucle pase por el campo magnético?

    \(4\)

    Encuentra la inductancia mutua entre las siguientes rentas cur:

    4a.jpg
    4b.jpg

    (a) Bobina toroidal de sección transversal rectangular o circular centrada coaxialmente alrededor de una corriente de línea infinitamente larga. Pista:

    \(\begin{align}&\int \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\tan ^{-1}\left [ \frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}\tan \left ( x/2 \right )}{a+b} \right ],\nonumber \\ & \int \frac{rdr}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}=-\sqrt{R^{2}-r^{2}}\end{align}\)

    (b) Un bucle de corriente rectangular muy largo, considerado como dos corrientes de línea paralelas infinitamente largas,\(D\) separadas a una distancia, llevando la misma corriente\(I\) en direcciones opuestas cerca de un pequeño bucle rectangular de ancho\(a\), que está a una\(d\) distancia de la corriente de línea izquierda. Considerar los casos\(d+a<D\),\(d< D< d+a\), y\(d>D\).

    \(5\)

    Un bucle circular de radio\(a\) a es la distancia\(D\) por encima de un punto dipolo magnético del área\(dS\) que transporta una corriente\(I_{1}\).

    5.jpg

    (a) ¿Cuál es el potencial vectorial debido al dipolo en todos los puntos del bucle circular? (Pista: Ver Sección 5-5-1.)

    (b) ¿Cuánto flujo del dipolo pasa a través del bucle circular?

    c) ¿Cuál es la inductancia mutua entre el dipolo y el bucle?

    d) Si el bucle lleva una corriente\(I_{2}\), ¿a qué se debe el campo magnético\(I_{2}\) en la posición del dipolo puntual? (Pista: Ver Sección 5-2-4a.)

    e) ¿Cuánto flujo debido a los\(I_{2}\) pasos a través del dipolo magnético?

    f) ¿Cuál es la inductancia mutua? ¿Tu resultado concuerda con (c)?

    \(6\)

    Un pequeño bucle rectangular con autoinductancia\(L\), conductividad\(\sigma \) óhmica y área de sección transversal se\(A\) extiende a ambos lados de una lámina de corriente.

    6.jpg

    (a) La hoja de corriente se enciende instantáneamente a un nivel de CC\(K_{0}\textbf{i}_{y}\) en\(t =0\). ¿Cuál es la corriente de bucle inducida?

    (b) Después de mucho tiempo,\(T\) la corriente de la hoja se establece instantáneamente en cero. ¿Cuál es la corriente de bucle inducida?

    (c) ¿Cuál es la corriente de bucle inducida si la hoja de corriente varía sinusoidalmente con el tiempo como\(K_{0}\cos \omega t\textbf{i}_{y}\).

    \(7\)

    Un dipolo magnético puntual con área\(d\textrm{S}\) se encuentra a una distancia\(d\) por debajo de un plano perfectamente conductor de extensión infinita. La corriente dipolo\(I\) se enciende instantáneamente a las\(t =0\).

    7.jpg

    (a) Utilizando el método de las imágenes, encontrar el campo magnético en todas partes a lo largo del plano conductor. (Pista:\(\textbf{i}_{r}\cdot \textbf{i}_{r}=\sin \theta, \quad \textbf{i}_{\theta }\cdot \textbf{i}_{r}=\cos \theta\))

    b) ¿Cuál es la distribución de la corriente superficial?

    c) ¿Cuál es la fuerza en el avión? Pista:

    \(\int \frac{\textrm{r}^{3}d\textrm{r}}{\left ( \textrm{r}^{2}+d^{2} \right )^{5}}=-\frac{\left ( \textrm{r}^{2}+d^{2}/4 \right )}{6\left ( \textrm{r}^{2}+d^{2} \right )^{4}}\)

    d) Si el avión tiene una masa\(M\) en el campo de gravedad\(g\), ¿qué corriente\(I\) es necesaria para simplemente levantar el conductor? Evaluar para\(M=10^{-3}\,\textrm{kg}\),\(d=10^{-2}\,\textrm{m}\), y\(a=10^{-3}\,\textrm{m}\).

    \(8\)

    Un bloque delgado con conductividad óhmica\(\sigma \) y espesor\(\delta \) se mueve con velocidad constante\(V\textbf{i}_{x}\) entre placas paralelas cortocircuitadas perfectamente conductoras. \(K_{0}\)Se impone una corriente superficial inicial en el\(t =0\) momento\(x=x_{0}\), pero luego se elimina la fuente.

    8.jpg

    (a) La corriente superficial en las placas\(K(t\)) variará con el tiempo. ¿Cuál es el campo magnético en términos de\(K(t)\)? Efectos de flecos de descuido.

    (b) Debido a que el bloque móvil es tan delgado, la corriente se distribuye uniformemente sobre el espesor\(\delta \). Usando la ley de Faraday, encuentra\(K(t)\) en función del tiempo.

    (c) ¿Qué valor de velocidad simplemente mantendrá constante el campo magnético con el tiempo hasta que el bloque en movimiento llegue al final?

    d) ¿Qué sucede con el campo magnético para velocidades cada vez mayores?

    \(9\)

    Un disco circular delgado de radio\(a\)\(d\), grosor y conductividad\(\sigma \) se coloca en un campo magnético uniforme que varía en el tiempo\(B(t)\).

    9.jpg

    (a) Despreciando el campo magnético de las corrientes parásitas, cuál es la corriente inducida en un filamento circular delgado en radio\(\textrm{r}\) de espesor\(d\textrm{r}\).

    b) ¿Qué potencia se disipa en este bucle de corriente incremental?

    c) ¿Cuánta energía se disipa en todo el disco?

    d) Si en cambio el disco se corta en discos circulares\(N\) más pequeños con despilfarro insignificante, ¿cuál es el radio aproximado de cada disco más pequeño?

    e) Si estos discos\(N\) más pequeños se laminan juntos para formar un disco delgado de alambres cilíndricos estrechamente empaquetados, ¿cuál es la potencia disipada?

    Sección 6-2

    \(10\)

    Encuentra la autoinductancia de una bobina toroidal de\(N\) giro de radio de sección transversal circular\(a\) y radio medio\(b\). Pista:

    \ (\ begin {align} &\ int\ frac {d\ theta} {b+\ textrm {r}\ cos\ theta} =\ frac {2} {\ sqrt {b^ {2} -\ textrm {r} ^ {2}}}\ ^ tan {-1}\ frac {\ sqrt {b^ {2} -\ textrm {r} {2}}\ tan\ izquierda (\ theta /2\ derecha)} {b+\ textrm {r}}\ nonumber\\
    &\ int\ frac {\ textrm {r} d\ textrm {r}} {\ sqrt {b^ {2} -\ textrm {r} ^ {2}} =-\ sqrt {b^ {2} -\ textrm ^ {2}}\ end {align}\)

    10.jpg
    \(11\)

    Una bobina solenoidal grande de larga longitud\(l_{1}\)\(a_{1}\), radio y número de vueltas rodea\(N_{1}\) coaxialmente una bobina más pequeña de longitud\(l_{2}\)\(a_{1}\), radio y giros largos\(N_{1}\).

    11.jpg

    a) Al descuidar los efectos de campo de franjas, se encuentran las autoinductancias e inductancias mutuas de cada bobina. (Pista: Supongamos que el campo magnético es esencialmente uniforme dentro de los cilindros).

    (b) ¿Cuál es el voltaje a través de cada bobina en términos de\(i_1\) y\(i_{2}\)?

    (c) Si las bobinas están conectadas en serie de manera que\(i_1=i_2\) con los flujos de cada bobina en la misma dirección, ¿cuál es la autoinductancia total?

    (d) Repita (c) si la conexión en serie se invierte de manera que\(i_1=-i_2\) y los flujos debidos a cada bobina estén en direcciones opuestas.

    e) ¿Cuál es la autoinductancia total si las bobinas están conectadas en paralelo de manera que\(v_1=v_2\) o\(v_1=-v_2\)?

    \(12\)

    El núcleo de hierro mostrado con permeabilidad infinita tiene tres huecos llenos de diferentes materiales permeables.

    12.jpg

    a) ¿Cuál es el circuito magnético equivalente?

    (b) Encontrar el flujo magnético en todas partes en términos de las reluctancias de brecha.

    (c) ¿Cuál es el flujo magnético total a través de cada devanado?

    d) ¿Cuál es la autoinductancia y la inductancia mutua de cada devanado?

    \(13\)

    Una carcasa cilíndrica de permeabilidad infinita, longitud\(l\) y radio interior rodea\(b\) coaxialmente a un cilindro sólido también con permeabilidad y longitud infinitas\(l\) pero con menor radio a para que haya un pequeño hueco\(g=b-a\). Una bobina de\(N_{1}\) giro que transporta una corriente\(I_{1}\) se coloca dentro de dos ranuras en la superficie interna del cilindro exterior.

    13.jpg

    a) ¿Cuál es el campo magnético en todas partes? Descuidar todas las variaciones radiales en el estrecho espacio de aire. (Pista: Considerar por separado\(0< \phi < \pi \) y\(\pi < \phi < 2\pi \).)

    (b) ¿Cuál es la autoinductancia de la bobina?

    (c) Una segunda bobina con\(N_{2}\) giros que transportan una corriente\(I_{2}\) se coloca en ranuras del cilindro interior que es libre de girar. Cuando el rotor está en ángulo\(\theta \) ¿cuál es el campo magnético total debido a las corrientes\(I_{1}\) y\(I_{2}\)? (Pista: Considerar por separado\(0< \phi < \theta \)\(\theta < \phi < \pi \),\(\pi < \phi < \pi +\theta \),, y\(\pi +\theta < \phi < 2\pi  \).)

    d) ¿Cuál es la autoinductancia y la inductancia mutua de la bobina\(2\) en función de\(\theta \)?

    (e) ¿Cuál es el par de torsión en la bobina del rotor?

    \(14\)

    (a) ¿Cuál es la relación de voltajes y corrientes de terminales para el transformador ideal de torsión impar que se muestra?

    (b) Se\(R_{L}\) coloca una resistencia a través del devanado secundario\(\left ( v_{2},i_{2} \right )\). ¿Cuál es la impedancia vista por el devanado primario?

    14.jpg
    \(15\)

    Una bobina de\(N\) giro se enrolla sobre un núcleo magnético infinitamente permeable. Un autotransformador se forma conectando un grifo de\(N'\) giros.

    15.jpg

    (a) ¿Cuáles son las\(\left ( i_{2}/i_{2} \right )\) relaciones de voltaje\(\left ( v_{2}/v_{2} \right )\) y corriente de los terminales?

    (b) Una resistencia de carga\(R_L\) está conectada a través de los terminales de la toma. ¿Cuál es la impedancia vista por los terminales de entrada?

    Sección 6-3

    \(16\)

    Un material conductor con densidad de corriente\(J_{x}\textbf{i}_{x}\) tiene dos especies de portadores de carga con respectivas movilidades\(\mu _{+}\)\(\mu _{-}\) y densidades numéricas\(n_{+}\) y\(n_{-}\). \(B_{0}\textbf{i}_{z}\)Se impone un campo magnético perpendicular al flujo de corriente.

    16.jpg

    (a) ¿Cuál es el voltaje Hall de circuito abierto? (Pista: La corriente transversal de cada portadora debe ser cero.)

    (b) ¿Cuál es la corriente Hall de cortocircuito?

    \(17\)

    Un cilindro de hierro hueco altamente conductor con permeabilidad\(\mu \) y radios internos y externos\(R_{1}\) y\(R_{2}\) es concéntrico a una corriente de línea de CC infinitamente larga (adaptada de L. V. Bewley, Flux Links e Inducción Electromagnética. Macmillan, Nueva York, 1952, pp. 71-77).

    17.jpg

    a) ¿Cuál es la densidad de flujo magnético en todas partes? Encuentra la fuerza electromotriz\((EMF)\) del bucle para cada uno de los siguientes casos.

    (b) Un circuito altamente conductor\(abcd\) se mueve hacia abajo con velocidad constante\(V_{0}\) haciendo contacto con las superficies de los cilindros a través de cepillos deslizantes. El circuito se completa desde\(c\) hasta\(d\) vía el cilindro de hierro.

    (c) Ahora el circuito permanece estacionario y el cilindro de hierro se mueve hacia arriba a velocidad\(V_{0}\).

    (d) Ahora se corta una ranura axial delgada en el cilindro para que pueda deslizarse por el circuito completo\(abcd\), el cual permanece estacionario a medida que el cilindro se mueve hacia arriba a velocidad\(V_{0}\). Los cepillos se retiran y un cable altamente conductor completa la\(c-d\) trayectoria.

    \(18\)

    Un cilindro magnetizado permanentemente muy largo\(M_{0}\textbf{i}_{z}\) gira sobre un eje a velocidad angular constante\(\omega \). Las superficies interior y exterior en\(\textrm{r}=a\) y\(\textrm{r}=b\) son perfectamente conductoras, de modo que los cepillos pueden hacer contacto eléctrico.

    18.jpg

    (a) Si se asume que el cilindro es muy largo en comparación con su radio, ¿cuáles son los valores aproximados de\(\textbf{B}\) y\(\textbf{H}\) en el imán?

    (b) ¿Cuál es el voltaje de circuito abierto?

    (c) Si el imán tiene una conductividad óhmica\(\sigma \), ¿cuál es el circuito equivalente de este generador?

    (d) ¿Qué par se requiere para girar el imán si los terminales están cortocircuitados?

    \(19\)

    Una rueda de un solo radio tiene una llanta de corte perfectamente conductora. El radio tiene conductividad óhmica\(\sigma \) y área de sección transversal\(A\). La rueda gira a velocidad angular constante\(\omega _{0}\) en un campo magnético sinusoidalmente variable\(B_{z}=B_{0}\cos \omega t\).

    (a) ¿Cuál es el voltaje de circuito abierto y la corriente de cortocircuito?

    b) ¿Cuál es el circuito equivalente?

    19.jpg
    \(20\)

    Una\(\textrm{MHD}\) máquina se coloca dentro de un circuito magnético.

    20.jpg

    (a)\(i_{f}=I_{0}\) Se aplica una corriente continua constante a la bobina de\(N\) giro. ¿Cuánta potencia se entrega a la resistencia de carga\(R_L\)?

    (b) La\(\textrm{MHD}\) máquina y la resistencia de carga ahora\(R_L\) están conectados en serie con la bobina de\(N\) giro que tiene una resistencia\(R_f\). No se aplica corriente. ¿Para qué velocidad de flujo mínima puede ser autoexcitada la\(\textrm{MHD}\) máquina?

    \(21\)

    El devanado de campo de un generador homopolar está conectado en serie con los terminales del rotor a través de un condensador\(C\). El rotor se gira a velocidad constante\(\omega \).

    (a) ¿Para qué valor mínimo de velocidad del rotor se autoexcita el sistema?

    b) Para la condición autoexcitada de (a) ¿qué rango de valores de\(C\) resultará en autoexcitación dc o en autoexcitación ac?

    (c) ¿Cuál es la frecuencia de la autoexcitación ac?

    21.jpg

    Sección 6-4

    \(22\)

    Un bloque óhmico separa dos placas paralelas perfectamente conductoras. Una corriente de CC que se ha aplicado durante mucho tiempo se apaga instantáneamente en\(t =0\).

    22.jpg

    a) ¿Cuáles son las distribuciones de campo magnético inicial y final? ¿Cuáles son las condiciones de contorno?

    b) ¿Cuáles son las distribuciones transitorias del campo magnético y de la corriente?

    c) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque en función del tiempo?

    \(23\)

    Un bloque de material óhmico se coloca dentro de un circuito magnético. Se aplica una corriente\(I_{0}\) de paso en\(t =0\).

    23.jpg

    a) ¿Cuál es la solución en estado estacionario de CC para la distribución del campo magnético?

    b) ¿Cuáles son los límites y las condiciones iniciales para el campo magnético en el bloque conductor?

    c) ¿Cuáles son las distribuciones transitorias de campo y corriente?

    d) ¿Cuál es la dependencia temporal de la fuerza sobre el conductor?

    (e) La corriente ha estado encendida mucho tiempo de manera que el sistema se encuentra en el estado estacionario de cc que se encuentra en (a) cuando a\(t = T\) la corriente se apaga instantáneamente. ¿Cuáles son las distribuciones transitorias de campo y corriente en el conductor?

    (f) Si la corriente de bobina aplicada varía sinusoidalmente con el tiempo como\(i\left ( t \right )=I_{0}\cos \omega t\), ¿cuáles son las distribuciones sinusoidales del campo de estado estacionario y de la corriente? (Pista: Deja tu respuesta en términos de amplitudes complejas.)

    g) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque?

    \(24\)

    Un bloque conductor semiinfinito se coloca entre conductores perfectos paralelos. Se aplica una fuente de corriente sinusoidal.

    24.jpg

    a) ¿Cuáles son las distribuciones de campo magnético y corriente dentro del bloque conductor?

    b) ¿Cuál es la fuerza total sobre el bloque?

    (c) Repetir (a) y (b) si el bloque tiene longitud\(d\).

    \(25\)

    Una lámina de corriente que se enciende a\(t =0\) una distancia\(d\) por encima de un conductor de espesor\(D\) y conductividad\(\sigma \). El conductor se encuentra en la parte superior de un plano perfectamente conductor.

    25.jpg

    a) ¿Cuáles son las soluciones iniciales y de estado estacionario? ¿Cuáles son las condiciones de contorno?

    b) ¿Cuáles son las distribuciones transitorias del campo magnético y de la corriente?

    (c) Después de mucho tiempo\(T\), para que el sistema haya alcanzado el estado estacionario de cc, la corriente superficial se establece en cero. ¿Cuáles son las distribuciones posteriores de campo y actuales?

    d) ¿Cuáles son las distribuciones de campo y corriente si la hoja actual varía como\(K_{0}\cos \omega t\)?

    \(26\)

    Corrientes de CC distribuidas en\(x =0\) y\(x = l\) fluyen a través de un fluido conductor que se mueve a velocidad constante\(v_{0}\textbf{i}_{x}\).

    26.jpg

    a) ¿Cuáles son las distribuciones de campo magnético y corriente?

    b) ¿Cuál es la fuerza sobre el fluido?

    \(27\)

    Una corriente superficial sinusoidal\(x =0\) fluye a lo largo de electrodos paralelos y regresa a través de un fluido conductor que se mueve hacia la derecha con velocidad constante\(v_{0}\textbf{i}_{x}\). El flujo no se ve obstaculizado por la fuente de corriente. El sistema se extiende a\(x=\infty \).

    27.jpg

    a) ¿Cuáles son las distribuciones de campo magnético y densidad de corriente?

    b) ¿Cuál es la fuerza promedio en el tiempo sobre el fluido?

    \(28\)

    La corriente superficial para la máquina de inducción lineal tratada en la Sección 6-4-6 ahora se pone a una distancia\(s\) por debajo del conductor.

    a) ¿Cuáles son las distribuciones de campo magnético y corriente en cada región del espacio? (Pista: Verifique su respuesta con la Sección 6-4-6 cuando\(s=0\).)

    (b) Repita (a) si\(s\) se establece en cero pero el conductor tiene un espesor finito\(d\).

    \(29\)

    Un bloque superconductor con frecuencia de plasma\(\omega_{p}\), se coloca dentro de un circuito magnético con corriente excitante\(I_{0}\cos \omega t\).

    29.jpg

    a) ¿Cuáles son las distribuciones de campo magnético y corriente en el superconductor?

    b) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque?

    Sección 6.5

    \(30\)

    Encuentre la energía magnética almacenada y la autoinductancia para la geometría de abajo donde la corriente en cada caparazón se distribuye uniformemente.

    30.jpg
    \(31\)

    Encuentre la autoinductancia externa de las dos líneas de cable que se muestran. (Pista: Ver Sección 2-6-4c.)

    31.jpg
    \(32\)

    Un cable coaxial con conductor interno sólido es excitado por una corriente sinusoidalmente variable\(I_{0}\cos \omega t\) a una frecuencia lo suficientemente alta para que la profundidad de la piel sea pequeña en comparación con el radio\(a\). La corriente ahora está distribuida de manera no uniforme sobre el conductor interno.

    32.jpg

    (a) Suponiendo que\(\textbf{H}=H_{\phi }\left ( \textrm{r} \right )\textbf{i}_{\phi }\), ¿cuál es la ecuación gobernante para\(H_{\phi }\left ( \textrm{r} \right )\) dentro del cilindro interior? (Pista:\(\nabla^{2}\textbf{H}=\nabla\left ( \nabla \underset{\nearrow \quad }{\overset{\qquad 0}{\overset{\quad \nearrow}{\cdot}}} \textbf{H} \right )-\nabla\times \left ( \nabla\times \textbf{H} \right )\))

    b) Resolver (a) para soluciones de la forma

    \(H_{\phi }\left ( \textrm{r} \right )=\textrm{Re}\left [ \hat{H}_{\phi }\left ( \textrm{r} \right )e^{j\omega t} \right ]\)

    Pista: La ecuación de Bessel es

    \(x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{dy}{dx}+\left ( x^{2}-p^{2} \right )y=0\)

    con soluciones

    \(y=A_{1}J_{p}\left ( x \right )+A_{2}Y_{p}\left ( x \right )\)

    donde\(Y_{p}\) es singular en\(x=0\).

    c) ¿Cuál es la distribución actual? Pista:

    \(\frac{d}{dx}\left [ J_{1}\left ( x \right ) \right ]+\frac{1}{x} J_{1}\left ( x \right )=J_{0}\left ( x \right )\)

    Sección 6-6

    \(33\)

    Un motor de reluctancia se realiza colocando un material de alta permeabilidad, que es libre de rotar, en el entrehierro de un circuito magnético excitado por una corriente sinusoidal\(I_{0}\cos \omega _{0}t\).

    33.jpg

    La inductancia del circuito varía como

    \(L\left ( \theta  \right )=L_{0}+L_{1}\cos 2\theta \)

    donde la inductancia máxima\(L_{0}+L_{1}\) ocurre cuando\(\theta =0\) o\(0=\pi \) y la inductancia mínima\(L_{0}-L_{1}\) ocurre cuando\(0=\pm \pi /2\)

    (a) ¿Cuál es el par de torsión en la losa en función del ángulo\(\theta\)?

    (b) El rotor gira a velocidad constante\(\omega \), donde\(\theta =\omega t+\delta \) y\(\delta \) es el ángulo del rotor en\(t = 0\). ¿A qué valor de\(\omega \) tiene el par un promedio de tiempo distinto de cero? El motor de reluctancia es entonces una máquina síncrona. Pista:

    \ (\ begin {align}\ cos ^ {2}\ omega _ {0} t\ sin 2\ theta &=\ frac {1} {2}\ left [\ sin 2\ theta +\ cos 2\ omega _ {0} t\ sin 2\ theta\ derecha]\ nonumber\\ &
    =\ frac {1} {2}\ izquierda\ {\ sin 2\ theta+\ frac {1} {2}\ izquierda [\ sin 2\ izquierda (\ omega _ {0} t+\ theta\ derecha) +\ sin 2\ izquierda (\ theta -\ omega _ {0} t\ derecha)\ derecha] \ derecha\}\ fin {alinear}\)

    (c) ¿Cuál es el par máximo que puede entregar el eje y en\(\delta \) qué ángulo se produce?

    \(34\)

    Un sistema de dos bobinas acopladas tiene las siguientes relaciones flujo-corriente:

    \ (\ Phi _ {1} =L_ {1}\ izquierda (\ theta\ derecha) i_ {1} +M\ izquierda (\ theta\ derecha) i_ {2}\
    \ Phi _ {2} =M\ izquierda (\ theta\ derecha) i_ {1} +L_ {2}\ izquierda (\ theta\ derecha) i_ {2}\)

    34.jpg

    a) ¿Cuál es la potencia\(p\) entregada a las bobinas?

    (b) Escribir este poder en la forma

    \(p=\frac{dW}{dt}+T\frac{d\theta }{dt}\)

    ¿Qué son\(W\) y\(T\)?

    (c) Una pequeña bobina es libre de girar en el campo magnético uniforme producido por otra bobina. La relación flujo-corriente es

    \ (\ Phi _ {1} =L_ {1} i_ {1} +M_ {0} i_ {2}\ sin\ theta\
    \ Phi _ {2} =M_ {0} i_ {1}\ sin\ theta +L_ {2} i_ {2}\)

    Las bobinas están excitadas por corrientes de CC\(I_{1}\) y\(I_{2}\). ¿Cuál es el par de torsión en la bobina pequeña?

    (d) Si la bobina pequeña tiene conductividad\(\sigma \), área de sección transversal\(A\)\(l\), longitud total y está cortocircuitada, ¿qué ecuación diferencial debe\(i_{1}\) obedecer la corriente si\(\theta \) es función del tiempo? Se impone una corriente\(I_{2}\) continua en la bobina\(2\).

    e) La bobina pequeña tiene momento de inercia\(J\). Considera solo pequeños movimientos alrededor\(\theta =0\) para que\(\cos \theta \approx 1\). Con las ecuaciones de par y corriente linealizadas, pruebe soluciones exponenciales de la forma\(e^{st}\) y resuelva para las frecuencias naturales.

    (f) La bobina se libera del reposo en\(\theta =\theta _{0}\). ¿Qué es\(\theta \left ( t \right )\) y\(i_{1}\left ( t \right )\)? ¿Bajo qué condiciones son las soluciones oscilatorias? ¿Amortiguado?

    \(35\)

    Un cable coaxial tiene su extremo cortocircuitado libre para moverse.

    35.jpg

    a) ¿Cuál es la inductancia del cable en función de\(x\)?

    b) ¿Cuál es la fuerza al final?

    \(36\)

    Para las siguientes geometrías, encuentra:

    a) La inductancia;

    b) La fuerza sobre el miembro movible.

    36.jpg
    \(37\)

    Un cilindro coaxial se sumerge en un fluido magnetizable con permeabilidad\(\mu \) y densidad de masa\(\rho _{m}\). ¿Qué tan alto\(h\) sube el fluido dentro del cilindro?

    37.jpg


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