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8.1: Las ecuaciones de la línea de transmisión

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    86926
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La línea de transmisión de placa paralela

    Las propiedades generales de las líneas de transmisión se ilustran en la Figura 8-1 mediante los electrodos de placa paralelos a una pequeña distancia d que encierran medios lineales con permitividad\(\varepsilon \) y permeabilidad\(\mu \). Debido a que este espaciado\( d\) es mucho menor que el ancho\(w\) o la longitud\(l\), descuidamos los efectos de campo de franjas y asumimos que los campos solo dependen de la\( z\) coordenada.

    Los electrodos perfectamente conductores imponen las condiciones límite:

    (i) El componente tangencial de\(\textbf{E}\) es cero.
    (ii) El componente normal de\(\textbf{B}\) (y por lo tanto\(\textbf{H}\) en el medio lineal) es cero.

    Con estas restricciones y el descuido de los flecos cerca de los bordes del electrodo, los campos no pueden depender de\(x\) o\(y\) y por lo tanto son de la siguiente forma:

    \ [\ textbf {E} =E_ {x}\ izquierda (z, t\ derecha)\ textbf {i} _x\
    \ textbf {H} =H_ {y}\ izquierda (z, t\ derecha)\ textbf {i} _y\ nonumber\]

    que cuando se sustituye en las ecuaciones de Maxwell rinden

    1.jpg
    Figura 8-1 La línea de transmisión más simple consiste en dos placas paralelas perfectamente conductoras a una pequeña distancia de\(d\) separación.

    \[\nabla \times \textbf{E}=-\mu \frac{\partial \textbf{H}}{\partial t}\Rightarrow \frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-\mu \frac{\partial H_{y}}{\partial t}\\\nabla \times \textbf{H}=\varepsilon  \frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}\Rightarrow \frac{\partial H_{y}}{\partial z}=-\varepsilon \frac{\partial E_{x}}{\partial t} \nonumber \]

    Reconocemos estas ecuaciones como las mismas desarrolladas para ondas planas en la Sección 7-3-1. Las soluciones de olas que allí se encuentran también son válidas aquí. Sin embargo, ahora es más conveniente introducir las variables de circuito de voltaje y corriente a lo largo de la línea de transmisión, que dependerán de\(z\) y\(t\).

    Las leyes de voltaje y corriente de Kirchoff no se mantendrán a lo largo de la línea de transmisión ya que el campo eléctrico en (2) tiene un rizo distinto de cero y la corriente a lo largo de los electrodos tendrá una divergencia debido a la distribución de carga superficial variable en el tiempo,\(\sigma _{f}=\pm \varepsilon E_{x}\left ( z,t \right )\). Debido a que\(\textbf{E}\) tiene un rizo, la diferencia de voltaje medida entre dos puntos cualesquiera no es única, como se ilustra en la Figura 8-2, donde vemos flujo magnético variable en el tiempo que pasa por el contorno\(L_{1}\). Sin embargo, ningún flujo magnético pasa a través de la trayectoria\(L_{2}\), donde se mide la diferencia de potencial entre los dos electrodos al mismo valor de\(z\), ya que el flujo magnético es paralelo a la superficie. Por lo tanto, el voltaje puede definirse de manera única entre los dos electrodos al mismo valor de\(z\):

    \[v\left ( z,t \right )=\underset{\textrm{z=const}}{\int_{1}^{2}}\textbf{E}\cdot \textbf{dl}=E_{x}\left ( z,t \right )d \nonumber \]

    2.jpg
    Figura 8-2 La diferencia de potencial medida entre dos puntos arbitrarios cualesquiera en diferentes posiciones\(z_{1}\) y\(z_{2}\) en la línea de transmisión no es única -la línea integral\(L_{1}\) L, del campo eléctrico es distinta de cero ya que el contorno tiene flujo magnético que pasa a través de él. Si el contorno\(L_{2}\) se encuentra dentro de un plano de constante\(z\) como at\(z_{3}\), ningún flujo magnético pasa a través de él de manera que la diferencia de voltaje entre los dos electrodos al mismo valor de\(z\) es única.

    De manera similar, el componente tangencial de\(\textbf{H}\) es discontinuo en cada placa por una corriente superficial\(\pm \textbf{K}\). Por lo tanto, la corriente total\(i\left ( z,t \right )\) que fluye en la\(z\) dirección en la placa inferior es

    \[i\left ( z,t \right )=K_{z}w=H_{y}w \nonumber \]

    Sustituir (3) y (4) de nuevo en (2) da como resultado las ecuaciones de línea de transmisión:

    \[\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t} \nonumber \]

    donde\(L\) y\(C\) son la inductancia y capacitancia por unidad de longitud de la estructura de placa paralela:

    \[L=\frac{\mu d}{w}\,\textrm{henry/m}\quad C=\frac{\varepsilon w}{d}\,\textrm{farad/m} \nonumber \]

    Si ambas cantidades se multiplican por la longitud de la línea\(l\), se obtiene la inductancia de un bucle plano de una sola vuelta si la línea estuviera cortocircuitada, y la capacitancia de un condensador de placa paralela si la línea estuviera en circuito abierto.

    No es casualidad que el\(LC\) producto

    \[LC=\varepsilon \mu =1/c^{2} \nonumber \]

    está relacionado con la velocidad de la luz en el medio.

    Estructuras generales de líneas de transmisión

    Las ecuaciones de línea de transmisión de (5) son válidas para cualquier estructura de dos conductores de forma arbitraria en el\(xy\) plano transversal pero cuya área de sección transversal no cambie a lo largo de su eje en la\(z\) dirección. \(L\)y\(C\) son la inductancia y capacitancia por unidad de longitud como se calcularía en los límites cuasiestáticos. Varios tipos simples de líneas de transmisión se muestran en la Figura 8-3. Tenga en cuenta que, en general, las ecuaciones de campo de (2) deben extenderse para permitir\(x\) y\(y\) componentes pero aún no\(z\) componentes:

    \ [\ textbf {E} =\ textbf {E} _ _ {T}\ izquierda (x, y, z, t\ derecha) =E_ {x}\ textbf {i} _ {x} +E_ {y}\ textbf {i} _ {y},\ quad e_z=0\
    \ textbf {H} =\ textbf {H} _ T}\ izquierda (x, y, z, t\ derecha) =H_ {x}\ textbf {i} _ {x} +H_ {y}\ textbf {i} _ {y},\ quad H_z=0\ nonumber\]

    Utilizamos el subíndice\(T\) en (8) para recordarnos que los campos se encuentran puramente en el\(xy\) plano transversal. Entonces también podemos distinguir entre las derivadas espaciales a lo largo\(\left ( \partial/\partial z\right )\) del\(z\) eje de las del plano transversal\(\left ( \partial/\partial x, \partial/\partial y\right ) \):

    \[\nabla\underbrace{=\nabla_{T}}_{\textbf{i}_{x}\frac{\partial }{\partial x}+\textbf{i}_{y}\frac{\partial }{\partial y}}+\textbf{i}_{z}\frac{\partial }{\partial z} \nonumber \]

    Entonces podemos escribir las ecuaciones de Maxwell como

    \ [\ begin {align}\ nabla_t\ times\ textbf {E} _ {T} +\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ z}\ left (\ textbf {i} _ {z}\ veces\ textbf {E} _ {T}\ derecha) &=-\ mu\ frac {\ parcial\ textbf {H} _ {T}} {parcial\ t}\ nonumber\
    \ nAbla_t\ veces\ textbf {H} _ {T} +\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ z}\ izquierda (\ textbf {i} _ {z}\ veces\ textbf {H} _ _ {T}\ derecha) &=-\ varepsilon\ frac {\ parcial\ textbf {E} _ _ {T}} {\ t parcial}\ nonumber\\
    \ nabla_t\ cdot\ textbf {E} _ _ {T} &=0\ nonumber\
    \ nAbla_t\ cdot\ textbf {H} _ _ {T} &=0\ end {align} nonumber\]

    Se aplican las siguientes propiedades vectoriales para los términos en (10):

    1. \(\nabla_T\times \textbf{H}_{T}\)y\(\nabla_T\times \textbf{E}_{T}\) mentir puramente en la\(z\) dirección.
    2. \(\textbf{i}_{z}\times \textbf{E}_{T}\)y\(\textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T}\) se encuentran puramente en el\(xy\) plano.
    3.jpg
    Figura 8-3 Varios tipos de líneas de transmisión simples.

    Por lo tanto, las ecuaciones en (10) pueden separarse equiparando los componentes del vector:

    \ begin {align}
    \ nabla_t\ times\ textbf {E} _ _ {T} &=0,\ quad\ nabla_t\ veces\ textbf {H} _ {T} =0\ nonumber\
    \ nAbla_t\ cdot\ textbf {E} _ _ {T} &=0,\ quad\ nabla_t\ cdot\ textbf {H} _ {T} =0\\
    \ frac {\ parcial} {\ z parcial}\ izquierda (\ textbf {i} _ {z}\ veces\ textbf {E} _ _ {T}\ derecha) &=-\ mu \ frac {\ parcial\ textbf {H} _ _ {T}} {\ parcial t}\ fila derecha\ frac {\ parcial\ textbf {E} _ _ {T}} {\ parcial z} =\ mu\ frac {\ parcial} {\ parcial} {t parcial}\ izquierda (\ textbf {i} _ _ {z}\ veces\ textbf {H} _ {T} derecha)\ nonumber\
    \ frac {\ parcial} {\ z parcial}\ izquierda (\ textbf {i} _ {z}\ veces\ textbf {H} _ _ {T}\ derecha) &=\ varepsilon\ frac { \ parcial\ textbf {E} _ _ {T}} {\ t parcial}
    \ final {alinear}

    donde las igualdades de la ley de Faraday se obtienen cruzando con\( \textbf{i}_{z}\), y ampliando el producto de doble cruz

    \[\textbf{i}_{z}\times \left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{E}_{T} \right )= \textbf{i}_{z}\left ( \textbf{i}_{z} \underset{\nearrow \quad }{\overset{\qquad 0}{\overset{\quad \nearrow}{\cdot}}} \textbf{E}_{T} \right ) -\textbf{E}_{T}\left ( \textbf{i}_{z}\cdot \textbf{i}_{z} \right )=-\textbf{E}_{T}  \nonumber \]

    y recordando eso\(\textbf{i}_{z}\cdot \textbf{E}_{T}\).

    El conjunto de ecuaciones en (11) nos dice que las dependencias de campo de las coordenadas transversales son las mismas que si el sistema estuviera estático y libre de fuentes. Así, todas las herramientas desarrolladas para resolver soluciones de campo estático, incluyendo las ecuaciones bidimensionales de Laplace y el método de imágenes, pueden ser utilizadas para resolver para\(\textbf{E}_{T}\) y\(\textbf{H}_{T}\) en el\(xy\) plano transversal.

    Necesitamos relacionar los campos con el voltaje y la corriente definidos como una función de\(z\) y\(t\) para la línea de transmisión de forma arbitraria mostrada en la Figura 8-4 como

    \ [v\ izquierda (z, t\ derecha) =\ underset {\ textrm {z=const}} {\ int_ {1} ^ {2}}\ textbf {E} _ _ {T}\ cdot\ textbf {dl}\\
    i\ izquierda (z, t\ derecha) =\ oint_ {\ textrm {contorno}\, L\
    \ textrm {a constante}\, z\\
    \ textrm {encerrando el}\\
    \ textrm {conductor interno}}\ textbf {H} _ _ {T}\ cdot\ textbf {dl}\ nonumber\]

    Las cantidades relacionadas de carga por unidad de longitud\(\) q y flujo por unidad de longitud\(\) A a lo largo de la línea de transmisión son

    \ [q\ izquierda (z, t\ derecha) =\ varepsilon\ underset {\ textrm {z=const}} {\ oint_ {L}}\ textbf {E} _ _ {T}\ cdot\ textbf {n}\, dS\\ lambda
    \ izquierda (z, t\ derecha) =\ mu\ underset {\ textrm {z=conconst}} {\ int_ {1} ^ {2}}\ textbf {H} _ _ {T}\ cdot\ cdot\ izquierda (\ textbf {i} _ _ {z}\ veces\ textbf {dl}\ derecha)\ nonumber\]

    La capacitancia e inductancia por unidad de longitud se definen entonces como las relaciones:

    \ [C=\ frac {q\ izquierda (z, t\ derecha)} {v\ izquierda (z, t\ derecha)} =\ frac {\ varepsilon\ oint_ {L}\ textbf {E} _ _ {T}\ cdot\ textbf {dS}} {\ int_ {1} ^ {2}\ textbf {H} _ _ {T}\ cpunto\ textbf {dl}}\ Big|_ {\ textrm {z=const}}\\
    L=\ frac {\ lambda\ izquierda (z, t\ derecha)} {i\ izquierda (z, t\ derecha)} =\ frac {\ mu\ int_ {1} ^ {2}\ textbf {H} _ _ {T}\ cdot\ izquierda (\ textbf {i} _ {z}\ veces\ textbf {dl}\ derecha)} {\ oint_ {L}\ textbf {H} _ _ {T}\ cdot\ textbf {dS}}\ Big|_ {\ textrm {z=const}}\ nonumber\]

    4.jpg
    Figura 8-4 Una línea de transmisión general tiene dos conductores perfectos cuya área de sección transversal no cambia en la dirección a lo largo de su\(z\) eje, pero cuya forma en el\(xy\) plano transversal es arbitraria. Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares, se encuentran en el\(xy\) plano transversal, y tienen la misma dependencia\(x\) y\(y\) como si los campos fueran estáticos.

    que son constantes ya que la geometría de la línea de transmisión no varía con\(z\). Aunque los campos cambian con\(z\), las proporciones en (16) no dependen de las amplitudes de campo.

    Para obtener las ecuaciones generales de línea de transmisión, punteamos la ecuación superior en (12) con\(\textbf{dl}\), la cual se puede traer dentro de las derivadas ya que\(\textbf{dl}\) solo varía con\(x\)\(y\) y no\(z\) o\(t\). Luego integramos la ecuación resultante sobre una línea en constante\(z\) uniendo los dos electrodos:

    \[\begin{align}\frac{\partial }{\partial z} \left ( \int_{1}^{2}\textbf{E}_{T}\cdot \textbf{dl} \right )&=\frac{\partial }{\partial t}\left ( \mu \int_{1}^{2}\left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )\cdot \textbf{dl} \right )\nonumber \\ &=-\frac{\partial }{\partial t}\left ( \mu \int_{1}^{2} \textbf{H}_{T}\times \left (\textbf{i}_{z} \cdot \textbf{dl}\right ) \right )\end{align}  \nonumber \]

    donde se obtiene la última igualdad usando el triple producto escalar permitiendo el intercambio del punto y la cruz:

    \[\left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )\cdot \textbf{dl}=-\left ( \textbf{H}_{T}\times \textbf{i}_{z} \right )\cdot \textbf{dl}=-\textbf{H}_{T} \cdot \left ( \textbf{i}_{z}\times\textbf{dl} \right )  \nonumber \]

    Reconocemos el lado izquierdo de (17) como la\(z\) derivada de la tensión definida en (14), mientras que el lado derecho es la derivada negativa del tiempo del flujo por unidad de longitud definida en (15):

    \[\frac{\partial v}{\partial z} =-\frac{\partial \lambda }{\partial t} =-L\frac{\partial i}{\partial t}  \nonumber \]

    También podríamos haber derivado esta última relación punteando la ecuación superior en (12) con la normal\(\textbf{n}\) al conductor interno y luego integrando sobre el contorno\(L\) que rodea al conductor interno:

    \[\frac{\partial }{\partial z} \left ( \oint _L \textbf{n}\cdot \textbf{E}_{T}ds \right )=\frac{\partial }{\partial t}\left ( \mu \oint _L \textbf{n}\cdot \left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )ds \right )=-\frac{\partial }{\partial t}\left ( \mu \oint _L \textbf{H}_{T}\cdot \textbf{ds} \right )  \nonumber \]

    donde nuevamente se obtuvo la última igualdad intercambiando el punto y la cruz en la identidad de producto triple escalar:

    \[\textbf{n}\cdot \left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )=\left ( \textbf{n}\times \textbf{i}_{z}\right )\cdot  \textbf{H}_{T} =-\textbf{H}_{T}\cdot \textbf{ds} \nonumber \]

    El lado izquierdo de (20) es proporcional a la carga por unidad de longitud definida en (15), mientras que el lado derecho es proporcional a la corriente definida en (14):

    \[\frac{1}{\varepsilon }\frac{\partial q}{\partial z}=-\mu \frac{\partial i}{\partial t}\Rightarrow C\frac{\partial v}{\partial z}=-\varepsilon \mu \frac{\partial i}{\partial t} \nonumber \]

    Dado que (19) y (22) deben ser idénticos, obtenemos el resultado general obtenido previamente en la Sección 6-5-6 de que la inductancia y capacitancia por unidad de longitud de cualquier línea de transmisión de forma arbitraria se relacionan como

    \[LC=\varepsilon \mu  \nonumber \]

    Obtenemos la segunda ecuación de línea de transmisión punteando la ecuación inferior en (12) con\(\textbf{dl}\) e integrando entre electrodos:

    \[\frac{\partial }{\partial t} \left ( \varepsilon \int_{1}^{2} \textbf{E}_{T}\cdot \textbf{dl} \right )=\frac{\partial }{\partial z}\left (\int_{1}^{2}\left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )\cdot \textbf{dl} \right )=-\frac{\partial }{\partial z}\left (\int_{1}^{2} \textbf{H}_{T}\cdot\left ( \textbf{i}_z \times \textbf{dl}\right )\right ) \nonumber \]

    para rendir de (14) - (16) y (23)

    \[\varepsilon \frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{1}{\mu }\frac{\partial \lambda }{\partial z}=-\frac{L}{\mu }\frac{\partial i}{\partial z}\Rightarrow \frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t} \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\) EXAMPLE 8-1 THE COAXIAL TRANSMISSION LINE

    Considere la línea de transmisión coaxial que se muestra en la Figura 8-3 compuesta por dos cilindros concéntricos de radios perfectamente conductores\(a\) y que\(b\) encierran un medio lineal con permitividad\(\varepsilon \) y permeabilidad\(\mu \). Resolvemos la dependencia transversal de los campos como si el problema fuera estático, independiente del tiempo. Si la diferencia de voltaje entre cilindros es\(v\) con el cilindro interior llevando una corriente total,\(i\) los campos estáticos son

    \(E_{r}=\frac{v}{\textrm{r}\ln \left ( b/a \right )},\quad H_{\phi }=\frac{i}{2\pi \textrm{r}}\)

    La carga superficial por unidad de longitud\(q\) y el flujo magnético por unidad de longitud\(\lambda \) son

    \ (q=\ varepsilon E_ {r}\ izquierda (\ textrm {r} =a\ derecha) 2\ pi a=\ frac {2\ pi\ varepsilon v} {\ ln\ izquierda (b/a\ derecha)}\
    \ lambda =\ int_ {a} ^ {b}\ mu H_ {\ phi} d\ textrm {r}\ frac {\ mu i} {2\ pi}\ ln\ frac {b} {a}\)

    de modo que la capacitancia e inductancia por unidad de longitud de esta estructura son

    \(C=\frac{q}{v}=\frac{2\pi \varepsilon}{\ln \left ( b/a \right )},\quad L=\frac{\lambda }{i}=\frac{\mu }{2\pi }\ln \frac{b}{a}\)

    donde observamos que según sea necesario

    \(LC=\varepsilon \mu \)

    Sustituyendo\(E_r\) y\(H_{\phi }\) en (12) produce las siguientes ecuaciones de línea de transmisión:

    \ (\ frac {\ parcial E_ {r}} {\ z parcial} =-\ mu\ frac {\ parcial H_ {\ phi}} {\ parcial t}\ Rightarrow\ frac {\ parcial v} {\ parcial z} =-L\ frac {\ parcial i} {\ t parcial}\
    \ frac {\ parcial H_ {\ phi}} {\ z parcial} =-\ varepsilon\ frac {\ parcial E_ {r}} {\ parcial t}\ Rightarrow\ frac {\ parcial i} {\ parcial z} =-C\ frac {\ v parcial} {\ t parcial}\)

    Representación de circuitos distribuidos

    Hasta ahora hemos enfatizado el punto de vista de la teoría de campo a partir del cual hemos derivado relaciones para el voltaje y la corriente. Sin embargo, también podemos derivar fácilmente las ecuaciones de línea de transmisión utilizando un circuito equivalente distribuido derivado de los siguientes criterios:

    1. El flujo de corriente a través de un medio sin pérdidas entre dos conductores es completamente por corriente de desplazamiento, exactamente de la misma manera que un condensador.
    2. El flujo de corriente a lo largo de electrodos sin pérdidas genera un campo magnético como en un inductor.

    Por lo tanto, podemos discretizar la línea de transmisión en muchas pequeñas secciones incrementales de longitud\(\Delta z\) con inductancia en serie\(L\,\Delta z\) y capacitancia de derivación\(C\,\Delta z\), donde\(L\) y\(C\) son la inductancia y capacitancia por unidad de longitudes. También podemos tomar en cuenta la resistencia en serie pequeña de los electrodos\(R\,\Delta z\), donde\(R\) está la resistencia por unidad de longitud (ohmios por metro) y la pérdida de conductancia de derivación en el dieléctrico\(\) G Az, donde\(\) G es la conductancia por unidad de longitud (siemens por metro). Si la línea de transmisión y el dieléctrico son sin pérdidas,\ R =0 (\),\(G =0\).

    El circuito equivalente resultante para una línea de transmisión con pérdidas que se muestra en la Figura 8-5 muestra que la corriente en\(z+\Delta z\) y\(z\) difiere por la cantidad que fluye a través de la capacitancia y conductancia de derivación:

    \[i\left ( z,t \right )-i\left ( z+\Delta z,t \right )=C\Delta z\frac{\partial v\left ( z,t \right )}{\partial t}+G\Delta z\,v\left ( z,t \right ) \nonumber \]

    De manera similar, la diferencia de voltaje en\(z+\Delta z\) from\(z\) se debe a la caída a través del inductor y la resistencia en serie:

    \[v\left ( z,t \right )-v\left ( z+\Delta z,t \right )=L\Delta z\frac{\partial i\left ( z+\Delta z,t \right )}{\partial t}+i\left ( z+\Delta z,t \right )R\,\Delta z \nonumber \]

    Dividiendo (26) y (27) por\(\Delta z\) y tomando el límite como\(\Delta z\rightarrow 0\), obtenemos las ecuaciones de línea de transmisión con pérdida:

    \ [\ lim_ {\ Delta z\ fila derecha 0}\ frac {i\ izquierda (z+\ Delta z, t\ derecha) -i\ izquierda (z, t\ derecha)} {\ Delta z} =\ frac {\ parcial i} {\ z parcial} =-C\ frac {\ v parcial} {\ t parcial} -Gv\
    \ lim_ {\ Delta z\ fila derecha 0}\ frac {v\ izquierda (z+\ Delta z, t\ derecha) -v\ izquierda (z, t\ derecha)} {\ Delta z} =\ frac {\ v parcial} {\ z parcial} =-L\ frac {\ parcial i} {\ t parcial} -iR\ nonumber\]

    que reducen a (19) y (25) cuando\(R\) y\(G\) son cero.

    Flujo de potencia

    Multiplicar la ecuación superior en (28) por\(v\) y la inferior por\(i\) y luego sumar produce la forma equivalente al circuito del teorema de Poynting:

    \[\frac{\partial }{\partial z}\left ( vi \right )=-\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{1}{2}Cv^{2}+\frac{1}{2}Li^{2} \right )-Gv^{2}-i^{2}R \nonumber \]

    5.jpg
    Figura 8-5 Modelo de circuito distribuido de una línea de transmisión que incluye pérdidas resistivas en serie pequeña y en derivación.

    El flujo de potencia\(vi\) se convierte en almacenamiento de energía\(\left ( \frac{1}{2}Cv^{2}+\frac{1}{2}Li^{2} \right )\) o se disipa en la resistencia y conductancia por unidad de longitudes.

    Desde el punto de vista de los campos, la potencia electromagnética total que fluye por la línea de transmisión en cualquier posición\(z\) es

    \[P\left ( z,t \right )=\int_{\textbf{S}}\left ( \textbf{E}_{T}\times \textbf{H}_{T} \right )\cdot \textbf{i}_{z}d\textrm{S}=\int_{\textbf{S}}\textbf{E}_{T}\cdot \left ( \textbf{H}_{T}\times \textbf{i}_{z}  \right )d\textrm{S} \nonumber \]

    donde\(\textrm{S}\) está la región entre electrodos en la Figura 8-4. Debido a que el campo eléctrico transversal está libre de rizos, podemos definir el potencial escalar

    \[\nabla \times \textbf{E}_{T}=0\Rightarrow \textbf{E}_{T}=-\nabla_{T}V \nonumber \]

    para que (30) pueda ser reescrito como

    \[P\left ( z,t \right )=\int_{\textbf{S}}\left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )\cdot \nabla_{T}Vd\textrm{S} \nonumber \]

    Es útil examinar la expansión del vector

    \[\nabla_{T}\cdot \left [ V\left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right ) \right ]=\left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )\cdot \nabla_{T}V+V\nabla_{T}\cdot \left ( \textbf{i}_{z} \underset{\nearrow \quad }{\overset{\qquad 0}{\overset{\quad \nearrow}{\times }}} \textbf{E}_{T} \right ) \nonumber \]

    donde el último término es cero porque\(\textbf{i}_{z}\) es un vector constante y también\(\textbf{H}_{T}\) está libre de rizo:

    \[\nabla_{T}\cdot \left ( \textbf{i}_{z}\times \textbf{H}_{T} \right )=\textbf{H}_{T}\cdot \left ( \nabla_{T}\times \textbf{i}_{z} \right )-\textbf{i}_{z}\cdot \left ( \nabla_{T}\times \textbf{H}_{T} \right )=0 \nonumber \]

    Entonces (32) se puede convertir en una integral de línea usando la forma bidimensional del teorema de divergencia:

    \ begin {align} P\ left (z, t\ right) & =\ int_ {\ textbf {S}}\ nabla_ {T}\ cdot\ left [V\ left (\ textbf {i} _ {z}\ times\ textbf {H} _ _ {T}\ derecha)\ derecha] d\ textrm {S}\ noner\\\ nümber\ &
    = underor establecer {\ textrm {contornos en}\\\ textrm {la superficie de}\\\ textrm {ambos electrodos}} {-\ int} V\ left (\ textbf {i} _ {z}\ veces\ textbf {H} _ {T}\ derecha)\ cdot\ textbf {n}\, ds\ end {align}

    donde la integral de línea se evalúa en constante a\(z\) lo largo de la superficie de ambos electrodos. El signo menos surge en (35) porque\(\textbf{n}\) se define hacia adentro en la Figura 8-4 en lugar de hacia afuera como es habitual en el teorema de la divergencia. Dado que somos libres de elegir nuestra referencia de potencial cero en cualquier lugar, tomamos el conductor externo para que esté en voltaje cero. Entonces la línea integral en (35) es solo distinta de cero sobre el conductor interno, donde\(V=v\):

    \ begin {align} P\ left (z, t\ right) &=\ underset {\ textrm {interior}\\ textrm {conductor}} {-v\ oint}\ left (\ textbf {i} _ {z}\ times\ textbf {H} _ _ {T}\ derecha)\ cdot\ textbf {n} ds\ nonumber\ &
    =\ underset {\ textrm {interior}\\\ textrm {conductor}} {v\ oint}\ izquierda (\ textbf {H} _ {T}\ veces\ textbf {i} _ _ {z}\ derecha)\ cdot\ textbf {n} ds\ nonumber\\ &
    =\ underset {\ textrm {interno}\\\ textrm {conductor}} {v\ oint}\ textbf {H} _ {T}\ cdot\ izquierda (\ textbf {i} _ {z}\ times\ textbf {n}\ derecha) ds\ nonumber\\ &
    = underset {\ textrm {interior}\\\ textrm {conductor}} {v\ oint}\ textbf {H} _ {T}\ textbf {dS}\ nonumber\\ &
    =vi\ end {align}

    donde nos dimos cuenta de que\(\left (\textbf{i}_{z}\times \textbf{n}\right )ds= \textbf{ds}\), definido en la Figura 8-4 si\(L\) se encuentra a lo largo de la superficie del conductor interno. La potencia electromagnética que fluye por una línea de transmisión es igual a la potencia del circuito.

    La Ecuación de Onda

    Restringirnos ahora a líneas de transmisión sin pérdidas para que\(R = G =0\) en (28), las dos ecuaciones acopladas en voltaje y corriente se puedan reducir a dos ecuaciones de onda única en\(v\) y\(i\):

    \ [\ frac {\ parcial^2 v} {\ parcial t^2} =c^ {2}\ frac {\ parcial^2 v} {\ parcial z^2}\
    \ frac {\ parcial^2 i} {\ parcial t^2} =c^ {2}\ frac {\ parcial^2 i} {\ parcial z^2}\ nonumber\]

    donde está la velocidad de las olas

    \[c=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }}\,\textrm{m/sec}  \nonumber \]

    Como encontramos en la Sección 7-3-2 las soluciones a (37) son propagar las ondas en las\(\pm z\) direcciones a la velocidad\(c\):

    \ [v\ izquierda (z, t\ derecha) =\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (t-z/c\ derecha) +\ textrm {V} _ {-}\ izquierda (t+z/c\ derecha)\\
    i\ izquierda (z, t\ derecha) =I_ {+}\ izquierda (t-z/c\ derecha) +I_ {-}\ izquierda (t+z/z/c\ derecha)\ nonumber\]

    donde las funciones\(\textrm{V}_{+}\),,\(\textrm{V}_{-}\)\(I_{+}\), y\(I_{-}\) están determinadas por las condiciones límite impuestas por las fuentes y terminaciones de líneas de transmisión. Al sustituir estas soluciones de nuevo en
    (28) con\(R = G = 0\), encontramos las funciones de voltaje y corriente relacionadas como

    \ [\ textrm {V} _ {+} =I_ {+} Z_ {0}\
    \ textrm {V} _ {-} =-I_ {-} Z_ {0}\ nonumber\]

    donde

    \[Z_{0}=\sqrt{L/C}\,\textrm{ohm} \nonumber \]

    se conoce como la impedancia característica de la línea de transmisión, análoga a la impedancia de onda\(\eta \) en el Capítulo 7. También\(Y_{0}=1/Z_{0}\) se utiliza su inversa y se denomina la admitancia característica. En la práctica, es difícil de medir\(L\) y\(C\) de una línea de transmisión directamente. Es más fácil medir la velocidad de onda\(c\) y la impedancia característica\(Z_{0}\) y luego calcular\(L\) y\(C\) desde (38) y (41).

    La forma más útil de las soluciones de línea de transmisión de (39) que usaremos es

    \ [v\ izquierda (z, t\ derecha) =\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (t-z/c\ derecha) +\ textrm {V} _ {-}\ izquierda (t+z/c\ derecha)\\
    i\ izquierda (z, t\ derecha) =Y_ {0}\ izquierda [\ textrm {V} _ _ {+}\ izquierda (t-z/c\ derecha) -\ textrm {V} _ _ {-}\ izquierda (t+z/c\ derecha)\ derecha]\ nonumber\]

    Tenga en cuenta la dualidad completa entre estas soluciones de voltaje-corriente y las soluciones de onda plana en la Sección 7-3-2 para los campos eléctrico y magnético.


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