8.2: Ondas transitorias de línea de transmisión

La forma más fácil de resolver las ondas transitorias en las líneas de transmisión es mediante el uso del razonamiento físico en lugar del rigor matemático. Dado que las olas viajan a una velocidad\(c\), una vez generadas no pueden alcanzar ninguna posición\(z\) hasta un tiempo\(z/c\) después. Las olas que viajan en la\(z\) dirección positiva se describen por la función\(\textrm{V}_{+}\left ( t-z/c \right )\) y las ondas que viajan en la\(-z\) dirección por\(\textrm{V}_{-}(t + z/c)\). Sin embargo, en cualquier momento\(t\) y posición\(z\), el voltaje es igual a la suma de ambas soluciones mientras que la corriente es proporcional a su diferencia.

Transitorios en líneas de transmisión infinitamente largas

La línea de transmisión mostrada en la Figura 8-6a se extiende hasta el infinito en la\(z\) dirección positiva. Una fuente de voltaje variable en el tiempo\(V(t)\) que se enciende en\(t =0\) se aplica\(z =0\) a la línea que inicialmente no está excitada. Una onda que viaja positivamente\(\textrm{V}_{+}\left ( t-z/c \right )\) se propaga lejos de la fuente. No hay ola que viaje negativamente,\(\textrm{V}_{-}\left ( t-z/c \right )=0\). Estos físicos

Figura 8-6 (a) Una línea de transmisión semi-infinita excitada por una fuente de voltaje en\(z = 0\). (b) A la fuente, la línea de transmisión parece una resistencia\(Z_{0}\) igual a la impedancia característica. (c) La distribución espacial de la tensión\(v(z, t)\) en diversos momentos para un pulso de escalera de\(V(t)\). (d) Si la fuente de voltaje se aplica a la línea de transmisión a través de una resistencia en serie,\(R_{s}\) el voltaje a través de la línea at\(z=0\) viene dado por la relación del divisor de voltaje.

los argumentos se verifican matemáticamente al darse cuenta de que a\(t =0\) la tensión y la corriente son cero para\(z >0\),

\ [v\ izquierda (z, t=0\ derecha) =\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (-z/c\ derecha) +\ textrm {V} _ {-}\ izquierda (-z/c\ derecha) =0\\
i\ izquierda (z, t=0\ derecha) =Y_ {0}\ izquierda [\ textrm {V} _ {+} izquierda\ (-z/c\ derecha) +\ textrm {V} _ {-}\ izquierda (-z/c\ derecha)\ derecha] =0\ nonumber\]

que solo permite las soluciones triviales

\[ \textrm{V}_{+}\left (-z/c \right )=0,\quad  \textrm{V}_{-}\left (z/c \right )=0 \nonumber \]

Ya que sólo\(z\) puede ser positivo, siempre que el argumento de\(\textrm{V}_{+}\) es negativo y de\(\textrm{V}_{-}\) positivo, las funciones son cero. Ya que sólo\(t\) puede ser positivo, el argumento de\(\textrm{V}_{-}\left (t +z/c \right )\) es siempre positivo para que la función sea siempre cero. El argumento de\(\textrm{V}_{+}\left (t -z/c \right )\) puede ser positivo, permitiendo una solución distinta de cero si está de\(t > z/c\) acuerdo con nuestras conclusiones alcanzadas por argumentos físicos.

Con\(\textrm{V}_{-}\left (t +z/c \right )=0\), el voltaje y la corriente están relacionados como

\ [v\ izquierda (z, t\ derecha) =\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (t -z/c\ derecha)\\
i\ izquierda (z, t\ derecha) =Y_ {0}\ textrm {V} _ _ {+}\ izquierda (t -z/c\ derecha)\ nonumber\]

El voltaje y la corriente de línea tienen la misma forma que la fuente, retrasados en el tiempo para cualquier\(z\) por\(z/c\) con la corriente escalada en amplitud por\(Y_{0}\). Así, en lo que se refiere a la fuente, la línea de transmisión parece una resistencia de valor que\(Z_{0}\) produce el circuito equivalente que\(z =0\) se muestra en la Figura 8-6b. At\(z =0\), el voltaje es igual al de la fuente

\[v\left ( 0,t \right )=\textrm{V}\left ( t \right )=\textrm{V}_{+}\left ( t \right ) \nonumber \]

Si\(V(t)\) se\(T\) muestra el pulso de escalera de duración total en la Figura 8-6c, el pulso se extiende en el espacio sobre el intervalo espacial:

\ [0\ leq z\ leq ct,\ cuádruple 0\ leq t\ leq T\\
c\ izquierda (t-T\ derecha)\ leq z\ leq ct,\ cuádruple t> T\ nonumber\]

El análisis es el mismo aunque la fuente de voltaje esté en serie con una resistencia de fuente\(R_s\), como en la Figura 8-6d. En\(z =0\) la línea de transmisión todavía se ve como una resistencia de valor de\(Z_0\) modo que el voltaje de la línea de transmisión se divide en la relación dada por el circuito equivalente que se muestra:

\ [v\ izquierda (z=0, t\ derecha) =\ frac {Z_ {0}} {R_ {s} +Z_ {0}}\ textrm {V}\ izquierda (t\ derecha) =\ textrm {V} _ _ {+}\ izquierda (t\ derecha)\
i\ izquierda (z=0, t\ derecha) =Y_ {0}\ textrm m {V} _ {+}\ izquierda (t\ derecha) =\ frac {\ textrm {V}\ izquierda (t\ derecha)} {R_ {s} +Z_ {0}}\ nonumber\]

La solución total es entonces idéntica a la de (3) y (4) con las amplitudes de voltaje y corriente reducidas por la relación del divisor de voltaje\(Z_{0}/\left ( R_{s}+Z_{0} \right )\).

Reflejos de Terminaciones Resistivas

(a) Coeficiente de Reflexión

Todas las líneas de transmisión deben tener un final. En la Figura 8-7 vemos una onda que viaja positivamente incidente sobre una resistencia de carga\(R_{L}\) en\(z = L\) La onda reflejada viajará de regreso hacia la fuente en\(z =0\) como una\(\textrm{V}_{-}\) onda. Al\(z = l\) finalizar el siguiente circuito

Figura 8-7 Una\(\textrm{V}_{+}\) onda incidente sobre el final de una línea de transmisión con una resistencia de carga\(R_{L}\) se refleja como una\(\textrm{V}_{-}\) onda.

mantener las relaciones:

\ [\ begin {align} v\ izquierda (l, t\ derecha) &=\ textrm {V} _ _ {+}\ izquierda (t-l/c\ derecha) +\ textrm {V} _ {-}\ izquierda (t+l/c\ derecha)\ nonumber\\ &
=i\ izquierda (l, t\ derecha) R_ {L}\ nonumber\\ &
=Y_ {0} R_ {L}\ izquierda [\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (t-l/c\ derecha) -\ textrm {V} _ _ {-}\ izquierda (t+l/c\ derecha)\ derecha]\ fin {align}\ nonumber\]

Luego encontramos la amplitud de la onda que viaja negativamente en términos de la onda incidente que viaja positivamente como

\[ \Gamma_{L} =\frac{\textrm{V}_{-}\left ( t+l/c \right )}{\textrm{V}_{+}\left ( t-l/c \right )}=\frac{R_{L}-Z_{0}}{R_{L}+Z_{0}} \nonumber \]

donde\(\Gamma_{L}\) se conoce como el coeficiente de reflexión que es de la misma forma que el coeficiente de reflexión\(R\) en la Sección 7-6-1 para ondas planas uniformes normalmente incidentes sobre un dieléctrico.

El coeficiente de reflexión nos da la amplitud relativa de la\(\textrm{V}_{-}\) onda de retorno en comparación con la\(\textrm{V}_{+}\) onda incidente. Hay varios límites importantes de (8):

(i) Si\(R_{L}=Z_{0}\), el coeficiente de reflexión es cero\(\left ( \Gamma _{0}=0 \right )\) para que no haya onda reflejada y se dice que la línea está emparejada.
(ii) Si la línea está cortocircuitada\(\left ( R_{L}=0 \right )\), entonces\(\Gamma _{L}=-1\). La onda reflejada es igual en amplitud pero opuesta en signo a la onda incidente. En general, si\(R_{L}< Z_{0}\), la onda de voltaje reflejada tiene su polaridad invertida.
(iii) Si la línea está en circuito abierto\(\left ( R_{L}=\infty  \right )\), entonces\(\Gamma _{L}=+1\). La onda reflejada es idéntica a la onda incidente. En general, si\(R_{L}> Z_{0}\), la onda de voltaje reflejada es de la misma polaridad que la onda incidente.

(b) Voltaje escalonado

Una batería de CC de voltaje\(V_{0}\) con resistencia en serie\(R_{s}\), se conecta a la línea de transmisión en\(t=0\), como se muestra en la Figura 8-8a. En\(z =0\), la fuente no tiene conocimiento de la

Figura 8-8 (a) Un voltaje de CC\(V_{0}\) se conmuta a una línea de transmisión cargada resistivamente a través de una resistencia de fuente\(R_{s}\). (b) Los circuitos equivalentes en\(z = 0\) y nos\(z =l\) permiten calcular las amplitudes de onda de voltaje reflejadas en términos de las ondas incidentes.

longitud de la línea o terminación de carga, así como para una línea infinitamente larga, la línea de transmisión parece una resistencia de valor\(Z_{0}\) a la fuente. Al principio no hay\(\textrm{V}_{-}\) ola. La\(\textrm{V}_{+}\) onda está determinada por la relación del divisor de voltaje de la resistencia de la fuente en serie y la impedancia característica de la línea de transmisión según lo dado por (6).

Esta\(\textrm{V}_{+}\) ola viaja por la línea a una velocidad\(c\) donde se refleja a\(z = l\) for\(t > T\), donde\(T = l/c\) está el tiempo de tránsito para una onda que se propaga entre los dos extremos. La nueva\(\textrm{V}_{-}\) onda generada está relacionada con la\(\textrm{V}_{+}\) onda incidente por el coeficiente de reflexión\(\Gamma _{L}\). A medida que la\(\textrm{V}_{+}\) onda continúa propagándose en la\(z\) dirección positiva, la\(\textrm{V}_{-}\) onda se propaga de nuevo hacia la fuente. El voltaje total en cualquier punto de la línea es igual a la suma de\(\textrm{V}_{+}\) y\(\textrm{V}_{-}\) mientras que la corriente es proporcional a su diferencia.

Cuando la\(\textrm{V}_{-}\) onda llega al final de la línea de transmisión en ese\(z =0\) momento\(2T\), en general se genera una nueva\(\textrm{V}_{+}\) onda, la cual se puede encontrar resolviendo el circuito equivalente que se muestra en la Figura 8-8b:

\[ v\left ( 0,t \right )+i\left ( 0,t \right )R_{s} =V_{0}\Rightarrow \textrm{V}_{+}\left ( 0,t \right )+\textrm{V}_{-}\left ( 0,t \right )+ Y_{0}R_{s}\left [ \textrm{V}_{+}\left ( 0,t \right )-\textrm{V}_{-}\left ( 0,t \right ) \right ]=V_{0} \nonumber \]

para rendir

\[ \textrm{V}_{+}\left ( 0,t \right )=\Gamma _{s}\textrm{V}_{-}\left ( 0,t \right )+\frac{Z_{0}V_{0}}{Z_{0}+R_{s}},\quad \Gamma _{s}=\frac{R_{s}-Z_{0}}{R_{s}+Z_{0}} \nonumber \]

donde\(\Gamma _{s}\), es solo el coeficiente de reflexión al final de la fuente. Esta nueva\(\textrm{V}_{+}\) ola se propaga hacia la carga nuevamente generando una nueva\(\textrm{V}_{-}\) ola a medida que continúan las reflexiones.

Si la resistencia de la fuente se corresponde con la línea, de\(R_{s}=Z_{0}\) modo que\(\Gamma _{s}=0\), entonces\(\textrm{V}_{+}\) es constante para todos los tiempos y se alcanza el estado estacionario para\(t >2T\) Si la carga se emparejó, se alcanza el estado estacionario\(t>T\) sin importar el valor de\(R_{s}\). No hay más reflexiones desde el final de una línea coincidente. En la Figura 8-9 trazamos distribuciones espaciales representativas de voltaje y corriente para varios tiempos asumiendo que la fuente se corresponde con la línea para la carga que se está emparejando, abierta o cortocircuitada.

(i) Línea coincidente

Cuando\(R_{L}=Z_{0}\) el coeficiente de reflexión de carga es cero\(\textrm{V}_{+}=V_{0}/2\) para que para todos los tiempos. El frente de onda se propaga por la línea con el voltaje y la corriente siendo idénticos en forma. El sistema está en el estado estacionario de cc para\(t\geq T\).

Figura 8-9 (a) Un voltaje de CC se conmuta a una línea de transmisión con resistencia de carga\(R_{L}\) a través de una resistencia de fuente\(R_{s}\) coincidente con la línea. (b) Independientemente de la resistencia de carga, la mitad de la tensión de la fuente se propaga por la línea hacia la carga. Si la carga también coincide con la línea\(\left ( R_{L}=Z_{0} \right )\), no hay reflejos y\(v\left ( z,t\geq T \right )=V_{0}/2,\quad i\left ( z,t\geq T \right )=Y_{0}V_{0}/2\) se alcanza el estado estacionario de\(t\geq T\). (c) Si la línea está cortocircuitada\(\left ( R_{L}=0 \right )\),\(\Gamma _{L}=-1\) entonces para que\(\textrm{V}_{-}\) las ondas\(\textrm{V}_{+}\) y cancelen para el voltaje pero sumen para la corriente dondequiera que se superpongan en el espacio. Dado que el extremo de origen está emparejado, no surgen más reflexiones para\(z = 0\) que se alcance el estado estacionario para\(t\geq 2T\). (d) Si la línea está abierta en circuito de\(\left ( R_{L}=\infty  \right )\) manera que\(\Gamma _{L}=\pm 1\), las\(\textrm{V}_{-}\) ondas\(\textrm{V}_{+}\) y se suman para el voltaje pero cancelan para la corriente.

(ii) Línea de Circuito Abierto

Cuando\(R_{L}=\infty\) el coeficiente de reflexión es unidad así que eso\(\textrm{V}_{+}=\textrm{V}_{-}\). Cuando las ondas incidentes y reflejadas se superponen en el espacio, los voltajes se suman a una forma de pulso de escalera mientras que la corriente es cero. Para\(t\geq 2T\), el voltaje es Vo en todas partes de la línea mientras que la corriente es cero.

(iii) Línea de cortocircuito

Cuando\(\left ( R_{L}=0 \right )\) el coeficiente de reflexión de carga es -1 así que eso\(\textrm{V}_{+}=-\textrm{V}_{-}\). Cuando las ondas incidentes y reflejadas se superponen en el espacio, el voltaje total es cero mientras que la corriente es ahora una forma de pulso de escalera. Porque\(t\geq 2T\) el voltaje es cero en todas partes de la línea mientras que la corriente es\(V_o/Z_o\).

Aproximación al estado estacionario de CC

Si el extremo de carga coincide, el estado estacionario se alcanza después de un tiempo de tránsito\(T=l/c\) para que la onda se propague desde la fuente hasta la carga. Si el extremo de origen coincide, después de un viaje de ida y vuelta\(2T=2l/c\) no se producen más reflexiones. Si ninguno de los dos extremos se iguala, las reflexiones continúan para siempre. Sin embargo, para resistencias de fuente y carga distintas de cero y no infinitas, el coeficiente de reflexión siempre es menor que la unidad en magnitud de manera que cada reflexión sucesiva se reduce en amplitud. Después de algunos viajes de ida y vuelta, los cambios en\(\textrm{V}_{+}\) y\(\textrm{V}_{-}\) se vuelven más pequeños y eventualmente insignificantes. Si la resistencia de origen es cero y la resistencia a la carga es cero o infinita, los pulsos transitorios continúan propagándose de un lado a otro para siempre en la línea sin pérdidas, ya que la magnitud de los coeficientes de reflexión son unidad.

Considere nuevamente la fuente de voltaje de CC en la Figura 8-8a conmutada a través de una resistencia de fuente\(R_{s}\) en\(t =0\) una línea de transmisión cargada en su\(z = l\) extremo con una resistencia de carga\(R_{L}\). Mostramos en (10) que la\(\textrm{V}_{+}\) onda generada al\(z =0\) final está relacionada con la fuente y una\(\textrm{V}_{-}\) onda entrante como

\[ \textrm{V}_{+}=\Gamma _{0}V_{0}+\Gamma _{s}V_{-},\quad \Gamma _{0}=\frac{Z_{0}}{R_{s}+Z_{0}},\quad \Gamma _{s}=\frac{R_{s}-Z_{0}}{R_{s}+Z_{0}} \nonumber \]

Del mismo modo, en\(z = l\), una\(\textrm{V}_{+}\) onda incidente se convierte en una\(\textrm{V}_{-}\) onda a través del coeficiente de reflexión de carga:

\[ \textrm{V}_{-}=\Gamma _{L}V_{+},\quad \Gamma _{L}=\frac{R_{L}-Z_{0}}{R_{L}+Z_{0}} \nonumber \]

Ahora podemos tabular el voltaje\(z = l\) usando el siguiente razonamiento:

1. Para el intervalo de tiempo\(t < T\) el voltaje at\(z = l\) es cero ya que ninguna onda ha llegado aún al final.
2. At\(z=0\) for\(0\leq t\leq 2T\),\(\textrm{V}_{-}=0\) resultando en una\(\textrm{V}_{+}\) onda que emana de\(z =0\) con amplitud\(\textrm{V}_{+}=\Gamma _{0}V_{0}\).
3. Cuando esta\(\textrm{V}_{+}\) onda alcanza\(z = l\), se genera una\(\textrm{V}_{-}\) onda con amplitud\(\textrm{V}_{-}=\Gamma _{L}\textrm{V}_{+}\). La\(\textrm{V}_{+}\) onda incidente en\(z =l\) permanece sin cambios hasta otro intervalo de\(2T\), con lo cual la\(\textrm{V}_{-}\) onda recién generada después de ser reflejada\(z = 0\) como una nueva\(\textrm{V}_{+}\) ola dada por (11) vuelve nuevamente a\(z = l\).
4. Por lo tanto, el voltaje en\(z = l\) solo cambia en momentos\(2\left ( n-1 \right )T,\,N=1,2,...\), mientras que el voltaje en\(z = 0\) los cambios a veces\(2\left ( n-1 \right )T\). Las formas de onda de voltaje resultantes en los extremos son patrones de escalera con escalones en estos momentos.

La\(\textrm{V}_{+}\) onda\(n\textrm{th}\) viajera se relaciona entonces con la fuente y la\(\left ( n-1 \right )\textrm{th}\,\textrm{V}_{-}\) onda en\(z =0\) como

\[ \textrm{V}_{+n}=\Gamma _{0}V_{0}+\Gamma _{s}\textrm{V}_{-\left ( n-1 \right )} \nonumber \]

mientras que la\(\left ( n-1 \right )\textrm{th}\,\textrm{V}_{-}\) ola está relacionada con la\(\left ( n-1 \right )\textrm{th}\,\textrm{V}_{+}\) ola incidente en\(z = l\) como

\[ \textrm{V}_{-\left ( n-1 \right )}=\Gamma _{L}V_{+\left ( n-1 \right )} \nonumber \]

El uso de (14) en (13) produce una única ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal en\(\textrm{V}_{+n}\):

\[ \textrm{V}_{+n}-\Gamma _{s}\Gamma _{L}\textrm{V}_{+\left ( n-1 \right )}=\Gamma _{0}V_{0} \nonumber \]

Para una solución particular vemos que\(\textrm{V}_{+n}\) al ser una constante satisface (15):

\[\textrm{V}_{+n}=C\Rightarrow C\left ( 1-\Gamma _{s}\Gamma _{L} \right )= \Gamma _{0}V_{0}\Rightarrow C=\frac{\Gamma _{0}}{1-\Gamma _{s}\Gamma _{L}}V_{0} \nonumber \]

A esta solución podemos agregar cualquier solución homogénea asumiendo que el lado derecho de (15) es cero:

\[ \textrm{V}_{+n}-\Gamma _{s}\Gamma _{L}\textrm{V}_{+\left ( n-1 \right )}=0 \nonumber \]

Intentamos una solución de la forma

\[ \textrm{V}_{+n}=A\lambda ^{n} \nonumber \]

que cuando se sustituye en (17) requiere

\[ A\lambda ^{n-1}\left ( \lambda -\Gamma _{s}\Gamma _{L} \right )=0\Rightarrow \lambda =\Gamma _{s}\Gamma _{L} \nonumber \]

La solución total es entonces una suma de las soluciones particulares y homogéneas:

\[ \textrm{V}_{+n}=\frac{\Gamma _{0}}{1-\Gamma _{s}\Gamma _{L}}V_{0}+A\left ( \Gamma _{s}\Gamma _{L}\right )^{n} \nonumber \]

La constante\(A\) se encuentra al darse cuenta de que la primera onda transitoria es

\[ \textrm{V}_{+1}=\Gamma _{L}V_{0}=\frac{\Gamma _{0}}{1-\Gamma _{s}\Gamma _{L}}V_{0}+A\left ( \Gamma _{s}\Gamma _{L}\right ) \nonumber \]

que requiere\(A\) ser

\[ A=-\frac{\Gamma _{0}V_{0}}{1-\Gamma _{s}\Gamma _{L}} \nonumber \]

de manera que (20) se convierte

\[\textrm{V}_{+n}=\frac{\Gamma _{0}V_{0}}{1-\Gamma _{s}\Gamma _{L}}\left [ 1-\left ( \Gamma _{s}\Gamma _{L} \right )^{n} \right ] \nonumber \]

Elevar el índice de (14) por uno luego da la\(n\textrm{th}\,\textrm{V}_{-}\) onda como

\[ \textrm{V}_{-n}=\Gamma _{L}\textrm{V}_{+n} \nonumber \]

de manera que el voltaje total en\(z = l\) después de las\(n\) reflexiones a veces\(2\left ( n-1 \right )T,\,N=1,2,...\), es

\[ \textrm{V}_{n}=\textrm{V}_{+n}+\textrm{V}_{-n}=\frac{\textrm{V}_{0}\Gamma _{0}\left ( 1+\Gamma _{L} \right )}{1-\Gamma _{s}\Gamma _{L}}\left [ 1-\left (\Gamma _{s}\Gamma _{L}  \right )^{n} \right ]  \nonumber \]

o en términos de las resistencias de fuente y carga

\[ \textrm{V}_{n}=\frac{R_{L}}{R_{L}+R_{s}}V_0\left [ 1-\left (\Gamma _{s}\Gamma _{L}  \right )^{n} \right ]  \nonumber \]

Los resultados en estado estacionario como\(n\rightarrow \infty \). Si cualquiera\(R_{s}\) o\(R_{L}\) son distintos de cero o no infinitos, el producto de\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}\) debe ser menor que la unidad. Bajo estas condiciones

\[ \underset{\left (  \left | \Gamma _{s}\Gamma _{L} \right |< 1\right )}{\lim_{n\rightarrow \infty }}\left ( \Gamma _{s}\Gamma _{L} \right )^{n}=0 \nonumber \]

para que en el estado estacionario

\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\textrm{V}_{n}=\frac{R_{L}}{R_{s}+R_{L}}\textrm{V}_{0} \nonumber \]

que es solo la relación del divisor de voltaje como si la línea de transmisión fuera solo un par de cables de conexión de resistencia cero. Tenga en cuenta también que si cualquiera de los extremos coincide de manera que cualquiera\(\Gamma _{s}\), o\(\Gamma _{L}\) es cero, el voltaje en el extremo de carga está inmediatamente en el estado estacionario después del tiempo\(T\).

En la Figura 8-10 se grafica la carga frente al tiempo con\(R_{s}=0\) y\(R_{L}= 3Z_{0}\) así que\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=-\frac{1}{2}\) y con\((R_{L}= \frac{1}{3}Z_{0}\) para que

Figura 8-10 El voltaje de carga en función del tiempo cuando\(R_{s}=0\) y\(R_{L}= 3Z_{0}\) para que\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=-\frac{1}{2}\) (sólido) y con\((R_{L}= \frac{1}{3}Z_{0}\) para que\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=\frac{1}{2}\) (discontinuo). El estado estacionario de CC es el mismo que si la línea de transmisión se considerara un par de cables perfectamente conductores en un circuito.

\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=\pm \frac{1}{2}\). Entonces (26) se convierte

\ [\ textrm {V} _ _ {n} =\ izquierda\ {\ comenzar {matriz}
\ textrm {V} _ {0}\ izquierda [1-\ izquierda (-\ frac {1} {2}\ derecha) ^ {n}\ derecha],\ quad R_ {L} =3Z_ {0}\
\ textrm {V} _ {0}\ izquierda [1-\ izquierda (\ frac {1} {2}\ derecha) ^ {n}\ derecha],\ quad R_ {L} =\ frac {1} {3} Z_ {0}
\ final {matriz}\ derecha. \ nonumber\]

Los cambios de paso en el voltaje de carga oscilan alrededor del valor de estado estacionario\(V_{\infty }=V_{0}\). Los pasos se vuelven rápidamente más pequeños teniendo menos del uno por ciento de variación para\(n >7\).

Si la resistencia de la fuente es cero y la resistencia de carga es cero o infinita (circuitos cortos o abiertos), una línea de transmisión sin pérdidas nunca reiches un estado estacionario de cc ya que el límite de
(27) no se mantiene con\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=\pm 1\). Las reflexiones continuas sin disminución de la amplitud dan como resultado formas de onda de pulso para todos los tiempos. Sin embargo, en una línea de transmisión real, pequeñas pérdidas en los conductores y el dieléctrico permiten finalmente alcanzar un estado estacionario.

Considera el caso cuando\(R_{s}=0\) y\(R_{L}= \infty \) para eso\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=-1\). Luego de (26) tenemos

\ [\ textrm {V} _ {n} =\ izquierda\ {\ comenzar {matriz}
0,\ cuádruple n\,\ textrm {par}\\
2V_0,\ quad n\,\ textrm {impar}
\ final {matriz}\ derecha. \ nonumber\]

que se esboza en la Figura 8-11 a.

Para cualquier fuente y resistencia de carga, la corriente a través de la resistencia de carga en\(z = l\) es

\ begin {align} I_ {n} &=\ frac {\ textrm {V} _ {n}} {R_L} =\ frac {V_ {0}\ Gamma _ {0}\ izquierda (1+\ Gamma _ {L}\ derecha)} {R_L\ izquierda (1-\ Gamma _ {s}\ Gamma _ {L}\ derecha)}\ izquierda [1-\ Gamma _ {s}\ Gamma _ {L}\ derecha)}\ izquierda [1-\ izquierda (\ Gamma _ {s}\ Gamma _ {L}\ derecha) ^ {n}\ derecha]\ nonumber\\ &
=\ frac {2V_ {0}\ Gamma _ {0}} {R_L+Z_0}\ frac {1-\ izquierda (\ Gamma _ {s}\ Gamma _ {L}\ derecha) ^ {n}} {\ izquierda (1-\ Gamma _ {s}\ Gamma _ {L}\ derecha)}\ end {align}

Si ambos\(R_{s}\) y\(R_{L}\) son cero para que\(\Gamma _{s}\Gamma _{L}=-1\), la corriente de cortocircuito en (31) se encuentre en la forma indeterminada\(0/0\), la cual puede ser evaluada usando la regla de L'hôpital:

\[ \begin{align}\lim_{\Gamma _{s}\Gamma _{L}\rightarrow 1}I_{n}&=\frac{2V_{0}\Gamma _{0}}{R_L+Z_0}\frac{\left [ -n\left ( \Gamma _{s}\Gamma _{L} \right )^{n-1} \right ]}{\left ( -1 \right )}\nonumber \\ &=\frac{2V_{0}n}{Z_0}\end{align} \nonumber \]

Como muestra la línea continua en la Figura 8-11 b, la corriente aumenta continuamente de manera escalonada. A\(n\) medida que aumenta al infinito, la corriente también se vuelve infinita, lo que se espera para una batería conectada a través de un cortocircuito.

Inductores y capacitores como aproximaciones cuasiestáticas a líneas de transmisión

Si la línea de transmisión tenía un metro de largo con un medio dieléctrico de espacio libre, el tiempo de tránsito de ida y vuelta\(2 T= 2l/c\)

Figura 8-11 El (a) voltaje de circuito abierto y (b) corriente de cortocircuito al\(z = l\) final de la línea de transmisión para\(R_{s}=0\). No se alcanza el estado estacionario de CC porque el sistema no tiene pérdidas. Si la línea de transmisión cortocircuitada se modela como un inductor en el límite cuasiestático, una entrada de voltaje escalonado da como resultado una corriente que aumenta linealmente (se muestra discontinua). La respuesta exacta de la línea de transmisión es la forma de onda de escalera sólida.

es aproximadamente\(6\) nsec. Para muchas aplicaciones de circuitos esta vez es tan rápida que puede considerarse instantánea. En este límite es válida la aproximación cuasiestática del elemento del circuito.

Por ejemplo, considere nuevamente la línea de transmisión cortocircuitada\(\left ( R_{L}=0  \right )\) de longitud\(l\) con cero resistencia de fuente. En el límite magnético cuasi-estático llamaríamos a la estructura un inductor con inductancia\(Ll\) (recuerde,\(L\) es la inductancia por unidad de longitud) para que el voltaje y la corriente del terminal se relacionen como

\[ v=\left ( Ll \right )\frac{di}{dt} \nonumber \]

Si\(V_{0}\) se aplica un voltaje constante a\(t =0\), la corriente se obtiene por integración de (33) como

\[ i=\frac{V_{0}}{Ll}t \nonumber \]

donde usamos la condición inicial de corriente cero en\(t = 0\). La dependencia lineal del tiempo de la corriente, trazada como la línea discontinua en la Figura 8-11 b, se aproxima a la forma de onda de la escalera ascendente obtenida a partir del análisis exacto de la línea de transmisión de (32).

De igual manera, si la línea de transmisión estuviera en circuito abierto con\(R_{L}=\infty \), sería un condensador de valor\(Cl\) en el límite eléctrico cuasiestático para que el voltaje en la línea se cargue a través de la resistencia de la fuente\(R_{s}\) con constante de tiempo\(\tau =R_{s}Cl\) como

\[ v\left ( t \right )=V_{0}\left ( 1-e^{-t/\tau } \right ) \nonumber \]

El voltaje exacto de la línea de transmisión al\(z = l\) final viene dado por (26) con de\(R_{L}=\infty \) manera que\(\Gamma _{L}= 1\):

\[ \textrm{V}_{n}=V_{0}\left ( 1- \Gamma _{s}^{n}\right ) \nonumber \]

donde el coeficiente de reflexión de origen puede escribirse como

\[ \begin{align}\Gamma _{s}&=\frac{R_{s}-Z_{s}}{R_{s}+Z_{s}}\nonumber \\ &=\frac{R_{s}-\sqrt{L/C}}{R_{s}+\sqrt{L/C}}\end{align} \nonumber \]

Si multiplicamos el numerador y denominador de (37) por\(Cl\), tenemos

\[ \begin{align}\Gamma _{s}&=\frac{R_{s}Cl-l\sqrt{L/C}}{R_{s}Cl+l\sqrt{L/C}}\nonumber \\ &=\frac{\tau -T}{\tau +T}=\frac{1-T/\tau}{1+T/\tau}\end{align} \nonumber \]

donde

\[ T=l\sqrt{L/C}=l/c \nonumber \]

Para que el límite cuasi-estático sea válido, el tiempo de tránsito de la ola\(T\) debe ser mucho más rápido que cualquier otra escala de tiempo de interés para que\(T/\tau \ll 1\). En la Figura 8-12 trazamos (35) y (36) para dos valores de\(T/\tau\) y vemos que los resultados cuasi-estáticos y de la línea de transmisión se acercan entre sí a medida que\(T/\tau\) se vuelven pequeños.

Cuando el tiempo de tránsito de onda de ida y vuelta es tan pequeño en comparación con la escala de tiempo de interés para parecer instantáneo, el tratamiento del circuito es una excelente aproximación.

Figura 8-12 El voltaje de circuito abierto\(z= l\) para un voltaje de paso aplicado a\(t=0\) través de una resistencia de fuente\(R_{s}\) para diversos valores de\(T/\tau\), que es la relación entre el tiempo de propagación y el tiempo\(T= l/c\) de carga cuasi-estática\(\tau=R_{s}Cl\). La curva discontinua muestra el aumento exponencial obtenido por un análisis de circuito asumiendo que la línea de transmisión de circuito abierto es un condensador.

Si este tiempo de propagación es significativo, entonces se deben usar las ecuaciones de línea de transmisión.

Reflexiones de terminaciones arbitrarias

Para terminaciones resistivas hemos podido relacionar las amplitudes de onda reflejada en términos de una amplitud de onda incidente mediante el uso de un coeficiente de reflexión porque el voltaje y la corriente en la resistencia están relacionados algebraicamente. Para una terminación arbitraria, que puede incluir cualquier componente como condensadores, inductores, diodos, transistores, o incluso otra línea de transmisión con quizás una impedancia característica diferente, es necesario resolver un problema de circuito al final de la línea. Para el elemento arbitrario con voltaje\(V_L\) y corriente\(I_L\) en\(z = l\), mostrado en la Figura 8-13a, el voltaje y la corriente al final de la línea están relacionados como

\ [v\ izquierda (z=l, t\ derecha) =V_ {L}\ izquierda (t\ derecha) =\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (t-l/c\ derecha) +\ textrm {V} _ _ {-}\ izquierda (t+l/c\ derecha)\\
i\ izquierda (z=l, t\ derecha) =I_ {L}\ izquierda (t\ derecha) =Y_ {0}\ izquierda [\ textrm {V} _ {+}\ izquierda (t-l/c\ derecha) -\ textrm {V} _ _ {-}\ izquierda (t+l/c\ derecha)\ derecha]\ nonumber\]

Asumimos que conocemos la\(\textrm{V}_{+}\) onda incidente y deseamos encontrar la\(\textrm{V}_{-}\) onda reflejada. Luego eliminamos lo desconocido\(\textrm{V}_{-}\) en (40) y (41) para obtener

\[ 2\textrm{V}_{+}\left ( t-l/c \right )=\textrm{V}_{L}\left ( t \right )+I_{L}\left ( t \right )Z_{0} \nonumber \]

lo que sugiere el circuito equivalente en la Figura 8-13b.

Para una terminación agrupada particular resolvemos el circuito equivalente para\(\textrm{V}_{L}\left ( t \right )\) o\(I_{L}\left ( t \right )\). Ya que ya\(\textrm{V}_{+}\left ( t-l/c \right )\) se conoce como es incidente a la terminación, una vez\(\textrm{V}_{L}\left ( t \right )\) o

Figura 8-13 Una línea de transmisión con una (a) carga arbitraria al\(z= l\) final puede analizarse a partir del circuito equivalente en (b). Ya que\(\textrm{V}_{+}\) se sabe, el cálculo de la corriente de carga o voltaje produce la onda reflejada\(\textrm{V}_{-}\).

\(I_{L}\left ( t \right )\)se calcula a partir del circuito equivalente, se\(\textrm{V}_{-}\left ( t+l/c \right )\) puede calcular como\(\textrm{V}_{-}=\textrm{V}_{L}-\textrm{V}_{+}\).

Por ejemplo, considere las líneas de transmisión sin pérdidas de longitud que\(l\) se muestran en la Figura 8-14a terminadas al final con un condensador agrupado\(C_L\) o un inductor\(L_L\). \(t=0\)Se aplica un voltaje de paso a\(z=0\) través de una resistencia de fuente coincidente con la línea.

La fuente en z =0 no es consciente de la terminación en\(z=l\) hasta un momento\(2T\). Hasta este momento lanza una\(\textrm{V}_{+}\) ola de amplitud\(\textrm{V}_{0}/2\). At\(z = l\), el circuito equivalente para la terminación capacitiva se muestra en la Figura 8-14b. Mientras que las terminaciones resistivas solo alteraron las amplitudes de onda al reflexionar, las terminaciones inductivas y capacitivas introducen ecuaciones diferenciales.

Desde (42), el voltaje a través del condensador\(v_c\) obedece a la ecuación diferencial

\[ Z_{0}C_{L}\frac{dv_{c}}{dt}+v_{c}=2\textrm{V}_{+}=V_{0},\quad t>T \nonumber \]

con solución

\[v_{c}\left ( t \right )=V_{0}\left [ 1-e^{-\left ( t-T \right )/Z_{0}C_{L}} \right ],\quad t>T \nonumber \]

Tenga en cuenta que la forma de onda de voltaje trazada en la Figura 8-14b comienza en el momento\(T= l/c\).

Así, la\(\textrm{V}_{-}\) onda de retorno se da como

\[ \textrm{V}_{-}=v_{c}-\textrm{V}_{+}=V_0/2+V_0e^{-\left ( t-T \right )/Z_{0}C_{L}} \nonumber \]

Esta onda reflejada viaja de regreso a\(z =0\), donde no se producen más reflexiones ya que el final de la fuente coincide. La corriente en\(z = l\) es entonces

\[i_{c}=C_{L}\frac{dv_{c}}{dt}=\frac{V_{0}}{Z_{0}}e^{-\left ( t-T \right )/Z_{0}C_{L}},\quad t>T \nonumber \]

y también se representa en la Figura 8-14b.

Figura 8-14 (a) Se aplica un voltaje escalonado a las líneas de transmisión cargadas\(z =l\) con un condensador\(C_L\) o inductor\(L_L\). El voltaje y la corriente de carga se calculan a partir de los (b) circuitos resistivo-capacitivos o (c) equivalentes resistivo-inductivos\(z = l\) para producir formas de onda exponenciales con constantes de tiempo respectivas\(\tau =Z_{0}C_{L}\) y a\(\tau =L_{L}/Z_{0}\) medida que las soluciones se acercan al estado estacionario de CC. Las formas de onda comienzan después de que la\(\textrm{V}_{+}\) onda inicial llega\(z = l\) después de un tiempo\(T=l/c\). No hay más reflexiones ya que el extremo de origen coincide.

Si el end at no\(z =0\) se emparejara, se\(\textrm{V}_{+}\) generaría una nueva. Al llegar\(z = l\), volveríamos a resolver el\(RC\) circuito con el condensador ahora cargado inicialmente. Las reflexiones continuarían, llegando a ser despreciables si\(R_{s}\) es distinto de cero.

Del mismo modo, la ecuación diferencial gobernante para la carga inductiva obtenida del circuito equivalente en la Figura 8-14c es

\[ L_{L}\frac{di_{L}}{dt}+i_{L}Z_{0}=2\textrm{V}_{+}=V_{0},\quad t>T \nonumber \]

con solución

\[ i_{L}=\frac{V_{0}}{Z_{0}}\left ( 1-e^{-\left ( t-T \right )Z_{0}/L_{L}} \right ),\quad t>T \nonumber \]

El voltaje a través del inductor es

\[ v_{L}=L_{L}\frac{di_{L}}{dt}=V_{0}e^{-\left ( t-T \right )Z_{0}/L_{L}},\quad t>T \nonumber \]

Nuevamente dado que el final en\(z =0\) coincide, la\(\textrm{V}_{-}\) onda de retorno de no\(z = l\) se refleja en\(z =0\). Así, la tensión y corriente totales para todos los tiempos en\(z = l\) viene dada por (48) y (49) y se esboza en la Figura 8-14c.