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8.4: Las ciones arbitrarias

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    86938
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El coeficiente de reflexión generalizado

    Una línea de transmisión sin pérdidas excitada\(z = -l\) con una fuente de voltaje sinusoidal ahora termina en su otro extremo en\(z =0\) con una impedancia arbitraria\(Z_L\), que en general puede ser un número complejo. Definición de la tensión de carga y la corriente\(z =0\) en

    \[ \begin{align} v\left ( z=0,t \right )&=v_{L}\left ( t \right )=\textrm{Re}\left ( V_{L}e^{j\omega t} \right )\nonumber \\i\left ( z=0,t \right )&=i_{L}\left ( t \right )=\textrm{Re}\left ( I_{L}e^{j\omega t} \right ),\quad I=V_{L}/Z_{L} \end{align}  \nonumber \]

    donde\(V_L\) y\(I_L\) son amplitudes complejas, las condiciones límite en\(z =0\) son

    \ [\ textrm {V} _ {+} +\ textrm {V} _ {-} =\ textrm {V} _ {L}\\
    Y_ {0}\ izquierda (\ textrm {V} _ {+} -\ textrm {V} _ {-}\ derecha) =I_ {L} =\ textrm {V} _ {L} /Z_ {L}\ nonumber\]

    Definimos el coeficiente de reflexión como la relación

    \[ \Gamma _{L}=\textrm{V}_{-}/\textrm{V}_{+} \nonumber \]

    y resolver como

    \[ \Gamma _{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}} \nonumber \]

    Aquí en el estado estacionario sinusoidal con cargas reactivas,\(\Gamma _{L}\) puede ser un número complejo ya que\(Z_{L}\) puede ser complejo. Para formas de onda transitorias de pulso,\(\Gamma _{L}\) solo se definió para cargas resistivas. Para terminaciones capacitativas e inductivas, las reflexiones fueron dadas por soluciones a ecuaciones diferenciales en el tiempo. Ahora que sólo estamos considerando variaciones de tiempo sinusoidales para que las derivadas de tiempo sean reemplazadas por\(j\omega \), podemos generalizar\(\Gamma _{L}\) para el estado estacionario sinusoidal.

    Es conveniente definir más a fondo el coeficiente de reflexión generalizado como

    \[ \Gamma\left ( z \right )=\frac{\textrm{V}_{-}e^{jkz}}{\textrm{V}_{+}e^{-jkz}}=\frac{\textrm{V}_{-}}{\textrm{V}_{+}}e^{2jkz}=\Gamma _{L}e^{2jkz} \nonumber \]

    donde\(\Gamma _{L}\) es justo\(\Gamma\left ( z = 0\right )\). Entonces el voltaje y la corriente en la línea se pueden expresar como

    \ [\ hat {v}\ izquierda (z\ derecha) =\ textrm {V} _ {+} e^ {-jkz}\ izquierda [1+\ Gamma\ izquierda (z\ derecha)\ derecha]\
    \ sombrero {\ imath}\ izquierda (z\ derecha) =Y_ {0}\ textrm {V} _ _ {+} e^ {-jkz}\ izquierda [1-\ Gamma\ izquierda (z\ derecha)\ derecha]\ nonumber\]

    La ventaja de esta notación es que ahora la impedancia a lo largo de la línea se puede expresar como

    \[ Z_{n}\left ( z \right )=\frac{Z\left ( z \right )}{Z_{0}}=\frac{\hat{v}\left ( z \right )}{\hat{\imath }\left ( z \right )Z_{0}}=\frac{1+\Gamma \left ( z \right )}{1-\Gamma \left ( z \right )} \nonumber \]

    donde\(Z_{n}\) se define como la impedancia normalizada. Ahora podemos resolver (7) para\(\Gamma \left ( z \right )\) como

    \[ \Gamma \left ( z \right )=\frac{Z_{n}\left ( z \right )-1}{Z_{n}\left ( z \right )+1} \nonumber \]

    Tenga en cuenta las siguientes propiedades de\(Z_{n}\left ( z \right )\) y\(\Gamma \left ( z \right )\) para cargas pasivas:

    1. \(Z_{n}\left ( z \right )\)es generalmente complejo. Para cargas pasivas su parte real está permitida sobre el rango de cero a infinito mientras que su parte imaginaria puede extenderse de infinito negativo a positivo.
    2. La magnitud de\(\Gamma \left ( z \right )\),\(\left | \Gamma_{L} \right |\) debe ser menor o igual a\(1\) para cargas pasivas.
    3. De (5), si\(z\) se incrementa o disminuye en media longitud de onda,\(\Gamma \left ( z \right )\) y por lo tanto\(Z_{n}\left ( z \right )\) permanecen sin cambios. Por lo tanto, si se conoce la impedancia en cualquier posición, la impedancia de múltiplos enteros de todos los puntos de media longitud de onda de distancia tienen la misma impedancia.
    4. De (5), si\(z\) se incrementa o disminuye en un cuarto de longitud de onda,\(\Gamma \left ( z \right )\) cambia de signo, mientras que de (7)\(Z_{n}\left ( z \right )\) va a su recíproco\(\Rightarrow 1/Z_{n}\left ( z \right )=Y_{n}\left ( z \right )\).
    5. Si la línea coincide,\(Z_L = Z_0\), entonces\(\Gamma _L= 0\) y\(Z_{n}\left ( z \right )= 1\). La impedancia es la misma en todas partes a lo largo de la línea.

    Ejemplos Sencillos

    (a) Impedancia de carga reflejada de nuevo a la fuente

    Las propiedades (iii) - (v) permiten cálculos simples para sistemas de líneas de transmisión que tienen longitudes que son múltiplos enteros de longitudes de onda de cuarto o medio. A menudo se desea maximizar la potencia entregada a una carga al final de una línea de transmisión agregando una admitancia agrupada\(Y\) a través de la línea. Para el sistema mostrado en la Figura 8-17a, la impedancia de la carga se refleja de nuevo al generador y luego se agrega en paralelo a la admitancia reactiva agrupada\(Y\). La impedancia de carga normalizada de\(\left ( R_{L}+jX_{L} \right )/Z_{0}\) las inversiones cuando se refleja de nuevo a la fuente por un cuarto de longitud de onda a\(Z_{0}/\left ( R_{L}+jX_{L} \right ) \). Dado que esta es la impedancia normalizada, la impedancia real se encuentra multiplicando por\(Z_{0}\) para ceder\(Z\left ( z=-\lambda /4 \right )=Z_{0}^{2}/\left ( R_{L}+jX_{L} \right )\). La admisión de esta carga reflejada luego se suma en paralelo\(Y\) a para producir una admisión total de\(Y+\left ( R_{L}+jX_{L} \right )/Z_{0}^{2}\). Si\(Y\) es imaginario puro y de signo opuesto a la susceptancia de carga reflejada con valor\(-jX_{L}/Z_{0}^{2}\), la potencia máxima se entrega a la línea si la resistencia de la fuente\(R_{S}\) también es igual a la impedancia de entrada de línea resultante,\(R_{S}=Z_{0}^{2}/R_{L}\). Dado que\(Y\) es puramente

    17.jpg
    Figura 8-17 La impedancia normalizada reflejada de nuevo a través de una línea invertida de cuarto de onda larga. (a) La potencia promedio en el tiempo entregada a una carga compleja se puede maximizar si\(Y\) se ajusta para cancelar simplemente la admitancia reactiva de la carga reflejada de nuevo a la fuente\(R_{s}\) igualando la resistencia de entrada resultante. (b) Si la longitud\(l_2\) de la segunda línea de transmisión mostrada es una longitud de cuarto de onda o un múltiplo entero impar de\(\lambda /4\) y su impedancia característica es igual al promedio geométrico de\(Z_{1}\) y\(R_{L}\), la impedancia de entrada\(Z_{in}\) se corresponde con\(Z_{1}\).

    reactiva y la línea de transmisión no tiene pérdidas, la mitad de la potencia promedio en el tiempo entregada por la fuente se disipa en la carga:

    \[ <P>=\frac{1}{8}\frac{V_{0}^{2}}{R_{S}}=\frac{1}{8}\frac{R_{L}V_{0}^{2}}{Z_{0}^{2}} \nonumber \]

    Tal elemento reactivo generalmente\(Y\) se fabrica a partir de una línea de transmisión cortocircuitada de longitud variable llamada stub. Como se muestra en la Sección 8-3-2a, una línea cortocircuitada sin pérdidas siempre tiene impedancia reactiva aipure.

    Para verificar que la potencia en (9) se disipa realmente en la carga, escribimos la distribución espacial de voltaje y corriente a lo largo de la línea como

    \ [\ hat {v}\ izquierda (z\ derecha) =\ textrm {V} _ {+} e^ {-jkz}\ izquierda [1+\ Gamma\ izquierda (z\ derecha) e^ {2jkz}\ derecha]\\ hat {
    \ imath}\ izquierda (z\ derecha) =Y_ {0}\ textrm {V} _ _ {+} e^ {-j^ {-jkz}\ izquierda [1-\ Gamma\ izquierda (z\ derecha) e^ {2jkz}\ derecha]\ nonumber\]

    donde el coeficiente de reflexión para esta carga viene dado por (4) como

    \[ \Gamma _{L}=\frac{R_{L}+jX_{L}-Z_{0}}{R_{L}+jX_{L}+Z_{0}} \nonumber \]

    En\(z = -l = -\lambda /4\) tenemos la condición límite

    \[ \begin{align} \hat{v}\left ( z=-l \right )=V_{0}/2&=\textrm{V}_{+}e^{jkl}\left ( 1+\Gamma _{L}e^{-2jkl} \right )\nonumber \\ & =j\textrm{V}_{+}\left ( 1-\Gamma _{L} \right )\end{align} \nonumber \]

    lo que nos permite resolver\(\textrm{V}_{+}\) por

    \[ \textrm{V}_{+}=\frac{-jV_{0}}{2\left ( 1-\Gamma _{L} \right )}=\frac{-jV_{0}}{4Z_{0}}\left ( R_{L}+jX_{L}+Z_{0} \right ) \nonumber \]

    La potencia promedio de tiempo disipada en la carga es entonces

    \ [\ begin {align &= <P_ {L} >\ frac {1} {2}\ textrm {Re}\ izquierda [\ hat {v}\ izquierda (z=0\ derecha)\ hat {\ imath ^ {\ ast}}\ izquierda (z=0\ derecha)\ derecha]\ nonumber\\ & =
    \ frac {1} {2}\ izquierda |\ sombrero {\ imath} izquierda (z=0\ derecha)\ derecha |^ {2} R_ {L}\ nonumber\\ & =
    \ frac {1} {2}\ izquierda |\ textrm {V} _ _ {+}\ derecha |^ {2}\ izquierda | 1-_ {L}\ derecha |^ {2} Y_ {0} ^ {2} R_ {L}\ nonumber\\ &
    =\ frac {1} {8} V_ {0} ^ {2} Y_ {0} ^ {2} R_ {L}\ end {align}\ nonumber\]

    que concuerda con (9).

    (b) Coincidencia de Cuarto de Longitud de

    Se desea hacer coincidir la resistencia de carga\(R_{L}\) a la línea de transmisión con impedancia característica\(Z_{1}\) para cualquier valor de su longitud\(l_{1}\). Como se muestra en la Figura 8-17b, conectamos la carga a\(Z_{1}\) través de otra línea de transmisión con impedancia característica\(Z_{2}\). Deseamos encontrar los valores de\(Z_{2}\) y\(l_{2}\) necesarios para\(R_{L}\) igualar\(Z_{1}\).

    Este problema es análogo al problema del recubrimiento dieléctrico del Ejemplo 7-1, donde se encontró que las reflexiones podrían eliminarse si el espesor del recubrimiento entre dos medios dieléctricos diferentes era un múltiplo entero impar de un cuarto de longitud de onda y cuya impedancia de onda era igual al promedio geométrico del impedancia en cada región adyacente. La carga normalizada en\(Z_{2}\) es entonces\(Z_{n2}=R_{L}/Z_{2}\). Si\(l_{2}\) es un múltiplo entero impar de un cuarto de longitud de onda, la impedancia normalizada\(Z_{n2}\) reflejada de nuevo a la primera línea se invierte en\(Z_{2}/R_{L}\). La impedancia real se obtiene multiplicando esta impedancia normalizada por\(Z_{2}\) para dar\(Z_{2}^{2}/R_{L}\). \(Z_{in}\)Para que se adapte a\(Z_{1}\) para cualquier valor de\(l_{1}\), esta impedancia debe coincidir con\(Z_{1}\):

    \[ Z_{1}=Z_{2}^{2}/R_{L}\Rightarrow Z_{2}=\sqrt{Z_{1}R_{L}} \nonumber \]

    La Gráfica Smith

    Debido a que el rango de valores permitidos de\(\Gamma _{L}\) debe estar contenido dentro de un círculo unitario en el plano complejo, todos los valores de\(Z_{n}\left ( z \right )\) pueden ser mapeados por una transformación dentro de este círculo unitario usando (8). Esta transformación es lo que hace que las sustituciones de (3) - (8) sean tan valiosas. Una ayuda gráfica de esta transformación matemática fue desarrollada por P. H. Smith en 1939 y es conocida como la carta de Smith. El uso de la gráfica Smith evita el tedio en la resolución de problemas con números complejos.

    Definamos las partes real e imaginaria de la impedancia normalizada en algún valor de\(z\) como

    \[ Z_{n}\left ( z \right )=r+jx \nonumber \]

    El coeficiente de reflexión tiene igualmente partes reales e imaginarias dadas como

    \[\Gamma \left ( z \right )=\Gamma _{r}+j\Gamma _{i} \nonumber \]

    Usando (7) tenemos

    \[r+jx=\frac{1+\Gamma _{r}+j\Gamma _{i}}{1-\Gamma _{r}-j\Gamma _{i}} \nonumber \]

    Multiplicar numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador\(\left (1-\Gamma _{r}+j\Gamma _{i}  \right )\) y separar las partes reales e imaginarias rinde

    \ [r=\ frac {1-\ Gamma _ {r} ^ {2} -\ Gamma _ {i} ^ {2}} {\ izquierda (1-\ Gamma _ {r}\ derecha) ^ {2} +\ Gamma _ {i} ^ {2}}\
    r=\ frac {2\ Gamma _ {i}} {\ izquierda (1-\ Gamma _ {r}\ derecha) ^ {2} +\ Gamma _ {i} ^ {2}}\ nonumber\]

    Como deseamos trazar (19) en el\(\Gamma _{r}-\Gamma _{i}\) plano reescribimos estas ecuaciones como

    \ [\ izquierda (\ Gamma _ {r} -\ frac {r} {1+r}\ derecha) ^ {2} +\ Gamma _ {i} ^ {2} =\ frac {1} {\ izquierda (1+r\ derecha) ^ {2}}\
    \ izquierda (\ Gamma _ {r} -1\ derecha) ^ {2} +\ izquierda (\ Gamma _ {i} -\ frac {1} {x}\ derecha) ^ {2} =\ frac {1} {x^ {2}}\ nonumber\]

    Ambas ecuaciones en (20) describen una familia de círculos ortogonales. La ecuación superior es la de un círculo de radio\(1/(1 +r)\) cuyo centro está en la posición\(\Gamma _{i}=0,\,\Gamma _{r}=r/\left ( 1+r \right )\). La ecuación inferior es un círculo de radio\(\left | 1/x \right |\) centrado en la posición\(\Gamma _{r}=1,\,\Gamma _{i}=1/x\). La Figura 8-18a ilustra estos círculos para un valor particular de\(r\) y\(x\), mientras que la Figura 8-1 8b muestra algunos valores representativos de\(r\) y\(x\). En la Figura 8-19, tenemos una gráfica completa de Smith. Solo aquellas partes de los círculos que se encuentran dentro del círculo unitario en el\(\Gamma\) plano se consideran pasivas

    18a.jpg
    Figura 8-18 Para cargas pasivas, el gráfico Smith se construye dentro del círculo unitario en el\(\Gamma\) plano complejo. (a) Se construyen círculos de resistencia\(r\) y reactancia\(x\) normalizadas constantes con los centros y radios mostrados. (b) Construcción de gráficos Smith para diversos valores de\(r\) y\(x\).

    cargas resistivo-reactivas. Los valores de\(\Gamma\left ( z \right )\) sí mismos no suelen ser importantes y por lo tanto no están listados, aunque se pueden encontrar fácilmente a partir de (8). Tenga en cuenta que todos los círculos pasan por el punto\(\Gamma _{r}=1,\,\Gamma _{i}=0\).

    El exterior del círculo está calibrado en longitudes de onda hacia el generador, por lo que si se conoce la impedancia en algún punto de la línea de transmisión (generalmente en el extremo de carga), la impedancia en cualquier otro punto de la línea se puede encontrar usando solo una brújula y una regla. A partir de la definición de\(\Gamma\left ( z \right )\) in (5) con\(z\) negativo, nos movemos en sentido horario alrededor del gráfico Smith cuando nos dirigimos hacia la fuente y en sentido antihorario cuando nos movemos hacia la carga.

    18.jpg
    Figura 8-18

    En particular, considere el sistema de líneas de transmisión en la Figura 8-20a. La impedancia de carga normalizada es\(Z_{n}=1+j\). Usando el gráfico Smith en la Figura 8-20b, encontramos la impedancia de carga en la posición\(A\). La impedancia efectiva reflejada de nuevo a\( z = -l\) debe estar en el círculo de radio constante que regresa a\( A\) siempre que\(l\) sea un múltiplo entero de media longitud de onda. La tabla de la Figura 8-20 enumera la impedancia a\(z = -l\) para varias longitudes de línea. Tenga en cuenta que en el punto\( C\), donde\(l=\lambda /4\), que la impedancia normalizada es el recíproco de

    19.jpg
    Figura 8-19 Una gráfica completa de Smith.

    que en\(A\). De manera similar, la impedancia normalizada a\(B\) es la recíproca de esa at\(D\).

    La corriente de la fuente de voltaje se encuentra usando el circuito equivalente que se muestra en la Figura 8-20c como

    \[ i=\left | \hat{I} \right |\sin \left ( wt-\phi  \right ) \nonumber \]

    donde están la magnitud actual y el ángulo de fase

    \[ \left | \hat{I} \right |=\frac{\textrm{V}_{0}}{\left | 50+Z\left ( z=-l \right ) \right |},\quad \phi =\tan ^{-1}\frac{\textrm{Im}\left [ Z\left ( z=-l \right ) \right ]}{50+\textrm{Re}\left [ Z\left ( z=-l \right ) \right ]} \nonumber \]

    Los valores numéricos representativos se listan en la Figura 8-20.

    20a.jpg

    20b.jpg

    20c.jpg
    Figura 8-20 (a) La impedancia de carga\(z = 0\) reflejada de nuevo a la fuente se encuentra utilizando el gráfico (b) Smith para varias longitudes de línea. Una vez que se conoce esta impedancia, la corriente fuente se encuentra resolviendo el circuito en serie simple en (c).

    Parámetros de onda estacionaria

    La impedancia y el coeficiente de reflexión no se miden fácilmente directamente a frecuencias de microondas. En la práctica, uno desliza un voltímetro de CA a través de una línea de transmisión ranurada y mide la magnitud del voltaje pico o rms y no su ángulo de fase.

    De (6) la magnitud del voltaje y la corriente en cualquier posición\(z\) es

    \ [\ izquierda |\ hat {v}\ izquierda (z\ derecha)\ derecha |=\ izquierda |\ textrm {V} _ {+}\ derecha |\ izquierda | 1+\ Gamma\ izquierda (z\ derecha)\ derecha |\\
    \ izquierda |\ hat {\ imath}\ izquierda (z\ derecha)\ derecha |=Y_ {0}\ izquierda |\ textrm {V} _ _ +}\ derecha |\ izquierda | 1-\ Gamma\ izquierda (z\ derecha)\ derecha |\ nonumber\]

    A partir de (23), las variaciones de las magnitudes de voltaje y corriente pueden ser dibujadas por una construcción simple en el plano F, como se muestra en la Figura 8-21. Tenga en cuenta nuevamente que\(\left | \textrm{V}_{+} \right |\) es solo un número real independiente de\(z\) y eso\(\left |\Gamma \left ( z \right )  \right |\leq 1\) para una terminación pasiva. Trazamos\(\left |1+\Gamma \left ( z \right )  \right |\) y\(\left |1-\Gamma \left ( z \right )  \right |\) ya que estos términos son proporcionales a las magnitudes de voltaje y corriente, respectivamente. Las siguientes propiedades de esta

    21.jpg
    Figura 8-21 Las magnitudes de voltaje y corriente a lo largo de una línea de transmisión son respectivamente proporcionales a las longitudes de los vectores\(\left |1+\Gamma \left ( z \right )  \right |\) y\(\left |1-\Gamma \left ( z \right )  \right |\) en el\(\Gamma \) plano complejo.

    estructura son aparentes:

    1. La magnitud de la corriente es menor y la magnitud del voltaje mayor cuando está\(\Gamma \left ( z \right )=1\) en el punto\(A\) y viceversa cuando está\(\Gamma \left ( z \right )=-1\) en el punto\(B\).
    2. El voltaje y la corriente están en fase en los puntos de magnitud máxima o mínima de ya sea en puntos\(A\) o\(B\).
    3. Una rotación de un ángulo\(\pi \) corresponde a un cambio de\(\lambda /4\) in\(z\),\(\Gamma \left ( z \right )\) por lo tanto, cualquier voltaje (o corriente) máximo está separado por\(\lambda /4\) de sus mínimos más cercanos a cada lado.

    Al trazar las longitudes de los fasores\(\left |1\pm \Gamma \left ( z \right ) \right |\), como en la Figura 8-22, obtenemos una gráfica de lo que se llama el patrón de onda estacionaria en la línea. Observe que las curvas no son sinusoidales. Los mínimos son más agudos que los máximos, por lo que los mínimos generalmente se ubican en posición más precisamente por medición que por los máximos.

    A partir de las Figuras 8-21 y 8-22, la relación entre la magnitud máxima de voltaje y la magnitud mínima de voltaje se define como la relación de onda estacionaria de voltaje, o\(\textrm{VSWR}\) para abreviar:

    \[ \frac{\left | \hat{v}\left ( z \right ) \right |_{max}}{\left | \hat{v}\left ( z \right ) \right |_{min}}=\frac{1+\left | \Gamma _{L} \right |}{1-\left | \Gamma _{L} \right |}=\textrm{VSWR} \nonumber \]

    El\(\textrm{VSWR}\) se mide simplemente registrando las lecturas más grandes y más pequeñas de un voltímetro deslizante. Una vez que\(\textrm{VSWR}\) se mide, la magnitud del coeficiente de reflexión se puede calcular a partir de (24) como

    \[ \left | \Gamma _{L} \right |=\frac{\textrm{VSWR}-1}{\textrm{VSWR}+1} \nonumber \]

    El ángulo\(\phi \) del coeficiente de reflexión

    \[  \Gamma _{L} =\left | \Gamma _{L} \right |e^{j\phi } \nonumber \]

    también se puede determinar a partir de estas mediciones de onda estacionaria. De acuerdo con la Figura 8-21,\(\Gamma \left ( z \right )\) debemos oscilar en sentido horario a través de un ángulo a\(\phi +\pi \) medida que nos movemos desde la carga\(z =0\) hacia el generador hasta el primer voltaje mínimo en\(B\). La distancia más corta\(d_{min}\) que debemos mover para alcanzar el primer mínimo de voltaje viene dada por

    \[ 2kd_{min}=\phi +\pi  \nonumber \]

    o

    \[ \frac{\phi }{\pi }=4\frac{d_{min}}{\lambda }-1 \nonumber \]

    22.jpg

    22_2.jpg
    Figura 8-22 Patrones de onda estacionaria de voltaje y corriente trazados para diversos valores del VSWR.

    Una medición de\(d_{min}\), así como una determinación de la longitud de onda (la distancia entre mínimos o máximos sucesivos es\(\lambda /2\)) produce el coeficiente de reflexión complejo de la carga utilizando (25) y (28). Una vez que conocemos el coeficiente de reflexión complejo podemos calcular la impedancia de carga a partir de (7). Estas mediciones de onda estacionaria son suficientes para determinar la impedancia de carga de terminación\(Z_L\). Estas propiedades de medición del coeficiente de reflexión de carga y su relación con la impedancia de carga son de gran importancia a altas frecuencias donde la medición absoluta de voltaje o corriente puede ser difícil. Algunos casos especiales de interés son:

    1. Línea coincidente — Si\(\Gamma _{L}=0\), entonces\(\textrm{VSWR} =1\). La magnitud del voltaje es constante en todas partes de la línea.
    2. Línea cortocircuitada o abierta — Si\(\Gamma _{L}=1\), entonces\(\textrm{VSWR} =\infty \). El voltaje mínimo en la línea es cero.
    3. El voltaje normalizado pico\(\left | \hat{v}\left ( z \right )/V_{+} \right |\) es\(1+\left | \Gamma _{L} \right |\) mientras que el voltaje normalizado mínimo es\(1-\left | \Gamma _{L} \right |\).
    4. El voltaje normalizado at\(z =0\) es\(\) mientras que la corriente normalizada\(\left | \hat{i}\left ( z \right )/Y_{0}V_{+} \right |\) at\(z = 0\) es\(1-\left | \Gamma _{L} \right |\).
    5. Si la impedancia de carga es real\(\left ( Z_L+R_L \right )\), entonces (4) nos muestra que rL es real. Después evaluando (7) en\(z =0\), donde\(\Gamma \left ( z=0 \right )=\Gamma _{L}\), vemos que cuando\(Z_{L}> Z_{0}\) eso\(\textrm{VSWR} =Z_{L}/ Z_{0} \) mientras que si\(Z_{L}<Z_{0}\),\(\textrm{VSWR}=Z_{0}/Z_{L}\).

    Para una terminación general, si conocemos el\(\textrm{VSWR}\) y\(d_{min}\), podemos calcular la impedancia de carga de (7) como

    \ [\ begin {align} Z_ {L} &=Z_ {0}\ frac {1+\ izquierda |\ Gamma _ {L}\ derecha |e^ {j\ phi}} {1-\ izquierda |\ Gamma _ {L}\ derecha |e^ {j\ phi}}\ nonumber\\ &
    =Z_ {0}\ frac {\ izquierda [\ textrm {VSWW R} +1+\ izquierda (\ textrm {VSWR} -1\ derecha) e^ {j\ phi}\ derecha]} {\ izquierda [\ textrm {VSWR} +1-\ izquierda (\ textrm {VSWR} -1\ derecha) e^ {j\ phi}\ derecha ]}\ end {align}\ nonumber\]

    Multiplicar por\(e^{j\phi /2}\) y luego simplificar los rendimientos

    \ [\ begin {align} Z_ {L} &=\ frac {Z_ {0}\ izquierda [\ textrm {VSWR} -j\ tan\ izquierda (\ phi /2\ derecha)\ derecha]} {\ izquierda [1-j\ textrm {VSWR}\ tan\ izquierda (\ phi /2\ derecha)\ derecha]}\ nonumber\\ &
    =\ frac Z_ {0}\ izquierda [\ textrm {VSWR} -j\ tan\ izquierda (\ phi /2\ derecha)\ derecha]} {\ izquierda [1-j\ textrm {VSWR}\ tan\ izquierda (\ phi /2\ derecha)\ derecha]}\ end {align}\ nonumber\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\) EXAMPLE 8-2 VOLTAGE STANDING WAVE RATIO

    El\(\textrm{VSWR}\) en una línea de transmisión\(50-\textrm{Ohm}\) (impedancia característica) es\(2\). La distancia entre mínimos de voltaje sucesivos es\(40\,\textrm{cm}\) mientras que la distancia desde la carga hasta los primeros mínimos es\(10\,\textrm{cm}\). ¿Cuál es el coeficiente de reflexión y la impedancia de carga?

    SOLUCIÓN

    Se nos da

    \ [\ textrm {VSWR} =2\\
    kd_ {min} =\ frac {2\ pi\ izquierda (10\ derecha)} {2\ izquierda (40\ derecha)} =\ frac {\ pi} {4}\ nonumber\]

    El coeficiente de reflexión se da de (25) - (28) como

    \[ \Gamma _{L}=\frac{1}{3}e^{-j\pi /2}=\frac{-j}{3} \nonumber \]

    mientras que la impedancia de carga se encuentra a partir de (30) como

    \ [\ begin {align} Z_ {L} &=\ frac {50\ izquierda (1-2j\ derecha)} {2-j}\ nonumber\\ &
    =40-30j\,\ textrm {ohm}\ end {align}\ nonumber\]


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