9.5: Problemas
- Page ID
- 86706
Sección 9.1
Deseamos encontrar las propiedades de las ondas que se propagan dentro de un medio dieléctrico lineal que también tenga una conductividad óhmica\(\sigma \).
(a) ¿Cuáles son las ecuaciones de Maxwell en este medio?
(b) Definir potenciales vectoriales y escalares, ¿qué condición de calibre desacopla estos potenciales?
(c) Una carga puntual a\(r=0\) varía sinusoidalmente con el tiempo como\(\mathcal{Q}\left ( t \right )=\textrm{Re}\left ( \hat{\mathcal{Q}}e^{j\omega t} \right )\). ¿Cuál es el potencial escalar?
d) Repetir los apartados a) a c) para las ondas en un medio plasmático con derecho constitutivo
\(\frac{\partial \textbf{J}_{f}}{\partial t}=\omega _{p}^{2}\varepsilon \textbf{E}\)
Una hoja de corriente infinita en\(z=0\) varía como\(\textrm{Re}\left [ K_{0}e^{j\left ( \omega t-k_{x}x \right )}\textbf{i}_{x} \right ]\)
(a) Encontrar los potenciales vectoriales y escalares.
b) ¿Cuáles son los campos eléctrico y magnético?
(c) Repita (a) y (b) si la corriente se distribuye uniformemente sobre una losa plana de espesor\(2a\):
\ (\ textbf {J} _ _ {f} =\ izquierda\ {\ begin {array} {ll}
\ displaystyle J_ {0} e^ {j\ left (\ omega t-k_ {x} x\ derecha)}\ textbf {i} _ _ {x}, &\ quad -a< z< a\
\\ displaystyle 0, & quad\ izquierda |z\ derecha |> a
\ end {array}\ derecho.\)
Una esfera de radio\(R\) tiene una distribución uniforme de carga superficial\(\sigma _{f}=\textrm{Re}\left ( \hat{\sigma }_{0}e^{j\omega t} \right )\) donde la carga superficial variable en el tiempo se debe a una corriente de conducción puramente radial.
(a) Encontrar los potenciales escalares y vectoriales, dentro y fuera de la esfera. (Pista:\(r_{\mathcal{Q}P}^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos \theta ;\quad r_{\mathcal{Q}P}dr_{\mathcal{Q}P}=rR\sin \theta d\theta \).)
b) ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos en todas partes?
Sección 9.2
Encuentre las longitudes efectivas, las resistencias a la radiación y las distribuciones de carga de línea para cada una de las siguientes distribuciones de corriente válidas para\(\) en un dipolo eléctrico puntual con longitud corta\(\left | z \right |< dl/2\):
(a)\(\hat{I}\left ( z \right )=I_{0}\cos \alpha z\)
b)\(\hat{I}\left ( z \right )=I_{0}e^{-\alpha \left | z \right |}\)
c)\(\hat{I}\left ( z \right )=I_{0}\cosh \alpha z\)
¿Cuál es la densidad de potencia promedio en el tiempo, la potencia promedio en el tiempo total y la resistencia a la radiación de un dipolo magnético puntual?
Un campo\(\textrm{Re}\left ( \textbf{E}_{0}e^{j\omega t} \right )\) eléctrico de onda plana incide sobre una partícula esférica perfectamente conductora de radio\(R\) que es mucho más pequeña que la longitud de onda.
a) ¿Cuál es el momento dipolo inducido? (Pista: Ver Sección 4-4-3.)
(b) Si la partícula pequeña es, en cambio, un dieléctrico puro sin pérdidas con permitividad\(\varepsilon \), ¿cuál es el momento dipolar inducido?
c) Para ambos casos, ¿cuál es la potencia dispersa promedio en el tiempo?
Un campo\(\textrm{Re}\left ( \textbf{H}_{0}e^{j\omega t} \right )\) magnético de onda plana incide sobre una partícula perfectamente conductora que es mucho más pequeña que la longitud de onda.
(a) ¿Cuál es el momento dipolo magnético inducido? (Pista: Ver Sección 5-7-2ii y 5-5-1.)
b) ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos re-radiados?
c) ¿Cuál es la potencia dispersa promedio en el tiempo? ¿Cómo varía con la frecuencia?
(a) Para el dipolo magnético, ¿cómo se relacionan las líneas del campo magnético con el potencial vectorial\(\textbf{A}\)?
b) ¿Cuál es la ecuación de estas líneas de campo?
Sección 9.3
Dos dipolos alineados\(\hat{I}_{1}dl\) y\(\hat{I}_{2}dl\) se colocan a lo largo del\(z\) eje a una distancia de\(2a\) distancia. Los dipolos tienen la misma longitud mientras que las corrientes tienen magnitudes iguales pero diferencia de fase\(\mathcal{X}\).
a) ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos lejanos?
b) ¿Cuál es la densidad de potencia promedio en el tiempo?
c) ¿En qué ángulos es cero o máxima la densidad de potencia?
(d) Porque\(2a=\lambda /2\), ¿qué valores de\(\mathcal{X}\) dar una matriz broadside o end-fire?
(e) Repita (a) - (c) para dipolos alineados\(2N+1\) igualmente espaciados a lo largo del\(z\) eje con diferencia de fase incremental\(\mathcal{X}_{0}\).
Tres dipolos de igual longitud\(dl\) se colocan a lo largo del\(z\) eje.
(a) Encontrar los campos eléctricos y magnéticos lejanos.
b) ¿Cuál es la densidad de potencia promedio en el tiempo?
(c) Para cada uno de los siguientes casos encontrar los ángulos donde la densidad de potencia sea cero o máxima.
(i)\(\hat{I}_{1}=\hat{I}_{3}=\hat{I}_{0},\hat{I}_{2}=2\hat{I}_{0}\)
ii)\(\hat{I}_{1}=\hat{I}_{3}=\hat{I}_{0},\hat{I}_{2}=-2\hat{I}_{0}\)
iii)\(\hat{I}_{1}=-\hat{I}_{3}=\hat{I}_{0},\hat{I}_{2}=2j\hat{I}_{0}\)
Muchos dipolos puntuales estrechamente espaciados de longitud\(dl\) colocados a lo largo del\(x\) eje accionado en fase se aproximan a una hoja\(\textrm{Re}\left ( K_{0}e^{j\omega t}\textbf{i}_{z} \right )\) de longitud de corriente\(z\) dirigida por z\(L\).
(a) Encuentra los campos lejanos de esta hoja actual.
b) ¿En qué ángulos es mínima o máxima la densidad de potencia?
Sección 9.4
Encuentre los campos lejanos y la densidad de potencia promedio en el tiempo para cada una de las siguientes distribuciones de corriente en un dipolo largo:
\ (\ left (a\ right)\ quad\ hat {I}\ left (z\ right) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
I_ {0}\ left (1-2z/L\ right), &\ quad 0< z< z< L/2\
I_ {0}\ left (1+2z/L\ right), &\ quad -L/2 < z< 0
\ end {array}\ derecho.\)
Pista:
\(\int z\,e^{az}dz=\frac{e^{az}}{a^{2}}\left ( az-1 \right )\)
\(\left ( b \right )\quad \hat{I}\left ( z \right )=I_{0}\cos \pi z/L,\quad -L/2< z< L/2\)
Pista:
\(\int e^{az}\cos pz\,dz=e^{az}\frac{\left ( a\cos pz+p\sin pz \right )}{\left ( a^{2}+p^{2} \right )}\)
\(\left ( c \right )\quad \)Para estos casos encontrar la resistencia a la radiación cuando\(kL\ll 1\).