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7.4: Discusión y lectura adicional

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    Este capítulo sólo rasca la superficie de la conexión entre álgebra y el DFT o procesamiento de señales en general. Proporcionamos algunas referencias para su posterior lectura.

    Derivación algebraica de algoritmos de transformación

    Como se mencionó anteriormente, el uso de álgebras polinomiales y el CRT subyace en gran parte del trabajo inicial sobre FFT y algoritmos de convolución. Por ejemplo, el trabajo de Winograd sobre FFT minimiza el número de multiplicaciones no racionales. Esto y su trabajo sobre la teoría de la complejidad en general hace un uso intensivo de álgebras polinomiales (ver Capítulo Winograd's Short DFT Algorithms para más información y referencias).

    Dado que se\(\mathbb{C}[x]/(s^N-1)=\mathbb{C}[C_N]\) puede ver un álgebra de grupo para el grupo cíclico, los métodos mostrados en este capítulo pueden traducirse al contexto de la teoría de la representación grupal. Sin embargo, las transformadas de Fourier para grupos solo han encontrado aplicaciones esporádicas. A lo largo de una línea de trabajo relacionada, utilizando la teoría de grupos es posible que para descubrir y generar ciertos algoritmos para transformaciones trigonométricas, como las transformadas discretas de coseno (DCT), automáticamente usando un programa de computadora.

    Más recientemente, el marco de álgebra polinomial se extendió para incluir la mayoría de las transformaciones trigonométricas utilizadas en el procesamiento de señales, además de la DFT, las transformadas discretas de coseno y seno y varias DFT reales, incluida la transformada discreta de Hartley. Resulta que las mismas técnicas que se muestran en este capítulo se pueden aplicar para derivar, explicar y clasificar la mayoría de los algoritmos conocidos para estas transformaciones e incluso obtener una gran clase de nuevos algoritmos que incluyen algoritmos general-radix para las transformaciones discretas de coseno y seno (DCTS/DSTs).

    Esta última línea de trabajo es parte de la teoría algebraica del procesamiento de señales brevemente discutida a continuación.

    Teoría del procesamiento de señales algebraicas

    Las propiedades algebraicas de las transformaciones utilizadas en el trabajo anterior sobre la derivación de algoritmos indican una conexión entre el álgebra y el procesamiento de señal (lineal) en sí mismo. Este es de hecho el caso y fue completamente desarrollado en un reciente cuerpo de trabajo llamado teoría algebraica de procesamiento de señales (ASP).

    ASP identifica primero la estructura algebraica del procesamiento de señales (lineal): los supuestos comunes sobre las operaciones disponibles para filtros y señales hacen del conjunto de filtros un álgebraAA“role="presentation” style="position:relative;” tabindex="0">


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