3.8: Experimento Numérico (Patrones de Interferencia)

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Vamos a sumar dos sinusoides cuyas amplitudes y frecuencias son idénticas y cuyas fases son diferentes:

\[x(t)=A\cos(ωt+φ)+A\cos(ωt+φ+ψ) \nonumber \]

Mostrar analíticamente que esta suma tiene la representación fasorial

\[X=2A\cos(\frac ψ 2)e^{j[φ+(ψ/2)]} \nonumber \]

Interpretar este hallazgo. Luego escriba un programa de MATLAB que compute y presente un trazado complejo\(X\) en el plano complejo a medida que\(ψ\) varía de 0 a\(2π\) y que traza la magnitud\(|X|\), y la fase,\(\mathrm{arg}X\), versus el ángulo de fase\(ψ\). (Tendrás que elegir\(ψ=n\frac {2π} N\),\(n=0,1,...,N−1\), para un adecuado\(N\).) ¿Cuándo obtienes una interacción constructiva y cuándo obtienes interferencia destructiva? Ahora computar y trazar\(x(t)\) versus\(t\) (necesitarás discretizar\(t\)) para varios valores interesantes de\(ψ\). Explique sus resultados de interferencia en términos de la amplitud y fase de\(x(t)\) y la magnitud y fase de\(X\). Utilice las subparcelas discutidas en "Una introducción a MATLAB" para trazar todos sus resultados juntos.