4.4: Cosenos de dirección

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Vectores unitarios

Correspondiente a cada vector\(x\) hay un vector unitario\(u_x\) que apunta en la misma dirección que\(x\). El término vector unitario significa que la norma del vector es 1:

\[||u_x||=1 \nonumber \]

La pregunta es, dada\(x\), ¿cómo podemos encontrarla\(u_x\)? La primera parte de la respuesta es que\(u_x\) tendrá que ser un múltiplo escalar positivo de\(x\) para poder apuntar en la misma dirección que\(x\), como se muestra en esta Figura. Por lo tanto

\[u_x=αx \nonumber \]

Una gráfica cartesiana con una línea que se origina en el origen y que se extiende hacia arriba y hacia la izquierda. La línea en realidad consiste en dos flechas en una línea. La primera flecha termina en un punto. Debajo del punto se encuentra la expresión U_x Desde el punto de la flecha hasta el eje y hay un arco. El arco termina en el eje y y a la izquierda del punto donde termina está el número 1. Otro procede de donde terminó la flecha anterior y procede por la misma pendiente, termina en un punto y arriba y a la izquierda del punto es una X. — Figura\(\PageIndex{1}\): El vector de la unidad\(u_x\)

Pero, ¿qué es\(α\)? Tenemos que elegir para\(α\) que la norma de\(u_x\) sea 1:

\[||ux||=1 \nonumber \]

\[|αx||=1 \nonumber \]

\[|α|||x||=1 \nonumber \]

\[α=\frac {1} {||x||} \nonumber \]

Hemos bajado las barras de valor absoluto\(α\) porque\(||x||\) es positivo. El\(α\) que hace el trabajo es 1 sobre la norma de\(x\). Ahora podemos escribir fórmulas para\(u_x\) en términos\(x\) y\(x\) en términos de\(u_x\):

\[u_x=\frac 1 {||x||}x \nonumber \]

\[x=||x||u_x \nonumber \]

Entonces el vector\(x\) es su vector de dirección\(u_x\), escalado por su norma euclidiana.

Vectores de coordenadas unitarias

Hay un conjunto especial de vectores unitarios llamados vectores de coordenadas unitarias. El vector de coordenadas unitarias\(e_i\) es un vector unitario\(∇^n\) que apunta en la dirección positiva del eje de\(i^{\mathrm{th}}\) coordenadas. La Figura muestra los tres vectores de coordenadas unitarias en\(∇^3\).

La Figura 2 es una gráfica tridimensional que describe los vectores de coordenadas. El eje que apunta hacia la pantalla está etiquetado como x_1, el eje que apunta a la derecha está etiquetado como x_2 y el eje que apunta hacia arriba está etiquetado como x_3. Hay tres vectores en el diagrama, y cada uno sigue un eje, se etiquetan con una e y el subíndice correspondiente del eje sobre el que se dibujan, y son de longitud 1. — Figura\(\PageIndex{2}\): Vectores de coordenadas unitarias en R ³

Para el espacio tridimensional,\(R^3\), los vectores de coordenadas unitarias son

\[e_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \nonumber \]

De manera más general, en el espacio n-dimensional, hay vectores\(n\) de coordenadas unitarias dados por

La Figura 3 es un vector e_1 con flechas apuntando a una entrada específica en el vector, designando el i-ésimo elemento, y a la última entrada en el vector, designando un total de n elementos. — Figura\(\PageIndex{3}\)

Debes satisfacerte de que esta definición da como resultado vectores con una norma de l.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la norma del vector au donde\(u\) es un vector unitario.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentre el vector de unidad\(u_x\) en la dirección de

\(x=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)
\(x=\begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ −2 \end{bmatrix}\)
\(x=\begin{bmatrix} 1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{bmatrix}\)

Dirección Cosines

A menudo decimos que los vectores “tienen magnitud y dirección”. Esto es más o menos obvio de “Álgebra lineal: Vectores”, donde el vector tridimensional\(x\) tiene longitud\(\sqrt{x^2_1+x^2_2+x^2_3}\) y puntos en una dirección definida por los componentes\(x_1\),\(x_2\), y\(x_3\). Es perfectamente obvio a partir de la Ecuación\(\PageIndex{8}\) donde\(x\) se escribe como\(x=||x||\,u_x\). Pero tal vez haya otra representación para un vector que sitúe la noción de magnitud y dirección en evidencias aún más claras.

La siguiente figura muestra un vector arbitrario\(x∈R^3\) y los vectores de coordenadas unitarias tridimensionales\(e_1,e_2,e_3\). El producto interno entre el vector\(x\) y el vector unitario\(e_k\) solo lee el\(k^\mathrm{th}\) componente de\(x\):

\[(x,e_k)=(e_k,x)=x_k \nonumber \]

Dado que esto es cierto incluso en\(R^n\), cualquier vector\(x∈R^n\) tiene la siguiente representación en términos de vectores unitarios:

\[x=(x,e_1)e_1+(x,e_2)e_2+⋯+(x,e_n)e_n \nonumber \]

La figura cuatro es una gráfica tridimensional con cuatro vectores y ángulos medidos entre los vectores. A lo largo del eje que se mueve hacia la pantalla se encuentra el vector e_1, [1 0 0]. A lo largo del eje que sube la página se encuentra el vector e_3, [0 0 1]. El ángulo entre e_1 y e_3 se etiqueta θ_1. Un tercer vector se dibuja a lo largo del eje que se mueve hacia la derecha, y se etiqueta e_2 [0 1 0]. El ángulo entre e_2 y e_3 se etiqueta θ_2. Un cuarto y último vector se dibuja en las direcciones e_1 e_2 y e_3 positivas, y se etiqueta x. La magnitud de x se etiqueta como ||x||. El ángulo entre x y e_3 se etiqueta como θ_3. El ángulo entre la proyección de x sobre el eje e_1 e_2 y el vector e_1 se etiqueta Φ. — Figura\(\PageIndex{4}\): Los vectores unitarios tridimensionales

Generalicemos ahora nuestra noción de un ángulo\(θ\) entre dos vectores de la\(R^n\) siguiente manera:

\[\cosθ=\frac {(x,y)} {||x||||y||} \nonumber \]

La célebre desigualdad Cauchy-Schwarz establece eso\(−1−≤ \cos θ≤1\). Con esta definición de ángulo, podemos definir el ángulo\(θ_k\) que hace un vector con el vector unitario\(e_k\) para que sea

\[\cosθ_k=\frac {(x,e_k)} {||x||||e_k||} \nonumber \]

Pero la norma de\(e_k\) es 1, entonces

\[\cosθ_k=\frac {(x,e_k)} {||x||}=\frac {x_k} {||x||} \nonumber \]

Cuando este resultado se sustituye en la representación de x en Ecuación\(\PageIndex{11}\), obtenemos la fórmula

\[x=||x||\cosθ_1e_1+||x||\cosθ_2e_2+⋯+||x||\cosθ_ne_n=||x||(\cosθ_1e_1+\cosθ_2e_2+⋯+\cosθ_ne_n) \nonumber \]

Esta fórmula realmente muestra que el vector\(x\) tiene “magnitud”\(||x||\) y dirección\((θ_1,θ_2,...,θ_n)\) y que la magnitud y dirección son suficientes para determinar\(x\). Llamamos a (\(\cosθ_1, \cos θ_2,..., \cos θ_n\)) los cosenos de dirección para el vector\(x\). En el caso tridimensional, se ilustran en la Figura anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que Ecuación\(\PageIndex{12}\) concuerda con la definición habitual de un ángulo en dos dimensiones.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el coseno del ángulo entre\(x\) y\(y\) dónde

\(x=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\;y=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\)
\(x=\begin{bmatrix} 1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{bmatrix}\;y=\begin{bmatrix} −1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(x=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ −2 \end{bmatrix}\;y=\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ −4 \end{bmatrix}\)

Si comparamos Ecuación\(\PageIndex{8}\) y Ecuación\(\PageIndex{15}\) vemos que el vector de dirección\(u_x\) está compuesto por cosenos de dirección:

\[u_x=\cosθ_1e_1+\cosθ_2e_2+⋯+\cosθ_ne_n=\begin{bmatrix} \cosθ_1\\cosθ_2\\ ... \\ \cosθ_n \end{bmatrix} \nonumber \]

Con esta definición podemos escribir Ecuación de\(\PageIndex{15}\) forma compacta como

Aquí\(x\) se escribe como el producto de su magnitud\(||x||\) y su vector de dirección\(u_x\). Ahora podemos dar un procedimiento sencillo para encontrar los ángulos de dirección de un vector:

encontrar\(||x||\)
calcular\(u_x=\frac {x} {||x||}\)
tomar los cosenos de arco de los elementos de\(u_x\)

El paso 3 suele ser innecesario; usualmente estamos más interesados en el vector de dirección (vector unitario)\(u_x\). Los vectores de dirección se utilizan en la ciencia de los materiales para estudiar la orientación de las celosías cristalinas y en la teoría del campo electromagnético para caracterizar la dirección de propagación para radar y microondas. Los encontrarás de inestimable valor en tus cursos sobre campos electromagnéticos y diseño de antenas.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Esbozar un vector unitario arbitrario\(u∈R^3\). Etiquetar los cosenos de dirección y los componentes de\(u.S\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Calcular la norma y los cosenos de dirección para el vector\(x=\begin{bmatrix} 4\\2\\6 \end{bmatrix}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que los cosenos de dirección para cualquier vector satisfacen la igualdad

\[\cos^2θ_1+\cos^2θ_2+⋯+\cos^2θ_n=1 \nonumber \]
¿Qué implica esto sobre el número de escalares necesarios para determinar un vector\(x∈R^n\)?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Los astrónomos utilizan la ascensión derecha, la declinación y la distancia para localizar estrellas. En Figura estos son, respectivamente,\(−φ,\frac π 2 −θ_3, \mathrm{and} ||x||\). Representar\(x=(x_1,x_2,x_3)\) en términos de\(φ,θ3, \mathrm{and} ||x||\) solo. (Es decir, encontrar ecuaciones que dan\(φ,θ_3, \mathrm{and} ||x||\) en términos de\(x_1\),\(x_2\), y\(x_3\), y encontrar ecuaciones que dan\(x_1\),\(x_2\), y\(x_3\) en términos de\(φ,θ_3, \mathrm{and} ||x||\).)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

(MATLAB) Escribe una función MATLAB que acepte cualquier vector\(x∈R^n\) y calme sus cosenos de norma y dirección. Hacer\(x\) una variable de entrada, y hacer\(||x||\) y las variables\(u_x\) de salida.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejar\(x\) y\(y\) denotar dos vectores en\(R^n\) con cosenos de dirección respectivos\((\cosθ_1,\cosθ_2,...,\cosθ_n)\) y (\(\cosφ_1,\cosφ_2,...,\cosφ_n)\). Demostrar que\(ψ\), el ángulo entre\(x\) y\(y\), es

\[\cosψ=\cosθ_1\cosφ_1+\cosθ_2\cosφ_2+⋯+\cosθ_n\cosφ_n \nonumber \].
Especializar este resultado\(R^2\) para obtener información.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Calcular el ángulo entre los vectores\( x=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}\) y\(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\). Esbozar el resultado.