1.2: Geometría de números complejos

La nueva idea más fundamental en el estudio de los números complejos es el “número imaginario”\(j\). Este número imaginario se define como la raíz cuadrada de −1:

\[j = \sqrt{-1} \nonumber \]

\[j^2 = -1 \nonumber \]

El número imaginario\(j\) se utiliza para construir números complejos\(x\) y\(y\) de la siguiente manera:

\[z = x + jy \nonumber \]

Decimos que el número complejo\(z\) tiene “parte real”\(x\) y “parte imaginaria”\(y\):

\[z = \mathrm{Re}[z] + j \mathrm{Im}[z] \nonumber \]

\[\mathrm{Re}[z] = x; \mathrm{Im}[z] = y \nonumber \]

En MATLAB, la variable\(x\) se denota por real (z), y la variable\(y\) se denota por imag (z). En teoría de la comunicación,\(x\) se llama el componente “en fase” de\(z\), y\(y\) se llama el componente “cuadratura”. Llamamos a\(z=x+jy\) la representación cartesiana de\(z\), con componente real\(x\) y componente imaginario\(y\). Decimos que el par cartesiano\((x,y)\) codifica el número complejo\(z\).

Podemos trazar el número complejo\(z\) en el plano como en la Figura. Llamamos al eje horizontal el “eje real” y al eje vertical el “eje imaginario”. Al avión se le llama el “plano complejo”. El radio y ángulo de la línea al punto z=x+jy son

\[r = \sqrt{x^2 + y^2} \nonumber \]

\[θ = \tan^{-1}{\left(\frac {y}{x}\right)} \nonumber \]

En MATLAB,\(\) r se denota por abs (z) y\(θ\) se denota por ángulo (z)

Representaciones cartesianas y polares del número complejo\(z\)

La representación cartesiana original se obtiene a partir del radio\(r\) y ángulo de la\(θ\) siguiente manera:

\[x = r\cos{θ} \nonumber \]

\[y = r\sin{θ} \nonumber \]

Por lo tanto, el número complejo\(z\) puede escribirse como

\[z = x + jy \nonumber \]

\[z = r\cos{θ} + jr\sin{θ} \nonumber \]

\[z = r(\cos{θ} + j\sin{θ}) \nonumber \]

El número complejo\(\cosθ+j\sinθ\) es, en sí mismo, un número que puede representarse en el plano complejo y codificarse con el par cartesiano\((\cosθ,\sinθ)\). Esto se ilustra en la Figura. El radio y el ángulo al punto\(z=\cosθ+j\sinθ\) son 1 y\(θ\). ¿Puedes ver por qué?

El número complejo\(\cosθ+j\sinθ\)

El número complejo\(\cosθ+j\sinθ\) es de tal importancia fundamental para nuestro estudio de los números complejos que le damos el símbolo especial\(e^{jθ}\)

\[e^{jθ} = \cosθ+j\sinθ \nonumber \]

Como se ilustra en la Figura anterior, el número complejo\(e^{jθ}\) tiene radio 1 y ángulo\(θ\). Con el símbolo\(e^{jθ}\), podemos escribir el número complejo\(z\) como

\[z = re^{jθ} \nonumber \]

Llamamos\(z = re^{jθ}\) una representación polar para el número complejo\(z\). Decimos que el par polar\(r∠θ\) codifica el número complejo\(z\). En esta representación polar,\(|z|=r\) definimos como la magnitud de\(z\) y\(\mathrm{arg}(z)=θ\) ser el ángulo, o fase, de\(z\)

\[|z| = r \nonumber \]

\[/mathrm{arg}(z) = θ \nonumber \]

Con estas definiciones de magnitud y fase, podemos escribir el número complejo\(z\) como

\[z = |z|e^{j\mathrm{arg}(z)} \nonumber \]

Resumamos nuestras formas de escribir el número complejo z y registrar los códigos geométricos correspondientes

\[z = x + jy = re^{jθ} = |z|e^{j\mathrm{arg}(z)} \nonumber \]

En “Raíces de ecuaciones cuadráticas” mostramos que la definición\(e^{jθ}=\cosθ+j\sinθ\) es más que simbólica. Mostramos, de hecho, que\(e^{jθ}\) es solo la función familiar\(e^x\) evaluada en el argumento imaginario\(x=jθ\). Llamamos a\(e^{jθ}\) un “exponencial complejo”, lo que significa que es un exponencial con un argumento imaginario.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar\((j)^{2n}=(−1)^{n}\) y\((j)^{2n+1}=(−1)^{nj}\). Evaluar\(j^3,j^4,j^5\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar\(e^{j[(π/2)+m2π]}=j,\; e^{j[(3π/2)+m2π]}=−j,\; e^{j(0+m2π)}=1\), y\(e^{j(π+m2π)}=−1\). Trazar estas identidades en el plano complejo. (Supongamos que m es un número entero.)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la representación polar\(z=re^{jθ}\) para cada uno de los siguientes números complejos:

1. \(z=1+j0\)
2. \(z=0+j1\)
3. \(z=1+j1\)
4. \(z=−1−j1\)

Trazar los puntos en el plano complejo.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la representación cartesiana\(z=x+jy\) para cada uno de los siguientes números complejos:

1. \(z=\sqrt2 e^{jπ/2}\)
2. \(z=\sqrt2 e^{jπ/4}\)
3. \(z=e^{j3π/4}\)
4. \(z=\sqrt2 e^{j3π/2}\)

Trazar los puntos en el plano complejo.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Los siguientes códigos geométricos representan números complejos. Decodifique cada uno anotando el número complejo correspondiente\(z\):

1. \((0.7,−0.1)\)
2. \((−1.0,0.5)\)
3. \(1.6∠π/8\)
4. \(0.4∠7π/8\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demuestre eso\(\mathrm{Im}[jz]=\mathrm{Re}[z]\) y\(\mathrm{Re}[−jz]=\mathrm{Im}[z]\). Demo 1.1 (MATLAB). Ejecute el siguiente programa MATLAB para calcular y trazar el número complejo\(e^{jθ}\) para\(θ=i2π/360,i=1,2,...,360\):

j= sqrt (-1) n=360 para i=1:n, círculo (i) = exp (j*2*pi*i/n); final; eje ('cuadrado') trazado (círculo)

Reemplazar el bucle explícito for de la línea 3 por el bucle implícito

circle= exp (j*2*pi* [1:n] /n);

para acelerar el cálculo. Se puede ver en la Figura que el número complejo\(e^{jθ}\), evaluado en ángulos,\(θ=2π/360,2(2π/360),...,\) resulta números complejos que se encuentran en ángulo\(θ\) y radio 1. Decimos que\(e^{jθ}\) es un número complejo que se encuentra en el círculo unitario. Tendremos mucho más que decir sobre el círculo unitario en el Capítulo 2.

Los números complejos\(e^{jθ}\) para\(0≤θ≤2π\) (Demo 1.1)