1.3: Álgebra de números complejos
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Los números complejos forman un “campo” matemático en el que se definen las operaciones habituales de suma y multiplicación. Cada una de estas operaciones tiene una interpretación geométrica simple.
Adición y Multiplicación
Los números complejos\(z_1\) y\(z_2\) se suman de acuerdo con la regla
\[z_1+z_2 = (x_1+jy_1) + (x_2+jy_2) = (x_1+x_2) + j(y_1+y_2) \nonumber \]
Decimos que las partes reales se suman y las partes imaginarias se suman. Como se ilustra en la Figura, el número complejo\(z_1+z_2\) se calcula a partir de una “regla de paralelogramo”, en la que\(z_1+z_2\) se encuentra en el nodo de un paralelogramo formado a partir de\(z_1\) y\(z_2\).
Dejar\(z_1 = r_1e^{jθ_1}\) y\(z_2 = r_2e^{jθ_2}\). Encuentra una fórmula polar\(z_3 = r_3e^{jθ_3}\) para\(z_3 = z_1 + z_2\) que implique solo las variables\(r_1,r_2,θ_1,\) y\(θ_2\). La fórmula para\(r_3\) es la “ley de los cosenos”.
El producto de\(z_1\) y\(z_2\) es
\[z_1z_2=(x_1+jy_1)(x_2+jy_2) = (x_1x_2−y_1y_2)+j(y_1x_2+x_1y_2) \nonumber \]
Si las representaciones polares para\(z_1\) y\(z_2\) se utilizan, entonces el producto puede escribirse como 1
\ [\ begin {align}
z_ {1} z_ {2} &=\ quad r_ {1} e^ {j\ theta_ {1}} r_ {2} e^ {j\ theta_ {2}}\ label {}\\\
&=\ left (r_ {1}\ cos\ theta_ {1} +j r_ {1}\ sin theta_ {1}\ derecha)\ izquierda (r_ {2}\ cos\ theta_ {2} +j r_ {2}\ sin\ theta_ {2}\ derecha)\ etiqueta {}\\
&=\ izquierda (r_ {1}\ cos\ theta_ {1} r_ { 2}\ cos\ theta_ {2} -r_ {1}\ sin\ theta_ {1} r_ {2}\ sin\ theta_ {2}\ derecha)\ etiqueta {}\\
&+j\ izquierda (r_ {1}\ sin\ theta_ {1} r_ {2}\ cos\ theta_ {2} +r_ {1}\ cos\ theta_ {1} r_ {2}\ sin\ theta_ {2}\ derecha)\ etiqueta {}\\
&=\ quad r_ {1} r_ {2}\ cos\ izquierda (\ theta_ {1} +\ theta_ {2}\ derecha) +j r_ {1} r_ {2}\ sin\ izquierda (\ theta_ {1} +\ theta_ {2}\ derecha)\ etiqueta {}\\
&=\ quad r_ {1} r_ {2} e^ {j\ izquierda (\ theta_ {1} +\ theta_ {2}\ derecha)}\ label {}
\ end {align}\ nonumber\]
Decimos que las magnitudes se multiplican y los ángulos se suman. Como se ilustra en la Figura, el producto\(z_1z_2\) se encuentra en el ángulo\((θ_1+θ_2)\)
Rotación
Hay un caso especial de multiplicación compleja que cobrará mucha importancia en nuestro estudio de los fasores en el capítulo sobre los fasores. Cuando\(z_1\) es el número complejo\(z_1=r_1e^{jθ_1}\) y\(z_2\) es el número complejo\(z_2=r_1e^{jθ_2}\), entonces el producto de\(z_1\) y\(z_2\) es
\[z_1z_2=z_1e^{jθ_2}=r_1e^{j(θ_1+θ_2)} \nonumber \]
Como se ilustra en la Figura,\(\) z_1z_2\) es solo una rotación de\(z_1\) a través del ángulo\(θ_2\)
Comience con el número complejo\(z_1=x+jy=re^{jθ}\). Calcular el número complejo\(z_2=jz_1\) en sus formas cartesianas y polares. El número complejo a veces\(z_2\) se llama perp\((z_1)\). Explique por qué escribiendo autor\((z_1)\) como\(z_1e^{jθ_2}\). ¿Qué es\(θ_2\)? Repita este problema para\(z_3=−jz_1\).
Poderes
Si el número complejo\(z_1\) se multiplica\(N\) veces, entonces el resultado es
\[(z_1)^N=r^N_1e^{jNθ_1} \nonumber \]
Este resultado puede probarse con un simple argumento de inducción. Asumir\(zk_1=rk_1e^{jkθ_1}\). (La suposición es cierta para\(k=1\).) Después usa la recursión\(z^{k+1}_1=z^k_1z_1=r^{k+1}_1e^{j(k+1)θ_1}\). Iterar esta recursión (o inducción) hasta\(k+1=N\). ¿Se puede ver que, como\(n\) rangos desde\(n=1,...,N,\) el ángulo de z§va de\(θ_1\) a\(2θ_1\),..., a\(Nθ_1\) y el radio va de\(r_1\) a\(r^2_1\),..., a\(r^N_1\)? Este resultado se explora más a fondo en Problema 1.19
Conjugado complejo
Correspondiente a cada número complejo\(z= x+jy=re^{jθ}\) es el conjugado complejo
\[z^∗=x−jy=re^{−jθ} \nonumber \]
El número complejo\(z\) y su conjugado complejo se ilustran en la Figura. La receta para encontrar conjugados complejos es “cambiar\(j\) a\(−j\). Esto cambia el signo de la parte imaginaria del número complejo.
Magnitud Cuadrada
El producto de\(z\) y su complejo conjugado se llama la magnitud al cuadrado de\(z\) y se denota por\(|z|^2\)
\[|z|^2=z^∗z=(x−jy)(x+jy)=x^2+y^2=re^{−jθ}re^{jθ}=r^2 \nonumber \]
Tenga en cuenta que\(|z|=r\) es el radio, o magnitud, que definimos en “Geometría de números complejos”.
Escribir\(z^∗\) como\(z^∗=zw\). Encuentra\(w\) en sus formas cartesianas y polares.
Demuestra ese ángulo\((z_2z^∗_1)=θ_2−θ_1\).
Demostrar que las partes reales e imaginarias de\(z=x+jy\) pueden escribirse como
\[\mathrm{Re}[z]=\frac 1 2 (z+z^∗) \nonumber \]
\[\mathrm{Im}[z]=\overline{2j}(z−z^∗) \nonumber \]
Conmutatividad, asociatividad y distributividad
Los números complejos se desplazan, asocian y distribuyen bajo suma y multiplicación de la siguiente manera:
\[z_1+z_2 = z_2+z_1 \nonumber \]
\[z_1z_2 = z_2z_1 \nonumber \]
\[(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \nonumber \]
\[z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3 \nonumber \]
\[z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 \nonumber \]
Identidades e inversos
En el campo de los números complejos, el número complejo\(0+j0\) (denotado por 0) juega el papel de una identidad aditiva, y el número complejo\(1+j0\) (denotado por 1) juega el papel de una identidad multiplicativa:
\[z+0=z=0+z \nonumber \]
\[z1=z=1z \nonumber \]
En este campo, el número complejo\(−z=−x+j(−y)\) es el inverso aditivo de\(z\), y el número complejo\ (z^ {−1} =\ frac {x} {x^2+y^2} + j\ left (/frac {−y} {x^2+y^2}\ right) es el inverso multiplicativo:
\[z+(−z) = 0 \nonumber \]
\[zz^{−1} = 1 \nonumber \]
Demostrar que la inversa aditiva de\(z=re^{jθ}\) puede escribirse como\(re^{j(θ+π)}\).
Mostrar que la inversa multiplicativa de\(z\) puede escribirse como
\[z^{−1} = \frac {1} {z^∗z} z^∗ = \frac {1} {x^2 + y^2} (x−jy) \nonumber \]
Demostrar que\(z^∗z\) es real. Demostrar que\(z^{−1}\) también se puede escribir como
\[z^{−1} = r^{−1}e^{−jθ} \nonumber \]
Parcela\(z\) y\(z^{−1}\) para un representante\(z\).
Demostrar\((j)^{−1} = −j\).
Encuentra\(z^{−1}\) cuándo\(z = 1+j1\)
Demostrar\((z^{−1})^∗ = (z^∗)^{−1} = r^{−1}e^{jθ} = \frac {1} {z^∗z} z\). Parcela\(z\) y\((z^{−1})^∗\) para un representante\(z\).
Encuentra todos los números complejos\(z\) con la propiedad que\(jz = −z^∗\). Ilustrar estos números complejos en el plano complejo
Demostración 1.2 (MATLAB)
Crear y ejecutar el siguiente archivo de script (nómbralo Complex Numbers) 2
clear, clg
j=sqrt (-1)
z1=1+j*.5, z2=2+j*1.5
z3=z1+z2, z4=z1*z2
z5=conj (z1), z6=j*z2
avis ([-4 4 -4 4]), eje ('cuadrado'), parcela (z1, '0')
mantener en
parcela (z2, ''), parcela (z3, '+'), parcela (z4, '*'),
parcela (z2, '0'), parcela (z3, '+'), parcela (z4, '*'),
parcela (z5, 'x'), parcela (z6, 'x')
Con la ayuda del Apéndice 1, deberías poder anotar cada línea de este programa. Visualiza tu pantalla gráfica para verificar las reglas para agregar, multiplicar, conjugar y perp. Ver Figura.
\(z^0 = 1\)Demuéstralo.
(MATLAB) Elija\(z_1 = 1.05e^{j2π/16}\) y\(z_2 = 0.95e^{j2π/16}\). Escribir un programa MATLAB para calcular y trazar\(z^n_1\) y\(z^n_2\) para\(n = 1,2,...,32\). Deberías observar una figura como la de abajo.
Notas al pie
- Hemos utilizado las identidades trigonométricas\(cos(θ_1+θ_2) = cos{θ_1}cos{θ_2} − sin{θ_1}sin{θ_2}\) y\(sin(θ_1+θ_2) = sin{θ_1}cos{θ_2} + cos{θ_1}sin{θ_2}\) para derivar este resultado.
- Si está utilizando PC-MATLAB, deberá nombrar su archivo cmplxnos.m