1.4: Raíces de ecuaciones cuadráticas

Probablemente encontró números complejos por primera vez cuando estudió valores de\(z\) (llamados raíces o ceros) para los que se cumple la siguiente ecuación

\[az^2 + bz + c = 0 \nonumber \]

Para\(a≠0\) (como supondremos), esta ecuación puede escribirse como

\[z^2 + \frac b a z + \frac c a = 0 \nonumber \]

Denotemos el polinomio de segundo grado en el lado izquierdo de esta ecuación por\(p(z)\):

\[p(z)=z^2 + \frac b a z + \frac c a \nonumber \]

A esto se le llama polinomio mónico porque el coeficiente del término de mayor potencia\((z^2)\) es 1. Al buscar soluciones a la ecuación cuadrática\(z^2 + \frac b a z + \frac c a = 0\), realmente estamos buscando raíces (o ceros) del polinomio\(p(z)\). El teorema fundamental del álgebra dice que hay dos de esas raíces. Cuando los hayamos encontrado, podemos factorizar el polinomio de la\(p(z)\) siguiente manera:

\[p(z) = z^2 + \frac b a z + \frac c a = (z−z1)(z−z2) \nonumber \]

En esta ecuación,\(z_1\) y\(z_2\) son las raíces que buscamos. La forma factorizada\(p(z)=(z−z_1)(z−z_2)\) muestra claramente eso\(p(z_1) = p(z_2) = 0\), es decir, que la ecuación cuadrática\(p(z) = 0\) se resuelve para\(z=z_1\) y\(z=z_2\). En el proceso de factorización del polinomio\(p(z)\), resolvemos la ecuación cuadrática y viceversa.

Al igualar los coeficientes de\(z^2,z^1,\) y\(z^0\) en los lados izquierdo y derecho de la Ecuación, encontramos que la suma y el producto de las raíces\(z_1\) y\(z_2\) obedecen las ecuaciones

\[z_1 + z_2 = −\frac b a \nonumber \]

\[z_1z_2 = \frac c a \nonumber \]

Siempre debes verificar tus soluciones con estas ecuaciones.

Completando la Plaza

Para resolver la ecuación cuadrática\(z^2 + \frac b a z + \frac c a = 0\) (o, equivalentemente, para encontrar las raíces del polinomio\(z^2 + \frac b a z + \frac c a\)), “completamos el cuadrado” en el lado izquierdo de la ecuación:

\[\left(z + \frac b {2a}\right)^2 − \left(\frac b {2a} \right)^2 + \frac c a = 0 \nonumber \]

Esta ecuación puede ser reescrita como

\[\left(z + \frac b {2a}\right)^2 = \left(\frac 1 {2a} \right)^2 + \left(b^2 - 4ac\right) \nonumber \]

Podemos tomar la raíz cuadrada de cada lado para encontrar las soluciones

\[z_{1,2} = −\frac b {2a} ± \frac 1 {2a} \sqrt {b^2−4ac} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Con las raíces\(z_1\) y\(z_2\) definidas en la Ecuación 1.29, demostrar que\((z−z_1)(z−z_2)\) es, efectivamente, igual al polinomio\(z^2 + \frac b a z + \frac c a\). Verifica eso\(z_1+z_2=−\frac b a\) y\(z_1z_2=\frac c a\)

En la ecuación que define las raíces\(z_1\) y\(z_2\), el término\(b^2−4ac\) es crítico porque determina la naturaleza de las soluciones para\(z_1\) y\(z_2\). De hecho, podemos definir tres clases de soluciones dependiendo de\(b^2−4ac\).

Sobreamortiguado

\((b^2 − 4ac > 0)\). En este caso, las raíces\(z_1\) y\(z_2\) son

\[z_{1,2} = −\frac b {2a} ± \frac 1 {2a} \sqrt {b^2−4ac} \nonumber \]

Estas dos raíces son reales, y se ubican simétricamente alrededor del punto\(−\frac b {2a}\). Cuando\(b=0\), se ubican simétricamente alrededor de 0 en los puntos\(±\frac 1 {2a} \sqrt {−4ac}\). (En este caso,\(−4ac>0\).) Las soluciones típicas se ilustran en la Figura.

Raíces Típicas en el Caso Sobrehumedecido; (a)\(b/2a > 0, 4ac > 0,\) (b)\(b/2a > 0, 4ac<0,\) y (c)\(b/2a = 0, 4ac < 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Calcula y traza las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1. \(z^2+2z+\frac 1 2=0\)
2. \(z^2+2a−\frac 1 2=0\)
3. \(z^2−\frac 1 2=0\)

Para cada ecuación, verifique eso\(z_1+z_2=−\frac b a\) y\(z_1z_2=\frac c a\)

Amortiguado críticamente

\((b^2 − 4ac = 0)\). En este caso, las raíces\(z_1\) y\(z_2\) son iguales (decimos que se repiten):

\[z_1 = z_2 = −\frac b {2a} \nonumber \]

Estas soluciones se ilustran en la Figura.

Raíces en el Caso Criticamente Amortiguado; (a)\(b/2a>0,\) y (b)\(b/2a<0\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Calcula y traza las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1. \(z^2+2z+1=0\)
2. \(z^2−2z+1=0\)
3. \(z^2=0\)

Para cada ecuación, verifique eso\(z_1 + z_2 = −\frac b a\) y\(z_1z_2=\frac c a\)

Subamortiguado

\((b^2 − 4ac < 0)\). El caso poco amortiguado es, con mucho, el caso más fascinante. Cuando\(b^2 − 4ac < 0\), entonces la raíz cuadrada en las soluciones para\(z_1\) y\(z_2\)\(\left(z_{1,2} = −\frac b {2a} ± \frac 1 {2a} \sqrt {b^2−4ac}\right)\) produce un número imaginario. Podemos escribir\(b^2 − 4ac\) como\(−(4ac - b^2)\) y escribir\(z_{1,2}\) como

\[z_{1,2} = -\frac b {2a} ± -\frac 1 {2a} \sqrt {-(4ac−b^2)} = -\frac b {2a} ± -j\frac 1 {2a} \sqrt {4ac−b^2} \nonumber \]

Estas raíces complejas se ilustran en la Figura. Tenga en cuenta que las raíces son puramente imaginarias cuando\(b=0\), produciendo el resultado

\[z_{1,2} = ±j \sqrt {\frac c a} \nonumber \]

Raíces Típicas en el Caso Subamortiguado; (a)\(b/2a>0,\) (b)\(b/2a<0,\) y (c)\(b/2a=0\)

En este caso subamortiguado, las raíces\(z_1\) y\(z_2\) son conjugados complejos:

\[z_2 = z^∗_1 \nonumber \]

Así el polinomio\(p(z) = z^2 + \frac b a z + \frac c a = (z−z_1)(z−z_2)\) también toma la forma

\[p(z)=(z−z_1)(z−z^∗_1) = z^2 − 2 \mathrm {Re}[z_1]z + |z_1|^2 \nonumber \]

\(\mathrm {Re}[z_1]\)y\(|z_1|^2\) están relacionados con los coeficientes originales del polinomio de la siguiente manera:

\[2\mathrm {Re}[z_1] = −\frac b a \nonumber \]

\[∣z_1∣^2 = \frac c a \nonumber \]

Siempre revisa estas ecuaciones.

Exploremos estas conexiones más a fondo usando las representaciones polares para\(z_1\) y (z_2\):

\[z_{1,2} = re^{±jθ} \nonumber \]

Entonces la ecuación para el polinomio\(p(z)\) puede escribirse en la “forma estándar”

\[p(z)=(z−re^{jθ})(z−re^{−jθ}) = z^2 − 2r \cosθz +r^2 \nonumber \]

La ecuación es ahora

\[2r\cosθ = −\frac b a \nonumber \]

\[r^2 = \frac c a \nonumber \]

Estas ecuaciones pueden ser utilizadas para localizar\(z_{1,2} = re^{±jθ}\)
\[r = \sqrt{\frac c a} \nonumber \]

\[θ = ±\cos^{−1}{\left(\frac {-b} {\sqrt{4ac}}\right)} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que\(p(z)\) puede escribirse como\ (p (z) =z^2−2r\ cosθz+r^2 en el caso de subamortiguamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar las relaciones en Ecuación. Esbozar un procedimiento gráfico para localizar\(z_1 = re^{jθ}\) y\(z_2 = re^{−jθ}\) desde el polinomio\(z^2+\frac b a z + \frac c a\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Calcula y traza las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1. \(z^2+2z+2=0\)
2. \(z^2−2z+2=0\)
3. \(z^2+2=0\)

Para cada ecuación, verifique eso\(2 \mathrm {Re} [z_{1,2}] = −\frac b a\) y\(∣z_{1,2}∣^2 = \frac c a\).