1.6: Un Computación de Campo Eléctrico
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Hemos establecido que los vectores pueden ser utilizados para codificar números complejos. Por el contrario, se pueden usar números complejos para codificar o representar los componentes ortogonales de cualquier vector bidimensional. Esto los hace invaluables en la teoría del campo electromagnético, donde se utilizan para representar los componentes de los campos eléctricos y magnéticos.
El problema básico en la teoría del campo electromagnético es determinar el campo eléctrico o magnético que se genera por una distribución estática o dinámica de carga. La idea clave es aislar una carga infinitesimal, determinar el campo establecido por esta carga, y luego sumar los campos aportados por todas esas cargas infinitesimales. Esta idea se ilustra en la Figura, donde la carga\(λ\), distribuida uniformemente sobre un segmento lineal de longitud\(dx\) en el punto\(−x\), produce un campo\(dE(x)\) en el punto de prueba\((0,h)\). El campo\(dE(x)\) es un campo “vector” (a diferencia de un campo “escalar”), con componentes\(E1(x)\) y\(E2(x)\). La intensidad o intensidad de campo del campo\(dE(x)\) es
\[|dE(x)|=\frac {λdx} {4πϵ_0(h^2+x^2)} \nonumber \]
Pero la intensidad de campo se dirige en ángulo\(θ(x)\), como se ilustra en la Figura. El campo\(dE(x)\) es real con componentes\(dE_1(x)\) y\(dE_2(x)\), pero lo codificamos como un campo complejo. Decimos que el campo “complejo” en el punto de prueba\((0,h)\) es
\[dE(x)=\frac {λdx} {4πϵ_0(h^2+x^2)} e^{jθ(x)} \nonumber \]
con componentes\(dE_1(x)\) y\(dE_2(x)\). Es decir,
\[dE(x)=dE_1(x)+jdE_2(x) \nonumber \]
\[dE_1(x)=\frac {λdx} {4πϵ_0(h^2+x^2)} \cosθ(x) \nonumber \]
\[dE_2(x)=\frac {λdx} {4πϵ_0(h^2+x^2)} \sinθ(x) \nonumber \]
Para carga uniformemente distribuida con densidad\(λ\) a lo largo del eje x, el campo total en el punto de prueba\((0,h)\) se obtiene integrando\(dE\)
\[∫^∞_{−∞}dE(x)=∫^∞_{−∞} \frac {λ} {4πϵ_0(h^2+x^2)} [\cosθ(x)+j\sinθ(x)]dx \nonumber \]
Las funciones\(\cosθ(x)\) y\(\sinθ(x)\) son
\[\cosθ(x)=\frac {x} {(x^2+h^2)^{1/2}} ; \sinθ(x)=\frac {h} {(x^2+h^2)^{1/2}} \nonumber \]
Dejamos como problema demostrar que el componente real\(E_1\) del campo es cero. El componente imaginario\(E_2\) es
\[E=jE_2=j∫^∞_{−∞} \frac {λh} {4πϵ_0} \frac {dx} {(x^2+h^2)^{3/2}} \nonumber \]
\[=j\frac {λh} {4πϵ_0} \frac {x} {h^2(x^2+h^2)^{1/2}}∣^∞_{−∞} \nonumber \]
\[=j\frac {λh} {4πϵ_0} [\frac 1 {h^2} + \frac 1 {h_2}] = j\frac {λ} {2πϵ_0h} \nonumber \]
\[E_2=\frac λ {2πϵ_0h} \nonumber \]
Destacamos que el campo en (0, h) es un campo real. Nuestra respuesta imaginaria simplemente dice que el campo real está orientado en la dirección vertical porque hemos utilizado la parte imaginaria del campo complejo para codificar la componente vertical del campo real.
Mostrar que el componente horizontal del campo\(E\) es cero. Interpretar este hallazgo físicamente.
De la simetría de este problema, concluimos que el campo alrededor del cable infinitamente largo de la Figura es radialmente simétrico. Entonces, en coordenadas polares, podríamos decir
\[E(r,θ)=\frac λ {2πϵ_0r} \nonumber \]
que es independiente de θ. Si integramos el campo a lo largo de una línea radial perpendicular al cable, mediríamos la diferencia de voltaje
\[V(r_1)−V(r_0)=∫^{r_1}_{r_0}\frac λ {2πϵ_0r}dr=\frac λ {2πϵ_0}[\mathrm{log}r_1−\mathrm{log}r_0] \nonumber \]
Un campo eléctrico tiene unidades de voltios/metro, una densidad de carga λ tiene unidades de culombios/metro, y\(ϵ_0\) tiene unidades de culombios/voltímetro; voltaje tiene unidades de voltios (por supuesto).