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2.2: La función e^x

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Muchos de ustedes conocen el número e como la base del logaritmo natural, que tiene el valor 2.718281828459045.. Lo que quizás no sepas es que este número en realidad se define como el límite de una secuencia de números aproximados. Es decir,

    \[e=\lim_{n→∞}f_n \nonumber \]

    \[f_n=(1+\frac 1 n)^n\;,\;n=1,2,... \nonumber \]

    Esto significa, simplemente, que la secuencia de números\((1+1)^1,(1+\frac 1 2)^2,(1+\frac 1 3)^3, . . . \), se acerca arbitrariamente a 2.718281828459045. Pero, ¿por qué debería ser tan importante esa secuencia de números? En los siguientes párrafos respondemos a esta pregunta.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    (MATLAB) Escribir un programa MATLAB para evaluar la expresión\(f_n=(1+\frac 1 n)^n\)\(n=1,2,4,8,16,32,64\) para mostrar que\(f_n≈e\) para grandes\(n\).

    Derivadas y el Número e

    El número\(f_n=(1+\frac 1 n)^n\) surge en el estudio de los derivados de la siguiente manera. Considera la función

    \[f(x)=a^x\;,\;a>1 \nonumber \]

    y pregúntate cuando el derivado de\(f(x)\) iguales\(f(x)\). La función\(f(x)\) está trazada en la Figura para\(a>1\). La pendiente de la función en el punto\(x\) es

    \[df(x)dx=\lim_{Δx→0}{\frac {a^{x+Δx}−a^x} {Δx}} = α^x \lim_{Δx→0} {\frac {α^{Δx}−1} {Δx}} \nonumber \]

    axFunction.PNG
    La función\(f(x)=a^x\)

    Si hay un valor especial para\(a\) tal que

    \[lim_{Δx→0} \frac {a^{Δx}−1} {Δx}=1 \nonumber \]

    entonces\(\frac d {dx} f(x)\) sería igual\(f(x)\). Llamamos a este valor de un número especial (o excepcional)\(e\) y escribimos

    \[f(x)=e^x \nonumber \]

    \[\frac d {dx}f(x)=e^x \nonumber \]

    El número\(e\) sería entonces\(e=f(1)\). Escribamos nuestra condición que\(\frac {a^{Δx}−1} {Δx}\) converge a 1 como

    \[e^{Δx}−1≅Δx\;,\;Δx\;\mathrm{small} \nonumber \]

    o como

    \[e≅(1+Δx)^{1/Δx} \nonumber \]

    Nuestra definición de\(e=\lim_{n→∞}(1+1n)^{1/n}\) equivale a definir\(Δx=\frac 1 n\) y permitir\(n→∞\) para hacer\(Δx→0\). Con esta definición para\(e\), es claro que la función\(e^x\) se define como\((e)^x\):

    \[e^x=\lim_{Δx→0}(1+Δx)^{x/Δx} \nonumber \]

    Dejando que\(Δx=\frac x n\) podamos escribir esta definición en la forma más familiar

    \[e^x=\lim_{n→∞}(1+\frac x n)^n \nonumber \]

    Esta es nuestra definición fundamental para la función\(e^x\). Cuando se evalúa en\(x=1\), produce la definición de\(e\) dado en Ecuación.

    El derivado de\(e^x\) es, por supuesto,

    \[\frac d {dx} e^x = \lim_{n→∞}n(1+\frac x n)^{n−1}\frac 1 n = e^x \nonumber \]

    Esto significa que el teorema 1 de Taylor puede ser usado para encontrar otra caracterización para\(e^x\):

    \[e^x=∑^∞_{n=0}[\frac {d^n} {dx^n} e^x]_{x=0} \frac {x^n} {n!} = ∑^∞_{n=0}\frac {x^n} {n!} \nonumber \]

    Cuando esta expansión en serie para\(e^x\) se evalúa a x=1, produce las siguientes series para e:

    \[e=∑_{n=0}^∞\frac 1 {n!} \nonumber \]

    En esta fórmula,\(n!\) está el producto\(n(n−1)(n−2)⋯(2)1\). Leer\(n!\) como “n factorial”.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    (MATLAB) Escribir un programa MATLAB para evaluar la suma

    \[S_N=∑_{n=0}^N\frac 1 {n!} \nonumber \]

    \(N=1,2,4,8,16,32,64\)para mostrar eso\(S_N≅e\) para grandes\(N\). Comparar\(S_{64}\) con\(f_{64}\) de Ejercicio 1. ¿Qué aproximación prefieres?

    Interés Compuesto y la Función e x

    Hay un ejemplo de tu vida cotidiana que muestra aún más dramáticamente cómo\(e^x\) surge la función. Supongamos que invierte\(V_0\) dólares en una cuenta de ahorro que ofrece 100x% de interés anual. (Cuando x=0.01, esto es 1%; cuando x=0.10, esto es 10% interés.) Si el interés se compone solo una vez al año, tiene la fórmula de interés simple para\(V_1\), el valor de su cuenta de ahorros después de 1 compuesto (en este caso, 1 año):

    \(V_1=(1+x)V_0\). Este resultado se ilustra en el diagrama de bloques de la Figura. En este diagrama, su fortuna de entrada\(V_0\) es procesada por el “bloque de interés” para producir su fortuna de salida\(V_1\). Si el interés se compone mensualmente, entonces el interés anual se divide en 12 partes iguales y se aplica 12 veces. La fórmula compuesta para\(V_{12}\), el valor de sus ahorros después de 12 compuestos (también 1 año) es

    \[V_{12}=(1+\frac x {12})^{12}V_0 \nonumber \]

    Este resultado se ilustra en la Figura. ¿Puedes leer el diagrama de bloques? La fórmula general para el valor de una cuenta que se compone n veces al año es

    \[V_n=(1+\frac x n)^nV^0. \nonumber \]

    \(V_n\)es el valor de su cuenta después de n compuestos en un año, cuando la tasa de interés anual es de 100x%.

    intrestDiagram.PNG
    Diagrama de Bloques para Cómputos de Interés; (a) Interés Anual Simple y (b) Composición Mensual
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Verificar en la Ecuación que una recursión está en funcionamiento que termina en\(V_n\). Es decir, mostrar que\(V_i+1=(1+\frac x n)V_1\) para\(i=0,1,...,n−1\) produce el resultado\(V_n=(1+\frac x n)^nV_0\).

    Los banqueros han descubierto el atractivo (aparente) de la combinación infinita o continua:

    \[V_∞=\lim_{n→∞}(1+\frac x n)^nV_0 \nonumber \]

    Sabemos que esto es solo

    \[V_∞=e^xV_0 \nonumber \]

    Entonces, al decidir entre 100x 2% de interés compuesto diario y 100x 2% de interés compuesto continuamente, solo necesitamos comparar

    \[(1+\frac {x_1} {365})^{365}\;\;versus\;\;e^{x_2} \nonumber \]

    Sugerimos que la composición diaria es tan buena como la composición continua. ¿Qué opinas? ¿Qué tal la composición mensual?

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    (MATLAB) Escribir un programa MATLAB para calcular y trazar interés simple, interés mensual, interés diario e interés continuo versus tasa de interés 100x. Usa las curvas para desarrollar una estrategia de ahorro de dinero.

    Notas al pie

    Nota 1

    El teorema de Taylor dice que una función puede estar completamente caracterizada por todas sus derivadas (siempre que todas existan)


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