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# 2.6: Ecuaciones diferenciales y de diferencia de segundo orden

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Con nuestra comprensión de las funciones$$e^x$$$$e^{jΘ}$$, y la ecuación cuadrática$$z^2 + \frac b a z + \frac c a =0$$, podemos emprender un estudio rudimentario de ecuaciones diferenciales y de diferencia.

## Ecuaciones diferenciales

En tu estudio de circuitos y sistemas te encontrarás con la ecuación diferencial homogénea

$\frac {d^2} {dt^2} x(t)+a_1\frac d {dt} x(t)+a_2=0 \nonumber$

Debido a que la función se$$e^{st}$$ reproduce bajo diferenciación, es plausible suponer que x (t) =est es una solución a la ecuación diferencial. Vamos a probarlo:

$\frac {d^2} {dt^2}(e^{st})+a_1\frac d {dt}(e^{st})+a_2(e^{st})=0 \nonumber$

$(s^2+a_1s+a_2)e^{st}=0 \nonumber$

Si esta ecuación va a ser satisfecha para todos$$t$$, entonces el polinomio in$$s$$ debe ser cero. Por lo tanto requerimos

$s^2+a_1s+a_2=0 \nonumber$

Como sabemos por nuestro estudio de esta ecuación cuadrática, las soluciones son

$s_{1,2}=−\frac {a_1} 2 ± \frac 1 2 \sqrt{a^2_1−4a_2} \nonumber$

Esto significa que nuestra supuesta solución funciona, siempre$$s=s_1$$ o$$s_2$$. Es un resultado fundamental de la teoría de ecuaciones diferenciales que la solución más general para x (t) sea una combinación lineal de estas soluciones asumidas:

$x(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t} \nonumber$

Si$$a^2_1−4a_2$$ es menor que cero, entonces las raíces$$s_1$$ y$$s_2$$ son complejas:

$s_{1,2}=−\frac {a_1} 2 ± j\frac 1 2 \sqrt{4a_2−a^2_1} \nonumber$

Vamos a reescribir esta solución como

$s_{1,2}=σ±jω \nonumber$

donde σ y ω son las constantes

$σ=−\frac {a_1} 2 \nonumber$

$ω=\frac 1 2 \sqrt{4a_2−a^2_1} \nonumber$

Con esta notación, la solución para x (t) es

$x(t)=A_1e^{σt}e^{jωt}+A_2e^{σt}e^{−jωt} \nonumber$

Si esta solución va a ser real, entonces los dos términos del lado derecho deben ser conjugados complejos. Esto significa que$$A_2=A^∗_1$$ y la solución para x (t) es

$x(t)=A_1e^{σt}e^{jωt}+A^∗_1e^{σt}e^{−Jωt} = 2\mathrm{Re} \{A_1e^{σt} e^{jωt}\} \nonumber$

La constante$$A_1$$ puede escribirse como$$A_1=|A|e^{jφ}$$. Entonces la solución para x (t) es

$x(t)=2|A|e^{σt}\cos(ωt+φ) \nonumber$

Esta “solución cosinusoidal amortiguada” se ilustra en la Figura.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentre las soluciones generales a las siguientes ecuaciones diferenciales:

a.$$\frac {d^2} {dt^2} X(t)+2\frac d {dt} x(t)+2=0$$
b.$$\frac {d^2} {dt^2} x(t)+2\frac d {dt} x(t)−2=0$$
c.$$\frac {d^2} {dt^2} x(t)+2=0$$

## Ecuaciones de diferencia

En tu estudio de filtros digitales encontrarás ecuaciones de diferencia homogéneas de la forma

$x_n+a_1x_n−1+a_2x_{n−2}=0 \nonumber$

Lo que esto significa es que la secuencia$$\{x_n\}$$ obedece a una recursión homogénea:

$x_n=−a_1x_{n−1}−a_2x_{n−2} \nonumber$

Una suposición plausible a una solución es la secuencia geométrica$$x_n=z^n$$. Con esta suposición, la ecuación de diferencia produce el resultado

$z^n+a_1z^n−1+a_2z^{n−2}=0 \nonumber$

$(1+a_1z^{−1}+a_2z^{−2})z^n=0 \nonumber$

Si esta suposición va a funcionar, entonces el polinomio de segundo orden en el lado izquierdo debe ser igual a cero:

$1+a_1z^{−1}+a_2z^{−2}=0 \nonumber$

$z^2+a_1z+a_2=0 \nonumber$

Las soluciones son

$z_{1,2}=−\frac {a_1} 2 ± j\frac 1 2 \sqrt{4a_2−a^2_1} = re^{jθ} \nonumber$

La solución general a la ecuación de diferencia es una combinación lineal de las soluciones asumidas:

$x_n=A_1z^n_1+A_2(z^∗_1)^n \nonumber$

$=A_1z^n_1+A^∗_1(z^∗_1) \nonumber$

$=2\mathrm{Re}{A_1z^n_1} \nonumber$

$=2|A|r^n\cos(θn+φ) \nonumber$

Esta solución general se ilustra en la Figura.

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentre las soluciones generales a las siguientes ecuaciones de diferencia:

a. x_n+2x_ {n−1} +2=0
b. x_n−2x_ {n−1} +2=0
c. x_n+2x_ {n−2} =0

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