3.5: Figuras Lissajous
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Las figuras de Lissajous son figuras que se convierten en la cara de un osciloscopio cuando se aplican señales sinusoidales con diferentes amplitudes y diferentes fases a la base de tiempo (eje real) y a la placa de desviación (eje imaginario) del alcance. El haz de electrones que golpea la cara de fósforo entonces tuvo posición
\[z(t)=A_x\cos(ωt+φ_x)+jA_y\cos(ωt+φ_y) \nonumber \]
En esta representación,\(A_x\cos(ωt+φ_x)\) está la “coordenada x del punto”, y\(A_y\cos(ωt+φ_y)\) es la “coordenada y del punto”. A medida que el tiempo va del 0 al infinito, el punto\(z(t)\) resulta una trayectoria como la de la Figura. La figura sigue sobreescribiéndose porque\(z(t)\) se repite cada\(\frac {2π} ω\) segundo. ¿Ves por qué?
Encuentra las intercepciones que hace la figura de Lissajous con los ejes real e imaginario de la Figura. ¿A qué valores de tiempo se hacen estas intercepciones?
Demostrar que la figura de Lissajous\(z(t)=A_x\cos(ωt+φ_x)+jA_y\cos(ωt+φ_y)\) es solo el fasor giratorio\(Ae^{j(ωt+φ)}\) cuando\(A_x=A_y=A\),\(φ_x=φ\), y\(φ_y=φ+\frac π 2\).
Representación bifásica
Obtenemos una idea de la forma de la figura de Lissajous si usamos las fórmulas de Euler para escribir de la\(z(t)\) siguiente manera:
\[ \begin{align*} z(t) &=\frac {A_x} {2} \left[e^{j(ωt+φ_x)} + e^{−j(ωt+φ_x)}\right] + j\frac {A_y} {2} \left[e^{j(ωt+φ_y)} + e^{−j(ωt+φ_y)}\right] \\[4pt] &= \left[\frac {A_x e^{jφ_x} + jA_ye^{jφ_y}}{2}\right] e^{jωt} + \left[\dfrac{A_x e^{−jφ_x} + jA_y e^{−jφ_y}}{2}\right]e^{−jωt} \end{align*} \nonumber \]
Esta representación se ilustra en la Figura. Consta de dos fasores giratorios, con los respectivos fasores B 1 y B 2
\[z(t)=B_1e^{jωt}+B_2e^{−jωt} \nonumber \]
\[B_1=\frac {A_xe^{jφx}+jA_ye^{jφy}} 2 \nonumber \]
\[B_2=\frac {A_xe^{−jφx}+jA_ye^{−jφy}} 2 \nonumber \]
A medida que\(t\) aumenta, los fasores rotan uno junto al otro donde se suman constructivamente para producir grandes excursiones\(z(t)\) desde el origen, y luego rotan a posiciones antípodas donde se agregan destructivamente para producir aproximaciones cercanas\(z(t)\) al origen.
En electromagnetica y optica, las representaciones de\(z(t)\) dado en Ecuacion y Ecuacion se denominan, respectivamente, representaciones lineales y circulares de polarizacion elfptica. En la representación lineal, los componentes x e y\(z\) varían a lo largo de las líneas horizontales y verticales. En la representación circular, dos fasores giran en direcciones opuestas para dar vuelta a trayectorias circulares cuya suma produce el mismo efecto.
(MATLAB) Escribe un programa MATLAB para calcular y trazar la figura de Lissajous\(z(t)\) cuando\(A_x=1/2\),\(A_y=1\),\(φ_x=0\), y\(φ_y=π/6\). Discretizar\(t\) adecuadamente y elegir un rango apropiado de valores para\(t\).