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# 4.4: Cosenos de dirección

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## Vectores unitarios

Correspondiente a cada vector$$x$$ hay un vector unitario$$u_x$$ que apunta en la misma dirección que$$x$$. El término vector unitario significa que la norma del vector es 1:

$||u_x||=1 \nonumber$

La pregunta es, dada$$x$$, ¿cómo podemos encontrarla$$u_x$$? La primera parte de la respuesta es que$$u_x$$ tendrá que ser un múltiplo escalar positivo de$$x$$ para poder apuntar en la misma dirección que$$x$$, como se muestra en esta Figura. Por lo tanto

$u_x=αx \nonumber$

Pero, ¿qué es$$α$$? Tenemos que elegir para$$α$$ que la norma de$$u_x$$ sea 1:

$||ux||=1 \nonumber$

$|αx||=1 \nonumber$

$|α|||x||=1 \nonumber$

$α=\frac {1} {||x||} \nonumber$

Hemos bajado las barras de valor absoluto$$α$$ porque$$||x||$$ es positivo. El$$α$$ que hace el trabajo es 1 sobre la norma de$$x$$. Ahora podemos escribir fórmulas para$$u_x$$ en términos$$x$$ y$$x$$ en términos de$$u_x$$:

$u_x=\frac 1 {||x||}x \nonumber$

$x=||x||u_x \nonumber$

Entonces el vector$$x$$ es su vector de dirección$$u_x$$, escalado por su norma euclidiana.

## Vectores de coordenadas unitarias

Hay un conjunto especial de vectores unitarios llamados vectores de coordenadas unitarias. El vector de coordenadas unitarias$$e_i$$ es un vector unitario$$∇^n$$ que apunta en la dirección positiva del eje de$$i^{\mathrm{th}}$$ coordenadas. La Figura muestra los tres vectores de coordenadas unitarias en$$∇^3$$.

Para el espacio tridimensional,$$R^3$$, los vectores de coordenadas unitarias son

$e_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \nonumber$

De manera más general, en el espacio n-dimensional, hay vectores$$n$$ de coordenadas unitarias dados por

Debes satisfacerte de que esta definición da como resultado vectores con una norma de l.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentra la norma del vector au donde$$u$$ es un vector unitario.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentre el vector de unidad$$u_x$$ en la dirección de

1. $$x=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$
2. $$x=\begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ −2 \end{bmatrix}$$
3. $$x=\begin{bmatrix} 1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{bmatrix}$$

## Dirección Cosines

A menudo decimos que los vectores “tienen magnitud y dirección”. Esto es más o menos obvio de “Álgebra lineal: Vectores”, donde el vector tridimensional$$x$$ tiene longitud$$\sqrt{x^2_1+x^2_2+x^2_3}$$ y puntos en una dirección definida por los componentes$$x_1$$,$$x_2$$, y$$x_3$$. Es perfectamente obvio a partir de la Ecuación$$\PageIndex{8}$$ donde$$x$$ se escribe como$$x=||x||\,u_x$$. Pero tal vez haya otra representación para un vector que sitúe la noción de magnitud y dirección en evidencias aún más claras.

La siguiente figura muestra un vector arbitrario$$x∈R^3$$ y los vectores de coordenadas unitarias tridimensionales$$e_1,e_2,e_3$$. El producto interno entre el vector$$x$$ y el vector unitario$$e_k$$ solo lee el$$k^\mathrm{th}$$ componente de$$x$$:

$(x,e_k)=(e_k,x)=x_k \nonumber$

Dado que esto es cierto incluso en$$R^n$$, cualquier vector$$x∈R^n$$ tiene la siguiente representación en términos de vectores unitarios:

$x=(x,e_1)e_1+(x,e_2)e_2+⋯+(x,e_n)e_n \nonumber$

Generalicemos ahora nuestra noción de un ángulo$$θ$$ entre dos vectores de la$$R^n$$ siguiente manera:

$\cosθ=\frac {(x,y)} {||x||||y||} \nonumber$

La célebre desigualdad Cauchy-Schwarz establece eso$$−1−≤ \cos θ≤1$$. Con esta definición de ángulo, podemos definir el ángulo$$θ_k$$ que hace un vector con el vector unitario$$e_k$$ para que sea

$\cosθ_k=\frac {(x,e_k)} {||x||||e_k||} \nonumber$

Pero la norma de$$e_k$$ es 1, entonces

$\cosθ_k=\frac {(x,e_k)} {||x||}=\frac {x_k} {||x||} \nonumber$

Cuando este resultado se sustituye en la representación de x en Ecuación$$\PageIndex{11}$$, obtenemos la fórmula

$x=||x||\cosθ_1e_1+||x||\cosθ_2e_2+⋯+||x||\cosθ_ne_n=||x||(\cosθ_1e_1+\cosθ_2e_2+⋯+\cosθ_ne_n) \nonumber$

Esta fórmula realmente muestra que el vector$$x$$ tiene “magnitud”$$||x||$$ y dirección$$(θ_1,θ_2,...,θ_n)$$ y que la magnitud y dirección son suficientes para determinar$$x$$. Llamamos a ($$\cosθ_1, \cos θ_2,..., \cos θ_n$$) los cosenos de dirección para el vector$$x$$. En el caso tridimensional, se ilustran en la Figura anterior.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Mostrar que Ecuación$$\PageIndex{12}$$ concuerda con la definición habitual de un ángulo en dos dimensiones.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encuentra el coseno del ángulo entre$$x$$ y$$y$$ dónde

1. $$x=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\;y=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$
2. $$x=\begin{bmatrix} 1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{bmatrix}\;y=\begin{bmatrix} −1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$
3. $$x=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ −2 \end{bmatrix}\;y=\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ −4 \end{bmatrix}$$

Si comparamos Ecuación$$\PageIndex{8}$$ y Ecuación$$\PageIndex{15}$$ vemos que el vector de dirección$$u_x$$ está compuesto por cosenos de dirección:

$u_x=\cosθ_1e_1+\cosθ_2e_2+⋯+\cosθ_ne_n=\begin{bmatrix} \cosθ_1\\cosθ_2\\ ... \\ \cosθ_n \end{bmatrix} \nonumber$

Con esta definición podemos escribir Ecuación de$$\PageIndex{15}$$ forma compacta como

Aquí$$x$$ se escribe como el producto de su magnitud$$||x||$$ y su vector de dirección$$u_x$$. Ahora podemos dar un procedimiento sencillo para encontrar los ángulos de dirección de un vector:

1. encontrar$$||x||$$
2. calcular$$u_x=\frac {x} {||x||}$$
3. tomar los cosenos de arco de los elementos de$$u_x$$

El paso 3 suele ser innecesario; usualmente estamos más interesados en el vector de dirección (vector unitario)$$u_x$$. Los vectores de dirección se utilizan en la ciencia de los materiales para estudiar la orientación de las celosías cristalinas y en la teoría del campo electromagnético para caracterizar la dirección de propagación para radar y microondas. Los encontrarás de inestimable valor en tus cursos sobre campos electromagnéticos y diseño de antenas.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Esbozar un vector unitario arbitrario$$u∈R^3$$. Etiquetar los cosenos de dirección y los componentes de$$u.S$$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Calcular la norma y los cosenos de dirección para el vector$$x=\begin{bmatrix} 4\\2\\6 \end{bmatrix}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que los cosenos de dirección para cualquier vector satisfacen la igualdad

$\cos^2θ_1+\cos^2θ_2+⋯+\cos^2θ_n=1 \nonumber$
¿Qué implica esto sobre el número de escalares necesarios para determinar un vector$$x∈R^n$$?

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Los astrónomos utilizan la ascensión derecha, la declinación y la distancia para localizar estrellas. En Figura estos son, respectivamente,$$−φ,\frac π 2 −θ_3, \mathrm{and} ||x||$$. Representar$$x=(x_1,x_2,x_3)$$ en términos de$$φ,θ3, \mathrm{and} ||x||$$ solo. (Es decir, encontrar ecuaciones que dan$$φ,θ_3, \mathrm{and} ||x||$$ en términos de$$x_1$$,$$x_2$$, y$$x_3$$, y encontrar ecuaciones que dan$$x_1$$,$$x_2$$, y$$x_3$$ en términos de$$φ,θ_3, \mathrm{and} ||x||$$.)

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

(MATLAB) Escribe una función MATLAB que acepte cualquier vector$$x∈R^n$$ y calme sus cosenos de norma y dirección. Hacer$$x$$ una variable de entrada, y hacer$$||x||$$ y las variables$$u_x$$ de salida.

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Dejar$$x$$ y$$y$$ denotar dos vectores en$$R^n$$ con cosenos de dirección respectivos$$(\cosθ_1,\cosθ_2,...,\cosθ_n)$$ y ($$\cosφ_1,\cosφ_2,...,\cosφ_n)$$. Demostrar que$$ψ$$, el ángulo entre$$x$$ y$$y$$, es

$\cosψ=\cosθ_1\cosφ_1+\cosθ_2\cosφ_2+⋯+\cosθ_n\cosφ_n \nonumber$.
Especializar este resultado$$R^2$$ para obtener información.

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Calcular el ángulo entre los vectores$$x=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$$ y$$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$. Esbozar el resultado.

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