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6.2: Promedios simples

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    82411
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El filtro numérico más simple es el filtro de promedio simple. Este filtro está definido por la ecuación

    \[x=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} u_{n} \nonumber \]

    La salida del filtro\(x\) es el promedio de las entradas del\(N\) filtro\(u_1,u_2,...u_N\). Estas entradas pueden ser números reales o complejos, y\(x\) pueden ser reales o complejos. Este filtro de promedio simple se ilustra en la Figura 1.

    Screen Shot 2021-08-18 a las 12.05.06 AM.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Un filtro de promedio simple
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si el filtro de promedio es excitado por la secuencia constante\(u_1=u_2=⋯=u_N=u\), entonces la salida es

    \[x=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} u=u \nonumber \]

    La salida es, verdaderamente, el promedio de las entradas. Ahora supongamos que el filtro está excitado por la secuencia linealmente creciente

    \(u_{n}=n, \quad n=1,2, \ldots, N\)

    Esta secuencia se representa gráficamente en la Figura 2. ¿Cómo sumamos tal secuencia para producir el promedio\(x\)? Para\(N\) par, el promedio puede escribirse como

    \[x=\frac{1}{N}\left(x_{1}+x_{N}\right)+\frac{1}{N}\left(x_{2}+x_{N-1}\right)+\cdots+\frac{1}{N}\left(x_{N / 2}+x_{(N / 2)+1}\right) . \nonumber \]

    Cada par-suma entre paréntesis es igual\(N+1\), y hay\(\frac{N}{2}\) tales sumas de pares, por lo que el promedio es

    \[x=\frac{1}{N} \frac{N}{2}(N+1)=\frac{N+1}{2} \nonumber \]

    Esta es sin duda una respuesta razonable para el promedio de una secuencia linealmente creciente. Ver Figura 2.

    Screen Shot 2021-08-18 a las 12.09.00 AM.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Secuencia linealmente creciente
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Escribir\(x=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} n\) como una suma de pares sumas para\(N\) impar. ¿Qué es lo que\(x\) equivale?

    Fórmula de suma general

    Supongamos que la entrada al filtro de promedio simple es la secuencia polinómica

    \(u_{n}=n^{k}, n=1,2, \ldots, N\)

    donde\(k\) es un entero no negativo como\(k\) =0,1,2,... La salida del filtro es

    \[x_{N}^{(k)}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} n^{k} \nonumber \]

    Reescribimos\(x\) como\(x_{N}^{(k)}\) para recordarnos que estamos promediando\(N\) números, cada uno de los cuales es\(n^k\). Por ejemplo, cuándo\(N=8\) y\(k=2\),

    \[x_{8}^{(2)}=\frac{1}{8} \sum_{n=1}^{8} n^{2}=\frac{1}{8}(1+4+9+\cdots+64) \nonumber \]

    En lugar de estudiar el promedio\(x_{N}^{(k)}\), estudiaremos la suma\(Nx_{N}^{(k)}\) y dividiremos por\(N\) al final:

    \[S_{N}^{(k)}=N x_{N}^{(k)}=\sum_{n=1}^{N} n^{k} \nonumber \]

    La suma\(S_{N}^{(k)}\) puede ser reescrita como la suma

    \ [\ begin {align}
    S_ {N} ^ {(k)} &=\ suma_ {n=1} ^ {N-1} n^ {k} +N^ {k}\ nonumber\\
    &=S_ {N-1} ^ {(k)} +N^ {k}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Este resultado es muy importante porque nos dice que la suma\(S_{N}^{(k)}\), vista como una función de\(N\), obedece a una recursión en la que\(S_{N}^{(k)}\) es solo la suma usando una entrada menos, es decir,\(S_{N-1}^{(k)}\), más\(N^k\). Ahora bien, dado que los polinomios son las funciones más generales que obedecen a tales recursiones, sabemos que\(s_{N}^{(k)}\) debe ser un polinomio de orden\(k+1\) en la variable\(N\):

    \[s_{N}^{(k)}=a_{0}+a_{1} N+a_{2} N^{2}+\cdots+a_{k+1} N^{k+1} \nonumber \]

    Comprobemos para ver que este polinomio realmente puede obedecer la recursión requerida. Primera nota que\(S_{N-1}^{(k)}\) es el siguiente polinomio:

    \[s_{N-1}^{(k)}=a_{0}+a_{1}(N-1)+\cdots+a_{k+1}(N-1)^{k+1} \nonumber \]

    El término\((N-1)^{k+1}\) produce\ (\ left (\ begin {array} {c}
    k+1\\
    0
    \ end {array}\ right) N^ {k+1} (-1) ^ {0} +\ left (\ begin {array} {c}
    k+1\\
    1
    \ end {array}\ right) N^ {k} (-1) ^ {1} +\ cdots\). (¿Recuerdas la expansión binomial?) Por lo tanto, la diferencia entre\(s_{N}^{(k)}\) y\(s_{N-1}^{(k)}\)

    \[S_{N}^{(k)}-S_{N-1}^{(k)}=c_{0}+c_{1} N+\cdots+c_{k} N^{k} \nonumber \]

    Esta recursión es lo suficientemente general como para producir la diferencia\(N^{k}\) siempre que podamos resolver\(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k+1}\) para hacer\(c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{k-1}=0\) y\(c_{k}=1\). Sabemos eso\(S_{N}^{(k)}=0\) para\(N = 0\), entonces sabemos ese\(a_0 = 0\) significado para el que el polinomio para realmente se\(S_{N}^{(k)}\) puede escribir como

    \[S_{N}^{(k)}=a_{1} N+a_{2} N^{2}+\cdots+a_{k+1} N^{k+1} \nonumber \]

    Para resolver los coeficientes de este polinomio, proponemos escribir nuestra ecuación para\(s_{N}^{(k)}\) lo siguiente:

    \ [\ begin {array} {ccc}
    (N=1) & S_ {1} ^ {(k)} = & a_ {1} +\ cdots+a_ {k+1}\\
    (N=2) & S_ {2} ^ {(k)} = & 2 a_ {1} +\ cdots+2 ^ {k+1} a_ {k+1}\
    (N=3) & s_ {3} ^ {(k)} = & 3 a_ {1} +\ cdots+3^ {k+1} a_ {k+1}\\
    \ vdots &\ vdots\\
    (N=k ) & S_ {k} ^ {(k)} = & k a_ {1} +\ cdots+k^ {k+1} a_ {k+1}\\
    (n=k+1) & S_ {k+1} ^ {(k)} = & (k+1) a_ {1} +\ cdots+ (k+1) ^ {k+1} a_ {k+1}.
    \ end {array}\ nonumber\]

    Usando el álgebra lineal que aprendimos anteriormente, podemos escribir estas ecuaciones como la ecuación matricial

    \ [\ left [\ begin {array} {cccl}
    1 & 1 &\ ldots & 1\\
    2 & 4 &\ ldots & 2^ {k+1}\\
    \ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
    k & k^ {2} &\ ldots & k^ {k+1}\\
    (k+1) & (k+1) ^ {2} &\ ldots & (k+1) ^ {k+1 }
    \ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
    a_ {1}\\
    a_ {2}\\
    \ vdots\
    \,\\
    a_ {k+1}
    \ end {array}\ derecha] =\ left [\ begin {array} {l}
    s_ {1} ^ {(k)}\\
    S_ {2} ^ {(k)}\\
    \ vdots\\
    S_ {k+1} ^ {(k)}
    \ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

    Los términos del lado derecho del signo igual son “condiciones iniciales” que nos dicen cómo\(S_{N}^{(k)}\) comienza la suma para\(N=1,2,...,k+1\). Estas condiciones iniciales deben ser calculadas directamente. (Por ejemplo,\(S_{2}^{(k)}=1^{k}+2^{k}\).) Entonces el sistema lineal de\((k+1)\) ecuaciones en\((k+1)\) incógnitas puede resolverse para\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k+1}\). La solución para\(S_{N}^{k}\) es entonces completa, y podemos usarla para resolver\(S_{N}^{k}\) por arbitrario\(N\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Cuando\(k=2\), tenemos la siguiente ecuación para los coeficientes\(a_1,a_2\), y\(a_3\) en el polinomio\(S_{N}^{(2)}=a_{1} N+a_{2} N^{2}+a_{3} N^{3}\):

    \ [\ left [\ begin {array} {lll}
    1 & 1 & 1\\
    2 & 4 & 8\\
    3 & 9 & 27
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
    a_ {1}\\
    a_ {2}\\
    a_ {3}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
    1^ {2}\\
    1^ {2} +2^ {2}\
    1^ {2} +2^ {2} +3^ {2}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
    1\\
    5\
    14
    \ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Resolver para\(a_1,a_2,a_3\) en la ecuación lineal del Ejemplo 2. Demostrar que\(S_{N}^{(2)}=a_{1} N+a_{2} N^{2}+a_{3} N^{3}\) obedece a la recursión\(S_{N}^{(2)}-S_{N-1}^{(2)}=N^{2}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    (MATLAB) Escribe un programa MATLAB para determinar los coeficientes\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k+1}\) para el polinomio\(S_{N}^{(k)}\). Generar una tabla de fórmulas para los promedios (x_ {N} ^ {(k)}\) para\(k\) =1,2,... ,5. Evalúe estas fórmulas para\(N\) =2, 4, 8 y 16.

    Sumas exponenciales

    Cuando la entrada a un filtro de promedio es la secuencia

    \[u_{n}=a^{n}, n=0,1,2, \ldots, N-1, \nonumber \]

    decimos que la entrada es exponencial (o geométrica). Las secuencias típicas se ilustran en la Figura 6.5 para\(a\) =0.9,\(a\) =1 y\(a\) =1.1. No dejes que te arroje que hemos cambiado el índice para correr de 0 a\(N-1\) en lugar de 1 a\(N\). Este cambio no es fundamentalmente importante, pero simplifica nuestro estudio. La suma de las entradas es

    \[S_{N}=\sum_{n=0}^{N-1} a^{n} . \nonumber \]

    Screen Shot 2021-08-23 a las 11.30.59 PM.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Secuencias exponenciales

    ¿Cómo evaluamos esta suma? Bueno, observamos que la suma\(a S_{N}\) es

    \ [\ begin {align}
    a S_ {N} &=\ suma_ {n=0} ^ {N-1} a^ {n+1} =\ suma_ {k=1} ^ {N} a^ {k}\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k=0} ^ {N-1} a_ {k} +a^ {N} -1\ nonumber\\
    &= cuádruple _ {N} +a^ {N} -1
    \ end {align}\ nonumber\]

    Por lo tanto\(a \neq 1\), siempre que la suma\(S_N\) sea

    \[S_{N}=\frac{1-a^{N}}{1-a}, \quad a \neq 1 \nonumber \]

    Esta fórmula, descubierta ya en el capítulo que abarca las funciones\(e^x\) y\(e^{jθ}\), funciona para\(a \neq 1\). Cuando\(a=1\), entonces\(S_N=N\):

    \[S_{N}= \begin{cases}\frac{1-a^{N}}{1-a}, & a \neq 1 \\ N, & a=1\end{cases} \nonumber \]

    Cuando\(|a| < 1\), entonces\(a^N \rightarrow 0\) para\(N \rightarrow \infty\), y tenemos la fórmula asintótica

    \[\lim _{N \rightarrow \infty} S_{N}=\frac{1}{1-a}, \quad|a|<1 \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Evaluar\(S_{N}=\sum_{n=0}^{N-1} a^{n}\) y\(X_{N}=\frac{1}{N} S_{N}\) para\(a=0.9,1\), y 1.1 y para\(N\) =1,2,4,8,16.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar que\(S_{N}=\sum_{n=0}^{N-1} a^{n}\) obedece a la recursión

    \(S_{N}=S_{N-1}+a^{N-1}\)

    Demostrar que\(S_N=N\) obedece esta recursión por\(a=1\) y que la\(S_{N}=\frac{1-a^{N}}{1-a}\) obedece por\(a \neq 1\).

    Computación Recursiva

    Cada suma de la forma

    \[S_{N}=\sum_{n=0}^{N-1} u_{n} \nonumber \]

    obedece a la recursión

    \[S_{N}=S_{N-1}+u_{N-1} \nonumber \]

    Esto significa que al sumar números puedes “usarlos y descartarlos”. Es decir, no es necesario leerlos, almacenarlos y sumarlos.

    Puedes leer\(u_0\) para formar\(S_1\) y descartar\(u_0\);\(u_1\) agregar\(S_1\) y descartar\(u_1\); agregar\(u_2\) a\(S_2\); y continuar.

    Screen Shot 2021-08-23 a las 11.45.20 PM.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): La Recursión\(S_{n+1}=S_{n}+u_{n}\)

    Esto es muy importante para las implementaciones de hardware y software de sumas corrientes. Solo necesitas almacenar la suma actual, no las medidas que la produjeron. En la Figura 4\(S_{n+1}=S_{n}+u_{n}\) se proporcionan dos ilustraciones de la recursión. El diagrama de la izquierda se explica por sí mismo. El diagrama de la derecha dice que la suma\(S_n\) se almacena en una ubicación de memoria, para agregarse a para\(u_n\) producir\(S_{n+1}\), que luego se almacena de nuevo en la ubicación de memoria a la que se va a agregar\(u_{n+1}\), y así sucesivamente.


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