6.4: Promedios móviles
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Los promedios móviles son generalizaciones de promedios ponderados. Están diseñados para “correr a lo largo de una secuencia de entrada, calculando promedios ponderados a medida que avanzan”. Un promedio móvil típico sobre\(N\) las entradas toma la forma
\ [\ begin {align}
x_ {n} &=\ qquad\ qquad\ qquad\ suma_ {k=0} ^ {N-1} w_ {k} u_ {n-k}\ nonumber\\
&=w_ {0} u_ {n} +w_ {1} u_ {n-1} +\ cdots+w_ {N-1} u_ {n- (N-1)}
\ end {align}\ nonumber\]
La entrada más actual,\(u_n\), es ponderada por\(w_0\); la siguiente entrada más actual,\(u_{n-1}\), es ponderada por\(w_1\); y así sucesivamente. Esta ponderación se ilustra en la Figura 1. La secuencia de pesos\(w_{N-1}\),\(w_0\) a través, se llama “ventana”, “secuencia de ponderación” o “filtro”. En el ejemplo ilustrado en la Figura 6.8, el valor actual\(u_n\) está ponderado más fuertemente que el valor de menor corriente. Esto es típico (pero no esencial) porque solemos\(x_n\) querer reflejar más del pasado reciente que del pasado lejano.
Cuando todos los pesos\(w_{0}, w_{1}, \ldots, w_{N-1}\) son iguales a\(\frac{1}{N}\), entonces la media móvil\(x_n\) es una “media móvil simple”:
\[x_{n}=\frac{1}{N}\left[u_{n}+u_{n-1}+\cdots+u_{N-1}\right] . \nonumber \]
Esto es lo mismo que el promedio simple, pero ahora el promedio simple se mueve a lo largo de la secuencia de entradas, promediando los valores\(N\) más actuales.
Evaluar la media móvil\(x_{n}=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{N} u_{n-k}\) para las entradas
- \(u_{n}= \begin{cases}0, & n<0 \\ u, & n \geq 0\end{cases}\)
- \(u_{n}= \begin{cases}0, & n \leq 0 \\ n, & n>0\end{cases}\)
Interpreta tus hallazgos.
Evaluar la media móvil simple\(x_{n}=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{N} u_{n-k}\) cuando\(u_n\) es la secuencia
\(u_{n}= \begin{cases}0, & n<0 \\ a^{n}, & n \geq 0\end{cases}\)
Interpreta tu resultado.
Cuando los pesos\(w_n\) son iguales\(w_0a^n\) para\(n=0,1,...,N−1\), entonces la media móvil\(x_n\) toma la forma
\[x_{n}=w_{0} \sum_{k=0}^{N-1} a^{k} u_{n-k} . \nonumber \]
Cuando\(a < 1\), entonces\(u_n\) se pondera más fuertemente que\(u_{n−(N−1)}\); cuando\(a>1\),\(u_{n−(N−1)}\) se pondera más fuertemente que\(u_n\); cuando\(a=1\),\(u_n\) se pondera igual que\(u_{n−(N−1)}\).
Evaluar\(w_0\) para que la secuencia de ponderación exponencial\(w_{n}=w_{0} a^{n}(n=0,1, \ldots, N-1)\) sea una ventana válida (i.e.,\(\sum_{n=0}^{N-1} w_{n}=1\)).
Calcula la media móvil\(x_{n}=\sum_{k=0}^{N-1} w_{0} a^{k} u_{n-k}\) cuando la secuencia de entrada\(u_n\) es
\(u_{n}= \begin{cases}b^{n}, & n \geq 0 \\ 0, & n<0\end{cases}\)
¿Qué pasa cuando\(b=a?\) puedes explicar esto?