4.6: Otras normas

En ocasiones nos resulta útil usar una definición diferente de distancia, correspondiente a una norma alternativa para vectores. Por ejemplo, considere la norma l definida como

\[||x||_1=(|x_1|+|x_2|+⋯+|x_n|) \nonumber \]

donde\(|x_i|\) es la magnitud del componente\(x_i\). También está la sup-norma, el “supremum” o máximo de los componentes\(x_1,...,x_n\):

\[||x||_{\mathrm{sup}}=\mathrm{max}(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|) \nonumber \]

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se ven la norma euclidiana, la norma l y la norma sup-norma para vectores típicos

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera el vector\(x=\begin{bmatrix} −3\\1\\2 \end{bmatrix}\). Entonces

1. \(||x||=[(−3)^2+(1)^2+(2)^2]^{1/2}=(14)^{1/2}\)
2. \(||x||_1=(|−3|+|1|+|2|)=6\)
3. \(||x||_{\mathrm{sup}}=\mathrm{max}(|−3|,|1|,|2|)=3\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La figura\(\PageIndex{1}\) muestra el locus de vectores de dos componentes\(x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\) con la propiedad que\(||x||=1\),\(||x||_1=1\), o\(||x||_{\mathrm{sup}}=1\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Locus de vectores bidimensionales cuyas diversas normas son 1 (Copyright; autor vía fuente)

El siguiente ejemplo muestra cómo la norma l es una parte importante de la vida de la ciudad.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

La ciudad de Metroville fue trazada por matemáticos como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Una persona en la intersección de la avenida 0 y la calle −2 (punto A) se encuentra claramente a dos cuadras del centro de la ciudad (punto C). Esto es consistente tanto con la norma euclidiana

\[||A||=\sqrt{0^2+(−2)^2}=\sqrt{4}=2 \nonumber \]

y la norma l

\[||A||_1=(|0|+|−2|)=2 \nonumber \]

Pero, ¿a qué distancia del centro de la ciudad se encuentra el punto B en la intersección de la Avenue-2 y la Calle 1? Según la norma euclidiana, la distancia es

\[||B||=\sqrt{(−2)^2+(1)^2}=\sqrt{5} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Metroville, U.S.A. (Copyright; autor vía fuente)

Si bien es cierto que el punto B está a\(\sqrt{5}\) cuadras de C, también está claro que el viaje sería de tres cuadras por cualquiera de las tres rutas más cortas en las carreteras. La norma apropiada es la norma l:

\[∣1^B||_1=(|−2|+|1|)=3 \nonumber \]

De manera aún más general, podemos definir una norma para cada valor de p desde 1 hasta el infinito. La llamada norma p es

\[|Ix||_p=(|x_1∣∣^p+|x_2∣∣^p+⋯+|x_n|^p)^{1/p} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que la norma euclidiana es la misma que la norma p con p=2 y que la norma 1 es la norma p con p=1. (También se puede demostrar que la sup-norma es como una norma p con p=∞.)

DEMO 4.1 (MATLAB)

Desde el nivel de comando de MATLAB, escriba las siguientes líneas:

>> x = [1;3;-2;4]
>> y = [0;1;2;-0.5]
>> x - y

Verifique si la respuesta concuerda con la definición de resta vectorial. Ahora escriba

>> a = -1.5
>> a * x

Consulta la respuesta para ver si concuerda con la definición de multiplicación escalar. Ahora escriba

>> x' * y

Así es como MATLAB hace el producto interno. Consulta el resultado. Tipo

>> norm(y)
>> sqrt(y' * y)

>> norm(y,1)
>> norm(y' * y)

Ahora escribe tu propia expresión MATLAB para encontrar el coseno del ángulo entre los vectores x e y. Pon el resultado en la variable t. Luego encuentra el ángulo θ escribiendo

>> theta = acos(t)

El ángulo θ está en radianes. Puedes convertirlo a grados si lo deseas multiplicándolo por\(180/π\):

>> theta = theta * (180/pi)