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1.1: Números naturales, enteros y racionales

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    51252
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Los números que básicamente vamos a tratar son los reales R. Estudiaremos sucesiones de números reales, funciones de variables reales,... Pero antes de definir los reales vamos a hacer un breve repaso de los números más sencillos. En lo que sigue se supondrá que son conocidos los significados de los símbolos \(\forall\) (para todo), \(\exists\) (existe), \(\Rightarrow\) (implica), \(\Leftrightarrow\) (si y sólo si), .. y que se han visto propiedades lógicas sencillas que se utilizarán en alguna demostración como, por ejemplo, que la afirmación ' \(p \Rightarrow q\) ' equivale a ' \((\operatorname{no} q) \Rightarrow(\text { no } p)^{\prime}\). Otros conocimientos que se presuponen son las ideas y símbolos básicos de la teoría de conjuntos: \(\cup\) (unión), \(\cap\) (intersección), \(\subset\) (contenido en \(), \in\) (pertenece),\(\ldots\)

    Llamaremos \(\mathbf{N}=\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}\) al conjunto de los números naturales (sin incluir el \(0), \mathbf{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}\) al de los enteros, y \(\mathbf{Q}=\{p / q, p\) y \(q\) enteros, \(q \neq 0\}\) al conjunto de los racionales. La suma y el producto de dos números naturales cualesquiera son también naturales, pero su diferencia puede no serlo. Sí es un entero la diferencia de dos enteros. El cociente de racionales es racional, pero no lo es, en general, el de dos enteros. Los tres conjuntos son conjuntos ordenados por la relación " \(>\) "(ser mayor que). Con palabras más matemáticas, y refiriéndonos al mayor de los tres conjuntos, se dice que \(\mathbf{Q}\) es un cuerpo ordenado, es decir, que satisface las siguientes propiedades \((a, b, c \in \mathbf{Q})\) :

    Propiedades de cuerpo: Existen dos operaciones "+" ".." que cumplen:

    1. \(+\mathrm{y} \cdot\) son asociativas \(y\) conmutativas: \(a+(b+c)=(a+b)+c, a+b=b+a, a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c, a \cdot b=b \cdot a\)
    2. se cumple la propiedad distributiva: \(a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c\)
    3. hay elementos neutros 0 respecto a \(+\mathrm{y} 1\) respecto \(\mathrm{a} \cdot: a+0=a, a \cdot 1=a \forall a\)
    4. existen elementos inversos respecto a \(+\mathrm{y} \cdot\) : \(\forall a \exists-a\) tal que \(a+(-a)=0, \forall a \neq 0 \exists a^{-1}\) tal que \(a \cdot a^{-1}=1\)


    Propiedades de orden: Existe una relación ">"que satisface:

    5. dado \(a\), o bien \(a>0\), o bien \(-a>0\), o bien \(a=0\)
    6. si \(a, b>0\) también \(a+b>0, a \cdot b>0\)

    A partir únicamente de las propiedades anteriores se pueden definir las otras conocidas operaciones básicas (diferencia, cociente y potencias) y desigualdades:

    \(a-b=a+(-b) ;\) si \(b \neq 0, a / b=a \cdot b^{-1} ; \quad\) si \(n \in \mathbf{N}, a^{n}=a \cdot \ldots \cdot a, n\) veces;

    \(b>a\) si \(b-a>0 ; b<a\) si \(a>b ; b \geq a\) si \(b>a\) ó si \(b=a ; b \leq a\) si \(a \geq b .\)

    \(\mathbf{N}\) y \(\mathbf{Z}\) no son un cuerpo: \(\mathbf{N}\) no posee inverso siquiera respecto de la suma y \(\mathbf{Z}\) no lo tiene respecto del producto. El conjunto \(\mathbf{R}\) de los reales que trataremos en la próxima sección poseerá todas estas propiedades y además otra (el llamado 'axioma del extremo superior').

    Repasemos algunas otras definiciones y propiedades de los naturales, enteros y racionales: 1. Naturales, enteros, racionales y reales

    Demostraciones por inducción.

    Supongamos que queremos demostrar una afirmación, que llamaremos \(P(n)\), que depende de un número natural \(n\). Demostrar \(P(n)\) por inducción consiste en:

    i) demostrar \(P(1)\) (es decir, que la afirmación es cierta si \(n=1\) )
    ii) probar que \(P(n) \Rightarrow P(n+1) \forall n\) (supuesta cierta para \(n\) se demuestra para \(n+1\) )

    Hecho esto, como \(P(1)\) es cierta, por ii) también lo es \(P(2)\). Y por tanto \(P(3)\). Y \(P(4)\)...

    Ej. Probemos por inducción que \(\sum_{k=1}^{n} k=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).

    [recordemos que el primer símbolo se lee 'sumatorio de \(k\) desde 1 hasta \(n^{\prime}\) ]

    \(P(1)\) es cierta: \(1=\frac{1(1+1)}{2}\). Probemos ahora \(P(n+1)\) suponiendo cierta \(P(n)\) :

    \(\sum_{k=1}^{n+1} k=\sum_{k=1}^{n} k+(n+1)=[\) estamos suponiendo cierta \(P(n)]=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

    Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

    Dados dos naturales \(n\) y \(d\) se dice que \(n\) es múltiplo de \(d\) (o que \(d\) es divisor de \(n\) ) si \(n / d\) es también un número natural. Desde luego, todo \(n\) tiene al menos dos divisores: el 1 y el propio \(n\). Si estos son sus únicos divisores dice que \(n\) es primo. Un conjunto de enteros \(n_{1}, \ldots, n_{k}\) admite siempre un divisor común a todos: el 1 . Se llama máximo común divisor al mayor natural que divide a todos ellos (y lo denotaremos por \(\left.\operatorname{mcd}\left[n_{1}, \ldots, n_{k}\right]\right)\). Por otra parte, dados los \(n_{1}, \ldots, n_{k}\) existen naturales que son múltiplos de todos ellos (por ejemplo el producto de todos). Se llama mínimo común múltiplo \(\left(\operatorname{mcm}\left[n_{1}, \ldots, n_{k}\right]\right)\) al menor número con esta propiedad.

    Hallar el med y el mcm de unos naturales es fácil una vez calculados todos los divisores primos de cada uno, lo que puede ser muy largo si los números son muy gordos.

    [Para hallar estos divisores conviene conocer las reglas de divisibilidad por números sencillos: recordamos que un entero es divisible por 3 (y por 9 ) si y sólo si lo es la suma de sus cifras; divisible por 4 (por 8 ) si lo son sus dos (tres) últimas cifras; por 5 si acaba en 0 o en 5 ; por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar es un múltiplo de 11 (incluido el 0 )].

    Otra forma de hallar el \(\operatorname{mcd}[m, n]\) es utilizar el algoritmo de Euclides:

    Sea \(m>n\). Dividamos \(m\) entre \(n\) y llamemos \(q_{1}\) al cociente y \(r_{1}\) al resto: \(m=q_{1} n+r_{1}\). Dividamos ahora \(n\) entre \(r_{1}: n=q_{2} r_{1}+r_{2}\). A continuación \(r_{1}\) entre \(r_{2}: r_{1}=q_{3} r_{2}+r_{3}\). Luego \(r_{2}\) entre \(r_{3} \ldots\), y proseguimos dividiendo de esta forma hasta que el resto sea \(0 .\) El \(\operatorname{mcd}[m, n]\) es entonces el último resto no nulo.

    Calculado el mcd, se puede hallar el mcm utilizando que: \(\operatorname{mcm}[m, n]=\frac{m \cdot n}{\operatorname{mcd}[m, n]}\).

    Ej. Sean 2340 y 6798 .

    Como \(2340=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 13\) y \(6798=2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 103, \mathrm{mcd}=6 \mathrm{y} \mathrm{mcm}=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 103=2651220\)

    Euclides: \(6798=2 \cdot 2340+2118,2340=1 \cdot 2118+222,2118=9 \cdot 222+120,222=1 \cdot 120+102\),
    \[
    \begin{array}{r}
    120=1 \cdot 102+18,102=5 \cdot 18+12,18=1 \cdot 12+6,12=2 \cdot 6 \\
    \Rightarrow \mathrm{mcd}=6, \mathrm{mcm}=\frac{2340 \cdot 6798}{6}=2651220
    \end{array}
    \]
    \(\left[\right.\) Para hallar el \(\operatorname{mcd}\left[n_{1}, \ldots, n_{k}\right]\) se puede calcular \(m_{1}=\operatorname{mcd}\left[n_{1}, n_{2}\right]\), luego \(\left.m_{2}=\operatorname{mcd}\left[m_{1}, n_{3}\right], \ldots\right]\)

    Factoriales, números combinatorios y binomio de Newton

    Para \(n \in \mathbf{N}\) se define factorial de \(n\) como: \(n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n\), y además \(0 !=1\), y si \(k\) es otro natural con \(0 \leq k \leq n\), el coeficiente binomial o número combinatorio es
    \[
    \left(\begin{array}{l}
    n \\
    k
    \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}
    \]
    \(\left[\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\right.\) se lee ' \(n\) sobre \(k\) '; obsérvese que \(\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=1\), que \(\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\), y que \(\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)=n\); \(n\) ! representa el número de formas distintas en que se puede ordenar un conjunto de \(n\) elementos y el número combinatorio (que siempre es un número natural) es el número de formas distintas en que se pueden escoger grupos distintos de \(k\) elementos (sin importar su orden) entre los \(n\) de un conjunto].

    La fórmula más famosa en que aparecen estos números es la de binomio de Newton:
    \[
    (a+b)^{n}=a^{n}+\left(\begin{array}{l}
    n \\
    1
    \end{array}\right) a^{n-1} b+\left(\begin{array}{c}
    n \\
    2
    \end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\cdots+\left(\begin{array}{c}
    n \\
    n-1
    \end{array}\right) a b^{n-1}+b^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
    n \\
    k
    \end{array}\right) a^{n-k} b^{k}
    \]
    Demostrémosla por inducción. Es claramente cierta si \(n=1:(a+b)^{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) a^{1} b^{0}+\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) a^{0} b^{1}\).

    Suponiendo que es cierta para \(n\), probémosla ahora para \(n+1\) :
    \[
    \begin{aligned}
    (a+b)^{n+1} &=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\left[a^{n}+\cdots+\left(\begin{array}{c}
    n \\
    k-1
    \end{array}\right) a^{n-k+1} b^{k-1}+\left(\begin{array}{c}
    n \\
    k
    \end{array}\right) a^{n-k} b^{k}+\cdots+b^{n}\right] \\
    &=a^{n+1}+\left[\left(\begin{array}{c}
    n \\
    1
    \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
    n \\
    0
    \end{array}\right)\right] a^{n} b+\cdots+\left[\left(\begin{array}{c}
    n \\
    k
    \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
    n \\
    k-1
    \end{array}\right)\right] a^{n+1-k} b^{k}+\cdots+b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}
    n+1 \\
    k
    \end{array}\right) a^{n+1-k} b^{k},
    \end{aligned}
    \]
    puesto que se cumple: \(\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}+\frac{n !}{(k-1) !(n-k+1) !}=n ! \frac{(n-k+1)+k}{k !(n-k+1) !}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)\).

    Ej. \((1+x)^{6}=1+6 x+15 x^{2}+20 x^{3}+15 x^{4}+6 x^{5}+x^{6}\),
    \[
    \text { pues }\left(\begin{array}{l}
    6 \\
    2
    \end{array}\right)=\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}=3 \cdot 5=\left(\begin{array}{l}
    6 \\
    4
    \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l}
    6 \\
    3
    \end{array}\right) \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}=5 \cdot 4
    \]

    Existen infinitos números racionales e irracionales.

    Observemos que entre dos racionales \(p>q\), por cercanos que estén, existen infinitos racionales. En efecto, \(r_{1}=(q+p) / 2\) es otro racional que se halla entre los dos. Otros infinitos, por ejemplo, son \(r_{2}=\left(q+r_{1}\right) / 2, r_{3}=\left(q+r_{2}\right) / 2, \ldots\) Recordamos que una forma de precisar de forma única un racional es dar su expresión decimal, que o bien tiene sólo un número finito de decimales o bien tiene además un número finito de decimales que se repiten periódicamente \((7 / 8=0.875\) es un ejemplo de la primera situación y \(8 / 7=1.142857142857 \ldots\) lo es de la segunda). Pensando en la expresión decimal vuelve a estar muy claro que entre dos racionales existen otros infinitos y que podemos encontrar racionales tan próximos como queramos a uno dado.

    Sin embargo, a pesar de estar tan juntos los racionales, aparecen de forma natural (ya desde los griegos) otros números que no son racionales (es decir, irracionales; su expresión decimal tendrá infinitos decimales no repetidos periódicamente). Por ejemplo, el teorema de Pitágoras asegura que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 mide \(\sqrt{2}\) unidades de longitud. Es fácil probar que \(\sqrt{2}\) no es racional (demostrar que otros números famosos como \(\pi\) ó e son irracionales es bastante más complicado). Para hacerlo, vamos a suponer que lo es y llegaremos a una contradicción (es lo que se llama demostración por reducción al absurdo).

    Como se sabe, un racional puede ser expresado de infinitas maneras diferentes como fracción \(p / q\). De ellas, se llama irreducible a la que tiene el denominador más pequeño posible, o sea, aquella con \(p\) y \(q\) sin divisores comunes. Supongamos que \(\sqrt{2}=p / q\) fracción irreducible. Entonces \(p^{2}=2 q^{2}\). Así \(p^{2}\) es par, con lo que también debe serlo \(p\) (los cuadrados de pares son pares e impares los de los impares) y por tanto es de la forma \(p=2 m\). Así pues, \(2 m^{2}=q^{2}\) y \(q\) también es par, en contradicción con la suposición de que \(p / q\) fuese irreducible. 1. Naturales, enteros, racionales y reales

    Observemos que la suma \(z=p+x\) con \(p\) racional y \(x\) irracional es necesariamente otro número irracional (si fuese \(z\) racional, sería \(x=z-p\) también racional). Y lo mismo sucede, si el racional \(p \neq 0\), con su producto (se prueba casi igual; que conste que suma y producto de irracionales puede ser racional, por ejemplo, \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) y \(\sqrt{2} \sqrt{2}=2\) ). Conocemos ya, pues, infinitos irracionales: todos los de la forma \(p+q \sqrt{2}\), con \(p, q \in \mathbf{Z}\). Con esto podemos ya ver que también entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que estén entre sí, existen infinitos irracionales (por ejemplo, si \(p>q\) son racionales, \(q+(p-q) \sqrt{2} / n\), con \(n=2,3, \ldots\), son infinitos irracionales y es fácil ver que están entre uno y otro). También entre dos irracionales hay infinitos racionales e irracionales (parece bastante claro con la expresión decimal). O entre un racional y un irracional.

     

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    Figure \(\PageIndex{1}\)

    Aunque existan infinitos racionales e infinitos irracionales el número de irracionales es un infinito 'más gordo' que el de los racionales (dos conjuntos, finitos o infinitos, tienen el mismo número de elementos si se puede hacer una biyección entre ellos). El número de racionales es el mismo que el de enteros (o el de naturales, que también es el mismo), ya que se puede hacer corresponder a cada entero un racional y viceversa (matemáticamente se dice que \(\mathbf{Q}\) es numerable) como sugiere el esquema de la izquierda. Los irracionales (y por tanto los reales), sin embargo, no se pueden poner en biyección con \(\mathbf{N}\) (pero esto es algo más difícil probarlo).


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