Apéndice D: Definiciones en Matemáticas

Es difícil exagerar la importancia de las definiciones en matemáticas. Las definiciones juegan un papel diferente en las matemáticas que en la vida cotidiana.

Supongamos que le das a tu amigo un trozo de papel que contiene la definición de la palabra poco utilizada rodomontade. Según el Oxford English Dictionary ¹ (OED) es:

Un alarde o jactancia vanagloria; un discurso o escrito extravagantemente jactancioso, arrogante o grandilocuente; un acto arrogante.

Dale tiempo a tu amigo para estudiar la definición. Después, quita el papel. Diez minutos después le piden que defina rodomontade. Lo más probable es que pueda dar una definición razonablemente precisa. A lo mejor diría algo como: “Es un discurso o acto o escrito creado por una persona pomposa o egoista que quiere presumir de lo geniales que son”. Es poco probable que haya citado el OED palabra por palabra. En el inglés cotidiano está bien, probablemente estarías de acuerdo en que tu amigo conoce el significado de la rodomontade. Esto es porque la mayoría de las definiciones son descriptivas. Describen el uso común de una palabra.

Tomemos un ejemplo matemático. El OED ² da esta definición de continuo.

Caracterizado por la continuidad; extendiéndose en el espacio sin interrupción de la sustancia; no tener intersticios ni roturas; tener sus partes en conexión inmediata; conectado, ininterrumpido.

De igual manera, a menudo escuchamos a los estudiantes de cálculo hablar de una función continua como aquella cuya gráfica se puede dibujar “sin levantar el lápiz”. Esta definición es descriptiva. Sin embargo, como aprendimos en el cálculo, la descripción de recoger el lápiz no es una descripción perfecta de las funciones continuas. Esta no es una definición matemática.

Las definiciones matemáticas son prescriptivas. La definición debe prescribir el significado exacto y correcto de una palabra. Contraste la definición descriptiva del DEO de continuo con la definición de continuo que se encuentra en un libro de texto de análisis real.

Una función\(f:A\to \mathbb{R}\) es continua en un punto\(c\in A\) si, para todos\(\varepsilon>0\), existe\(\delta>0\) tal que siempre que\(|x-c|<\delta\) (y\(x\in A\)) se deduce que\(|f(x)-f(c)|<\varepsilon\). Si\(f\) es continuo en cada punto del dominio\(A\), entonces decimos que\(f\) es continuo en\(A\). ³

En matemáticas hay muy poca libertad en las definiciones. Las matemáticas son una teoría deductiva; es imposible afirmar y probar teoremas sin definiciones claras de los términos matemáticos. La definición de un término debe describir completa, precisa e inequívocamente el término. Cada palabra se elige con mucho cuidado y el orden de las palabras es crítico. En la definición de continuidad cambiar “existe” a “para todos”, cambiar los órdenes de los cuantificadores, cambiar\(<\) a\(\leq\) o\(>\), o cambiar\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{Z}\) cambiaría completamente el significado de la definición.

¿Qué significa esto para ti, el estudiante? Nuestra recomendación es que en esta etapa memorices las definiciones palabra por palabra. Es la forma más segura de garantizar que lo tienes correcto. A medida que ganes confianza y familiaridad con el tema, es posible que estés listo para modificar la redacción. Es posible que desee cambiar “para todos” a “dado cualquiera” o puede que desee cambiar\(|x-c|<\delta\) a\(-\delta<x-c<\delta\) o a “la distancia entre\(x\) y\(c\) es menor que”\(\delta\).

Por supuesto, la memorización no es suficiente; debes tener una comprensión conceptual del término, debes ver cómo la definición formal coincide con tu comprensión conceptual, y debes saber cómo trabajar con la definición. Es quizás con el primero de estos que las definiciones descriptivas son útiles. Son útiles para construir la intuición y para pintar el “panorama general”. Sólo después de días (¿semanas, meses, años?) de experiencia se obtiene una sensación intuitiva de la definición épsilon-delta de continuidad; la mayoría de los matemáticos tienen las definiciones de “recoger el lápiz” en la cabeza. Esto está bien siempre y cuando sepamos que es imperfecto, y que cuando probamos teoremas sobre funciones continuas en matemáticas usamos la definición matemática.

Terminamos esta discusión con un divertido ejemplo de la vida real en el que una definición descriptiva no fue suficiente. En 2003 la versión alemana del programa de juegos ¿Quién quiere ser millonario? contenía la siguiente pregunta: “Todo rectángulo es: a) un rombo, (b) un trapecio, (c) un cuadrado, (d) un paralelogramo”.

El confundido concursante decidió saltarse la pregunta y se fue con 4000€. Después el programa recibió cartas de espectadores furiosos. ¿Por qué el concursante y los televidentes estaban molestos con este problema? Claramente un rectángulo es un paralelogramo, entonces (d) es la respuesta. Pero ¿qué pasa con (b)? ¿Es un rectángulo un trapecio? Describiríamos un trapecio como un cuadrilátero con un par de lados paralelos. Pero esto deja abierta la pregunta: ¿puede un trapecio tener dos pares de lados paralelos o solo debe haber un par? Los televidentes dijeron que se permiten dos parejas, los productores del programa de televisión dijeron que no lo es. Este es un caso en el que se requiere una definición matemática clara, precisa.