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3: Composición de Funciones. Regla de la Cadena

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    51019
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Si la imagen de una función \(\textbf{f}\) está contenida en el dominio de una función \(\textbf{g}\), puede aplicarse \(\textbf{g}\) a los
    valores \(\textbf{f}(\textbf x)\) y obtener la composición \(\textbf{g}\circ \textbf{f}\).

    Por ejemplo, \(\textbf{f}: \mathbb R \to \mathbb R^2\) dada por \(\textbf{f}(t)= (\cos (t),\sin (t))\) puede componerse con la función \(g(x,y)=x^2+y^2\) o con \(g(x,y)=\sin (xy^3)+x^2y\), obteniendo, respectivamente, las funciones \(g\circ \textbf{f}: \mathbb R \to \mathbb R\) dadas por \((g\circ \textbf{f})(t)=g(\cos (t),\sin (t))=\cos ^2(t)+\sin ^2(t)\equiv 1\) y \((g\circ \textbf{f})(t)=g(\cos (t),\sin (t))=\sin (\cos (t)\sin ^3(t))+\cos ^2(t)\sin (t)\). Para las funciones \(f(x_1, x_2, x_3)=a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3\) y \(\textbf{h}(t)= (\cos (t),\sin (t))\) podemos considerar la composición \(\textbf{h} \circ f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2\) que se expresa por

    \[ (\textbf{h} \circ f)(x_1, x_2, x_3)=\textbf{h}(a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3)= (\cos(a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3),\sin(a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3)) \]

    pero no \(f \circ \textbf{h}\), ya que la imagen de \(\textbf{h}\) está contenida en \(\mathbb R^2\) y el dominio de \(f\) es \(\mathbb R^3\). En general, consideramos composiciones de funciones \(\textbf{g} \circ \textbf{f}\), donde \(\textbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) y \(\textbf{g}: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^m\); analizamos las \(m\) coordenadas de la composición y, para cada una de ellas, estudiamos las respectivas derivadas parciales con respecto a las \(n\) variables. Por ello, en los ejemplos nos centraremos en el caso \(m=1\).

    Regla de la Cadena

    Dadas dos funciones derivables \(f\) y \(g\) con dominio e imagen en \(\mathbb R\) y su composición \(g\circ f\), se calcula la derivada de la función \(g\circ f\) a través de la denominada regla de la cadena. En concreto, \((g\circ f)'(x)=g'(f(x)) f'(x)\).

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    La función \(f(x)=x^2\) se compone con la función \(g(x)=e^x\) y da lugar a \((g\circ f)(x)=e^{x^2}\), cuya derivada es \((g\circ f)'(x)=e^{x^2} 2x\). Análogamente, \((f\circ g)(x)= (e^x)^2\) (de hecho, \((f\circ g)(x)= e^{2x}\)) y por la regla de la cadena \((f\circ g)'(x)=2e^{x} e^x=2 e^{2x}\).

    Veamos cómo operar en el caso en que las funciones tengan dominio o imagen en \(\mathbb R^d\), con d>1.

    • \(f:\mathbb R^2 \to \mathbb R\) y \(g:\mathbb R \to \mathbb R\). Utilizamos las variables \(s,t\) para \(f\) y la variable \(x\) para \(g\). Entonces \(y=g(x)=(g\circ f)(s,t):=F(s,t)\) y \[\dfrac{\partial}{\partial s}F= \dfrac{d}{d x}g \, \dfrac{\partial}{\partial s}f\] Análogamente, \[\dfrac{\partial}{\partial t}F=\dfrac{d}{d x}g \, \dfrac{\partial}{\partial t}f\]

      Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

      Si \(f(s,t)=s(1-t^3)\) y \(g(x)= e^x\), la función \(F(s,t)=(g \circ f)(s,t)= g(s(1-t^3))=e^{s(1-t^3)}\) tiene como gradiente \(\nabla F(s,t)=(e^{s(1-t^3)}(1-t^3) , e^{s(1-t^3)}s(-3t^2))^T\).

    • \(\textbf{f}=(f_1,f_2)^T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2\) y \(g:\mathbb R^2 \to \mathbb R\). Utilizamos las variables \(s,t\) para \(f\) y las variables \(x,y\) para \(g\). Entonces \(z=g(x,y)=(g \circ \textbf{f})(s,t):=F(s,t)\) y \[\dfrac{\partial}{\partial s}F= \dfrac{\partial}{\partial x}g \, \dfrac{\partial}{\partial s}f_1+\dfrac{\partial}{\partial y}g \, \dfrac{\partial}{\partial s}f_2\] Análogamente, \[\dfrac{\partial}{\partial t}F=\dfrac{\partial}{\partial x}g \, \dfrac{\partial}{\partial t}f_1+ \dfrac{\partial}{\partial y}g \, \dfrac{\partial}{\partial t}f_2\]

      Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

      Si \((x,y)=\textbf{f}(s,t)=(s^2 t, s(4-3t))\), \(g(x,y)=\cos(x-2y)\) y \(F\) es la función \(F(s,t):=(g \circ \textbf{f})(s,t)=g(s^2 t, s(4-3t))=\cos(s^2 t -2s(4-3t))\) admite derivadas parciales. Calcula directamente la derivada parcial con respecto a cada una de las variables y hazlo usando la regla de la cadena multivariante para ver que coinciden.

    • Si \(\textbf{f}=(f_1,...,f_k)^T: \mathbb R^n \to \mathbb R^k\) y \(\textbf{g}:\mathbb R^k \to \mathbb R\) admiten derivadas parciales, las de la función \(F=\textbf{g}\circ \textbf{f}\) vienen dadas, para cada \(1\leq j \leq n\), por \[\dfrac{\partial}{\partial x_j}F= \sum_{i=1}^k \dfrac{\partial}{\partial x_i}g \, \dfrac{\partial}{\partial x_j}f_i\]

      Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

      La composición de \(\textbf{f}(s,t)=(e^{s-t}, \cos(s^2t)\) y \(g(x,y)=(x^2,x-y^3)\) da lugar a la función \(F(s,t)=((e^{s-t})^2, e^{s-t}-(\cos(s^2t))\). Utiliza de nuevo la doble vı́a para comprobar la fórmula de las derivadas parciales en este caso.


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