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6: Aplicaciones de Integración

  • Page ID
    116154
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    En este capítulo, utilizamos integrales definidas para calcular la fuerza ejercida sobre la presa cuando el embalse está lleno y examinamos cómo los niveles de agua cambiantes afectan esa fuerza. La fuerza hidrostática es solo una de las muchas aplicaciones de integrales definidas que exploramos en este capítulo. Desde aplicaciones geométricas como área de superficie y volumen, hasta aplicaciones físicas como masa y trabajo, hasta modelos de crecimiento y decaimiento, las integrales definidas son una herramienta poderosa para ayudarnos a comprender y modelar el mundo que nos rodea.

    • 6.0: Preludio a las Aplicaciones de Integración
      La presa Hoover es una maravilla de la ingeniería. Cuando Lake Mead, el embalse detrás de la presa, está lleno, la presa soporta mucha fuerza. Sin embargo, los niveles de agua en el lago varían considerablemente como resultado de las sequías y la variación de la demanda de agua.
    • 6.1: Áreas entre curvas
      Así como las integrales definidas se pueden usar para encontrar el área bajo una curva, también se pueden usar para encontrar el área entre dos curvas. Para encontrar el área entre dos curvas definidas por funciones, integre la diferencia de las funciones. Si las gráficas de las funciones se cruzan, o si la región es compleja, utilice el valor absoluto de la diferencia de las funciones. En este caso, puede ser necesario evaluar dos o más integrales.
    • 6.2: Determinación de volúmenes por rebanado
      En esta sección, utilizamos integrales definidas para encontrar volúmenes de sólidos tridimensionales. Consideramos tres aproximaciones —rebanado, discos y arandelas— para encontrar estos volúmenes, dependiendo de las características del sólido.
    • 6.3: Volúmenes de revolución - Carcasas cilíndricas
      En esta sección, examinamos el método de las conchas cilíndricas, el método final para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Podemos usar este método en los mismos tipos de sólidos que el método de disco o el método de arandela; sin embargo, con los métodos de disco y arandela, nos integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de conchas cilíndricas, nos integramos a lo largo del eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución.
    • 6.4: Longitud de Arco de una Curva y Área de Superficie
      La longitud del arco de una curva se puede calcular usando una integral definida. La longitud del arco se aproxima primero usando segmentos de línea, lo que genera una suma de Riemann. Tomar un límite entonces nos da la fórmula integral definitiva. El mismo proceso se puede aplicar a las funciones de y Los conceptos utilizados para calcular la longitud del arco se pueden generalizar para encontrar el área superficial de una superficie de revolución. Las integrales generadas por las fórmulas de longitud de arco y área de superficie suelen ser difíciles de evaluar.
    • 6.5: Aplicaciones Físicas de Integración
      En esta sección, examinamos algunas aplicaciones físicas de integración. Varias aplicaciones físicas de la integral definida son comunes en ingeniería y física. Las integrales definidas se pueden utilizar para determinar la masa de un objeto si se conoce su función de densidad. El trabajo también se puede calcular integrando una función de fuerza, o al contrarrestar la fuerza de la gravedad, como en un problema de bombeo. Las integrales definidas también se pueden usar para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto sumergido en un líquido.
    • 6.6: Momentos y Centros de Masa
      En esta sección, consideramos centros de masa (también llamados centroides, bajo ciertas condiciones) y momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de punto de equilibrio. Muchos de nosotros hemos visto artistas que hacen girar platos en los extremos de palos. Los intérpretes tratan de mantener a varios de ellos girando sin permitir que ninguno de ellos caiga. Matemáticamente, ese punto dulce se llama el centro de masa del plato.
    • 6.7: Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
      Ya examinamos funciones exponenciales y logaritmos en capítulos anteriores. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en las discusiones anteriores. Por ejemplo, no estudiamos cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes que son irracionales. La definición del número e es otra área donde el desarrollo anterior fue algo incompleto. Ahora tenemos las herramientas para tratar estos conceptos de una manera matemáticamente más rigurosa, y lo hacemos en esta sección.
    • 6.8: Crecimiento y Decaimiento Exponencial
      Una de las aplicaciones más prevalentes de las funciones exponenciales involucra modelos de crecimiento y decaimiento. El crecimiento exponencial y el decaimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés continuamente compuesto hasta la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son ubicuas en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento exponencial y la decadencia en el contexto de algunas de estas aplicaciones.
    • 6.9: Cálculo de las Funciones Hiperbólicas
      Se nos introdujeron las funciones hiperbólicas en Introducción a las Funciones y Gráficas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección, analizamos las fórmulas de diferenciación e integración para las funciones hiperbólicas y sus inversas.
    • 6.10: Capítulo 6 Ejercicios de revisión

    Miniaturas: Una región entre dos funciones.


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