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1.3: Enteros

  • Page ID
    51714
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    resumen

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Simplifica expresiones con valor absoluto
    • Sumar y restar enteros
    • Multiplicar y dividir enteros
    • Simplifica expresiones con enteros
    • Evaluar expresiones variables con enteros
    • Traducir frases a expresiones con enteros
    • Usar enteros en aplicaciones

    Una introducción más completa a los temas tratados en esta sección se puede encontrar en el capítulo de Álgebra Elemental , Fundaciones.

    Simplifique expresiones con valor absoluto

    Un número negativo es un número menor que 0. Los números negativos están a la izquierda de cero en la línea numérica (Figura \(\PageIndex{1}\)).


    Figura \(\PageIndex{1}\). Lalínea numérica muestra la ubicación de los números positivos y negativos.

    Es posible que hayas notado que, en la línea numérica, los números negativos son una imagen especular de los números positivos, con cero en el medio. Debido a que los números \(2\) y \(−2\) son la misma distancia de cero, a cada uno se le llama lo contrario del otro. Lo contrario de \(2\) es \(−2\), y lo contrario de \(−2\) es \(2\).

    OPUESTO

    El contrario de un número es el número que está a la misma distancia de cero en la línea numérica pero en el lado opuesto de cero.

    La figura \(\PageIndex{2}\) ilustra la definición.


    Figura \(\PageIndex{2}\). Locontrario de 3 es \(−3\).

    NOTACIÓN OPUESTA

    \[\begin{align} & -a \text{ means the opposite of the number }a \\ & \text{The notation} -a \text{ is read as “the opposite of }a \text{.”} \end{align} \]

    Vimos que números como 3 y −3 son opuestos porque están a la misma distancia de 0 en la línea numérica. Ambos son tres unidades de 0. La distancia entre 0 y cualquier número en la línea numérica se llama el valor absoluto de ese número.

    Definición: VALOR ABSOLUTO

    El valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la línea numérica.

    El valor absoluto de un número \(n\) se escribe como \(|n|\) y \(|n|≥0\) para todos los números.

    Los valores absolutos son siempre mayores o iguales a cero.

    Por ejemplo,

    \[\begin{align} & -5 \text{ is } 5 \text{ units away from 0, so } |-5|=5. \\ & 5 \text{ is }5\text{ units away from 0, so }|5|=5. \end{align}\]

    La figura \(\PageIndex{3}\) ilustra esta idea.

    Figura \(\PageIndex{3}\): Los números 5 y −5 están a 5 unidades de distancia de 0.

    El valor absoluto de un número nunca es negativo porque la distancia no puede ser negativa. El único número con valor absoluto igual a cero es el número cero en sí porque la distancia de 0 a 0 en la línea numérica es cero unidades.

    En el siguiente ejemplo, ordenaremos expresiones con valores absolutos.

    EJEMPL \(\PageIndex{1}\)

    Rellene \(<,\,>,\) o \(=\) para cada uno de los siguientes pares de números:

    1. \(\mathrm{|−5|}\_\_\mathrm{−|−5|}\_\_\mathrm{−|5|}\)
    2. \(\text{8__−|−8|}\)
    3. \(\text{−9__−|−9|}\)
    4. (\ text {− (−16) __|−16|}\).
    Contestar

    a.

    \(\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {|−5| \\ 5 \\ 5 \\ |−5|} & {\_\_ \\ \_\_ \\ > \\ >} & {−|−5| \\ −5 \\ −5 \\ −|−5|} \end{array}\)

    b.

    \(\begin{array}{llcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {8 \\ 8 \\ 8 \\ 8} & {\_\_ \\ \_\_ \\ > \\ >} & {−|−8| \\ −8 \\ −8 \\ −|−8|} \end{array}\)

    c.

    \(\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {−9 \\ −9 \\ −9 \\ −9} & {\_\_ \\ \_\_ \\ = \\ =} & {−|−9| \\ −9 \\ −9 \\ −|−9|} \end{array}\)

    d.

    \(\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {−(−16) \\ 16 \\ 16 \\ −(−16)} & {\_\_ \\ \_\_ \\ = \\ =} & {−|−16| \\ 16 \\ 16 \\ |−16|} \end{array}\)

    EJEMPL \(\PageIndex{2}\)

    Rellene \(<,\,>,\) o \(=\) para cada uno de los siguientes pares de números:

    \(−9 \_\_−|−9|\)\(2 \_\_−|−2|\)\(−8 \_\_|−8|\)\(−(−9) \_\_|−9|.\)

    Contestar

    \(>\)\(>\)\(<\)

    \(=\)

    EJEMPL \(\PageIndex{3}\)

    Rellene \(<,>,\) o \(=\) para cada uno de los siguientes pares de números:

    1. \(7 \_\_ −|−7|\)
    2. \(−(−10) \_ \_|−10|\)
    3. \(|−4| \_\_ −|−4|\)
    4. \(−1 \_\_ |−1|.\)
    Contestar

    \(>\)\(=\)\(>\)

    \(<\)

    Ahora agregamos barras de valores absolutos a nuestra lista de símbolos de agrupación. Cuando usamos el orden de las operaciones, primero simplificamos dentro de las barras de valor absoluto tanto como sea posible, luego tomamos el valor absoluto del número resultante.

    Agrupación de símbolos

    \[\begin{array}{lclc} \text{Parentheses} & () & \text{Braces} & \{ \} \\ \text{Brackets} & [] & \text{Absolute value} & ||\end{array}\]

    En el siguiente ejemplo, simplificamos primero las expresiones dentro de las barras de valores absolutos al igual que lo hacemos con paréntesis.

    EJEMPL \(\PageIndex{4}\)

    Simplificar: \(\mathrm{24−|19−3(6−2)|}\).

    Contestar

    \(\begin{array}{lc} \text{} & 24−|19−3(6−2)| \\ \text{Work inside parentheses first:} & \text{} \\ \text{subtract 2 from 6.} & 24−|19−3(4)| \\ \text{Multiply 3(4).} & 24−|19−12| \\ \text{Subtract inside the absolute value bars.} & 24−|7| \\ \text{Take the absolute value.} & 24−7 \\ \text{Subtract.} & 17 \end{array}\)

    EJEMPL \(\PageIndex{5}\)

    Simplificar: \(19−|11−4(3−1)|\).

    Contestar

    16

    EJEMPL \(\PageIndex{6}\)

    Simplificar: \(9−|8−4(7−5)|\).

    Contestar

    9

    Sumar y restar enteros

    En lo que va de nuestros ejemplos, sólo hemos utilizado los números de conteo y los números enteros.

    \[\begin{array}{ll} \text{Counting numbers} & 1,2,3… \\ \text{Whole numbers} 0,1,2,3…. \end{array}\]

    Nuestro trabajo con opuestos nos da una forma de definir los enteros. Los números enteros y sus opuestos se llaman los enteros. Los números enteros son los números \(…−3,−2,−1,0,1,2,3…\)

    Definición: INTEGADORES

    Los números enteros y sus opuestos se llaman los enteros.

    Los números enteros son los números

    \[…-3,-2,-1,0,1,2,3…,\]

    La mayoría de los estudiantes se sienten cómodos con los hechos de suma y resta para números positivos. Pero hacer suma o resta con números tanto positivos como negativos puede ser más difícil.

    Utilizaremos dos contadores de color para modelar la suma y resta de negativos para que puedas visualizar los procedimientos en lugar de memorizar las reglas.

    Dejamos que un color (azul) represente positivo. El otro color (rojo) representará los negativos.

    Si tenemos un contador positivo y otro negativo, el valor del par es cero. Forman un par neutro. El valor de este par neutro es cero.

    Usaremos los contadores para mostrar cómo agregar:

    \[5+3 \; \; \; \; \; \; −5+(−3) \; \; \; \; \; \; −5+3 \; \; \; \; \; \; \; 5+(−3)\]

    El primer ejemplo, \(5+3,\) agrega 5 positivos y 3 positivos, ambos positivos.

    El segundo ejemplo, \(−5+(−3),\) agrega 5 negativos y 3 negativos, ambos negativos.

    Cuando las señales son iguales, los contadores son todos del mismo color, y así los agregamos. En cada caso obtenemos 8, ya sea 8 positivos o 8 negativos.

    Entonces, ¿qué pasa cuando las señales son diferentes? Agreguemos \(−5+3\) y \(5+(−3)\).

    Cuando usamos contadores para modelar la adición de enteros positivos y negativos, es fácil ver si hay contadores más positivos o más negativos. Entonces sabemos si la suma será positiva o negativa.

    EJEMPL \(\PageIndex{7}\)

    Agregar: ⓐ \(−1+(−4)\)\(−1+5\)\(1+(−5)\).

    Contestar

     
     
    1 negativo más 4 negativos es 5 negativos

     
     
    Hay más positivos, por lo que la suma es positiva.

     
     
    Hay más negativos, por lo que la suma es negativa.
    EJEMPL \(\PageIndex{8}\)

    Agregar: ⓐ \(−2+(−4)\)\(−2+4\)\(2+(−4)\).

    Contestar

    \(−6\)\(2\)\(−2\)

    EJEMPL \(\PageIndex{9}\)

    Agregar: ⓐ \(−2+(−5)\)\(−2+5\)\(2+(−5)\).

    Contestar

    \(−7\)\(3\)\(−3\)

    Seguiremos utilizando contadores para modelar la resta. Tal vez cuando eras más joven leías \(“5−3”\) como “5 quita 3”. Cuando usas contadores, ¡puedes pensar en resta de la misma manera!

    Utilizaremos los contadores para mostrar para restar:

    \[5−3 \; \; \; \; \; \; −5−(−3) \; \; \; \; \; \; −5−3 \; \; \; \; \; \; 5−(−3) \]

    El primer ejemplo \(5−3\),, restamos 3 positivos de 5 positivos y terminamos con 2 positivos.

    En el segundo ejemplo, \(−5−(−3),\) restamos 3 negativos de 5 negativos y terminamos con 2 negativos.

    En cada ejemplo se utilizaron contadores de un solo color, y el modelo “take away” de resta fue fácil de aplicar.

    ¿Qué pasa cuando tenemos que restar un número positivo y otro negativo? Tendremos que usar contadores tanto azules como rojos, así como algunos pares neutros. Si no tenemos el número de contadores necesarios para llevar, agregamos pares neutros. Agregar un par neutro no cambia el valor. Es como cambiar trimestres a níqueles, el valor es el mismo, pero se ve diferente.

    Echemos un vistazo a \(−5−3\) y \(5−(−3)\).

     
    Modele el primer número.
    Ahora sumamos los pares neutrales necesarios.
    Eliminamos el número de contadores modelados por el segundo número.
    Cuenta lo que queda.
     
     
    EJEMPL \(\PageIndex{10}\)

    Restar: ⓐ \(3−1\)\(−3−(−1)\)\(−3−1\)\(3−(−1)\).

    Contestar

     
    Toma 1 positivo de 3 positivos y obtén 2 positivos.  

     
    Toma 1 positivo de 3 negativos y obtén 2 negativos.  

     
    Toma 1 positivo del par neutro agregado.

     
    Toma 1 negativo del par neutro agregado.
    EJEMPL \(\PageIndex{11}\)

    Restar: ⓐ \(6−4\)\(−6−(−4)\)\(−6−4\)\(6−(−4)\).

    Contestar

    \(2\)\(−2\)\(−10\)\(10\)

    EJEMPL \(\PageIndex{12}\)

    Restar: ⓐ \(7−4\)\(−7−(−4)\)\(−7−4\)\(7−(−4)\).

    Contestar

    \(3\)\(−3\)\(−11\)\(11\)

    ¿Ha notado que la resta de números firmados se puede hacer sumando lo contrario? En el último ejemplo, \(−3−1\) es lo mismo que \(−3+(−1)\) y \(3−(−1)\) es lo mismo que \(3+1\). A menudo verás esta idea, la Propiedad de Resta, escrita de la siguiente manera:

    Definición: SUTRACCIÓN DE PROPIEDAD

    \[a−b=a+(−b)\]

    Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

    EJEMPL \(\PageIndex{13}\)

    Simplificar: ⓐ \(13−8\) y \(13+(−8)\)\(−17−9\) y \(−17+(−9)\)\(9−(−15)\) y \(9+15\)\(−7−(−4)\) y \(−7+4\).

    Contestar

    \(\begin{array}{lccc} \text{} & 13−8 & \text{and} & 13+(−8) \\ \text{Subtract.} & 5 & \text{} & 5 \end{array}\)

    \(\begin{array}{lccc} \text{} & −17−9 & \text{and} & −17+(−9) \\ \text{Subtract.} & −26 & \text{} & −26 \end{array}\)

    \(\begin{array}{lccc} \text{} & 9−(−15) & \text{and} & 9+15 \\ \text{Subtract.} & 24 & \text{} & 24 \end{array}\)

    \(\begin{array}{lccc} \text{} & −7−(−4) & \text{and} & −7+4 \\ \text{Subtract.} & −3 & \text{} & −3 \end{array}\)

    EJEMPL \(\PageIndex{14}\)

    Simplificar: ⓐ \(21−13\) y \(21+(−13)\)\(−11−7\) y \(−11+(−7)\)\(6−(−13)\) y \(6+13\)\(−5−(−1)\) y \(−5+1\).

    Contestar

    \(8,8\)\(−18,−18\)

    \(19,19\)\(−4,−4\)

    EJEMPL \(\PageIndex{15}\)

    Simplificar: ⓐ \(15−7\) y \(15+(−7)\)\(−14−8\) y \(−14+(−8)\)\(4−(−19)\) y \(4+19\)\(−4−(−7)\) y \(−4+7\).

    Contestar

    \(8,8\)\(−22,−22\)

    \(23,23\)\(3,3\)

    ¿Qué pasa cuando hay más de tres enteros? Simplemente usamos el orden de operaciones como de costumbre.

    EJEMPL \(\PageIndex{16}\)

    Simplificar: \(7−(−4−3)−9.\)

    Contestar

    \(\begin{array}{lc} \text{} & 7−(−4−3)−9 \\ \text{Simplify inside the parentheses first.} & 7−(−7)−9 \\ \text{Subtract left to right.} & 14−9 \\ \text{Subtract.} & 5 \end{array}\)

    Simplificar: \(8−(−3−1)−9.\)

    Contestar

    3

    EJEMPL \(\PageIndex{18}\)

    Simplificar: \(12−(−9−6)−14.\)

    Contestar

    13

    Multiplicar y dividir enteros

    Dado que la multiplicación es una abreviatura matemática para la adición repetida, nuestro modelo se puede aplicar fácilmente para mostrar la multiplicación de enteros. Echemos un vistazo a este modelo concreto para ver qué patrones notamos. Usaremos los mismos ejemplos que usamos para sumar y restar. Aquí, estamos usando el modelo solo para ayudarnos a descubrir el patrón.

    Recordamos que aba·b significa sumar a , b veces .

    Los siguientes dos ejemplos son más interesantes. ¿Qué significa multiplicar 5 por −3? Significa restar 5,3 veces. Mirar la resta como “quitarle”, significa quitarle 5, 3 veces. Pero no hay nada que quitar, así que empezamos por sumar pares neutros en el espacio de trabajo.

    En resumen:

    \[\begin{array}{ll} 5·3=15 & −5(3)=−15 \\ 5(−3)=−15 & (−5)(−3)=15 \end{array}\]

    Observe que para la multiplicación de dos números firmados, cuando el

    \[ \text{signs are the } \textbf{same} \text{, the product is } \textbf{positive.} \\ \text{signs are } \textbf{different} \text{, the product is } \textbf{negative.} \]

    ¿Qué pasa con la división? La división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, \(15÷3=5\) porque \(15·3=15\). En palabras, esta expresión dice que 15 se pueden dividir en 3 grupos de 5 cada uno porque sumar cinco tres veces da 15. Si nos fijamos en algunos ejemplos de multiplicar enteros, podría averiguar las reglas para dividir enteros.

    \[\begin{array}{lclrccl} 5·3=15 & \text{so} & 15÷3=5 & \text{ } −5(3)=−15 & \text{so} & −15÷3=−5 \\ (−5)(−3)=15 & \text{so} & 15÷(−3)=−5 & \text{ } 5(−3)=−15 & \text{so} & −15÷(−3)=5 \end{array}\]

    La división sigue las mismas reglas que la multiplicación con respecto a los signos.

    Multiplicación y división de números firmados

    Para multiplicación y división de dos números firmados:

    Mismos signos Resultado
    • Dos positivos Positivo
    • Dos negativos Positivo

    Si los signos son los mismos, el resultado es positivo.

    Distintos signos Resultado
    • Positivo y negativo Negativo
    • Negativo y positivo Negativo

    Si los signos son diferentes, el resultado es negativo.

    EJEMPL \(\PageIndex{19}\)

    Multiplica o divide: ⓐ \(−100÷(−4)\)\(7⋅6\)\(4(−8)\)\(−27÷3.\)

    Contestar

    \(\begin{array}{lc} \text{} & −100÷(−4) \\ \text{Divide, with signs that are} \\ \text{the same the quotient is positive.} & 25 \end{array}\)

    \(\begin{array} {lc} \text{} & 7·6 \\ \text{Multiply, with same signs.} & 42 \end{array}\)

    \(\begin{array} {lc} \text{} & 4(−8) \\ \text{Multiply, with different signs.} & −32 \end{array}\)

    \(\begin{array}{lc} \text{} & −27÷3 \\ \text{Divide, with different signs,} \\ \text{the quotient is negative.} & −9 \end{array}\)

    EJEMPL \(\PageIndex{20}\)

    Multiplica o divide: ⓐ \(−115÷(−5)\)\(5⋅12\)\(9(−7)\)\(−63÷7.\)

    Contestar

    ⓐ 23 ⓑ 60 ⓒ −63 ⓓ −9

    Multiplica o divide: ⓐ \(−117÷(−3)\)\(3⋅13\)\(7(−4)\)\(−42÷6\).

    Contestar

    ⓐ 39 ⓑ 39 ⓒ −28 ⓓ −7

    Cuando multiplicamos un número por 1, el resultado es el mismo número. ¡Cada vez que multiplicamos un número por −1, obtenemos su opuesto!

    MULTIPLICACIÓN POR −1

    \[−1a=−a\]

    Multiplicar un número por \(−1\) da su opuesto.

    Simplificar expresiones con números enteros

    ¿Qué sucede cuando hay más de dos números en una expresión? El orden de operaciones sigue vigente cuando se incluyen negativos. Recuerde Por Favor Disculpe Mi Querida Tía Sally?

    Probemos algunos ejemplos. Simplificaremos las expresiones que usan las cuatro operaciones con enteros: suma, resta, multiplicación y división. Recuerda seguir el orden de las operaciones.

    EJEMPL \(\PageIndex{22}\)

    Simplificar: ⓐ \((−2)^4\)\(−2^4\).

    Contestar

    Observe la diferencia en las partes (a) y (b). En parte (a), el exponente significa elevar lo que está entre paréntesis, el −2 a lapotencia. En la parte (b), el exponente significa elevar sólo la 2 a la potencia y luego tomar lo contrario.

    \(\begin{array}{lc} \text{} & (−2)^4 \\ \text{Write in expanded form.} & (−2)(−2)(−2)(−2) \\ \text{Multiply.} & 4(−2)(−2) \\ \text{Multiply.} & −8(−2) \\ \text{Multiply.} & 16 \end{array}\)

    \(\begin{array}{lc} \text{} & −2^4 \\ \text{Write in expanded form.} & −(2·2·2·2) \\ \text{We are asked to find} & \text{} \\ \text{the opposite of }24. & \text{} \\ \text{Multiply.} & −(4·2·2) \\ \text{Multiply.} & −(8·2) \\ \text{Multiply.} & −16 \end{array}\)

    Simplificar: ⓐ \((−3)^4\)\(−3^4\).

    Contestar

    ⓐ 81 ⓑ −81

    EJEMPL \(\PageIndex{24}\)

    Simplificar: ⓐ \((−7)^2\)\(−7^2\).

    Contestar

    ⓐ 49 ⓑ −49

    El último ejemplo nos mostró la diferencia entre \((−2)^4\) y \(−2^4\). Esta distinción es importante para evitar errores futuros. El siguiente ejemplo nos recuerda multiplicar y dividir en orden de izquierda a derecha.

    EJEMPL \(\PageIndex{25}\)

    Simplificar: ⓐ \(8(−9)÷(−2)^3\)\(−30÷2+(−3)(−7)\).

    Contestar

    \(\begin{array}{lc} \text{} & 8(−9)÷(−2)^3 \\ \text{Exponents first.} & 8(−9)÷(−8) \\ \text{Multiply.} & −72÷(−8) \\ \text{Divide.} & 9 \end{array}\)

    \(\begin{array}{lc} \text{} & −30÷2+(−3)(−7) \\ \text{Multiply and divide} \\ \text{left to right, so divide first.} & −15+(−3)(−7) \\ \text{Multiply.} & −15+21 \\ \text{Add.} & 6 \end{array}\)

    Simplificar: ⓐ \(12(−9)÷(−3)^3\)\(−27÷3+(−5)(−6).\)

    Contestar

    ⓐ 4 ⓑ 21

    EJEMPL \(\PageIndex{27}\)

    Simplificar: ⓐ \(18(−4)÷(−2)^3\)\(−32÷4+(−2)(−7).\)

    Contestar

    ⓐ 9 ⓑ 6

    Evaluar expresiones variables con enteros

    Recuerde que evaluar una expresión significa sustituir un número por la variable en la expresión. Ahora podemos usar números negativos así como números positivos.

    EJEMPL \(\PageIndex{28}\)

    Evaluar \(4x^2−2xy+3y^2\) cuándo \(x=2,y=−1\).

    Contestar
     
    Simplifica los exponentes.
    Multiplicar.
    Resta.
    Añadir.
    EJEMPL \(\PageIndex{29}\)

    Evaluar: \(3x^2−2xy+6y^2\) cuándo \(x=1,y=−2\).

    Contestar

    31

    EJEMPL \(\PageIndex{30}\)

    Evaluar: \(4x^2−xy+5y^2\) cuándo \(x=−2,y=3\).

    Contestar

    67

    Traducir Frases a Expresiones con Enteros

    Nuestro trabajo anterior de traducción del inglés al álgebra también se aplica a frases que incluyen números tanto positivos como negativos.

    EJEMPL \(\PageIndex{31}\)

    Traducir y simplificar: la suma de 8 y −12, incrementada en 3.

    Contestar

    \(\begin{array}{lc} \text{} & \text{the } \textbf{sum } \underline{\text{of}} \; –8 \; \underline{\text{and}} −12 \text{ increased by } 3 \\ \text{Translate.} & [8+(−12)]+3 \\ \text{Simplify. Be careful not to confuse the} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & (−4)+3 \\ \text{brackets with an absolute value sign.} \\ \text{Add.} & −1 \end{array}\)

    EJEMPL \(\PageIndex{32}\)

    Traducir y simplificar la suma de 9 y −16, incrementada en 4.

    Contestar

    \((9+(−16))+4;−3\)

    EJEMPL \(\PageIndex{33}\)

    Traduce y simplifica la suma de −8 y −12, incrementada en 7.

    Contestar

    \((−8+(−12))+7;−13\)

    Usar números enteros en aplicaciones

    Vamos a esbozar un plan para resolver aplicaciones. ¡Es difícil encontrar algo si no sabemos qué estamos buscando o cómo llamarlo! Entonces, cuando resolvemos una aplicación, primero necesitamos determinar cuál es el problema que nos está pidiendo encontrar. Después escribiremos una frase que dé la información para encontrarla. Traduciremos la frase en una expresión y luego simplificaremos la expresión para obtener la respuesta. Por último, resumimos la respuesta en una frase para asegurarnos de que tenga sentido.

    EJEMPLO \(\PageIndex{34}\): Cómo resolver problemas de aplicaciones usando enteros

    La temperatura en Kendallville, Indiana una mañana fue de 11 grados. A media tarde, la temperatura había bajado a −9−9grados. ¿Cuál fue la diferencia en las temperaturas de la mañana y de la tarde?

    Contestar






    EJEMPL \(\PageIndex{35}\)

    La temperatura en Anchorage, Alaska una mañana fue de 15 grados. A media tarde la temperatura había bajado a 30 grados bajo cero. ¿Cuál fue la diferencia en las temperaturas de la mañana y de la tarde?

    Contestar

    La diferencia de temperaturas fue de 45 grados Fahrenheit.

    EJEMPL \(\PageIndex{36}\)

    La temperatura en Denver fue de −6 grados a la hora del almuerzo. Al atardecer la temperatura había bajado a −15 grados. ¿Cuál fue la diferencia en las temperaturas de almuerzo y atardecer?

    Contestar

    La diferencia de temperaturas fue de 9 grados.

    UTILIZAR INTEGROS EN APLICACIONES.
    1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
    2. Identificar lo que se nos pide encontrar.
    3. Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
    4. Traduce la frase a una expresión.
    5. Simplifica la expresión.
    6. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con números enteros.

    • Restar enteros con contadores

    Conceptos Clave

    • \[\begin{align} & −a \text{ means the opposite of the number }a \\ & \text{The notation} −a \text{ is read as “the opposite of }a \text{.”} \end{align} \]
    • El valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la línea numérica.

      El valor absoluto de un número n se escribe como \(|n|\) y \(|n|≥0\) para todos los números.

      Los valores absolutos son siempre mayores o iguales a cero.

    • \[\begin{array}{lclc} \text{Parentheses} & () & \text{Braces} & \{ \} \\ \text{Brackets} & [] & \text{Absolute value} & ||\end{array}\]
    • Resta Propiedad
      \(a−b=a+(−b)\)
      Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.
    • Para multiplicación y división de dos números firmados:
      Mismos signos Resultado
      • Dos positivos Positivo
      • Dos negativos Positivo
      Silos signos son los mismos, el resultado es positivo.
      Distintos signos Resultado
      • Positivo y negativo Negativo
      • Negativo y positivo Negativo
      Silos signos son diferentes, el resultado es negativo.
    • Multiplicación por \(−1\)

      \(−1a=−a\)

      Multiplicar un número por \(−1\) da su opuesto.

    • Cómo Usar Enteros en Aplicaciones.
      1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas
      2. Identificar lo que se nos pide encontrar.
      3. Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
      4. Traduce la frase a una expresión.
      5. Simplifica la expresión.
      6. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Glosario

    valor absoluto
    El valor absoluto de un número es su distancia desde \(0\) la línea numérica.
    enteros
    Los números enteros y sus opuestos se llaman los enteros.
    números negativos
    Números menores \(0\) que números negativos.
    opuesto
    El contrario de un número es el número que está a la misma distancia de cero en la línea numérica pero en el lado opuesto de cero.

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