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2.4: Resolver una Fórmula para una Variable Específica

  • Page ID
    51803
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted podrá:

    • Resolver una fórmula para una variable específica
    • Usar fórmulas para resolver aplicaciones de geometría

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar \(2(x+3)\) cuándo \(x=5\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. La longitud de un rectángulo es tres menos que la anchura. Deja que w represente el ancho. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Evaluar \(\frac{1}{2}bh\) cuándo \(b=14\) y \(h=9\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Resolver una fórmula para una variable específica

    Probablemente todos hemos trabajado con algunas fórmulas geométricas en nuestro estudio de las matemáticas. Las fórmulas se usan en tantos campos, es importante reconocer fórmulas y poder manipularlas fácilmente.

    A menudo es útil resolver una fórmula para una variable específica. Si necesitas poner una fórmula en una hoja de cálculo, no es raro tener que resolverla para una variable específica primero. Aislamos esa variable en un lado del signo igual con un coeficiente de uno y todas las demás variables y constantes están en el otro lado del signo igual.

    Las fórmulas geométricas a menudo también necesitan ser resueltas para otra variable. La fórmula \(V=\frac{1}{3}πr^2h\) se utiliza para encontrar el volumen de un cono circular derecho cuando se le da el radio de la base y la altura. En el siguiente ejemplo, resolveremos esta fórmula para la altura.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Resuelve la fórmula \(V=\frac{1}{3}πr^2h\) para h.

    Contestar
    Escribe la fórmula.    
    Retire la fracción de la derecha.    
    Simplificar.    
    Divida ambos lados por \(πr^2\).    

    Ahora podríamos usar esta fórmula para encontrar la altura de un cono circular derecho cuando conocemos el volumen y el radio de la base, mediante el uso de la fórmula \(h=\frac{3V}{πr^2}\).

    \(\PageIndex{2}\)EJEMPLO

    Use la fórmula \(A=\frac{1}{2}bh\) para resolver para b.

    Contestar

    \(b=\frac{2A}{h}\)

    \(\PageIndex{3}\)EJEMPLO

    Usa la fórmula \(A=\frac{1}{2}bh\) para resolver por h.

    Contestar

    \(h=\frac{2A}{b}\)

    En las ciencias, a menudo necesitamos cambiar la temperatura de Fahrenheit a Celsius o viceversa. Si viajas en un país extranjero, es posible que desees cambiar la temperatura Celsius a la temperatura Fahrenheit más familiar.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Resuelve la fórmula \(C=\frac{5}{9}(F−32)\) para F.

    Contestar
    Escribe la fórmula.    
    Retire la fracción de la derecha.    
    Simplificar.    
    Agrega 32 a ambos lados.    

    Ahora podemos usar la fórmula \(F=\frac{9}{5}C+32\) para encontrar la temperatura Fahrenheit cuando conocemos la temperatura Celsius.

    \(\PageIndex{5}\)EJEMPLO

    Resuelve la fórmula \(F=\frac{9}{5}C+32\) para C.

    Contestar

    \(C=\frac{5}{9}(F−32)\)

    \(\PageIndex{6}\)EJEMPLO

    Resuelve la fórmula \(A=\frac{1}{2}h(b+B)\) para b.

    Contestar

    \(b=\frac{2A−Bh}{h}\)

    El siguiente ejemplo utiliza la fórmula para el área de superficie de un cilindro derecho.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resuelve la fórmula \(S=2πr^2+2πrh\) para \(h\).

    Contestar
    Escribe la fórmula.
    Aísle el \(h\) término restando \(2πr^2\) de cada lado.
    Simplificar.
    Resuelve para \(h\) dividiendo ambos lados por \(2πr.\)
    Simplificar.
    \(\PageIndex{8}\)EJEMPLO

    Resuelve la fórmula \(A=P+Prt\) para \(t\).

    Contestar

    \(t=\frac{A−P}{Pr}\)

    \(\PageIndex{9}\)EJEMPLO

    Resuelve la fórmula \(A=P+Prt\) para \(r\).

    Contestar

    \(r=\frac{A−P}{Pt}\)

    A veces se nos podría dar una ecuación que se resuelve para \(y\) y la necesidad de resolverla \(x\), o viceversa. En el siguiente ejemplo, se nos da una ecuación con ambos \(x\) y \(y\) en el mismo lado y lo resolveremos para \(y\).

     

    Resuelve la fórmula \(8x+7y=15\) para \(y\).

    Contestar
    Aislaremos \(y\) en un lado de la ecuación.
    Restar \(6x\) de ambos lados para aislar el término con \(y\).
    Simplificar.
    Divida ambos lados por \(7\) para hacer el coeficiente de \(y\) uno.
    Simplificar.
     

    Resuelve la fórmula \(4x+7y=9\) para \(y\).

    Contestar

    \(y=\frac{9−4x}{7}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Resuelve la fórmula \(5x+8y=1\) para \(y\).

    Contestar

    \(y=\frac{1−5x}{8}\)

    Usar fórmulas para resolver aplicaciones de geometría

    En este objetivo utilizaremos algunas fórmulas geométricas comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para que podamos resolver aplicaciones de geometría. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación a resolver.

    Además, dado que todas estas aplicaciones implicarán formas de algún tipo, a la mayoría de las personas les resulta útil dibujar una figura y etiquetarla con la información dada. Incluiremos esto en el primer paso de la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

    SOLUCIONAR APLICACIONES DE GEOM
    1. Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que estamos buscando eligiendo una variable que la represente. Dibuja la figura y rótulo con la información dada.
    4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Suplente en la información dada.
    5. Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
    6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Cuando resolvemos aplicaciones de geometría, muchas veces tenemos que usar algunas de las propiedades de las figuras. Revisaremos esas propiedades según sea necesario.

    El siguiente ejemplo involucra el área de un triángulo. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Podemos escribir esto como \(A=\frac{1}{2}bh\), donde \(b\) = longitud de la base y \(h\) = altura.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    El área de una pintura triangular es de pulgadas \(126\) cuadradas. La base es \(18\) pulgadas. ¿Cuál es la altura?

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. altura de un triángulo
    Paso 3. Nombre.  
    Elija una variable para representarla. Deja que \(h=\) la altura.
    Dibuja la figura y rótulo con la información dada. Área = 126 sq. in.
     
    Paso 4. Traducir.  
    Escribe la fórmula adecuada. \(A=\frac{1}{2}bh\)
    Suplente en la información dada. \(126=\frac{1}{2}·18·h\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación. \(126=9h\)
    Divida ambos lados por 9. \(14=h\)
    Paso 6. Chequear.

    \(\begin{align*} A &= \frac{1}{2}bh \\126 & \stackrel{?}{=} 12·18·14 \\ 126 &=126✓ \end{align*}\)

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. La altura del triángulo es \(14\) pulgadas.
    \(\PageIndex{14}\)EJEMPLO

    El área de una ventana de iglesia triangular es de metros \(90\) cuadrados. La base de la ventana es de \(15\) metros. ¿Cuál es la altura de la ventana?

    Contestar

    La altura de la ventana es de \(12\) metros.

    \(\PageIndex{15}\)EJEMPLO

    Una puerta de carpa triangular tiene área pies \(15\) cuadrados. La altura es de cinco pies. ¿Cuál es la longitud de la base?

    Contestar

    La longitud de la base es de \(6\) pies.

    En el siguiente ejemplo, trabajaremos con un triángulo rectángulo. Para resolver para la medida de cada ángulo, necesitamos usar dos propiedades triangulares. En cualquier triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es \(180°\). Podemos escribir esto como una fórmula: \(m∠A+m∠B+m∠C=180\). Además, dado que el triángulo es un triángulo rectángulo, recordamos que un triángulo recto tiene un \(90°\) ángulo.

    Aquí, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Esperaremos a dibujar la figura hasta escribir expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

    \(\PageIndex{16}\)EJEMPLO

    La medida de un ángulo de un triángulo recto es 40 grados más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. las medidas de los tres ángulos
    Paso 3. Nombre. Elijauna variable para representarla. \(\begin{align*} \text{Let }a \; & = \; \mathrm{1^{st} \; angle.} \\ a+40 &= \mathrm{2^{nd} \; angle} \\90 &= \mathrm{3^{rd} \; angle \; (the \; right \; angle)} \end{align*}\)
    Dibuja la figura y rótulo con la información dada.
    Paso 4. Traducir.  
    Escribe la fórmula adecuada.
    Sustituir en la fórmula.
    Paso 5. Resuelve la ecuación.
    Paso 6. Chequear. \( \begin{align*} 25+65+90 & \stackrel{?}{=} 180\\ 180 &= 180✓ \end{align*}\)  
    Paso 7. Contesta la pregunta. Los tres ángulos miden \(25°,\;65°\), y \(90°\).
    \(\PageIndex{17}\)EJEMPLO

    La medida de un ángulo de un triángulo recto es 50 más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Contestar

    Las medidas de los ángulos son \(20°, \;70°\), y \(90°\).

    \(\PageIndex{18}\)EJEMPLO

    La medida de un ángulo de un triángulo recto es \(30\) más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Contestar

    Las medidas de los ángulos son \(30°,\; 60°\), y \(90°\).

    El siguiente ejemplo utiliza otra fórmula geométrica importante. El Teorema de Pitágoras cuenta cómo las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Escribir la fórmula en cada ejercicio y decirlo en voz alta mientras la escribes puede ayudarte a memorizar el teorema de Pitágoras.

    El teorema de Pitágoras

    En cualquier triángulo recto, donde a y b son las longitudes de las patas, y c es la longitud de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

    Utilizaremos el Teorema de Pitágoras en el siguiente ejemplo.

    \(\PageIndex{19}\)EJEMPLO

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la otra pierna en

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. la longitud de la pata del triángulo
    Paso 3. Nombre.  
    Elija una variable para representarla. Let \(a\) = la pata del triángulo.
    Etiqueta lateral a.
    Paso 4. Traducir.  
    Escribe la fórmula adecuada. Sustituto. \(\begin{align*}a^2+b^2 &=c ^2 \\ a^2+12^2 &=13^2 \end{align*}\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación. Aislar el término variable. Utilice la definición de raíz cuadrada. Simplificar. \(\begin{align*} a^2+144 &= 169 \\ a^2 &= 25 \\ a &= \sqrt{25} \\ a&=5 \end{align*}\)
    Paso 6. Chequear.

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. El largo de la pierna es \(5\).
    \(\PageIndex{20}\)EJEMPLO

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna en la figura.

    Contestar

    El largo de la pierna es \(8\).

    \(\PageIndex{21}\)EJEMPLO

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna en la figura.

    Contestar

    El largo de la pierna es \(12\).

    El siguiente ejemplo es sobre el perímetro de un rectángulo. Dado que el perímetro es solo la distancia alrededor del rectángulo, encontramos la suma de las longitudes de sus cuatro lados: la suma de dos longitudes y dos anchuras. Podemos escribir es como \(P=2L+2W\) donde \(L\) es la longitud y \(W\) es el ancho. Para resolver el ejemplo, necesitaremos definir la longitud en términos del ancho.

    \(\PageIndex{22}\)EJEMPLO

    El largo de un rectángulo es seis centímetros más del doble del ancho. El perímetro es de \(96\) centímetros. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. la longitud y el ancho
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar el ancho. El largo es seis más del doble del ancho. Deje \(w=\) ancho.

    \(2w+6=\) longitud

    \(P=96\) cm
    Paso 4. Traducir.  
    Escribe la fórmula adecuada.
    Suplente en la información dada.
    Paso 5. Resuelve la ecuación.
    Paso 6. Chequear.

    \(\begin{align*} P &=2L+2W \\ 96 & \stackrel{?}{=}2·34+2·14 \\ 96 &=96✓ \end{align*}\)
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. El largo es de \(34\) cm y el ancho es de \(14\) cm
    \(\PageIndex{23}\)EJEMPLO

    La longitud de un rectángulo es siete más del doble del ancho. El perímetro es de \(110\) pulgadas. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar

    El largo es de \(16\) pulgadas y el ancho es de \(39\) pulgadas.

    \(\PageIndex{24}\)EJEMPLO

    El ancho de un rectángulo es ocho yardas menos del doble de la longitud. El perímetro es \(86\) yardas. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar

    El largo es \(17\) yardas y el ancho es \(26\) yardas.

    El siguiente ejemplo es sobre el perímetro de un triángulo. Dado que el perímetro es sólo la distancia alrededor del triángulo, encontramos la suma de las longitudes de sus tres lados. Podemos escribir esto como \(P=a+b+c\), donde \(a\), \(b\), y \(c\) son las longitudes de los lados.

    \(\PageIndex{25}\)EJEMPLO

    Un lado de un triángulo es tres pulgadas más que el primer lado. El tercer lado es dos pulgadas más que dos veces el primero. El perímetro es de \(29\) pulgadas. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. las longitudes de los tres lados de un triángulo
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar la longitud del primer lado.

    \( \begin{align*} \mathrm{Let \;}x \;& \mathrm{= \; length \; of \;1^{st} \;side.} \\ x+3 \; &= \; \mathrm{length \; of \; 2^{nd} \; side} \\ 2x+2 \; &= \; \mathrm{length \; of \;3^{rd} \; side} \end{align*}\)

    Paso 4. Traducir. Escribela fórmula adecuada. Suplente en la información dada.

    Paso 5. Resuelve la ecuación.
    Paso 6. Chequear.

    \(\begin{align*} 29 & \stackrel{?}{=}6+9+14 \\ 29 &= 29✓ \end{align*}\)
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. Las longitudes de los lados del triángulo son \(6\), \(9\), y \(14\) pulgadas.
    \(\PageIndex{26}\)EJEMPLO

    Un lado de un triángulo es siete pulgadas más que el primer lado. El tercer lado es cuatro pulgadas menos que tres veces el primero. El perímetro es de \(28\) pulgadas. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

    Contestar

    Las longitudes de los lados del triángulo son \(5\), \(11\) y \(12\) pulgadas.

    \(\PageIndex{27}\)EJEMPLO

    Un lado de un triángulo es tres pies menos que el primer lado. El tercer lado es cinco pies menos que dos veces el primero. El perímetro es de \(20\) pies. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

    Contestar

    Las longitudes de los lados del triángulo son \(4\), \(7\) y \(9\) pies.

    \(\PageIndex{28}\)EJEMPLO

    El perímetro de una cancha de fútbol rectangular es de \(360\) pies. El largo es \(40\) pies más que el ancho. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. el largo y ancho de la cancha de fútbol
    Paso 3. Nombre. Elijauna variable para representarla. El largo es de 40 pies más que el ancho. Dibuja la figura y rótulo con la información dada. Dejar w = ancho. \(w+40=\) longitud

    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula adecuada y sustituya.

    Paso 5. Resuelve la ecuación.  
    Paso 6. Chequear. \( \begin{align*} P &=2L+2W \\ 360 & \stackrel{?}{=} 2(110)+2(70) \\360 &=360✓ \end{align*}\)
    Paso 7. Contesta la pregunta. El largo de la cancha de fútbol es de \(110\) pies y el ancho es de \(70\) pies.
    \(\PageIndex{29}\)EJEMPLO

    El perímetro de una alberca rectangular es de \(200\) pies. El largo es \(40\) pies más que el ancho. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar

    El largo de la piscina es de \(70\) pies y el ancho es de \(30\) pies.

    \(\PageIndex{30}\)EJEMPLO

    El largo de un jardín rectangular es \(30\) yardas más que el ancho. El perímetro es \(300\) yardas. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar

    El largo del jardín es de \(90\) yardas y el ancho es de \(60\) yardas.

    Las aplicaciones de estas propiedades geométricas se pueden encontrar en muchas situaciones cotidianas como se muestra en el siguiente ejemplo.

    \(\PageIndex{31}\)EJEMPLO

    Kelvin está construyendo una glorieta y quiere sujetar cada esquina colocando una pieza de madera de 10” en diagonal como se muestra.

    ¿A qué distancia de la esquina debe sujetar la madera si quiere que las distancias de la esquina sean iguales? Aproximado a la décima de pulgada más cercana.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. la distancia desde la esquina a la que se debe unir el soporte
    Paso 3. Nombre. Elijauna variable para representarla. Dibuja la figura y rótulo con la información dada. Deja que \(x=\) la distancia de la esquina.

    Paso 4. Traducir. Escribala fórmula adecuada y sustituya. \(a^2+b^2=c^2\) \(x^2+x^2=10^2\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación.

    Aísle la variable.

    Utilicela definición de raíz cuadrada.

    Simplificar. Aproximada a la décima más cercana.

    \( \begin{align*} 2x^2 &= 100 \\ \\ x^2 &=50 \\ \\ x &= \sqrt{50} \\ \\ x &≈7.1 \end{align*}\)

    Paso 6. Chequear.

    \( \begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 \\ (7.1)^2+(7.1)^2 &≈10^2 \; \;\;\;\; \text{Yes.} \end{align*}\)

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. Kelvin debe sujetar cada pieza de madera aproximadamente a 7.1” de la esquina.
    \(\PageIndex{32}\)EJEMPLO

    John pone la base de una escalera de \(13\)-pie a cinco pies de la pared de su casa como se muestra en la figura. ¿A qué distancia de la pared llega la escalera?

    Contestar

    La escalera llega a \(12\) los pies.

    \(\PageIndex{33}\)EJEMPLO

    Randy quiere unir una cadena de luces \(17\)-pie a la parte superior del mástil de \(15\) pie de su velero, como se muestra en la figura. ¿A qué distancia de la base del mástil debe unir el extremo de la cuerda ligera?

    Contestar

    Debe colocar los \(8\) pies de las luces desde la base del mástil.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con la resolución de una variable en ecuaciones literales.

    • Resolver ecuaciones literales

    Conceptos Clave

    • Cómo resolver aplicaciones de geometría
      1. Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas.
      2. Identifica lo que buscas.
      3. Nombra lo que buscas eligiendo una variable que la represente. Dibuja la figura y rótulo con la información dada.
      4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Suplente en la información dada.
      5. Resolver la ecuación utilizando buenas técnicas de álgebra.
      6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una frase completa.
    • El teorema de Pitágoras
      • En cualquier triángulo recto, donde a y b son las longitudes de las patas, y c es la longitud de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.


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