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3.2: Ecuaciones lineales gráficas en dos variables

  • Page ID
    51664
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular
    • Grafica una ecuación lineal trazando puntos
    • Gráfica de líneas verticales y horizontales
    • Encuentra las \(x\)- y \(y\)-intercepciones
    • Grafica una línea usando las intercepciones
    Antes de empezar

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar \(5x−4\) cuándo \(x=−1\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Evaluar \(3x−2y\) cuándo \(x=4,y=−3\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Resolver para \(y: 8−3y=20\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangulares

    Al igual que los mapas utilizan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, un sistema de cuadrícula se utiliza en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. El sistema de coordenadas rectangulares también se llama el \(xy\)-plano o el “plano de coordenadas”.

    El sistema de coordenadas rectangulares está formado por dos líneas numéricas intersecantes, una horizontal y otra vertical. La línea numérica horizontal se llama \(x\)eje. La línea numérica vertical se llama \(y\)eje. Estos ejes dividen un plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes están identificados por números romanos, comenzando en la parte superior derecha y procediendo en sentido antihorario. Ver Figura \(\PageIndex{1}\).

    Figura \(\PageIndex{1}\)

    En el sistema de coordenadas rectangulares, cada punto está representado por un par ordenado. El primer número en el par ordenado es la \(x\)-coordenada del punto, y el segundo número es la \(y\)coordenada del punto. La frase “par ordenado” significa que el orden es importante.

    Par Pedido

    Un par ordenado, \((x,y)\) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la \(x\)coordenada. El segundo número es la \(y\)coordenada.

    ¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado \((0,0)\)es El punto \((0,0)\) tiene un nombre especial. Se le llama el origen.

    El Origen

    El punto \((0,0)\) se llama el origen. Es el punto donde se cruzan el \(x\)\(y\)eje y el eje.

    Utilizamos las coordenadas para localizar un punto en el \(xy\)-plano. Trazemos el punto \((1,3)\) como ejemplo. Primero, ubique 1 en el \(x\)eje -y dibuje ligeramente una línea vertical a través \(x=1\). Luego, localice \(3\) en el \(y\)eje -y dibuje una línea horizontal a través de \(y=3.\) Ahora, encuentre el punto donde se encuentran estas dos líneas, es decir, el punto con coordenadas \((1,3)\). Ver Figura \(\PageIndex{2}\).

    Figura \(\PageIndex{2}\)

    Observe que la línea vertical a través \(x=1\) y la línea horizontal a través no \(y=3\) son parte de la gráfica. Simplemente los usamos para ayudarnos a localizar el punto \((1,3)\).

    Cuando una de las coordenadas es cero, el punto se encuentra en uno de los ejes. En \(\PageIndex{3},\) la Figura el punto \((0,4)\) está en el \(y\)eje -y el punto \((−2,0)\) está en el \(x\)eje -.

    Figura \(\PageIndex{3}\)
    PUNTOS EN LOS EJES
    • Los puntos con \(y\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(x\)eje -y tienen coordenadas \((a,0)\).
    • Los puntos con \(x\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(y\)eje -y tienen coordenadas \((0,b)\).
    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Trazar cada punto en el sistema de coordenadas rectangulares e identificar el cuadrante en el que se encuentra el punto:

    a. \((−5,4\)) b. \((−3,−4)\) c. \((2,−3)\) d. \((0,−1)\) e \((3,\dfrac{5}{2})\).

    Solución

    El primer número del par de coordenadas es la \(x\)coordenada -y el segundo número es la \(y\)coordenada. Para trazar cada punto, dibuje una línea vertical a través de la \(x\)coordenada -y una línea horizontal a través de la \(y\)coordenada. Su intersección es el punto.

    1. Ya que \(x=−5\), el punto está a la izquierda del \(y\)eje -. También, ya que \(y=4\), el punto está por encima del \(x\)eje -. El punto \((−5,4)\) está en el Cuadrante II.
    2. Ya que \(x=−3\), el punto está a la izquierda del \(y\)eje -. También, ya que \(y=−4\), el punto está por debajo del \(x\)eje -. El punto \((−3,−4)\) está en el Cuadrante III.
    3. Ya que \(x=2\), el punto está a la derecha del \(y\)eje -. Dado que \(y=−3\), el punto está por debajo del \(x\)eje -. El punto \((2,−3)\) está en el Cuadrante IV.
    4. Dado que \(x=0\), el punto cuyas coordenadas están \((0,−1)\) está en el \(y\)eje -.
    5. Ya que \(x=3\), el punto está a la derecha del \(y\)eje -. Dado que \(y=\dfrac{5}{2})\), el punto está por encima del \(x\)eje -. (Puede ser útil escribir \(\dfrac{5}{2})\) como un número mixto o decimal.) El punto \((3,\dfrac{5}{2})\) está en el Cuadrante I.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{1}\)

    Trazar cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identificar el cuadrante en el que se encuentra el punto:

    a. \((−2,1)\) b. \((−3,−1)\) c. \((4,−4)\) d. \((−4,4)\) e. \((−4,\dfrac{3}{2})\)

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{2}\)

    Trazar cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identificar el cuadrante en el que se encuentra el punto:

    a. \((−4,1)\) b. \((−2,3)\) c. \((2,−5)\) d. \((−2,5)\) e. \((−3,\dfrac{5}{2})\)

    Contestar

    Los signos de la \(x\)coordenada y la \(y\)coordenada afectan la ubicación de los puntos. Es posible que hayas notado algunos patrones al graficar los puntos en el ejemplo anterior. Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de esta manera:

    CUADRANTOS
    Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    Hasta ahora, todas las ecuaciones que has resuelto eran ecuaciones con una sola variable. En casi todos los casos, cuando resolvió la ecuación obtuvo exactamente una solución. Pero las ecuaciones pueden tener más de una variable. Las ecuaciones con dos variables pueden ser de la forma \(Ax+By=C\). Una ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en dos variables.

    Ecuación lineal

    Una ecuación de la forma \(Ax+By=C\), donde \(A\) y no \(B\) son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.

    Aquí hay un ejemplo de una ecuación lineal en dos variables, \(x\) y \(y\).

    \ (\ begin {align*} {\ color {BrickRed} A} x + {\ color {royalBlue} B} y &= {\ color {forestgreen} C}\\ [5pt]
    x+ {\ color {royalBlue} 4} y &= {\ color {forestgreen} 8}\ end {align*}\)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\), \({\color{RoyalBlue}B = 4}\), \({\color{forestgreen}C=8}\)

    La ecuación \(y=−3x+5\) es también una ecuación lineal. Pero no parece estar en la forma \(Ax+By=C\). Podemos utilizar la Propiedad Adición de Igualdad y reescribirla en \(Ax+By=C\) forma.

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    Al reescribir \(y=−3x+5\) como \(3x+y=5\), podemos ver fácilmente que es una ecuación lineal en dos variables porque es de la forma \(Ax+By=C\). Cuando una ecuación está en la forma \(Ax+By=C\), decimos que está en forma estándar de una ecuación lineal.

    Forma estándar a de ecuación lineal

    Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe \(Ax+By=C\).

    La mayoría de la gente prefiere tener \(A,\) \(B,\) y \(C\) ser enteros y \(A \geq 0\) al escribir una ecuación lineal en forma estándar, aunque no es estrictamente necesario.

    Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Para cada número que se sustituye \(x\) hay un \(y\)-valor correspondiente. Este par de valores es una solución a la ecuación lineal y está representado por el par ordenado \((x,y)\). Cuando sustituimos estos valores de \(x\) y \(y\) en la ecuación, el resultado es una declaración verdadera, porque el valor del lado izquierdo es igual al valor del lado derecho.

    Solución de una ecuación lineal en dos variables

    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución de la ecuación lineal \(Ax+By=C\), si la ecuación es una declaración verdadera cuando los \(y\)valores \(x\)- y -del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

    Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Los puntos se alinearán perfectamente en línea recta. Conectamos los puntos con una línea recta para obtener la gráfica de la ecuación. Ponemos flechas en los extremos de cada lado de la línea para indicar que la línea continúa en ambas direcciones.

    Una gráfica es una representación visual de todas las soluciones de la ecuación. Es un ejemplo del dicho: “Una imagen vale más que mil palabras”. La línea te muestra todas las soluciones a esa ecuación. Cada punto de la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama gráfica de la ecuación. ¡Los puntos que no están en juego no son soluciones!

    GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN

    La gráfica de una ecuación lineal \(Ax+By=C\) es una línea recta.

    • Cada punto de la línea es una solución de la ecuación.
    • Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Se muestra la \(y=2x−3\) gráfica de.

    Para cada par ordenado, decida:

    1. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
    2. ¿Está el punto en la línea?

    A: \((0,−3)\) B: \((3,3)\) C: \((2,−3)\) D: \((−1,−5)\)

    Solución:

    Sustituir los \(y\)valores \(x\)- y -en la ecuación para comprobar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

    a.

    b. Trazar los puntos \((0,−3)\)\((3,3)\),, \((2,−3)\), y \((−1,−5)\).

    Los puntos \((0,3)\), \((3,−3)\), y \((−1,−5)\) están en la línea \(y=2x−3\), y el punto no \((2,−3)\) está en la línea.

    Los puntos a los que son soluciones \(y=2x−3\) están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{3}\)

    Utilice gráfica de \(y=3x−1\). Para cada par ordenado, decida:

    a. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
    b. ¿Está el punto en la línea?

    A \((0,−1)\) B \((2,5)\)

    Contestar

    a. sí b. sí

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{4}\)

    Utilice gráfica de \(y=3x−1\). Para cada par ordenado, decida:

    a. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
    b. ¿Está el punto en la línea?

    A\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)

    Contestar

    a. no b. sí

    Grafica una ecuación lineal trazando puntos

    Existen varios métodos que se pueden utilizar para graficar una ecuación lineal. El primer método que usaremos se llama puntos de trazado, o el método de trazado de puntos. Encontramos tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación y luego las trazamos en un sistema de coordenadas rectangular. Al conectar estos puntos en una línea, tenemos la gráfica de la ecuación lineal.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\): Cómo graficar una ecuación lineal trazando puntos

    Grafica la ecuación \(y=2x+1\) trazando puntos.

    Solución:

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{5}\)

    Grafica la ecuación trazando puntos: \(y=2x−3\).

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{6}\)

    Grafica la ecuación trazando puntos: \(y=−2x+4\).

    Contestar

    Los pasos a seguir al graficar una ecuación lineal trazando puntos se resumen aquí.

    GRÁFICA UNA ECUACIÓN LINEAL POR PUNTOS
    1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organícelos en una mesa.
    2. Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifica que los puntos se alineen. Si no lo hacen, revise cuidadosamente su trabajo.
    3. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la rejilla y coloca flechas en ambos extremos de la línea.

    Es cierto que sólo se necesitan dos puntos para determinar una línea, pero es un buen hábito usar tres puntos. Si solo trazar dos puntos y uno de ellos es incorrecto, aún se puede trazar una línea pero no representará las soluciones a la ecuación. Será la línea equivocada.

    Si usas tres puntos, y uno es incorrecto, los puntos no se alinearán. Esto te dice que algo anda mal y necesitas revisar tu trabajo. Mira la diferencia entre estas ilustraciones.

    Cuando una ecuación incluye una fracción como el coeficiente de todavía \(x,\) podemos sustituir cualquier número para \(x.\) Pero la aritmética es más fácil si hacemos “buenas” elecciones para los valores de De \(x.\) esta manera evitaremos respuestas fraccionarias, que son difíciles de graficar con precisión.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Gráfica la ecuación: \(y=\frac{1}{2}x+3\).

    Solución:

    Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Ya que esta ecuación tiene la fracción \(\dfrac{1}{2}\) como coeficiente de \(x,\) elegiremos valores de \(x\) cuidadosamente. Usaremos cero como una opción y múltiplos de \(2\) para las otras opciones. ¿Por qué los múltiplos de dos son una buena opción para los valores de \(x\)? Al elegir múltiplos de \(2\) la multiplicación por \(\dfrac{1}{2}\) simplifica a un número entero

    Los puntos se muestran en la Tabla.

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    Trazar los puntos, comprobar que se alinean, y trazar la línea.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{7}\)

    Gráfica la ecuación: \(y=\frac{1}{3}x−1\).

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica la ecuación: \(y=\frac{1}{4}x+2\).

    Contestar

    Gráfica de líneas verticales y horizontales

    Algunas ecuaciones lineales tienen una sola variable. Pueden tener justo \(x\) y no \(y,\) o simplemente \(y\) sin un \(x.\) Esto cambia la forma en que hacemos una tabla de valores para conseguir los puntos a trazar.

    Consideremos la ecuación \(x=−3\). Esta ecuación tiene una sola variable, \(x.\) La ecuación dice que siempre \(x\) es igual a \(−3\), por lo que su valor no depende de \(y.\) No importa cuál sea el valor \(y,\) del valor de \(x\) es siempre \(−3\).

    Entonces, para hacer una tabla de valores, \(−3\) escribe para todos los \(x\)-valores. Después elige cualquier valor para \(y.\) Ya que \(x\) no depende de \(y,\) puedes elegir cualquier número que te guste. Pero para ajustar los puntos en nuestra gráfica de coordenadas, usaremos 1, 2 y 3 para las \(y\)coordenadas. Ver Tabla.

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    Trazar los puntos de la mesa y conectarlos con una línea recta. Observe que hemos graficado una línea vertical.

    ¿Y si la ecuación tiene \(y\) pero no \(x\)? Vamos a graficar la ecuación \(y=4\). Esta vez el valor y-es una constante, por lo que en esta ecuación, \(y\) no depende de \(x.\) Rellenar \(4\) para todas las \(y\)'s en Tablay luego elegir cualquier valor para \(x.\) Usaremos 0, 2, y 4 para las \(x\)-coordenadas.

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    En esta figura, hemos graficado una línea horizontal que pasa por el \(y\)eje -en \(4.\)

    Líneas verticales y horizontales

    Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma \(x=a\).

    La línea pasa a través del \(x\)eje en \((a,0)\).

    Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma \(y=b\).

    La línea pasa a través del \(y\)eje en \((0,b)\).

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica: a. \(x=2\) b \(y=−1\).

    Solución

    a. la ecuación tiene una sola variable, \(x,\) y siempre \(x\) es igual a \(2.\) Creamos una tabla donde \(x\) está siempre \(2\) y luego ponemos en cualquier valor para \(y.\) La gráfica es una línea vertical que pasa por el \(x\)eje -en \(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">1 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,1)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">2 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,2)\)
    \ (x\)” data-valign="middle">2 \ (y\)” data-valign="middle">3 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,3)\)

    b. Del mismo modo, la ecuación \(y=−1\) tiene una sola variable, \(y\). El valor de \(y\) es constante. Todos los pares ordenados en la siguiente tabla tienen la misma \(y\)coordenada. La gráfica es una línea horizontal que pasa a través del \(y\)eje -en \(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="medio">0 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="medio">\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">3 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="medio">\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="medio">\(−3\) \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="medio">\((−3,−1)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{9}\)

    Graph las ecuaciones: a. \(x=5\) b \(y=−4\).

    Contestar

    a.

    b.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{10}\)

    Graph las ecuaciones: a. \(x=−2\) b \(y=3\).

    Contestar

    a.

    b.

    ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones \(y=4x\) y \(y=4\)?

    La ecuación \(y=4x\) tiene ambos \(x\) y \(y.\) El valor de \(y\) depende del valor de \(x,\) por lo que la \(y\)-coordenada cambia de acuerdo con el valor de \(x.\) La ecuación \(y=4\) tiene una sola variable. El valor de \(y\) es constante, no depende del valor de \(x,\) por lo que la \(y\)coordenada -es siempre \(4.\)

    Observe, en la gráfica, la ecuación \(y=4x\) da una línea inclinada, mientras que \(y=4\) da una línea horizontal.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica \(y=−3x\) y \(y=−3\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

    Solución:

    Notamos que la primera ecuación tiene la variable \(x,\) mientras que la segunda no. Hacemos una tabla de puntos para cada ecuación y luego graficamos las líneas. Se muestran las dos gráficas.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{11}\)

    Grafica las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: \(y=−4x\) y \(y=−4\).

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{12}\)

    Grafica las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: \(y=3\)y \(y=3x\).

    Contestar

    Buscar \(x\)e \(y\)interceptar

    Cada ecuación lineal puede ser representada por una línea única que muestra todas las soluciones de la ecuación. Hemos visto que al graficar una línea trazando puntos, se puede utilizar cualquiera de las tres soluciones para graficar. Esto significa que dos personas que grafican la línea podrían usar diferentes conjuntos de tres puntos.

    A primera vista, sus dos líneas podrían no parecer las mismas, ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se hizo correctamente, las líneas deberían ser exactamente las mismas. Una forma de reconocer que efectivamente son la misma línea es mirar dónde la línea cruza el \(x\)eje y el \(y\)eje. Estos puntos se denominan las intercepciones de una línea.

    INTERCEPCIONES DE UNA LÍNEA

    Los puntos donde una línea cruza el \(x\)eje -y el \(y\)-eje se denominan intercepciones de la línea.

    Echemos un vistazo a las gráficas de las líneas.

    Primero, observe donde cada una de estas líneas cruza el \(x\)eje. Ver Tabla.

    Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el \(y\)eje -.

    Figura La línea cruza
    el \(x\)eje -en:
    Par ordenado
    para este punto
    La línea cruza
    el eje yen:
    Par ordenado
    para este punto
    Figura (a) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    Figura (b) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    Figura (c) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    Figura (d) \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    Figura General \ (x\) -axis en:” data-valign="middle">\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    ¿Ves un patrón?

    Para cada línea, la \(y\)-coordenada del punto donde la línea cruza el \(x\)eje -es cero. El punto donde la línea cruza el \(x\)eje -tiene la forma \((a,0)\) y se denomina \(x\)-intercepción de la línea. La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(y\) es cero.

    En cada línea, la coordenada \(x\)-del punto donde la línea cruza el \(y\)eje -es cero. El punto donde la línea cruza el \(y\)eje -tiene la forma \((0,b)\) y se denomina \(y\)-intercepción de la línea. La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x\) es cero.

    Intercepciones de una línea

    El \(x\)-intercepto es el punto \((a,0)\) donde la línea cruza el \(x\)eje.

    El \(y\)-intercepto es el punto \((0,b)\) donde la línea cruza el \(y\)eje.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra las \(y\)intercepciones \(x\)- y -en cada gráfica mostrada.

    Solución:

    a. La gráfica cruza el \(x\)eje -en el punto \((4,0)\). La x-intercepción es \((4,0)\).
    La gráfica cruza el \(y\)eje -en el punto \((0,2)\). El \(y\)-intercepto es \((0,2)\).

    b. La gráfica cruza el \(x\)eje -en el punto \((2,0)\). El \(x\)-intercepto es \((2,0)\).
    La gráfica cruza el \(y\)eje -en el punto \((0,−6)\). El \(y\)-intercepto es \((0,−6)\).

    c. La gráfica cruza el \(x\)eje -en el punto \((−5,0)\). El \(x\)-intercepto es \((−5,0)\).
    La gráfica cruza el \(y\)eje -en el punto \((0,−5)\). El \(y\)-intercepto es \((0,−5)\).

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{13}\)

    Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -en la gráfica.

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((2,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,−2)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{14}\)

    Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -en la gráfica.

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((3,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,2)\)

    Reconocer que la\(x\)-intercepción ocurre cuando \(y\)  es cero y que la\(y\)-intercepción ocurre cuando \(x\)  es cero, nos da un método para encontrar las interceptaciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la \(x\)-intercepción, dejar \(y=0\) y resolver para \(x.\) Para  encontrar la\(y\)-intercepción, dejar \(x=0\) y resolver para \(y.\)

    Encontrar interceptaciones a partir de la ecuación de una línea

    Usa la ecuación de la recta. Para encontrar:

    • la \(x\)-intercepción de la línea, dejar \(y=0\) y resolver para \(x\).
    • la \(y\)-intercepción de la línea, dejar \(x=0\) y resolver para \(y\).
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra las interceptaciones de \(2x+y=8\).

    Solución:

    \(y=0\) Dejaremos encontrar el \(x\)-intercepto, y dejaremos \(x=0\) encontrar el \(y\)-intercepto. Llenaremos una mesa, que nos recuerda lo que necesitamos encontrar.

    Para encontrar el \(x\)-intercepto, vamos \(y=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Vamos \(y=0\). \(2x+{\color{red}0}=8\)
    Simplificar. \(2x=8\)
      \(x=4\)
    La \(x\)-intercepción es: \((4,0)\)
    Para encontrar el \(y\)-intercepto, vamos \(x=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Vamos \(x=0\). \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    Simplificar. \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    La \(y\)-intercepción es: \((0,8)\)

    Los interceptos son los puntos \((4,0)\) y \((0,8)\) como se muestra en la tabla.

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{15}\)

    Encuentra los interceptos: \(3x+y=12\).

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((4,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,12)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{16}\)

    Encuentra los interceptos: \(x+4y=8\).

    Contestar

    \(x\)-interceptar: \((8,0)\),
    \(y\)-interceptar: \((0,2)\)

    Grafica una línea usando las intercepciones

    Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, es necesario encontrar tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Puedes usar los interceptos x e y como dos de tus tres puntos. Encuentra las intercepciones, y luego encuentra un tercer punto para asegurar la precisión. Asegúrese de que los puntos se alineen y luego dibuje la línea. Este método suele ser la forma más rápida de graficar una línea.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\): Cómo graficar una línea usando los interceptos

    Gráfica \(–x+2y=6\) utilizando los interceptos.

    Solución:

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{17}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(x–2y=4\).

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{18}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(–x+3y=6\).

    Contestar

    Los pasos para graficar una ecuación lineal utilizando los interceptos se resumen aquí.

    GRAFICA UNA ECUACIÓN LINEAL UTILIZANDO
    1. Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -de la línea.
      • Vamos y=0y=0 y resolver para \(x\).
      • Vamos x=0x=0 y resolver para \(y\).
    2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
    3. Trazar los tres puntos y comprobar que se alinean.
    4. Dibuja la línea.
    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Gráfica \(4x−3y=12\) utilizando los interceptos.

    Solución:

    Encuentra las intercepciones y un tercer punto.

    Enumeramos los puntos en la tabla y mostramos la gráfica.

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{19}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(5x−2y=10\).

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{20}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(3x−4y=12\).

    Contestar

    Cuando la línea pasa por el origen, la \(x\)-intercepción y la \(y\)-intercepción son el mismo punto.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica \(y=5x\) utilizando los interceptos.

    Solución:

    Esta línea sólo tiene un intercepto. Es el punto \((0,0)\).

    Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Dado que las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -son el mismo punto, necesitamos dos puntos más para graficar la línea.

    Los tres puntos resultantes se resumen en la tabla.

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    Trazar los tres puntos, comprobar que se alinean, y trazar la línea.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{21}\)

    Gráfica utilizando los interceptos: \(y=4x\).

    Contestar

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{22}\)

    Gráfica los interceptos: \(y=−x\).

    Contestar

    Conceptos Clave

    • Puntos en los Ejes
      • Los puntos con \(y\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(x\)eje -y tienen coordenadas \((a,0)\).
      • Los puntos con \(x\)coordenada -igual a \(0\) están en el \(y\)eje -y tienen coordenadas \((0,b)\).
    • Cuadrante
      Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

    • Gráfica de una ecuación lineal: La gráfica de una ecuación lineal \(Ax+By=C\) es una línea recta.
      Cada punto de la línea es una solución de la ecuación.
      Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
    • Cómo graficar una ecuación lineal trazando puntos.
      1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organícelos en una mesa.
      2. Trazar los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifica que los puntos se alineen. Si no lo hacen, revise cuidadosamente su trabajo.
      3. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extiende la línea para llenar la rejilla y coloca flechas en ambos extremos de la línea.
    • \(x\)-intercepción e \(y\)-intercepción de una Línea
      • El \(x\)-intercepto es el punto \((a,0)\) donde la línea cruza el \(x\)eje.
      • El \(y\)-intercepto es el punto \((0,b)\) donde la línea cruza el \(y\)eje.

    • Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -de la Ecuación de una Línea
      • Usa la ecuación de la recta. Para encontrar:
        la \(x\)-intercepción de la línea, dejar \(y=0\) y resolver para \(x.\)
        la \(y\)-intercepción de la línea, dejar \(x=0\) y resolver para \(y.\)
    • Cómo graficar una ecuación lineal utilizando los interceptos.
      1. Encuentra las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -de la línea.
        Dejar \(y=0\) y resolver para \(x.\)
        Dejar \(x=0\) y resolver para \(y.\)
      2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
      3. Trazar los tres puntos y comprobar que se alinean.
      4. Dibuja la línea.

    Glosario

    línea horizontal
    Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma \(y=b.\) La línea pasa a través del \(y\)eje -en \((0,b).\)
    intercepciones de una línea
    Los puntos donde una línea cruza el \(x\)eje -y el \(y\)-eje se denominan intercepciones de la línea.
    ecuación lineal
    Una ecuación de la forma \(Ax+By=C,\) donde \(A\) y no \(B\) son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.
    par ordenado
    Un par ordenado, \((x,y),\) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la \(x\)coordenada. El segundo número es la \(y\)coordenada.
    origen
    El punto \((0,0)\) se llama el origen. Es el punto donde se cruzan el \(x\)\(y\)eje y el eje.
    solución de una ecuación lineal en dos variables
    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución de la ecuación lineal \(Ax+By=C,\) si la ecuación es una declaración verdadera cuando los \(y\)valores \(x\)- y -del par ordenado se sustituyen en la ecuación.
    forma estándar de una ecuación lineal
    Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe \(Ax+By=C.\)
    línea vertical
    Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma \(x=a.\) La línea pasa a través del \(x\)eje -en \((a,0).\)

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