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3.5: Gráfica Desigualdades Lineales en Dos Variables

  • Page ID
    51651
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    RESUMEN

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables.
    • Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica.
    • Grafica las desigualdades lineales en dos variables
    • Resolver aplicaciones utilizando desigualdades lineales en dos variables

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Gráfica \(x>2\) en una línea numérica.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Resolver: \(4x+3>23\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Traducir: \(8<x>3\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables

    Anteriormente aprendimos a resolver desigualdades con una sola variable. Ahora aprenderemos sobre las desigualdades que contienen dos variables. En particular, veremos las desigualdades lineales en dos variables que son muy similares a las ecuaciones lineales en dos variables.

    Las desigualdades lineales en dos variables tienen muchas aplicaciones. Si manejaras un negocio, por ejemplo, querrías que tus ingresos fueran mayores que tus costos, para que tu negocio obtuviera ganancias.

    Desigualdad lineal

    Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:

    \( \begin{array} {l} { }& {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} &{Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ \end{array} \)

    Donde A y B no son ambos cero.

    Recordemos que una desigualdad con una variable tuvo muchas soluciones. Por ejemplo, la solución a la desigualdad x>3x>3 es cualquier número mayor que 3. Mostramos esto en la línea numérica sombreando la línea numérica a la derecha de 3, y poniendo un paréntesis abierto en 3. Ver Figura.

    Figura \(\PageIndex{1}\)

    Del mismo modo, las desigualdades lineales en dos variables tienen muchas soluciones. Cualquier par ordenado (x, y) (x, y) que haga realidad una desigualdad cuando sustituimos en los valores es una solución a una desigualdad lineal.

    Solución a una desigualdad lineal

    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución a una desigualdad lineal si la desigualdad es verdadera cuando sustituimos los valores de x e y .

    PageIndex {1}\)

    Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y>x+4:y>x+4:

    ⓐ (0,0) (0,0) ⓑ (1,6) (1,6) ⓒ (2,6) ⓓ (−5, −15) (−5, −15) ⓔ (−8,12) (−8,12)

    Responder

    \((0,0)\)
    Simplificar.
     

    Entonces, no \((0,0)\) es una solución a \(y>x+4\).

    \((1,6)\)
    Simplificar.
      Entonces, \((1,6)\) es una solución a \(y>x+4\).

    \((2,6)\)
    Simplificar.
      Entonces, no \((2,6)\) es una solución a \(y>x+4\).

    \((−5,−15)\)
    Simplificar.
      Entonces, no \((−5,−15)\) es una solución a \(y>x+4\).

    \((−8,12)\)
    Simplificar.
      Entonces, \((−8,12)\) es una solución a \(y>x+4\).

    Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(y>x−3\):

    \((0,0)\)\((4,9)\)\((−2,1)\)\((−5,−3)\)\((5,1)\)

    Responder

    ⓐ sí ⓑ sí ⓒ sí ⓓ sí ⓔ no

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(y<x+1\):

    \((0,0)\)\((8,6)\)\((−2,−1)\)\((3,4)\)\((−1,−4)\)

    Responder

    ⓐ sí ⓑ sí ⓒ no ⓓ no ⓔ sí

    Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica

    Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.

    Pensemos de nuevo en la línea numérica en mostrada previamente. El punto \(x=3\) separó esa línea numérica en dos partes. En un lado de 3 están todos los números menores a 3. Del otro lado de 3 todos los números son mayores que 3. Ver Figura.

    Figura \(\PageIndex{2}\):La solución a \(x>3\) es la parte sombreada de la línea numérica a la derecha de \(x=3\).

    Del mismo modo, la línea \(y=x+4\) separa el plano en dos regiones. A un lado de la línea están los puntos con \(y<x+4\). Del otro lado de la línea están los puntos con \(y>x+4\). Llamamos a la línea \(y=x+4\) una línea límite.

    LÍNEA DE LÍMITE

    La línea con ecuación \(Ax+By=C\) es la línea límite que separa la región donde \(Ax+By>C\) de la región donde \(Ax+By<C\).

    Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un corchete dependiendo de si se incluye o no a en la solución:

    De igual manera, para una desigualdad en dos variables, la línea límite se muestra con una línea sólida o discontinua para mostrar si la línea está o no incluida en la solución.

    \[ \begin{array} {ll} {Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} \\ {\text{Boundary line is }Ax+By=C.} &{\text{Boundary line is }Ax+By=C.} \\ {\text{Boundary line is not included in solution.}} &{\text{Boundary line is not included in solution.}} \\ {\textbf{Boundary line is dashed.}} &{\textbf{Boundary line is solid.}} \\ \nonumber \end{array} \]

    Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en Ejemplo. Empezaremos graficando la línea \(y=x+4\), y luego trazaremos los cinco puntos que probamos, como se muestra en la gráfica. Ver Figura.

    Figura \(\PageIndex{3}\)

    En Ejemploencontramos que algunos de los puntos eran soluciones a la desigualdad \(y>x+4\) y otros no.

    ¿Cuáles de los puntos que trazamos son soluciones a la desigualdad \(y>x+4\)?

    Los puntos \((1,6)\) y \((−8,12)\) son soluciones a la desigualdad \(y>x+4\). Observe que ambos están en el mismo lado de la línea límite \(y=x+4\).

    Los dos puntos \((0,0)\) y \((−5,−15)\) están al otro lado de la línea fronteriza \(y=x+4\), y no son soluciones a la desigualdad \(y>x+4\). Por esos dos puntos, \(y<x+4\).

    ¿Qué pasa con el punto \((2,6)\)? Porque \(6=2+4\), el punto es una solución a la ecuación \(y=x+4\), pero no una solución a la desigualdad \(y>x+4\). Entonces el punto \((2,6)\) está en la línea límite.

    Tomemos otro punto por encima de la línea fronteriza y probemos si es o no una solución a la desigualdad \(y>x+4\). El punto mira \((0,10)\)claramente por encima de la línea límite, ¿no es así? ¿Es una solución a la desigualdad?

    \[\begin{array} {lll} {y} &{>} &{x+4} \\ {10} &{\overset{?}{>}} &{0+4} \\ {10} &{>} &{4} \\ \nonumber \end{array}\]

    Entonces, \((0,10)\) es una solución a \(y>x+4\).

    Cualquier punto que elijas por encima de la línea límite es una solución a la desigualdad \(y>x+4\). Todos los puntos por encima de la línea límite son soluciones.

    Del mismo modo, todos los puntos por debajo de la línea límite, el lado con \((0,0)\) y \((−5,−15)\), no son soluciones a \(y>x+4\), como se muestra en la Figura.

    Figura \(\PageIndex{4}\)

    La gráfica de la desigualdad \(y>x+4\) se muestra a continuación.

    La línea \(y=x+4\) divide el plano en dos regiones. El lado sombreado muestra las soluciones a la desigualdad \(y>x+4\).

    Los puntos de la línea fronteriza, aquellos donde \(y=x+4\), no son soluciones a la desigualdad \(y>x+4\), por lo que la línea en sí no es parte de la solución. Mostramos eso al hacer que la línea discontinua, no sólida.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    La línea límite que se muestra en esta gráfica es \(y=2x−1\). Escribir la desigualdad que muestra la gráfica.

    Responder

    La línea \(y=2x−1\) es la línea límite. De un lado de la línea están los puntos con \(y>2x−1\) y del otro lado de la línea están los puntos con \(y<2x−1\).

    Vamos a probar el punto \((0,0)\) y ver qué desigualdad describe su posición relativa a la línea límite.

    En \((0,0)\), ¿qué desigualdad es verdadera: \(y>2x−1\) o \(y<2x−1\)?

    \[\begin{array} {ll} {y>2x−1} &{y<2x−1} \\ {0\overset{?}{>}2·0−1} &{0\overset{?}{<}2·0−1} \\ {0>−1\text{ True}} &{0<−1\text{ False}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Ya que, \(y>2x−1\) es cierto, el lado de la línea con \((0,0)\), es la solución. La región sombreada muestra la solución de la desigualdad \(y>2x−1\).

    Dado que la línea límite se grafica con una línea sólida, la desigualdad incluye el signo igual.

    La gráfica muestra la desigualdad \(y\geq 2x−1\).

    Podríamos utilizar cualquier punto como punto de prueba, siempre que no esté en la línea. ¿Por qué elegimos \((0,0)\)? Porque es lo más fácil de evaluar. Es posible que desee elegir un punto al otro lado de la línea de límite y comprobarlo \(y<2x−1\).

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Escribir la desigualdad mostrada por la gráfica con la línea límite \(y=−2x+3\).

    Responder

    \(y\geq −2x+3\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Escribir la desigualdad mostrada por la gráfica con la línea límite \(y=\frac{1}{2}x−4\).

    Responder

    \(y\leq \frac{1}{2}x−4\)

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    La línea límite que se muestra en esta gráfica es \(2x+3y=6\). Escribir la desigualdad que muestra la gráfica.

    Responder

    La línea \(2x+3y=6\) es la línea límite. De un lado de la línea están los puntos con \(2x+3y>6\) y del otro lado de la línea están los puntos con \(2x+3y<6\).

    Vamos a probar el punto \((0,0)\) y ver qué desigualdad describe su lado de la línea límite.

    En \((0,0)\), ¿qué desigualdad es verdadera: \(2x+3y>6\) o \(2x+3y<6\)?

    \[\begin{array} {ll} {2x+3y>6} &{2x+3y<6} \\ {2(0)+3(0)\overset{?}{>}6} &{2(0)+3(0)\overset{?}{<}6} \\ {0>6\text{ False}} &{0<6\text{ True}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Entonces el lado con \((0,0)\) es el lado donde \(2x+3y<6\).

    (Es posible que desee elegir un punto al otro lado de la línea de límite y verificarlo) \(2x+3y>6\).

    Dado que la línea límite se grafica como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual.

    La región sombreada muestra la solución a la desigualdad \(2x+3y<6\).

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Escriba la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea límite \(x−4y=8\).

    Responder

    \(x−4y\leq 8\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Escriba la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea límite \(3x−y=6\).

    Responder

    \(3x−y\geq 6\)

    Gráfica Desigualdades Lineales en Dos Variables

    Ahora que sabemos cómo es la gráfica de una desigualdad lineal y cómo se relaciona con una ecuación límite podemos usar este conocimiento para graficar una desigualdad lineal dada.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\): Cómo graficar una ecuación lineal en dos variables

    Grafica la desigualdad lineal \(y\geq \frac{3}{4}x−2\).

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Grafica la desigualdad lineal \(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Responder

    Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite, representan las soluciones a \(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Grafica la desigualdad lineal \(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Responder

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Los pasos que damos para graficar una desigualdad lineal se resumen aquí.

    GRÁFICO A Desigualdad Lineal en dos variables.
    1. Identificar y graficar la línea límite.
      • Si la desigualdad es\ leq o\ geq,\ leq o\ geq, la línea límite es sólida.
      • Si la desigualdad es<or>,<or>, la línea límite es discontinua.
    2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
    3. Sombra en un lado de la línea límite.
      • Si el punto de prueba es una solución, sombree en el lado que incluye el punto.
      • Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.
    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Grafica la desigualdad lineal \(x−2y<5\).

    Responder

    En primer lugar, graficamos la línea límite \(x−2y=5\). La desigualdad es \(<\) así que trazamos una línea discontinua.

    Entonces, probamos un punto. Lo usaremos de \((0,0)\) nuevo porque es fácil de evaluar y no está en la línea límite.

    ¿Es \((0,0)\) una solución de \(x−2y<5\)?

    El punto \((0,0)\) es una solución de \(x−2y<5\), por lo que sombreamos en ese lado de la línea límite.

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(x−2y<5\).

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(2x−3y<6\).

    Responder

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(2x−3y<6\).

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(2x−y>3\).

    Responder

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(2x−y>3\).

    ¿Y si la línea fronteriza pasa por el origen? Entonces, no podremos usar \((0,0)\) como punto de prueba. No hay problema: solo elegiremos algún otro punto que no esté en la línea de límite.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(y\leq −4x\).

    Responder

    En primer lugar, graficamos la línea límite \(y=−4x\). Está en forma de pendiente-intercepción, con \(m=−4\) y \(b=0\). La desigualdad es \(\leq\) así que trazamos una línea sólida.

    Ahora necesitamos un punto de prueba. Podemos ver que el punto (1,0) (1,0) no está en la línea límite.

    ¿Es \((1,0)\) una solución de \(y\leq −4x\)?

    El punto no \((1,0)\) es una solución a \(y\leq −4x\), por lo que sombreamos en el lado opuesto de la línea límite.

    Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite representan las soluciones a \(y\leq −4x\).

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(y>−3x\).

    Responder

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(y>−3x\).

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(y\geq −2x\).

    Responder

    Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite, representan las soluciones a \(y\geq −2x\).

    Algunas desigualdades lineales tienen una sola variable. Pueden tener una x pero no y , o una y pero no x . En estos casos, la línea límite será una línea vertical u horizontal.

    Recordemos que:

    \[\begin{array} {ll} {x=a} &{\text{vertical line}} \\ {y=b} &{\text{horizontal line}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(y>3\).

    Responder

    En primer lugar, graficamos la línea límite \(y=3\). Es una línea horizontal. La desigualdad es \(>\) así que trazamos una línea discontinua.

    Ponemos a prueba el punto \((0,0)\).

    \[y>3\nonumber\]\[0\slashed{>}3\nonumber\]

    Entonces, no \((0,0)\) es una solución a \(y>3\).

    Por lo que sombreamos el lado que no incluye \((0,0)\) como se muestra en esta gráfica.

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(y>3\).

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(y<5\).

    Responder

    Todos los puntos de la región sombreada, pero no los de la línea fronteriza, representan las soluciones a \(y<5\).

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Gráfica la desigualdad lineal: \(y\leq −1\).

    Responder

    Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite representan las soluciones a \(y\leq −1\).

    Resolver aplicaciones usando desigualdades lineales en dos variables

    Muchos campos utilizan desigualdades lineales para modelar un problema. Si bien nuestros ejemplos pueden ser sobre situaciones simples, nos dan la oportunidad de desarrollar nuestras habilidades y tener una sensación de cómo se podría utilizar thay.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Hilaria trabaja dos trabajos a tiempo parcial con el fin de ganar suficiente dinero para cumplir con sus obligaciones de al menos $240 a la semana. Su trabajo en servicio de alimentos paga 10 dólares la hora y su trabajo de tutoría en el campus paga 15 dólares la hora. ¿Cuántas horas necesita Hilaria para trabajar en cada trabajo para ganar al menos $240?

    ⓐ Deje xx ser el número de horas que trabaja en el trabajo en servicio de alimentos y dejar y ser el número de horas que trabaja tutoría. Escribe una desigualdad que modelaría esta situación.

    ⓑ Gráfica la desigualdad.

    ⓒ Encuentra tres pares ordenados \((x,y)\) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Hilaria.

    Responder

    ⓐ Dejamos x ser el número de horas que trabaja en el trabajo en servicio de alimentos y dejar y ser el número de horas que trabaja tutoría.

    Ella gana 10 dólares por hora en el trabajo en servicio de alimentos y 15 dólares la hora tutoría. En cada puesto de trabajo, el número de horas multiplicado por el salario por hora dará la cantidad ganada en ese trabajo.

    ⓑ Para graficar la desigualdad, la ponemos en forma de pendiente-intercepción.

    \[\begin{align} {10x+15y} &\geq 240 \\ 15y &\geq -10x+240 \\ y &\geq {−\frac{2}{3}x+16} \\ \nonumber \end{align}\]

    ⓒ De la gráfica, vemos que los pares ordenados \((15,10)\), \((0,16)\), \((24,0)\) representan tres de infinitas soluciones. Comprobar los valores en la desigualdad.

    Para Hilaria, significa que para ganar al menos $240, puede trabajar 15 horas tutoría y 10 horas en su trabajo de comida rápida, ganar todo su dinero tutoría durante 16 horas, o ganar todo su dinero mientras trabaja 24 horas en el trabajo en servicio de alimentos.

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Hugh trabaja dos trabajos a tiempo parcial. Uno en una tienda de abarrotes que paga $10 la hora y el otro es niñera por $13 hora. Entre los dos trabajos, Hugh quiere ganar al menos 260 dólares a la semana. ¿Cuántas horas necesita Hugh para trabajar en cada trabajo para ganar al menos $260?

    ⓐ Deja x ser el número de horas que trabaja en la tienda de abarrotes y deja y ser el número de horas que trabaja de niñera. Escribe una desigualdad que modelaría esta situación.

    ⓑ Gráfica la desigualdad.

    ⓒ Encuentra tres pares ordenados (x, y) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Hugh.

    Responder

    \(10x+13y\geq 260\)

    ⓒ Las respuestas variarán..

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Verónica trabaja dos trabajos a tiempo parcial con el fin de ganar suficiente dinero para cumplir con sus obligaciones de al menos 280 dólares a la semana. Su trabajo en el spa de día paga $10 la hora y su trabajo de auxiliar administrativo en el campus paga $17.50 la hora. ¿Cuántas horas necesita Veronica para trabajar en cada trabajo para ganar al menos $280?

    ⓐ Sea x el número de horas que trabaja en el spa de día y que sea el número de horas que trabaja como asistente administrativa. Escribe una desigualdad que modelaría esta situación.

    ⓑ Gráfica la desigualdad.

    ⓒ Encuentra tres pares ordenados (x, y) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Verónica

    Responder

    \(10x+17.5y\geq 280\)

    ⓒ Las respuestas variarán.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con la representación gráfica de desigualdades lineales en dos variables.

    Conceptos Clave

    • Cómo graficar una desigualdad lineal en dos variables.
      1. Identificar y graficar la línea límite.
        Si la desigualdad es \(\leq\) o \(\geq\), la línea límite es sólida.
        Si la desigualdad es \(<\) o \(>\), la línea límite es discontinua.
      2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
      3. Sombra en un lado de la línea límite.
        Si el punto de prueba es una solución, sombree en el lado que incluye el punto.
        Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.

    Glosario

    línea de límite
    La línea con ecuación \(Ax+By=C\) es la línea límite que separa la región donde \(Ax+By>C\) de la región donde \(Ax+By<C\).
    desigualdad lineal
    Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas: \(Ax+By>C\), \(Ax+By\geq C\), \(Ax+By<C\), o \(Ax+By\leq C\), donde A y B no son ambos cero.
    solución a una desigualdad lineal
    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución a una desigualdad lineal si la desigualdad es verdadera cuando sustituimos los valores de x e y .

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