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3.7: Gráficas de Funciones

  • Page ID
    51670
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted podrá:

    • Utilice la prueba de línea vertical
    • Identificar gráficas de funciones básicas
    • Leer información de una gráfica de una función

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar: ⓐ \(2^3\)\(3^2\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Evaluar: ⓐ \(|7|\)\(|−3|\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Evaluar: ⓐ \(\sqrt{4}\)\(\sqrt{16}\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Utilice la prueba de línea vertical

    En la última sección aprendimos a determinar si una relación es una función. Las relaciones que observamos se expresaron como un conjunto de pares ordenados, un mapeo o una ecuación. Ahora veremos cómo saber si una gráfica es la de una función.

    Un par ordenado \((x,y)\) es una solución de una ecuación lineal, si la ecuación es una declaración verdadera cuando los valores xe y del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

    La gráfica de una ecuación lineal es una línea recta donde cada punto de la recta es una solución de la ecuación y cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.

    En la Figura, podemos ver que, en gráfica de la ecuación \(y=2x−3\), para cada x-valor sólo hay un valor y, como se muestra en la tabla que acompaña.

    Figura \(\PageIndex{1}\)

    Una relación es una función si cada elemento del dominio tiene exactamente un valor en el rango. Entonces la relación definida por la ecuación \(y=2x−3\) es una función.

    Si miramos la gráfica, cada línea discontinua vertical sólo interseca la línea en un punto. Esto tiene sentido como en una función, por cada valor xsolo hay un valor y.

    Si la línea vertical golpea el gráfico dos veces, el valor xse mapearía a dos valores y, por lo tanto, la gráfica no representaría una función.

    Esto nos lleva a la prueba de la línea vertical. Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangular es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto. Si alguna línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.

    PRUEBA LÍNEA VERTICAL

    Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangular es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto.

    Si alguna línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Determina si cada gráfica es la gráfica de una función.

    Responder

    ⓐ Dado que cualquier línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto, la gráfica es la gráfica de una función.

    ⓑ Una de las líneas verticales mostradas en la gráfica, la cruza en dos puntos. Esta gráfica no representa una función.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Determina si cada gráfica es la gráfica de una función.

    Responder

    ⓐ sí ⓑ no

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Determina si cada gráfica es la gráfica de una función.

    Responder

    ⓐ no ⓑ sí

    Identificar gráficas de funciones básicas

    Se utilizó la ecuación \(y=2x−3\) y su gráfica a medida que desarrollamos la prueba de línea vertical. Dijimos que la relación definida por la ecuación \(y=2x−3\) es una función.

    Podemos escribir esto como en notación de función como \(f(x)=2x−3\). Todavía significa lo mismo. La gráfica de la función es la gráfica de todos los pares ordenados \((x,y)\) donde \(y=f(x)\). Para que podamos escribir los pares ordenados como \((x,f(x))\). Se ve diferente pero la gráfica será la misma.

    Comparar la gráfica de \(y=2x−3\) previamente mostrada en la Figura con la gráfica de \(f(x)=2x−3\) mostrada en la Figura . Nada ha cambiado más que la notación.

    Figura \(\PageIndex{2}\)
    GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

    La gráfica de una función es la gráfica de todos sus pares ordenados, (x, y) (x, y) o usando notación de función, (x, f (x)) (x, f (x)) donde y=f (x) .y=f (x).

    \[\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}\]

    A medida que avanzamos en nuestro estudio, es útil estar familiarizado con las gráficas de varias funciones básicas y poder identificarlas.

    A través de nuestro trabajo anterior, estamos familiarizados con las gráficas de ecuaciones lineales. El proceso que usamos para decidir si \(y=2x−3\) es una función se aplicaría a todas las ecuaciones lineales. Todas las ecuaciones lineales no verticales son funciones. Las líneas verticales no son funciones ya que el valor xtiene infinitos valores y.

    Escribimos ecuaciones lineales en varias formas, pero será de gran ayuda para nosotros aquí usar la forma de intersección pendiente de la ecuación lineal. La forma de intersección de pendiente de una ecuación lineal es \(y=mx+b\). En notación de función, esta función lineal se convierte en \(f(x)=mx+b\) donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección y .

    El dominio es el conjunto de todos los números reales, y el rango es también el conjunto de todos los números reales.

    FUNCIÓN LINEAL

    Utilizaremos las técnicas gráficas que usamos anteriormente, para graficar las funciones básicas.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Gráfica: \(f(x)=−2x−4\).

    Responder
      \(f(x)=−2x−4\)
    Reconocemos esto como una función lineal.  
    Encuentra la pendiente y-interceptar. \(m=−2\)
    \(b=−4\)
    Gráfica utilizando la interceptación de pendiente.
    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica: \(f(x)=−3x−1\)

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica: \(f(x)=−4x−5\)

    Responder

    La siguiente función cuya gráfica veremos se llama la función constante y su ecuación es de la forma \(f(x)=b\), donde b es cualquier número real. Si sustituimos el \(f(x)\) por y, obtenemos \(y=b\). Reconocemos esto como la línea horizontal cuya intercepción yes b. La gráfica de la función \(f(x)=b\), es también la línea horizontal cuya intersección y-es b.

    Observe que para cualquier número real que ponemos en la función, el valor de la función será b. Esto nos dice que el rango tiene un solo valor, b.

    Función constante

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Gráfica: \(f(x)=4\).

    Responder
      \(f(x)=4\)
    Reconocemos esto como una función constante.  
    El gráfico será una línea horizontal a través de \((0,4)\).
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica: \(f(x)=−2\).

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Gráfica: \(f(x)=3\).

    Responder

    La función de identidad, \(f(x)=x\) es un caso especial de la función lineal. Si lo escribimos en forma de función lineal \(f(x)=1x+0\),, vemos que la pendiente es 1 yla intersección y es 0.

    Función IDENTIDAD

    La siguiente función que veremos no es una función lineal. Por lo que la gráfica no será una línea. El único método que tenemos para graficar esta función es el trazado de puntos. Debido a que esta es una función poco familiar, nos aseguramos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestros valores x.

    Gráfica: \(f(x)=x^2\).

    Responder

    Elegimos valores x. Los sustituimos en y luego creamos un gráfico como se muestra.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica: \(f(x)=x^2\).

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    \(f(x)=−x^2\)

    Responder

    Mirando el resultado en Ejemplo, podemos resumir las características de la función cuadrada. Llamamos a esta gráfica una parábola. Como consideramos el dominio, observe que cualquier número real puede ser utilizado como un valor x. El dominio son todos los números reales.

    El rango no son todos los números reales. Observe que la gráfica se compone de valores de y nunca van por debajo de cero. Esto tiene sentido ya que el cuadrado de cualquier número no puede ser negativo. Entonces, el rango de la función cuadrada es todos los números reales no negativos.

    FUNCIÓN SQUARE

    La siguiente función que veremos tampoco es una función lineal por lo que la gráfica no será una línea. Nuevamente usaremos el trazado de puntos, y nos aseguraremos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestros valores x.

    Gráfica: \(f(x)=x^3\).

    Responder

    Elegimos valores x. Los sustituimos en y luego creamos un gráfico.

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Gráfica: \(f(x)=x^3\).

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Gráfica: \(f(x)=−x^3\).

    Responder

    Mirando el resultado en Ejemplo, podemos resumir las características de la función cubo. Como consideramos el dominio, observe que cualquier número real puede ser utilizado como un valor x. El dominio son todos los números reales.

    El rango es todos los números reales. Esto tiene sentido ya que el cubo de cualquier número distinto de cero puede ser positivo o negativo. Entonces, el rango de la función de cubo son todos los números reales.

    FUNCIÓN CUBO

    La siguiente función que veremos no cuadra ni cubica los valores de entrada, sino que toma la raíz cuadrada de esos valores.

    Vamos a graficar la función \(f(x)=\sqrt{x}\) y luego resumir las características de la función. Recuerda, solo podemos tomar la raíz cuadrada de los números reales no negativos, por lo que nuestro dominio serán los números reales no negativos.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    \(f(x)=\sqrt{x}\)

    Responder

    Elegimos valores x. Ya que estaremos tomando la raíz cuadrada, elegimos números que son cuadrados perfectos, para facilitar nuestro trabajo. Los sustituimos en y luego creamos un gráfico.

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Gráfica: \(f(x)=x\).

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Gráfica: \(f(x)=−\sqrt{x}\).

    Responder

    FUNCIÓN RAÍZ Cuadrada

    Nuestra última función básica es la función de valor absoluto, \(f(x)=|x|\). Ten en cuenta que el valor absoluto de un número es su distancia desde cero. Dado que nunca medimos la distancia como un número negativo, nunca obtendremos un número negativo en el rango.

    Gráfica: \(f(x)=|x|\).

    Responder

    Elegimos valores x. Los sustituimos en y luego creamos un gráfico.

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Gráfica: \(f(x)=|x|\).

    Responder

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Gráfica: \(f(x)=−|x|\).

    Responder

    FUNCIÓN VALOR ABSOLUTA

    Leer información de una gráfica de una función

    En las ciencias y los negocios, los datos a menudo se recogen y luego se grafican. Se analiza la gráfica, se obtiene información de la gráfica y luego muchas veces se hacen predicciones a partir de los datos.

    Empezaremos leyendo el dominio y rango de una función a partir de su gráfica.

    Recuerde que el dominio es el conjunto de todos los valores xen los pares ordenados en la función. Para encontrar el dominio nos fijamos en la gráfica y encontramos todos los valores de x que tienen un valor correspondiente en la gráfica. Siga el valor x hacia arriba o hacia abajo verticalmente. Si pulsas la gráfica de la función entonces x está en el dominio.

    Recuerde que el rango es el conjunto de todos los valores yen los pares ordenados en la función. Para encontrar el rango miramos la gráfica y encontramos todos los valores de y que tienen un valor correspondiente en la gráfica. Siga el valor y a la izquierda o a la derecha horizontalmente. Si pulsas la gráfica de la función entonces y está en el rango.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Utilice la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escriba el dominio y el rango en notación de intervalos.

    Responder

    Para encontrar el dominio miramos la gráfica y encontramos todos los valores de x que corresponden a un punto de la gráfica. El dominio se resalta en rojo en la gráfica. El dominio es \([−3,3]\).

    Para encontrar el rango miramos la gráfica y encontramos todos los valores de y que corresponden a un punto de la gráfica. El rango se resalta en azul en la gráfica. El rango es \([−1,3]\).

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Utilice la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escriba el dominio y el rango en notación de intervalos.

    Responder

    El dominio es \([−5,1]\). El rango es \([−4,2]\).

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Utilice la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escriba el dominio y el rango en notación de intervalos.

    Responder

    El dominio es \([−2,4]\). El rango es \([−5,3]\).

    Ahora vamos a leer información de la gráfica que podrán ver en futuras clases de matemáticas.

    Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

    Utilice la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

    ⓐ Encuentra: \(f(0)\).
    ⓑ Encuentra: \(f(32\pi)\).
    ⓒ Encuentra: \(f(−12\pi)\).
    ⓓ Encuentre los valores para x cuando \(f(x)=0\).
    ⓔ Encuentra las intercepciones x.
    ⓕ Encuentra las intercepciones y.
    ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
    ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

    Responder

    ⓐ Cuando \(x=0\), la función cruza el eje yen 0. Entonces, \(f(0)=0\).
    ⓑ Cuando \(x=32\pi\), el valor yde la función es \(−1\). Entonces, \(f(32\pi)=−1\).
    ⓒ Cuando \(x=−12\pi\), el valor yde la función es \(−1\). Entonces, \(f(−12\pi)=−1\).
    ⓓ La función es 0 en los puntos, \((−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\). Los valores de xcuando \(f(x)=0\) son \(−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\).
    ⓔ Las x-intercepciones ocurren cuando \(y=0\). Por lo que las x-intercepciones ocurren cuando \(f(x)=0\). Las x-intercepciones son \((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\).
    ⓕ Las interceptaciones yocurren cuando x=0.x=0. Por lo que las intercepciones yocurren en \(f(0)\). La intercepción yes \((0,0)\).
    ⓖ Esta función tiene un valor cuando x es de \(−2\pi\) a \(2\pi\). Por lo tanto, el dominio en notación de intervalo es \([−2\pi,2\pi]\).
    ⓗ Los valores de esta función, o valores yvan de \(−1\) a 1. Por lo tanto, el rango, en notación de intervalo, es \([−1,1]\).

    Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

    Utilice la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

    ⓐ Buscar: f (0) .f (0).
    ⓑ Buscar: f (12\ pi) .f (12\ pi).
    ⓒ Buscar: f (−32\ pi) .f (−32\ pi).
    ⓓ Encuentre los valores para x cuando f (x) =0.f (x) =0.
    ⓔ Encuentra las intercepciones x.
    ⓕ Encuentra las intercepciones y.
    ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
    ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

    Responder

    \(f(0)=0\)\(f=(\pi2)=2\)\(f=(−3\pi2)=2\)\(f(x)=0\) para \(x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\)\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ \([−2\pi,2\pi]\)\([−2,2]\)

    Ejemplo \(\PageIndex{27}\)

    Utilice la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

    ⓐ Encuentra: \(f(0)\).
    ⓑ Encuentra: \(f(\pi)\).
    ⓒ Encuentra: \(f(−\pi)\).
    ⓓ Encuentre los valores para x cuando \(f(x)=0\).
    ⓔ Encuentra las intercepciones x.
    ⓕ Encuentra las intercepciones y.
    ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
    ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

    Responder

    \(f(0)=1\)\(f(\pi)=−1\)\(f(−\pi)=−1\)\(f(x)=0\) para \(x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2\)\((−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)\)\((0,1)\)\([−2pi,2pi]\)\([−1,1]\)

    Acceda a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con gráficas de funciones.

    Conceptos Clave

    • Prueba de línea vertical
      • Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangular es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto.
      • Si alguna línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.
    • Gráfica de una función
      • La gráfica de una función es la gráfica de todos sus pares ordenados, (x, y) (x, y) o usando notación de función, (x, f (x)) (x, f (x)) donde y=f (x) .y=f (x).

        fxf (x) nombre de la coordenada de la coordenada del par-coordenada del pairfname ordenado de la coordenada de la coordenada del par ordenado (x) coordenada y del par ordenado

    • Función lineal
    • Función Constante
    • Función de identidad
    • Función Cuadrada
    • Función de cubo
    • Función Raíz Cuadrada
    • Función de valor absoluto

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