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4.3: Resolver aplicaciones con sistemas de ecuaciones

  • Page ID
    51675
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Resolver aplicaciones de traducción directa
    • Resolver aplicaciones de geometría
    • Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. La suma de dos veces un número y nueve es 31. Encuentra el número.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Los gemelos Jon y Ron ganaron juntos 96,000 dólares el año pasado. Ron ganó $8000 más de tres veces lo que ganó Jon. ¿Cuánto ganaba cada uno de los gemelos?
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Un tren expreso y un tren local salen de Pittsburgh para viajar a Washington, D.C El tren expreso puede hacer el viaje en cuatro horas y el tren local tarda cinco horas para el viaje. La velocidad del tren expreso es 12 millas por hora más rápida que la velocidad del tren local. Encuentra la velocidad de ambos trenes.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Resolver aplicaciones de traducción directa

    Los sistemas de ecuaciones lineales son muy útiles para resolver aplicaciones. A algunas personas les resulta más fácil configurar problemas de palabras con dos variables que configurarlas con una sola variable. Para resolver una aplicación, primero traduciremos las palabras en un sistema de ecuaciones lineales. Entonces decidiremos el método más conveniente a utilizar, y luego resolveremos el sistema.

    SOLUCIONAR APLICACIONES CON SISTEMAS DE Ecuaciones.
    1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
    2. Identificar lo que estamos buscando.
    3. Nombra lo que estamos buscando. Elija variables para representar esas cantidades.
    4. Traducir en un sistema de ecuaciones.
    5. Resolver el sistema de ecuaciones utilizando buenas técnicas de álgebra.
    6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Resolvimos problemas numéricos con una variable antes. Veamos de qué manera diferente funciona usando dos variables.

    La suma de dos números es cero. Un número es nueve menos que el otro. Encuentra los números.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando dos números.
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Vamos \(n= \text{the first number} \).
    \(m= \text{the second number} \)
    Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. La suma de dos números es cero.
      .
      Un número es nueve menos que el otro.
      .
    El sistema es: .
    Paso 5. Resolver el sistema de
    ecuaciones. Usaremos la sustitución
    ya que la segunda ecuación se resuelve
    para n.
     
    Sustituir m − 9 por n en la primera ecuación. .
    Resolver para m. .
      .
      .
    Sustituir \(m=\frac{9}{2}\) en la segunda ecuación
    y luego resolver por n.
    .
      .
      .
    Paso 6. Consultala respuesta en el problema. ¿Tienen sentido estos números en
    el problema? ¡Te dejaremos esto a
    ti!
    Paso 7. Contesta la pregunta. Los números son \(\frac{9}{2}\) y \(−\frac{9}{2}\).
    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    La suma de dos números es 10. Un número es 4 menos que el otro. Encuentra los números.

    Contestar

    \(3, 7\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    La suma de dos números es \(−6\). Un número es 10 menos que el otro. Encuentra los números.

    Contestar

    \(2, −8\)

    A Heather se le han ofrecido dos opciones por su salario como entrenadora en el gimnasio. La opción A le pagaría $25,000 más $15 por cada sesión de entrenamiento. La opción B le pagaría \($10,000+$40\) por cada sesión de entrenamiento. ¿Cuántas sesiones de capacitación equipararían las opciones salariales?

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando el número de sesiones de
    capacitación que
    equiparen el salario.
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Vamos s=s= salario de Heather.
    n=n= el número de sesiones de entrenamiento
    Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. La opción A le pagaría $25,000
    más $15 por cada
    sesión de entrenamiento.
      .
      La opción B le pagaría $10,000
    + $40 por cada sesión de entrenamiento.
     
    Se muestra el sistema. .
    Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones.
    Usaremos la sustitución.
    Sustituir 25,000 +15n por s en la segunda
    ecuación.
    .
    Resolver para n.
    Paso 6. Consultala respuesta. ¿Son razonables 600 sesiones de entrenamiento al año?
    ¿ Son iguales las dos opciones cuando n = 600?
    Paso 7. Contesta la pregunta. Las opciones salariales serían iguales para 600
    sesiones de capacitación.
    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Geraldine ha sido ofrecido puestos por dos compañías de seguros. La primera empresa paga un salario de $12,000 más una comisión de $100 por cada póliza vendida. El segundo paga un salario de $20,000 más una comisión de $50 por cada póliza vendida. ¿Cuántas pólizas necesitarían venderse para que el pago total fuera igual?

    Contestar

    160 pólizas

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Actualmente Kenneth vende trajes para la empresa A a un sueldo de $22,000 más una comisión de $10 por cada traje vendido. La empresa B le ofrece un puesto con un salario de $28,000 más una comisión de $4 por cada traje vendido. ¿Cuántos trajes necesitaría vender Kenneth para que las opciones fueran iguales?

    Contestar

    1000 trajes

    A medida que resuelvas cada aplicación, recuerda analizar qué método de resolución del sistema de ecuaciones sería más conveniente.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Cuando Jenna pasó 10 minutos en el entrenador elíptico y luego hizo entrenamiento de circuito durante 20 minutos, su aplicación de acondicionamiento físico dice que quemó 278 calorías. Cuando pasó 20 minutos en la elíptica y 30 minutos de entrenamiento en circuito quemó 473 calorías. ¿Cuántas calorías quema por cada minuto en la elíptica? ¿Cuántas calorías por cada minuto de entrenamiento en circuito?

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando el número de
    calorías quemadas cada minuto en la
    elíptica y cada minuto de entrenamiento de
    circuito.
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Deja e=e= número de calorías quemadas por
    minuto en la elíptica.
    c=c= número de calorías quemadas por
    minuto durante el entrenamiento de circuito
    Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. 10 minutos en la elíptica y
    entrenamiento de circuito durante 20 minutos, quemaron
    278 calorías
      .
      20 minutos en la elíptica y
    30 minutos de entrenamiento en circuito quemaron
    473 calorías
      .
    El sistema es: .
    Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones.  
    Multiplica la primera ecuación por −2 para obtener coeficientes
    opuestos de e.
    .
    Simplifica y agrega las ecuaciones.
    Resolver para c.
    .
    Sustituir c = 8.3 en una de las ecuaciones
    originales para resolver por e .
    .
    Paso 6. Consultala respuesta en el problema. Consulta las matemáticas por tu cuenta.
      .
    Paso 7. Contesta la pregunta. Jenna quema 8.3 calorías por minuto de entrenamiento en
    circuito y 11.2 calorías por
    minuto mientras está en la elíptica.
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Mark fue al gimnasio e hizo 40 minutos de yoga caliente Bikram y 10 minutos de saltos. Quemó 510 calorías. La próxima vez que fue al gimnasio, hizo 30 minutos de yoga caliente Bikram y 20 minutos de saltos quemando 470 calorías. ¿Cuántas calorías se quemaron por cada minuto de yoga? ¿Cuántas calorías se quemaron por cada minuto de saltos?

    Contestar

    Mark quemó 11 calorías por cada minuto de yoga y 7 calorías por cada minuto de saltos.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Erin pasó 30 minutos en la máquina de remo y 20 minutos levantando pesas en el gimnasio y quemó 430 calorías. Durante su siguiente visita al gimnasio pasó 50 minutos en la máquina de remo y 10 minutos levantando pesas y quemó 600 calorías. ¿Cuántas calorías quemó por cada minuto en la máquina de remo? ¿Cuántas calorías quemó por cada minuto de levantamiento de pesas?

    Contestar

    Erin quemó 11 calorías por cada minuto en la máquina de remo y 5 calorías por cada minuto de levantamiento de pesas.

    Resolver aplicaciones de geometría

    Ahora resolveremos aplicaciones de geometría utilizando sistemas de ecuaciones lineales. Tendremos que agregar ángulos complementarios y ángulos suplementarios a nuestra lista algunas propiedades de los ángulos.

    Las medidas de dos ángulos complementarios se suman a 90 grados. Las medidas de dos ángulos suplementarios se suman a 180 grados.

    Ángulos complementarios y suplementarios

    Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas de sus ángulos es de 90 grados.

    Dos ángulos son suplementarios si la suma de las medidas de sus ángulos es de 180 grados

    Si dos ángulos son complementarios, decimos que un ángulo es el complemento del otro.

    Si dos ángulos son complementarios, decimos que un ángulo es el complemento del otro.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver.

    La diferencia de dos ángulos complementarios es de 26 grados. Encuentra las medidas de los ángulos.

    Contestar

    \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read }\text{the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify }\text{what we are looking for.}} &{\text{We are looking for the measure of each}} \\ {} &{\text{angle.}} \\ {\textbf{Step 3. Name }\text{what we are looking for.}} &{\text{Let} x=\text{ the measure of the first angle.}} \\ {} &{\hspace{3mm} y= \text{ the measure of the second angle}} \\ {\textbf{Step 4. Translate }\text{into a system of}} &{\text{The angles are complementary.}} \\ {\text{equations.}} &{\hspace{15mm} x+y=90} \\ {} &{\text{The difference of the two angles is 26}} \\ {} &{\text{degrees.}} \\ {} &{\hspace{15mm} x−y=26} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\text{The system is shown.}} &{\hspace{15mm} \left\{ \begin{array} {l} x+y=90 \\ x−y=26 \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\textbf{Step 5. Solve }\text{the system of equations} } &{\hspace{15mm} \left\{ \begin{array} {l} x+y=90 \\ \underline{x−y=26} \end{array} \right. } \\ {\text{by elimination.}} &{\hspace{21mm} 2x\hspace{4mm}=116} \\ {} &{\hspace{28mm} x=58} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\text{Substitute }x=58\text{ into the first equation.}} &{\hspace{15mm} x+y=90} \\ {} &{\hspace{14mm} 58+y=90} \\ {} &{\hspace{22mm} y=32} \\ {\textbf{Step 6. Check }\text{the answer in the problem.}} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {} &{} \\ {\hspace{15mm} 58+32=90\checkmark} &{} \\ {\hspace{15mm} 58−32=26\checkmark} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer }\text{the question.}} &{\text{The angle measures are 58 and 32 degrees.}} \end{array} \)

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    La diferencia de dos ángulos complementarios es de 20 grados. Encuentra las medidas de los ángulos.

    Contestar

    Las medidas de ángulo son 55 y 35.

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    La diferencia de dos ángulos complementarios es de 80 grados. Encuentra las medidas de los ángulos.

    Contestar

    Las medidas de ángulo son 5 y 85.

    En el siguiente ejemplo, recordamos que las medidas de ángulos suplementarios se suman a 180.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Dos ángulos son complementarios. La medida del ángulo más grande es doce grados menos de cinco veces la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando medida de cada
    ángulo.
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Deje x=x= la medida del primer ángulo.
    y=y= la medida del segundo ángulo
    Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. Los ángulos son complementarios.
      .
      El ángulo más grande es doce menos de cinco
    veces el ángulo más pequeño.
      .
    Se muestra el sistema:
    Paso 5. Resolver el sistema de sustitución de ecuaciones.
    .
    Sustituir 5x − 12 por y en la primera ecuación.
    Resuelve para x.
    .


    Sustituye 32 por x en la segunda
    ecuación, luego resuelve por y .
    .
    .
    Paso 6. Consultala respuesta en el problema.
    Paso 7. Contesta la pregunta. Las medidas de ángulo son 148 y 32 grados.
    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Dos ángulos son complementarios. La medida del ángulo más grande es 12 grados más que tres veces el ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los ángulos.

    Contestar

    Las medidas de ángulo son 42 y 138.

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Dos ángulos son complementarios. La medida del ángulo más grande es 18 menos que el doble de la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los ángulos.

    Contestar

    Las medidas de ángulo son 66 y 114.

    Recordemos que los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Un triángulo recto tiene un ángulo que es de 90 grados. ¿Qué nos dice eso de los otros dos ángulos? En el siguiente ejemplo estaremos encontrando las medidas de los otros dos ángulos.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo recto es diez más de tres veces la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.

    Contestar

    Dibujaremos y etiquetaremos una figura.

    Paso 1. Leeel problema. .
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. Estamos buscando las medidas de los ángulos.
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Deje a=a= la medida del primer ángulo.
    b=b= la medida del segundo ángulo
    Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo recto es diez más de tres veces la medida del otro ángulo pequeño.
      .
      La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180.
      .
    Se muestra el sistema. .
    Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones. Utilizaremos la sustitución ya que la primera ecuación se resuelve para un. .
    Sustituir 3b+103b+10 por a en la segunda ecuación. .
    Resolver para b. .
    Sustituir b=20b=20 en la primera ecuación y luego resolver por un. .
    Paso 6. Consultala respuesta en el problema. ¡Te dejaremos esto a ti!
    Paso 7. Contesta la pregunta. Las medidas de los ángulos pequeños son de 20 y 70 grados.
    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo recto es 2 más de 3 veces la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra la medida de ambos ángulos.

    Contestar

    \(22, 68\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo recto es 18 menos del doble de la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra la medida de ambos ángulos.

    Contestar

    \(36, 54\)

    A menudo es útil a la hora de resolver aplicaciones de geometría dibujar una imagen para visualizar la situación.

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Randall tiene 125 pies de esgrima para encerrar la parte de su patio trasero adyacente a su casa. Solo necesitará bardear alrededor de tres lados, pues el cuarto lado será el muro de la casa. Quiere que la longitud del patio cercado (paralelo a la pared de la casa) sea de 5 pies más de cuatro veces más largo que el ancho. Encuentra la longitud y el ancho.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. Estamos buscando el largo y ancho.
      .
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Deje L=L= la longitud del patio cercado.
    W=W= el ancho del patio cercado
    Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. Una lenth y dos anchuras equivalen a 125.
      .
      El largo será de 5 pies más de
    cuatro veces el ancho.
      .
    Se muestra el sistema.

    Paso 5. Resuelve El sistema de ecuaciones
    por sustitución.
    .
    Sustituir L = 4W + 5 en la primera
    ecuación, luego resolver por W .
    .
      .
    Sustituir 20 por W en la segunda
    ecuación, luego resolver por L .
    .
    Paso 6. Consultala respuesta en el
    problema.
    .
    Paso 7. Contesta la ecuación. El largo es de 85 pies y el ancho es de 20 pies.
    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Mario quiere poner una barda alrededor de la alberca en su patio trasero. Ya que un lado está adyacente a la casa, solo necesitará bardear tres lados. Hay dos lados largos y el otro más corto es paralelo a la casa. Necesita 155 pies de esgrima para encerrar la alberca. La longitud del lado largo es de 10 pies menos del doble del ancho. Encuentre la longitud y el ancho del área de la piscina que se va a encercar.

    Contestar

    El largo es de 60 pies y el ancho es de 35 pies.

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Alexis quiere construir una corrida rectangular para perros en su patio adyacente a la barda de su vecino. Ella usará 136 pies de esgrima para encerrar completamente la carrera rectangular para perros. El largo del recorrido del perro a lo largo de la barda del vecino será de 16 pies menos del doble del ancho. Encuentra el largo y ancho de la carrera del perro.

    Contestar

    El largo es de 60 pies y el ancho es de 38 pies.

    Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

    Usamos una tabla para organizar la información en problemas de movimiento uniforme cuando los presentamos antes. Seguiremos usando la tabla aquí. La ecuación básica fue \(D=rt\) donde D es la distancia recorrida, r es la velocidad y t es el tiempo.

    Nuestro primer ejemplo de una aplicación de movimiento uniforme será para una situación similar a algunas que ya hemos visto, pero ahora podemos usar dos variables y dos ecuaciones.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Joni salió de San Luis por la interestatal, conduciendo hacia el oeste hacia Denver a una velocidad de 65 millas por hora. Media hora más tarde, Kelly salió de San Luis en la misma ruta que Joni, manejando 78 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará Kelly en ponerse al día con Joni?

    Contestar

    Un diagrama es útil para ayudarnos a visualizar la situación.

    .

    Identificar y nombrar lo que estamos buscando. Un gráfico nos ayudará a organizar los datos. Conocemos las tarifas tanto de Joni como de Kelly, y así las ingresamos en el gráfico. Estamos buscando el tiempo que Kelly, k, y Joni, j, harán cada unidad.

    .

    Ya \(D=r·t\) que podemos rellenar la columna Distancia.

    Traducir en un sistema de ecuaciones.

    Para hacer el sistema de ecuaciones, debemos reconocer que Kelly y Joni manejarán la misma distancia. Por lo tanto,

    \(\hspace{85mm} 65j=78k \nonumber \)

    También, desde que Kelly se fue más tarde, su tiempo será \(\frac{1}{2}\) hora menos que el de Joni. Por lo tanto,

    \( \hspace{105mm} k=j-\frac{1}{2} \nonumber \)

    \(\begin{array} {ll} {\text{Now we have the system.}} &{\left\{ \begin{array} {l} k=j−\frac{1}{2} \\ 65j=78k \end{array} \right.} \\ {\textbf{Solve }\text{the system of equations by substitution.}} &{} \\ {} &{} \\ {\text{Substitute }k=j−12\text{ into the second equation,}} &{} \\ {\text{then solve for }j.} &{} \\ {} &{65j=78k} \\ {} &{65j=78(j−\frac{1}{2})} \\ {} &{65j=78j−39} \\ {} &{−13j=−39} \\ {} &{j=3} \\{\begin{array} {l} {\text{To find Kelly’s time, substitute }j=3 \text{ into the first}} \\ {\text{equation, then solve for }k.} \end{array} } &{k=j−\frac{1}{2}} \\ {} &{k=3−\frac{1}{2} } \\ {} &{k=\frac{5}{2} \text{ or } k=2\frac{1}{2}} \\ {\textbf{Check }\text{the answer in the problem.}} &{} \\ {\begin{array} {lllll} {\text{Joni}} &{3 \text{ hours}} &{(65\text{ mph})} &= &{195\text{ miles}} \\ {\text{Kelly}} &{2\frac{1}{2} \text{ hours}} &{(78\text{ mph})} &= &{195\text{ miles}} \end{array}} &{} \\ {\text{Yes, they will have traveled the same distance}} &{} \\{\text{when they meet.}} &{} \\ {\textbf{Answer }\text{the question.}} &{} \\ {} &{\text{Kelly will catch up to Joni in}} \\ {} &{2\frac{1}{2}\text{ hours. By then, Joni will}} \\ {} &{\text{have traveled }3 \text{ hours.}} \\ \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Mitchell salió de Detroit por la interestatal conduciendo hacia el sur en dirección a Orlando a una velocidad de 60 millas por hora. Clark salió de Detroit 1 hora más tarde viajando a una velocidad de 75 millas por hora, siguiendo la misma ruta que Mitchell. ¿Cuánto tiempo tardará Clark en atrapar a Mitchell?

    Contestar

    A Clark le tomará 4 horas atrapar a Mitchell.

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Charlie salió de la casa de su madre viajando a una velocidad promedio de 36 millas por hora. Su hermana Sally salió 15 minutos \((\frac{1}{4} \text{ hour})\) después recorriendo la misma ruta a una velocidad promedio de 42 millas por hora. ¿Cuánto falta para que Sally se ponga al día con Charlie?

    Contestar

    A Sally le tomará \(112\) horas ponerse al día con Charlie.

    Muchas aplicaciones del mundo real del movimiento uniforme surgen debido a los efectos de las corrientes (de agua o aire) en la velocidad real de un vehículo. Los vuelos de avión a campo traviesa en Estados Unidos generalmente tardan más en ir hacia el oeste que hacia el este debido a las corrientes de viento predominantes.

    Echemos un vistazo a un barco que viaja en un río. Dependiendo de la dirección que vaya la embarcación, la corriente del agua lo está ralentizando o acelerando.

    Las imágenes a continuación muestran cómo una corriente de río afecta la velocidad a la que realmente viaja un barco. Llamaremos a la velocidad de la embarcación en agua quieta b y a la velocidad del río corriente c.

    El barco va río abajo, en la misma dirección que la corriente del río. La corriente ayuda a empujar el barco, por lo que la velocidad real de la embarcación es más rápida que su velocidad en agua quieta. La velocidad real a la que se mueve el barco es \(b+c\).

    En la figura se muestra un bote y dos flechas horizontales, ambas apuntando a la izquierda. El de la izquierda del barco es b y el de la derecha es c.

    Ahora, el barco va río arriba, frente a la corriente del río. La corriente va en contra de la embarcación, por lo que la velocidad real de la embarcación es más lenta que su velocidad en agua quieta. La velocidad real de la embarcación es \(b−c\).

    En la figura se muestra un bote y dos flechas horizontales a su izquierda. Una, etiquetada b, apunta a la izquierda y la otra, etiquetada c, apunta a la derecha.

    Pondremos algunos números a esta situación en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver.

    Un crucero fluvial navegó 60 millas río abajo durante 4 horas y luego tardó 5 horas navegando aguas arriba para regresar al muelle. Encuentra la velocidad de la nave en agua quieta y la velocidad de la corriente del río.

    Contestar
    Lee el problema. Este es un problema de movimiento uniforme y una
    imagen nos ayudará a visualizar la situación.
     
    Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando la velocidad de la nave
    en agua quieta y la velocidad de la corriente.
    Nombra lo que estamos buscando. Let \(s= \text{the rate of the ship in still water.}\)
    \(c= \text{the rate of the current}\)
    Un gráfico nos ayudará a organizar la información.
    El barco va río abajo y luego aguas arriba.
    Al ir río abajo, la corriente ayuda a la
    nave y por lo tanto la tasa real de la nave es s + c.
    Al ir aguas arriba, la corriente ralentiza el barco
    y por lo tanto la tasa real es sc.
    .
    Aguas abajo se tarda 4 horas.
    Aguas arriba se tarda 5 horas.
    Cada trayecto la distancia es de 60 millas.
     
    Traducir en un sistema de ecuaciones.
    Dado que la tasa por tiempo es distancia, podemos
    escribir el sistema de ecuaciones.
    .
    Resolver el sistema de ecuaciones.
    Distribuir para poner ambas ecuaciones en
    forma estándar, luego resolver por eliminación.
    .
    Multiplica la ecuación superior por 5 y la
    inferior por 4.
    Agrega las ecuaciones, luego resuelve por s.
    .
    Sustituir s = 13.5 en las
    ecuaciones originales.
    .
    Consulta la respuesta en el problema.
    La tasa aguas abajo sería
    \(13.5+1.5=15\) mph.
    En 4 horas el barco viajaría
    \(15·4=60\) millas.
    La tasa aguas arriba sería
    \(13.5−1.5=12\) mph.
    En 5 horas el barco viajaría
    \(12·5=60\) millas.
     
    Contesta la pregunta. La velocidad del barco es de 13.5 mph y
    la velocidad de la corriente es de 1.5 mph.
    Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Un crucero en barco por el río Mississippi navegó 120 millas río arriba durante 12 horas y luego tardó 10 horas en regresar al muelle. Encuentra la velocidad del barco fluvial en agua quieta y la velocidad de la corriente del río.

    Contestar

    La velocidad de la embarcación es de 11 mph y la velocidad de la corriente es de 1 mph.

    Ejemplo \(\PageIndex{27}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Jason remando su canoa 24 millas río arriba durante 4 horas. Tardó 3 horas en remar hacia atrás. Encuentra la velocidad de la canoa en agua quieta y la velocidad de la corriente del río.

    Contestar

    La velocidad de la canoa es de 7 mph y la velocidad de la corriente es de 1 mph.

    Las corrientes de viento afectan las velocidades de los aviones de la misma manera que las corrientes de agua afectan las velocidades de los barcos Esto lo veremos en el siguiente ejemplo. Una corriente de viento en la misma dirección que el avión está volando se llama viento de cola. Una corriente de viento que sopla contra la dirección del avión se llama viento encontra.

    Ejemplo \(\PageIndex{28}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Un jet privado puede volar 1,095 millas en tres horas con viento de cola pero sólo 987 millas en tres horas en un viento en contra. Encuentra la velocidad del jet en aire quieto y la velocidad del viento.

    Contestar
    Lee el problema. Este es un problema de movimiento uniforme y una
    imagen nos ayudará a visualizar.
      .
    Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando la velocidad del jet
    en aire quieto y la velocidad del viento.
    Nombra lo que estamos buscando. Deja j=j= la velocidad del jet en aire quieto.
    w=w= la velocidad del viento.
    Un gráfico nos ayudará a organizar la información.
    El jet hace dos viajes, uno en viento de cola
    y otro en viento en contra.
    En un viento de cola, el viento ayuda al chorro y por lo tanto
    la velocidad es j + w .
    En un viento en contra, el viento ralentiza el chorro y
    por lo tanto la velocidad es jw .
    .
    Cada viaje dura 3 horas.
    En un viento de cola el jet vuela 1,095 millas.
    En un viento en contra el jet vuela 987 millas.
     
    Traducir en un sistema de ecuaciones.
    Dado que la tasa por tiempo es distancia, obtenemos el
    sistema de ecuaciones.
    .
    Resolver el sistema de ecuaciones.
    Distribuir, luego resolver por eliminación.
    Agregar, y resolver para j.
    .
    Sustituir j = 347 en una de las
    ecuaciones originales, luego resolver por w .
    .
    Consulta la respuesta en el problema.
    Con el viento en cola, la velocidad real del
    jet sería
    \(347+18=365\) mph.
    En 3 horas el jet viajaría
    \(365·3=1,095\) millas
    Entrando en el viento en contra, la
    tasa real del jet sería
    \(347−18=329\) mph.
    En 3 horas el jet viajaría
    \(329·3=987\) millas.
     
    Contesta la pregunta. La velocidad del chorro es de 347 mph y la
    velocidad del viento es de 18 mph.
    Ejemplo \(\PageIndex{29}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Un pequeño jet puede volar 1,325 millas en 5 horas con viento de cola pero sólo 1,035 millas en 5 horas en un viento en contra. Encuentra la velocidad del jet en aire quieto y la velocidad del viento.

    Contestar

    La velocidad del chorro es de 235 mph y la velocidad del viento es de 30 mph.

    Ejemplo \(\PageIndex{30}\)

    Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:

    Un jet comercial puede volar 1,728 millas en 4 horas con viento de cola pero solo 1,536 millas en 4 horas en un viento en contra. Encuentra la velocidad del jet en aire quieto y la velocidad del viento.

    Contestar

    La velocidad del chorro es de 408 mph y la velocidad del viento es de 24 mph.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con sistemas de ecuaciones.

    • Sistemas de Ecuaciones

    Conceptos Clave

    • Cómo resolver aplicaciones con sistemas de ecuaciones
      1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
      2. Identificar lo que estamos buscando.
      3. Nombra lo que estamos buscando. Elija variables para representar esas cantidades.
      4. Traducir en un sistema de ecuaciones.
      5. Resolver el sistema de ecuaciones utilizando buenas técnicas de álgebra.
      6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Glosario

    ángulos complementarios
    Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas de sus ángulos es de 90 grados.
    ángulos suplementarios
    Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas de sus ángulos es de 180 grados.

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