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5.2: Sumar y restar polinomios

  • Page ID
    51702
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Determinar el grado de polinomios
    • Suma y resta polinomios
    • Evaluar una función polinómica para un valor dado
    • Sumar y restar funciones polinómicas
    Nota

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: \(3x^2+3x+1+8x^2+5x+5.\)
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Restar: \((5n+8)−(2n−1).\)
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Evaluar: \(4xy^2\) cuándo \(x=−2x\) y \(y=5.\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Determinar el grado de polinomios

    Hemos aprendido que un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. Un monomio es una expresión algebraica con un término. Cuando es de la forma \(ax^m\), donde \(a\) es una constante y \(m\) es un número entero, se le llama monomio en una variable. Algunos ejemplos de monomio en una variable son. Los monomios también pueden tener más de una variable como y \(−4a^2b^3c^2.\)

    Definición: MONOMIAL

    Un monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la forma \(ax^m\), donde \(a\) es una constante y \(m\) es un número entero.

    Un monomio, o dos o más monomios combinados por suma o resta, es un polinomio. Algunos polinomios tienen nombres especiales, basados en el número de términos. Un monomio es un polinomio con exactamente un término. Un binomio tiene exactamente dos términos, y un trinomio tiene exactamente tres términos. No hay nombres especiales para polinomios con más de tres términos.

    Definición: POLINOMIALES
    • polinomio—Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
    • monomial—Un polinomio con exactamente un término se llama monomio.
    • binomial—Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomial.
    • trinomial—Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.

    Estos son algunos ejemplos de polinomios.

    Polinomio \(y+1\) \(4a^2−7ab+2b^2\) \(4x^4+x^3+8x^2−9x+1\)  
    Monomial \(14\) \(8y^2\) \(−9x^3y^5\) \(−13a^3b^2c\)
    Binomial \(a+7ba+7b\) \(4x^2−y^2\) \(y^2−16\) \(3p^3q−9p^2q\)
    Trinomial \(x^2−7x+12\) \(9m^2+2mn−8n^2\) \(6k^4−k^3+8k\) \(z^4+3z^2−1\)

    Note que todo monomio, binomio y trinomial es también un polinomio. Ellos son sólo miembros especiales de la “familia” de polinomios y por eso tienen nombres especiales. Utilizamos las palabras monomio, binomioy trinomiocuando nos referimos a estos polinomios especiales y simplemente llamamos a todos los demás polinomios.

    El grado de un polinomio y el grado de sus términos están determinados por los exponentes de la variable. Un monomio que no tiene variable, solo una constante, es un caso especial. El grado de una constante es 0.

    Definición: GRADO DE UN POLINOMIO
    • El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
    • El grado de una constante es 0.
    • El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

    Veamos cómo funciona esto mirando varios polinomios. Lo vamos a dar paso a paso, empezando por monomios, para luego avanzar a polinomios con más términos. Empecemos por mirar a un monomio. El monomio \(8ab^2\) tiene dos variables \(a\) y \(b\). Para encontrar el grado necesitamos encontrar la suma de los exponentes. La variable a no tiene un exponente escrito, pero recuerda que significa que el exponente es 1. El exponente de \(b\) es 2. La suma de los exponentes, 1+2,1+2, es 3 por lo que el grado es 3.

    A continuación te presentamos algunos ejemplos adicionales.

    Trabajar con polinomios es más fácil cuando se enumeran los términos en orden descendente de grados. Cuando un polinomio se escribe de esta manera, se dice que está en forma estándar de un polinomio. Hábito de escribir el término con el grado más alto primero.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Determinar si cada polinomio es un polinomio monomio, binomial, trinomio u otro polinomio. Después, encuentra el grado de cada polinomio.

    1. \(7y2−5y+3\)
    2. \(−2a^4b^2\)
    3. \(3x5−4x3−6x2+x−8\)
    4. \(2y−8xy^3\)
    5. \(15\)
    Contestar
    Polinomio Número de términos Tipo Grado de términos Grado de polinomio
    \(7y^2−5y+3\) 3 Trinomial 2, 1, 0 2
    \(−2a^4b^2−2a^4b^2\) 1 Monomial 4, 2 6
    \(3x5−4x3−6x2+x−8\) 5 Polinomio 5, 3, 2, 1, 0 5
    \(2y−8xy^3\) 2 Binomial 1, 4 4
    \(15\) 1 Monomial 0 0
    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Determinar si cada polinomio es un polinomio monomio, binomial, trinomio u otro polinomio. Después, encuentra el grado de cada polinomio.

    1. \(−5\)
    2. \(8y^3−7y^2−y−3\)
    3. \(−3x^2y−5xy+9xy^3\)
    4. \(81m^2−4n^2\)
    5. \(−3x^6y^3z\)
    Contesta a

    monomio, 0

    Respuesta b

    polinomio, 3

    Contesta c

    trinomio, 3

    Respuesta d

    binomio, 2

    Respuesta b

    monomio, 10

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Determinar si cada polinomio es un polinomio monomio, binomial, trinomio u otro polinomio. Después, encuentra el grado de cada polinomio.

    1. \(64k^3−8\)
    2. \(9m^3+4m^2−2\)
    3. \(56\)
    4. \(8a^4−7a^3b−6a^2b^2−4ab^3+7b^4\)
    5. \(-p^4q^3\)
    Contestar

    ⓐ binomio, 3 ⓑ trinomio, 3 ⓒ monomio, 0 ⓓ polinomio, 4 ⓔ monomio, 7

    Suma y resta polinomios

    Hemos aprendido a simplificar expresiones combinando términos similares. Recuerda, como términos deben tener las mismas variables con el mismo exponente. Dado que los monomios son términos, sumar y restar monomios es lo mismo que combinar términos similares. Si los monomios son como términos, simplemente los combinamos sumando o restando los coeficientes.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Sume o reste:

    1. \(25y^2+15y^2\)
    2. \(16pq^3−(−7pq^3)\).
    Contesta a

    \( \begin{array} {ll} {} &{25y^2+15y^2} \\ {\text{Combine like terms.}} &{40y^2} \\ \end{array} \nonumber \)

    Respuesta b

    \( \begin{array} {ll} {} &{16pq^3−(−7pq^3)} \\ {\text{Combine like terms.}} &{23pq^3} \\ \end{array} \nonumber \)

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Sume o reste:

    1. \(12q^2+9q^2\)
    2. \(8mn^3−(−5mn^3)\).
    Contestar

    \(21q^2\)\(13mn^3\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Sume o reste:

    1. \(−15c^2+8c^2\)
    2. \(−15y^2z^3−(−5y^2z^3)\)
    Contestar

    \(−7c^2\)\(−10y^2z^3\)

    Recuerda que los términos similares deben tener las mismas variables con los mismos exponentes.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Simplificar:

    1. \(a^2+7b^2−6a^2\)
    2. \(u^2v+5u^2−3v^2\)
    Contestar

    ⓐ Combina términos similares.

    \(a^2+7b^2−6a^2 \;=\; −5a^2+7b^2\)

    ⓑ No hay términos similares para combinar. En este caso, el polinomio se mantiene inalterado.

    \(u^2v+5u^2−3v^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Añadir:

    1. \(8y^2+3z^2−3y^2\)
    2. \(m^2n^2−8m^2+4n^2\)
    Contestar

    \(5y^2+3z^2\)
    \(m^2n^2−8m^2+4n^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Añadir:

    1. \(3m^2+n^2−7m^2\)
    2. \(pq^2−6p−5q^2\)
    Contestar

    \(−4m^2+n^2\)
    \(pq^2−6p−5q^2\)

    Podemos pensar en sumar y restar polinomios como simplemente sumar y restar una serie de monomios. Busque los términos similares, aquellos con las mismas variables y el mismo exponente. La propiedad conmutativa nos permite reorganizar los términos para juntar términos similares.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Encuentra la suma: \((7y^2−2y+9)\;+\;(4y^2−8y−7)\).

    Contestar

    \ (\ begin {align*} &\ text {Identificar términos similares.} & & (\ subrayado {\ subrayado {7y^2}} −\ subrayado {2y} +9) + (\ subrayado {\ subrayado {4y^2}} −\ subrayado {8y} −7)\\ [6pt]
    &\ text {Reescribir sin paréntesis,}\\
    &\ text {reordenando para juntar los términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {7y^2+4y^2}} −\ subrayado {2y−8y} +9−7\\ [6pt]
    &\ text {Combinar términos similares.} & & 11y^2−10y+2\ end {align*}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Encuentra la suma: \( (7x^2−4x+5)\;+\;(x^2−7x+3)\)

    Contestar

    \(8x^2−11x+8\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Encuentra la suma: \((14y^2+6y−4)\;+\;(3y^2+8y+5)\)

    Contestar

    \(17y^2+14y+1\)

    Ten cuidado con los signos a medida que distribuyas mientras restas los polinomios en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Encuentra la diferencia: \((9w^2−7w+5)\;−\;(2w^2−4)\)

    Contestar

    \ (\ begin {align*} & & & (9w^2−7w+5)\; −\; (2w^2−4)\\ [6pt]
    &\ text {Distribuir e identificar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {9w^2}} −\ subrayado {7w} +5-\ subrayado {\ subrayado {2w^2}} +4\\ [6pt]
    &\ text {Reorganizar los términos.} & &\ subrayado {\ subrayado {9w^2-2w^2}} −\ subrayado {7w} +5+4\\ [6pt]
    &\ text {Combinar términos similares.} & & 7w^2−7w+9\ end {align*}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Encuentra la diferencia: \((8x^2+3x−19)\;−\;(7x^2−14)\)

    Contestar

    \(x^2+3x−5\)

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Encuentra la diferencia: \((9b^2−5b−4)\;−\;(3b^2−5b−7)\)

    Contestar

    \(6b^2+3\)

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Restar \((p^2+10pq−2q^2)\) de \((p^2+q^2)\).

    Contestar

    \ (\ begin {align*} & & & (p^2+q^2)\; −\; (p^2+10pq−2q^2)\\ [6pt]
    &\ text {Distribuir e identificar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {p^2}} +\ subrayado {q^2} -\ subrayado {\ subrayado {p^2}} -10pq +\ subrayado {2q^2}\\ [6pt]
    &\ text {Reorganizar los términos, juntando términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {p^2-p^2}} −10pq +\ subrayado {q^2 + 2q^2}\\ [6pt]
    &\ text {Combinar términos similares.} & & −10pq+3q^2\ end {align*}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Restar \((a^2+5ab−6b^2)\) de \((a^2+b^2)\)

    Contestar

    \(−5ab+7b^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Restar \((m^2−7mn−3n^2)\) de \((m^2+n^2)\).

    Contestar

    7mn+4n^2

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Encuentra la suma: \((u^2−6uv+5v^2)\;+\;(3u^2+2uv)\)

    Contestar

    \ (\ begin {align*} & & & (u^2−6uv+5v^2)\; +\; (3u^2+2uv)\\ [6pt]
    &\ text {Distribuir e identificar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {u^2}} -\ subrayado {6uv} +5v^2+\ subrayado {\ subrayado {3u^2}} +\ subrayado {2uv}\\ [6pt]
    &\ text {Reorganizar los términos para juntar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {u^2}} +\ subrayado {\ subrayado {3u^2}} -\ subrayado {6uv} +\ subrayado {2uv} +5v^2\\ [6pt]
    &\ text {Combinar términos similares.} & & 4u^2−4uv+5v^2\ end {align*}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Encuentra la suma: \((3x^2−4xy+5y^2)\;+\;(2x^2−xy)\)

    Contestar

    \(5x^2−5xy+5y^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Encuentra la suma: \((2x^2−3xy−2y^2)\;+\;(5x^2−3xy)\)

    Contestar

    \(7x^2−6xy−2y^2\)

    Cuando sumamos y restamos más de dos polinomios, el proceso es el mismo.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Simplificar: \((a^3−a^2b)\;−\;(ab^2+b^3)\;+\;(a^2b+ab^2)\)

    Contestar

    \ (\ begin {align*} & & & (a^3−a^2b)\; −\; (ab^2+b^3)\; +\; (a^2b+ab^2)\\ [6pt]
    &\ text {Distribuir} & a^3−a^2b − ab^2 - b^3 + a^2b+ab^2\\ [6pt]
    &\ text {Reorganizar los términos para juntar términos similares.} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2 - b^3\\ [6pt]
    &\ text {Combinar términos similares.} & & a^3−b^3\ end {align*}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Simplificar: \((x^3−x^2y)\;−\;(xy^2+y^3)\;+\;(x^2y+xy^2)\)

    Contestar

    \(x^3+y^3\)

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Simplificar: \((p^3−p^2q)\;+\;(pq^2+q^3)\;−\;(p^2q+pq^2)\)

    Contestar

    \(p^3−3p^2q+q^3\)

    Evaluar una función polinómica para un valor dado

    Una función polinómica es una función definida por un polinomio. Por ejemplo, \(f(x)=x^2+5x+6\) y \(g(x)=3x−4\) son funciones polinómicas, porque \(x^2+5x+6\) y \(3x−4\) son polinomios.

    Definición: FUNCIÓN POLINOMIAL

    Una función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

    En Gráficas y Funciones, donde primero introdujimos funciones, aprendimos que evaluar una función significa encontrar el valor de \(f(x)\) para un valor dado de \(x\). Para evaluar una función polinómica, sustituiremos el valor dado por la variable y luego simplificaremos usando el orden de las operaciones.

    Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

    Para la función \(f(x)=5x^2−8x+4\) encuentra:

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(−2)\)
    3. \(f(0)\).
    Contestar

     
    Simplifica los exponentes.
    Multiplicar.
    Simplificar.

     
    Simplifica los exponentes.
    Multiplicar.
    Simplificar.

     
    Simplifica los exponentes.
    Multiplicar.
    Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

    Para la función \(f(x)=3x^2+2x−15\), busque

    1. \(f(3)\)
    2. \(f(−5)\)
    3. \(f(0)\).
    Contestar

    ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ \(−15\)

    Ejemplo \(\PageIndex{27}\)

    Para la función \(g(x)=5x^2−x−4\), busque

    1. \(g(−2)\)
    2. \(g(−1)\)
    3. \(g(0)\).
    Contestar

    ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ \(−4\)

    Las funciones polinómicas similares a la del siguiente ejemplo se utilizan en muchos campos para determinar la altura de un objeto en algún momento después de que se proyecta en el aire. El polinomio en la siguiente función se usa específicamente para dejar caer algo desde 250 pies.

    Ejemplo \(\PageIndex{28}\)

    La función polinómica \(h(t)=−16t^2+250\) da la altura de una bola t segundos después de que se cae de un edificio de 250 pies de altura. Encuentra la altura después de \(t=2\) segundos.

    Contestar

    \( \begin{array} {ll} {} &{h(t)=−16t^2+250} \\ {} &{} \\ {\text{To find }h(2)\text{, substitute }t=2.} &{h(2)=−16(2)^2+250} \\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=−16·4+250} \\ {} &{}\\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=−64+250} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=186} \\ {} &{\text{After 2 seconds the height of the ball is 186 feet.}} \\ \end{array} \nonumber \)

    Ejemplo \(\PageIndex{29}\)

    La función polinómica \(h(t)=−16t^2+150\) da la altura de una piedra t segundos después de que se cae desde un acantilado de 150 pies de altura. Encuentra la altura después de \(t=0\) segundos (la altura inicial del objeto).

    Contestar

    La altura es de \(150\) pies.

    Ejemplo \(\PageIndex{30}\)

    La función polinómica \(h(t)=−16t^2+175\) da la altura de una bola t segundos después de que se cae desde un puente de 175 pies de altura. Encuentra la altura después de \(t=3\) segundos.

    Contestar

    La altura es de \(31\) pies.

    Sumar y restar funciones polinómicas

    Del mismo modo que se pueden sumar y restar polinomios, también se pueden sumar y restar funciones polinómicas.

    Definición: ADICIÓN Y SUTRACCIÓN DE FUNCIONES POLINOMIALES

    Para funciones \(f(x)\) y \(g(x)\),

    \[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\]

    \[(f−g)(x)=f(x)−g(x)\]

    Ejemplo \(\PageIndex{31}\)

    Para las funciones \(f(x)=3x^2−5x+7\) y \(g(x)=x^2−4x−3\), encontrar:

    1. \((f+g)(x)\)
    2. \((f+g)(3)\)
    3. \((f−g)(x)\)
    4. \((f−g)(−2)\).
    Contestar

     
    Reescribir sin los paréntesis.
    Poner como términos juntos.
    Combina términos similares.

    ⓑ En parte (a) nos encontramos \((f+g)(x)\) y ahora se nos pide encontrar \((f+g)(3)\).

    \( \begin{array} {ll} {} &{(f+g)(x)=4x^2−9x+4} \\ {} &{} \\ {\text{To find }(f+g)\space(3),\text{ substitute }x=3.} &{(f+g)(3)=4(3)^2−9·3+4} \\ {} &{} \\ {} &{(f+g)(3)=4·9−9·3+4} \\ {} &{} \\ {} &{(f+g)(3)=36−27+4} \\ \end{array} \nonumber \)

    Observe que podríamos haber encontrado \((f+g)(3)\) primero encontrando los valores de \(f(3)\) y \(g(3)\) por separado y luego agregando los resultados.

    Encuentra \(f(3)\).
     
     
    Encuentra \(g(3)\).
     
     
    Encuentra \((f+g)(3)\).
     
     

     
    Reescribir sin los paréntesis.
    Poner como términos juntos.
    Combina términos similares.

    Ejemplo \(\PageIndex{32}\)

    Para funciones \(f(x)=2x^2−4x+3\) y \(g(x)=x^2−2x−6\), encuentra: ⓐ \((f+g)(x)\)\((f+g)(3)\)\((f−g)(x)\)\((f−g)(−2)\).

    Contestar

    \((f+g)(x)=3x^2−6x−3\)

    \((f+g)(3)=6\)

    \((f−g)(x)=x^2−2x+9\)

    \((f−g)(−2)=17\)

    Ejemplo \(\PageIndex{33}\)

    Para funciones \(f(x)=5x^2−4x−1\) y \(g(x)=x^2+3x+8\), encuentra ⓐ \((f+g)(x)\)\((f+g)(3)\)\((f−g)(x)\)\((f−g)(−2)\).

    Contestar

    \((f+g)(x)=6x^2−x+7\)

    \((f+g)(3)=58\)

    \((f−g)(x)=4x^2−7x−9\)

    \((f−g)(−2)=21\)

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con sumar y restar polinomios.

    • Sumando y restando polinomios

    Conceptos Clave

    • Monomial
      • Un monomio es una expresión algebraica con un término.
      • Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y m es un número entero.
    • Polinomios
      • Polinomio—Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
      • monomial —Un polinomio con exactamente un término se llama monomio.
      • binomial — Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomial.
      • trinomial —Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.
    • Grado de un polinomio
      • El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
      • El grado de una constante es 0.
      • El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

    Glosario

    binomial
    Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos.
    grado de una constante
    El grado de cualquier constante es 0.
    grado de un polinomio
    El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.
    grado de un término
    El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
    monomio
    Un monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y m es un número entero.
    polinomio
    Un monomio o dos o más monomios combinados por suma o resta es un polinomio.
    forma estándar de un polinomio
    Un polinomio está en forma estándar cuando los términos de un polinomio se escriben en orden descendente de grados.
    trinomio
    Un trinomio es un polinomio con exactamente tres términos.
    función polinómica
    Una función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

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