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6.2: Mayor Factor Común y Factor por Agrupación

  • Page ID
    51715
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Encuentra el mayor factor común de dos o más expresiones
    • Factor el mayor factor común de un polinomio
    • Factor por agrupación
    Esté Preparado

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Factor 56 en números primos.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de 18 y 24.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Multiplicar: \(−3a(7a+8b)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Encuentra el mayor factor común de dos o más expresiones

    Antes multiplicamos factores juntos para conseguir un producto. Ahora, vamos a revertir este proceso; comenzaremos con un producto y luego lo descompondremos en sus factores. La división de un producto en factores se denomina factoraje.

    8 veces 7 es 56. Aquí 8 y 7 son factores y 56 es el producto. Una flecha que apunta de 8 por 7 a 56 se etiqueta multiplicar. Una flecha que apunta de 56 a 8 veces 7 está etiquetada como factor. 2x paréntesis abiertos x más 3 paréntesis cercanos es igual a 2x al cuadrado más 6x. Aquí el lado izquierdo de la ecuación se etiqueta factores y el lado derecho se etiqueta productos.

    Hemos aprendido a factorizar números para encontrar el múltiplo menos común (MCM) de dos o más números. Ahora vamos a factorizar expresiones y encontrar el mayor factor común de dos o más expresiones. El método que utilizamos es similar al que usamos para encontrar la MCM.

    MAYOR FACTOR COMÚN

    El mayor factor común (FCM) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

    Resumimos los pasos que utilizamos para encontrar el mayor factor común.

    ENCONTRAR EL MAYOR FACTOR COMÚN (FCM) DE DOS EXPRESIONES.
    1. Factor cada coeficiente en números primos. Escribir todas las variables con exponentes en forma expandida.
    2. Enumere todos los factores, haciendo coincidir los factores comunes en una columna. En cada columna, enmarca los factores comunes.
    3. Derribar los factores comunes que comparten todas las expresiones.
    4. Multiplica los factores.

    El siguiente ejemplo nos mostrará los pasos para encontrar el mayor factor común de tres expresiones.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Encuentra el mayor factor común de \(21x^3,\space 9x^2,\space 15x\).

    Contestar
    Factor cada coeficiente en primos y escribe las variables con exponentes en forma expandida. Circula los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. .
    Multiplica los factores. GCF \(=3x\)
      El GCF de \(21x^3\), \(9x^2\) y \(15x\) es \(3x\).
    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el mayor factor común: \(25m^4,\space 35m^3,\space 20m^2.\)

    Contestar

    \(5m^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el mayor factor común: \(14x^3,\space 70x^2,\space 105x\).

    Contestar

    \(7x\)

    Factor el mayor factor común de un polinomio

    A veces es útil representar un número como producto de factores, por ejemplo, 12 como \(2·6\) o \(3·4\). En álgebra, también puede ser útil representar un polinomio en forma factorizada. Empezaremos con un producto, como \(3x^2+15x\), y terminaremos con sus factores, \(3x(x+5)\). Para ello aplicamos la Propiedad Distributiva “a la inversa”.

    Aquí declaramos la Propiedad Distributiva tal y como la vio en capítulos anteriores y “a la inversa”.

    PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

    Si a, by cson números reales, entonces

    \[a(b+c)=ab+ac \quad \text{and} \quad ab+ac=a(b+c)\nonumber\]

    La forma de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.

    Entonces, ¿cómo se utiliza la Propiedad Distributiva para factorizar un polinomio? ¡Acabas de encontrar el GCF de todos los términos y escribir el polinomio como producto!

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\): Cómo usar la propiedad distributiva para factorizar un polinomio

    Factor: \(8m^3−12m^2n+20mn^2\).

    Contestar

    El paso 1 es encontrar el FCM de todos los términos en el polinomio. GCF de 8 m en cubicado, 12 m cuadrado n y 20 mn al cuadrado es de 4m.El paso 1 es encontrar el FCM de todos los términos en el polinomio. GCF de 8 m en cubicado, 12 m cuadrado n y 20 mn al cuadrado es de 4m.En el paso 3, use la Propiedad Distributiva inversa para factorizar la expresión como paréntesis abiertos de 4m 2 m al cuadrado menos 3 mn más 5 n paréntesis de cierre al cuadrado.El paso 4 es verificar multiplicando los factores. Al multiplicar los factores, obtenemos el polinomio original.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Factor: \(9xy^2+6x^2y^2+21y^3\).

    Contestar

    \(3y^2(3x+2x^2+7y)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Factor: \(3p^3−6p^2q+9pq^3\).

    Contestar

    \(3p(p^2−2pq+3q^3)\)

    FACTOR EL MAYOR FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO
    1. Encuentra el GCF de todos los términos del polinomio.
    2. Reescribe cada término como un producto usando el GCF.
    3. Utilice la Propiedad Distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
    4. Verificar multiplicando los factores.
    FACTOR COMO SUENTIVO Y VERBO

    Usamos “factor” como sustantivo y verbo:

    \[\begin{array} {ll} \text{Noun:} &\hspace{50mm} 7 \text{ is a factor of }14 \\ \text{Verb:} &\hspace{50mm} \text{factor }3 \text{ from }3a+3\end{array}\nonumber\]

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Factor: \(5x^3−25x^2\).

    Contestar
    Encuentra el GCF de \(5x^3\) y \(25x^2\). .
        .
        .
    Reescribe cada término.   .
    Factor el FGC.   .

    Chequear:

    \[5x^2(x−5) \nonumber\]

    \[5x^2·x−5x^2·5 \nonumber\]

    \[5x^3−25x^2 \checkmark\nonumber\]

       
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Factor: \(2x^3+12x^2\).

    Contestar

    \(2x^2(x+6)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Factor: \(6y^3−15y^2\).

    Contestar

    \(3y^2(2y−5)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Factor: \(8x^3y−10x^2y^2+12xy^3\).

    Contestar
    El GCF de \(8x^3y,\space −10x^2y^2,\) y \(12xy^3\)
    es \(2xy\).
    .
      .
      .
    Reescribir cada término utilizando el GCF, \(2xy\). .
    Factor el FGC. .

    Chequear:

    \[2xy(4x^2−5xy+6y^2)\nonumber\]

    \[2xy·4x^2−2xy·5xy+2xy·6y^2\nonumber\]

    \[8x^3y−10x^2y^2+12xy^3\checkmark\nonumber\]

     
    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Factor: \(15x^3y−3x^2y^2+6xy^3\).

    Contestar

    \(3xy(5x^2−xy+2y^2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Factor: \(8a^3b+2a^2b^2−6ab^3\).

    Contestar

    \(2ab(4a^2+ab−3b^2)\)

    Cuando el coeficiente principal es negativo, se factoriza el negativo como parte del FCM.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Factor: \(−4a^3+36a^2−8a\).

    Contestar

    El coeficiente líder es negativo, por lo que el FVC será negativo.

      .
    Reescribir cada término utilizando el GCF, \(−4a\). .
    Factor el FGC. .

    Chequear:

    \[−4a(a^2−9a+2)\nonumber\]

    \[−4a·a^2−(−4a)·9a+(−4a)·2\nonumber\]

    \[−4a^3+36a^2−8a\checkmark\nonumber\]

     
    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Factor: \(−4b^3+16b^2−8b\).

    Contestar

    \(−4b(b^2−4b+2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Factor: \(−7a^3+21a^2−14a\).

    Contestar

    \(−7a(a^2−3a+2)\)

    Hasta ahora nuestros mayores factores comunes han sido los monomios. En el siguiente ejemplo, el mayor factor común es un binomio.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Factor: \(3y(y+7)−4(y+7)\).

    Contestar

    El FGC es el binomio \(y+7\).

        .
    Factor el GCF, \((y+7)\).   \((y+7)(3 y-4)\)
    Verifica por tu cuenta multiplicando.    
    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Factor: \(4m(m+3)−7(m+3)\).

    Contestar

    \((m+3)(4m−7)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Factor: \(8n(n−4)+5(n−4)\).

    Contestar

    \((n−4)(8n+5)\)

    Factor por Agrupación

    En ocasiones no hay un factor común de todos los términos de un polinomio. Cuando hay cuatro términos separamos el polinomio en dos partes con dos términos en cada parte. Después busca el GCF en cada parte. Si el polinomio se puede factorizar, encontrará un factor común emerge de ambas partes. No todos los polinomios pueden ser factorizados. Al igual que algunos números son primos, algunos polinomios son primos.

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\): Cómo factorizar un polinomio por agrupación

    Factor por agrupación: \(xy+3y+2x+6\).

    Contestar

    El paso 1 es agrupar los términos con factores comunes. No hay mayor factor común en todos los cuatro términos de xy más 3y más 2x más 6. Entonces, separe los dos primeros términos de los dos segundos.El paso 2 es factorizar el factor común en cada grupo. Al factorizar el GCF de los primeros 2 términos, obtenemos y paréntesis abiertos x más 3 paréntesis de cierre más 2x más 6. Factorizando el GCF a partir de los segundos 2 términos, obtenemos y paréntesis abiertos x más 3 paréntesis de cierre más 2 paréntesis abiertos x más 3 paréntesis de cierre.El paso 3 es factorizar el factor común a partir de la expresión. Observe que cada término tiene un factor común de x más 3. Al factorizar esto, obtenemos paréntesis abiertos x más 3 paréntesis de cierre paréntesis abiertos y más 2 paréntesis de cierreEl paso 4 es verificar multiplicando las expresiones para obtener el resultado xy más 3y más 2x más 6.

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Factor por agrupación: \(xy+8y+3x+24\).

    Contestar

    \((x+8)(y+3)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Factor por agrupación: \(ab+7b+8a+56\).

    Contestar

    \((a+7)(b+8)\)

    FACTOR POR AGRUPACIÓN.
    1. Términos grupales con factores comunes.
    2. Factor fuera del factor común en cada grupo.
    3. Factor el factor común a partir de la expresión.
    4. Verificar multiplicando los factores.
    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Factor por agrupación: ⓐ \(x^2+3x−2x−6\)\(6x^2−3x−4x+2\).

    Contestar


    \(\begin{array} {ll} \text{There is no GCF in all four terms.} &x^2+3x−2x−6 \\ \text{Separate into two parts.} &x^2+3x\quad −2x−6 \\ \begin{array} {l} \text{Factor the GCF from both parts. Be careful} \\ \text{with the signs when factoring the GCF from} \\ \text{the last two terms.} \end{array} &x(x+3)−2(x+3) \\ \text{Factor out the common factor.} &(x+3)(x−2) \\ \text{Check on your own by multiplying.} & \end{array}\)


    \(\begin{array} {ll} \text{There is no GCF in all four terms.} &6x^2−3x−4x+2 \\ \text{Separate into two parts.} &6x^2−3x\quad −4x+2\\ \text{Factor the GCF from both parts.} &3x(2x−1)−2(2x−1) \\ \text{Factor out the common factor.} &(2x−1)(3x−2) \\ \text{Check on your own by multiplying.} & \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Factor por agrupación: ⓐ \(x^2+2x−5x−10\)\(20x^2−16x−15x+12\).

    Contestar

    \((x−5)(x+2)\)
    \((5x−4)(4x−3)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Factor por agrupación: ⓐ \(y^2+4y−7y−28\)\(42m^2−18m−35m+15\).

    Contestar

    \((y+4)(y−7)\)
    \((7m−3)(6m−5)\)

    Conceptos Clave

    • Cómo encontrar el mayor factor común (FCM) de dos expresiones.
      1. Factor cada coeficiente en números primos. Escribir todas las variables con exponentes en forma expandida.
      2. Enumere todos los factores, haciendo coincidir los factores comunes en una columna. En cada columna, enmarca los factores comunes.
      3. Derribar los factores comunes que comparten todas las expresiones.
      4. Multiplica los factores.
    • Propiedad Distributiva: Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, entonces

      \[a(b+c)=ab+ac\quad \text{and}\quad ab+ac=a(b+c)\nonumber\]


      La forma de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.
    • Cómo factorizar el mayor factor común a partir de un polinomio.
      1. Encuentra el GCF de todos los términos del polinomio.
      2. Reescribe cada término como un producto usando el GCF.
      3. Utilice la Propiedad Distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
      4. Verificar multiplicando los factores.
    • Factor como sustantivo y verbo: Usamos “factor” tanto como sustantivo como verbo.

      \[\begin{array} {ll} \text{Noun:} &\quad 7 \text{ is a factor of } 14\\ \text{Verb:} &\quad \text{factor }3 \text{ from }3a+3\end{array}\nonumber\]

    • Cómo factorizar por agrupación.
      1. Términos grupales con factores comunes.
      2. Factor fuera del factor común en cada grupo.
      3. Factor el factor común a partir de la expresión.
      4. Verificar multiplicando los factores.

    Glosario

    factoraje
    La división de un producto en factores se denomina factoraje.
    mayor factor común
    El mayor factor común (FCM) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

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