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6.6: Ecuaciones polinómicas

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    51712
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted podrá:

    • Utilice la propiedad Zero Product
    • Resuelve ecuaciones cuadráticas factorizando
    • Resolver ecuaciones con funciones polinómicas
    • Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones polinómicas

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Resolver: \(5y−3=0\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Factor completamente: \(n^3−9n^2−22n\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Si \(f(x)=8x−16\), encuentra \(f(3)\) y resuelve \(f(x)=0\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Hemos dedicado un tiempo considerable a aprender a factorizar polinomios. Ahora veremos las ecuaciones polinómicas y las resolveremos usando factoring, si es posible.

    Una ecuación polinómica es una ecuación que contiene una expresión polinómica. El grado de la ecuación polinómica es el grado del polinomio.

    ECUACIÓN POLINOMIAL

    Una ecuación polinómica es una ecuación que contiene una expresión polinómica.

    El grado de la ecuación polinómica es el grado del polinomio.

    Ya hemos resuelto ecuaciones polinómicas de grado uno. Las ecuaciones polinómicas de grado uno son ecuaciones lineales son de la forma \(ax+b=c\).

    Ahora vamos a resolver ecuaciones polinómicas de grado dos. Una ecuación polinómica de grado dos se llama ecuación cuadrática. A continuación se enumeran algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

    \[x^2+5x+6=0 \qquad 3y^2+4y=10 \qquad 64u^2−81=0 \qquad n(n+1)=42 \nonumber\]

    La última ecuación no parece tener la variable al cuadrado, pero cuando simplificamos la expresión de la izquierda obtendremos \(n^2+n\).

    La forma general de una ecuación cuadrática es \(ax^2+bx+c=0\), con \(a\neq 0\). (Si \(a=0\), entonces \(0·x^2=0\) y nos quedamos sin término cuadrático.)

    ECUACIÓN CUADRATICA

    Una ecuación de la forma \(ax^2+bx+c=0\) se llama ecuación cuadrática.

    \[a,b,\text{ and }c\text{ are real numbers and }a\neq 0\nonumber\]

    Para resolver ecuaciones cuadráticas necesitamos métodos diferentes a los que usamos para resolver ecuaciones lineales. Vamos a ver un método aquí y luego varios otros en un capítulo posterior.

    Utilice la propiedad Zero Product

    Primero resolveremos algunas ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad de Producto Cero. The Zero Product Property dice que si el producto de dos cantidades es cero, entonces al menos una de las cantidades es cero. La única forma de conseguir un producto igual a cero es multiplicando por cero en sí mismo.

    PRODUCTO CERO PROPIEDAD

    Si \(a·b=0\), entonces cualquiera \(a=0\) \(b=0\) o ambos.

    Ahora utilizaremos la Propiedad de Producto Cero, para resolver una ecuación cuadrática.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\): Cómo resolver una ecuación cuadrática usando la propiedad de producto cero

    Resolver: \((5n−2)(6n−1)=0\).

    Responder

    La ecuación es paréntesis abiertos 5n menos 2 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 6n menos 1 paréntesis de cierre es igual a 0. El producto es igual a cero, por lo que al menos un factor debe ser igual a cero. El paso 1 se establece cada factor igual a cero. Entonces, 5n menos 2 es igual a 0 y 6n menos 1 es igual a 0.El paso 2 es resolver las ecuaciones lineales. Entonces, obtenemos n igual a 2 por 5 y n igual a 1 por 6.El paso 3 es verificar sustituyendo cada solución por separado en la ecuación original.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Resolver: \((3m−2)(2m+1)=0\).

    Responder

    \(m=\frac{2}{3},\space m=−\frac{1}{2}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Resolver: \((4p+3)(4p−3)=0\).

    Responder

    \(p=−\frac{3}{4},\space p=\frac{3}{4}\)

    USE LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO.
    1. Establezca cada factor igual a cero.
    2. Resuelve las ecuaciones lineales.
    3. Chequear.

    Resolver ecuaciones cuadráticas por factoraje

    El Zero Product Property funciona muy bien para resolver ecuaciones cuadráticas. La ecuación cuadrática debe ser factorizada, con cero aislado en un lado. Por lo que estamos seguros de comenzar con la ecuación cuadrática en forma estándar, \(ax^2+bx+c=0\). Entonces factorizamos la expresión de la izquierda.

    Resolver: \(2y^2=13y+45\).

    Responder

    La ecuación es 2 y al cuadrado es igual a 13y más 45. El paso 1 es escribirlo en forma estándar a x al cuadrado más bx más c. Así que tenemos 2 y al cuadrado menos 13y menos 45 es igual a 0.El paso 2 es factorizar la expresión cuadrática. Entonces tenemos 2y más 5, y menos 9 es igual a 0.El paso 3 es usar la propiedad de producto cero. Estableciendo cada factor igual a cero, tenemos dos ecuaciones lineales: 2y más 5 es igual a 0 e y menos 9 es igual a 0.El paso 4 es resolver las ecuaciones lineales. Obtenemos, y es igual a menos 5 por 2 e y y es igual a 9.El paso 5 es verificar sustituyendo cada solución por separado en la ecuación original

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Resolver: \(3c^2=10c−8\).

    Responder

    \(c=2,\space c=\frac{4}{3}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Resolver: \(2d^2−5d=3\).

    Responder

    \(d=3,\space d=−12\)

    RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRATICA POR FACTORING.
    1. Escribir la ecuación cuadrática en forma estándar, \(ax^2+bx+c=0\).
    2. Factor de la expresión cuadrática.
    3. Utilice la Propiedad de Producto Cero.
    4. Resuelve las ecuaciones lineales.
    5. Chequear. Sustituir cada solución por separado en la ecuación original.

    Antes de factorizar, debemos asegurarnos de que la ecuación cuadrática esté en forma estándar .

    ¡Resolver ecuaciones cuadráticas por factoring hará uso de todas las técnicas de factoring que has aprendido en este capítulo! ¿Reconoces el patrón especial del producto en el siguiente ejemplo?

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resolver: \(169q^2=49\).

    Responder

    \(\begin{array} {ll} &169x^2=49 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &169x^2−49=0 \\ \text{Factor. It is a difference of squares.} &(13x−7)(13x+7)=0 \\ \text{Use the Zero Product Property to set each factor to }0. & \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {ll} 13x−7=0 &13x+7=0 \\ 13x=7 &13x=−7 \\ x=\frac{7}{13} &x=−\frac{7}{13} \end{array} \end{array}\)

    Chequear:

    Te dejamos el cheque a tu cargo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Resolver: \(25p^2=49\).

    Responder

    \(p=\frac{7}{5},p=−\frac{7}{5}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Resolver: \(36x^2=121\).

    Responder

    \(x=\frac{11}{6},x=−\frac{11}{6}\)

    En el siguiente ejemplo, se factoriza el lado izquierdo de la ecuación, pero el lado derecho no es cero. Para poder utilizar la Propiedad de Producto Cero, un lado de la ecuación debe ser cero. Multiplicaremos los factores y luego escribiremos la ecuación en forma estándar.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Resolver: \((3x−8)(x−1)=3x\).

    Responder

    \(\begin{array} {ll} &(3x−8)(x−1)=3x \\ \text{Multiply the binomials.} &3x^2−11x+8=3x \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−14x+8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(3x−2)(x−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {ll} 3x−2=0 &x−4=0 \\ 3x=2 &x=4 \\ x=\frac{2}{3} & \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Resolver: \((2m+1)(m+3)=12m\).

    Responder

    \(m=1,\space m=\frac{3}{2}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Resolver: \((k+1)(k−1)=8\).

    Responder

    \(k=3,\space k=−3\)

    En el siguiente ejemplo, cuando factorizemos la ecuación cuadrática obtendremos tres factores. Sin embargo el primer factor es una constante. Sabemos que ese factor no puede ser igual a 0.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Resolver: \(3x^2=12x+63\).

    Responder

    \(\begin{array} {ll} &3x^2=12x+63 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−12x−63=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &3(x^2−4x−21)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &3(x−7)(x+3)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {lll} 3\neq 0 &x−7=0 &x+3=0 \\ 3\neq 0 &x=7 &x=−3 \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Resolver: \(18a^2−30=−33a\).

    Responder

    \(a=−\frac{5}{2},a=\frac{2}{3}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Resolver: \(123b=−6−60b^2\)

    Responder

    \(b=−2,\space b=−\frac{1}{20}\)

    La Propiedad de Producto Cero también se aplica al producto de tres o más factores. Si el producto es cero, al menos uno de los factores debe ser cero. Podemos resolver algunas ecuaciones de grado mayor que dos usando la Propiedad de Producto Cero, al igual que resolvimos ecuaciones cuadráticas.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Resolver: \(9m^3+100m=60m^2\)

    Responder

    \(\begin{array} {ll} & 9m^3+100m=60m^2 \\ \text{Bring all the terms to one side so that the other side is zero.} &9m^3−60m^2+100m=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &m(9m^2−60m+100)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &m(3m−10)^2=0 \end{array}\\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {lll} m=0 &3m−10=0 &{}\\ m=0 &m=\frac{10}{3} & {} \end{array}\\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Resolver: \(8x^3=24x^2−18x\).

    Contestar

    \(x=0,\space x=\frac{3}{2}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Resolver: \(16y^2=32y^3+2y\).

    Contestar

    \(y=0,\space y=14\)

    Resolver ecuaciones con funciones polinómicas

    A medida que continúa nuestro estudio de las funciones polinómicas, muchas veces será importante saber cuándo la función tendrá cierto valor o qué puntos se encuentran en la gráfica de la función. Nuestro trabajo con la Propiedad de Producto Cero nos ayudará a encontrar estas respuestas.

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Para la función \(f(x)=x^2+2x−2\),

    ⓐ encontrar \(x\) cuando \(f(x)=6\)
    ⓑ encontrar dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

    Contestar


    \(\begin{array} {ll} &f(x)=x^2+2x−2 \\ \text{Substitute }6\text{ for }f(x). &6=x^2+2x−2 \\ \text{Put the quadratic in standard form.} &x^2+2x−8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=2 \end{array} \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ \begin{array} {lll} \quad &\hspace{3mm} f(x)=x^2+2x−2 &f(x)=x^2+2x−2 \\ \quad &f(−4)=(−4)^2+2(−4)−2 &f(2)=2^2+2·2−2 \\ \quad &f(−4)=16−8−2 &f(2)=4+4−2 \\ \quad &f(−4)=6\checkmark &f(2)=6\checkmark \end{array} & \end{array} \)

    ⓑ Desde \(f(−4)=6\) y \(f(2)=6\), los puntos \((−4,6)\) y \((2,6)\) se encuentran en la gráfica de la función.

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Para la función \(f(x)=x^2−2x−8\),

    ⓐ encontrar \(x\) cuando \(f(x)=7\)
    ⓑ Encuentra dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

    Contestar

    \(x=−3\) o \(x=5\)
    \((−3,7)\space (5,7)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Para la función \(f(x)=x^2−8x+3\),

    ⓐ encontrar \(x\) cuando \(f(x)=−4\)
    ⓑ Encuentra dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

    Contestar

    \(x=1\) o \(x=7\)
    \((1,−4)\space (7,−4)\)

    La Propiedad de Producto Cero también nos ayuda a determinar dónde está la función cero. Un valor de \(x\) donde está la función \(0\), se llama un cero de la función.

    CERO DE UNA FUNCIÓN

    Para cualquier función \(f\), si \(f(x)=0\), entonces \(x\) es un cero de la función.

    Cuando \(f(x)=0\), el punto \((x,0)\) es un punto en la gráfica. Este punto es una \(x\)-intercepción de la gráfica. A menudo es importante saber dónde la gráfica de una función cruza los ejes. Veremos algunos ejemplos más adelante.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Para la función \(f(x)=3x^2+10x−8\), busque

    ⓐ los ceros de la función,
    ⓑ cualquier \(x\)-interceptación de la gráfica de la función
    ⓒ cualquier \(y\)-intercepta de la gráfica de la función

    Contestar

    ⓐ Para encontrar los ceros de la función, necesitamos encontrar cuando el valor de la función es 0.
    \(\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Substitute }0\text{ for}f(x). &0=3x^2+10x−8 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(3x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &3x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=\frac{2}{3} \end{array} \end{array}\)

    ⓑ Una \(x\)intercepción ocurre cuando \(y=0\). Desde \(f(−4)=0\) y \(f(\frac{2}{3})=0\), los puntos \((−4,0)\) y \((\frac{2}{3},0)\) se encuentran en la gráfica. Estos puntos son \(x\)-intercepciones de la función.


    ⓒ A \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x=0\). Para encontrar los \(y\)-interceptos que necesitamos encontrar \(f(0)\).
    \(\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Find }f(0)\text{ by substituting }0\text{ for }x. &f(0)=3·0^2+10·0−8 \\ \text{Simplify.} &f(0)=−8 \end{array} \)
    Ya que \(f(0)=−8\), el punto \((0,−8)\) yace en la gráfica. Este punto es la \(y\)-intercepción de la función.

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Para la función \(f(x)=2x^2−7x+5\), busque

    ⓐ los ceros de la función
    ⓑ cualquier \(x\)-intercepta de la gráfica de la función
    ⓒ cualquier \(y\)-intercepta de la gráfica de la función.

    Contestar

    \(x=1\) o \(x=\frac{5}{2}\)
    \((1,0),\space (\frac{5}{2},0)\)\((0,5)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Para la función \(f(x)=6x^2+13x−15\), busque

    ⓐ los ceros de la función
    ⓑ cualquier \(x\)-intercepta de la gráfica de la función
    ⓒ cualquier \(y\)-intercepta de la gráfica de la función.

    Contestar

    \(x=−3\) o \(x=\frac{5}{6}\)
    \((−3,0),\space (\frac{5}{6},0)\)\((0,−15)\)

    Resolver Aplicaciones Modeladas por Ecuaciones Polinómicas

    La estrategia de resolución de problemas que usamos anteriormente para aplicaciones que se traducen a ecuaciones lineales funcionará igual de bien para aplicaciones que se traducen a ecuaciones polinómicas. Copiaremos la estrategia de resolución de problemas aquí para que podamos usarla como referencia.

    USAR UNA ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
    1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
    2. Identificar lo que estamos buscando.
    3. Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
    4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil replantear el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración inglesa en una ecuación algebraica.
    5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra apropiadas.
    6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Empezaremos con un problema numérico para conseguir práctica traduciendo palabras en una ecuación polinómica.

    Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

    El producto de dos enteros impares consecutivos es 323. Encuentra los enteros.

    Contestar

    \(\begin{array} {ll} \textbf{Step 1. Read }\text{the problem.} & \\ \textbf{Step 2. Identify }\text{what we are looking for.} &\text{We are looking for two consecutive integers.} \\ \textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.} &\text{Let } n=\text{ the first integer.} \\ &n+2= \text{ next consecutive odd integer} \\ \begin{array} {l} \textbf{Step 4. Translate }\text{into an equation. Restate the}\hspace{20mm} \\ \text{problem in a sentence.} \end{array} &\begin{array} {l} \text{The product of the two consecutive odd} \\ \text{integers is }323. \end{array} \\ &\quad n(n+2)=323 \\ \textbf{Step 5. Solve }\text{the equation.} n^2+2n=323 \\ \text{Bring all the terms to one side.} &n^2+2n−323=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(n−17)(n+19)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve the equations.} \end{array} &\begin{array} {ll} n−17=0 \hspace{10mm}&n+19=0 \\ n=17 &n=−19 \end{array} \end{array} \)
    Hay dos valores para \(n\) eso son soluciones a este problema. Por lo que hay dos conjuntos de enteros impares consecutivos que funcionarán.

    \(\begin{array} {ll} \text{If the first integer is } n=17 \hspace{60mm} &\text{If the first integer is } n=-19 \\ \text{then the next odd integer is} &\text{then the next odd integer is} \\ \hspace{53mm} n+2 &\hspace{53mm} n+2 \\ \hspace{51mm} 17+2 &\hspace{51mm} -19+2 \\ \hspace{55mm} 19 &\hspace{55mm} -17 \\ \hspace{51mm} 17,19 &\hspace{51mm} -17,-19 \\ \textbf{Step 6. Check }\text{the answer.} & \\ \text{The results are consecutive odd integers} & \\ \begin{array} {ll} 17,\space 19\text{ and }−19,\space −17. & \\ 17·19=323\checkmark &−19(−17)=323\checkmark \end{array} & \\ \text{Both pairs of consecutive integers are solutions.} & \\ \textbf{Step 7. Answer }\text{the question} &\text{The consecutive integers are }17, 19\text{ and }−19,−17. \end{array} \)

    Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

    El producto de dos enteros impares consecutivos es 255. Encuentra los enteros.

    Contestar

    \(−15,−17\) y \(15, 17\)

    Ejemplo \(\PageIndex{27}\)

    El producto de dos enteros impares consecutivos es 483 Encuentra los enteros.

    Contestar

    \(−23,−21\) y \(21, 23\)

    ¿Te sorprendió el par de enteros negativos que es una de las soluciones al ejemplo anterior? El producto de los dos enteros positivos y el producto de los dos enteros negativos dan resultados positivos.

    En algunas aplicaciones, las soluciones negativas resultarán del álgebra, pero no serán realistas para la situación.

    Ejemplo \(\PageIndex{28}\)

    Una recámara rectangular tiene un área de 117 pies cuadrados. El largo de la recámara es de cuatro pies más que el ancho. Encuentra el largo y ancho de la recámara.

    Contestar
    Paso 1. Leeel problema. En problemas que involucran figuras
    geométricas, un boceto puede ayudarte a visualizar
    la situación.
    .
    Paso 2. Identificalo que buscas. Estamos buscando el largo y ancho.
    Paso 3. Nombralo que estás buscando. Vamos \(w=\text{ the width of the bedroom}\).
    El largo es cuatro pies más que el ancho. \(w+4=\text{ the length of the garden}\)
    Paso 4. Traduciren una ecuación.  
    Reafirmar la información importante en una oración. El área de la recámara es de 117 pies cuadrados.
    Usa la fórmula para el área de un rectángulo. \(A=l·w\)
    Sustituto en las variables. \(117=(w+4)w\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación Distribuir primero. \(117=w^2+4w\)
    Consigue cero por un lado. \(117=w^2+4w\)
    Factor el trinomio. \(0=w^2+4w−117\)
    Utilice la Propiedad de Producto Cero. \(0=(w^2+13)(w−9)\)
    Resuelve cada ecuación. \(0=w+13\quad 0=w−9\)
    Al ser \(w\) el ancho de la recámara, no tiene
    sentido que sea negativo. Eliminamos ese valor para \(w\).
    \(\cancel{w=−13}\) \(\quad w=9\)
      \(w=9\) El ancho es de 9 pies.
    Encuentra el valor de la longitud. \(w+4\)
    \(9+4\)
    13 La longitud es de 13 pies.
    Paso 6. Consultala respuesta.
    ¿ Tiene sentido la respuesta?

    .
    Sí, esto tiene sentido.
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. El ancho de la recámara es de 9 pies y
    la longitud es de 13 pies.
    Ejemplo \(\PageIndex{29}\)

    Un letrero rectangular tiene un área de 30 pies cuadrados. El largo del signo es un pie más que el ancho. Encuentra el largo y ancho del letrero.

    Contestar

    El ancho es de 5 pies y la longitud es de 6 pies.

    Ejemplo \(\PageIndex{30}\)

    Un patio rectangular tiene área de 180 pies cuadrados. El ancho del patio es de tres pies menos que el largo. Encuentra el largo y ancho del patio.

    Contestar

    El largo del patio es de 12 pies y el ancho de 15 pies.

    En el siguiente ejemplo, utilizaremos el Teorema de Pitágoras \((a^2+b^2=c^2)\). Esta fórmula da la relación entre las piernas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

    En la figura se muestra un triángulo recto con el lado más corto a, el segundo lado es b y la hipotenusa c.

    Usaremos esta fórmula para en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{31}\)

    La vela de un barco tiene la forma de un triángulo recto como se muestra. La hipotenusa tendrá 17 pies de largo. La longitud de un lado será 7 pies menos que la longitud del otro lado. Encuentra las longitudes de los lados de la vela.

    La figura muestra un triángulo recto con el lado más corto x, el segundo lado es x menos 7 y la hipotenusa 17.

    Contestar
    Paso 1. Leerel problema  
    Paso 2. Identificalo que buscas. Estamos buscando las longitudes de los
    lados de la vela.
    Paso 3. Nombralo que estás buscando.
    Un lado es 7 menos que el otro.
    Vamos \(x=\text{ length of a side of the sail}\).
    \(x−7=\text{ length of other side}\)
    Paso 4. Traduciren una ecuación. Dado que se trata de un
    triángulo rectángulo podemos usar el Teorema de Pitágoras.
    \(a^2+b^2=c^2\)
    Sustituto en las variables. \(x^2+(x−7)^2=17^2\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación
    Simplificar.
    \(x^2+x^2−14x+49=289\)
      \(2x^2−14x+49=289\)
    Es una ecuación cuadrática, así que consigue cero en un lado. \(2x^2−14x−240=0\)
    Factor el mayor factor común. \(2(x^2−7x−120)=0\)
    Factor el trinomio. \(2(x−15)(x+8)=0\)
    Utilice la Propiedad de Producto Cero. \(2\neq 0\quad x−15=0\quad x+8=0\)
    Resolver. \(2\neq 0\quad x=15\quad x=−8\)
    Ya que \(x\) es un lado del triángulo, \(x=−8\) no tiene
    sentido.
    \(2\neq 0\quad x=15\quad \cancel{x=−8}\)
    Encuentra la longitud del otro lado.  
    Si la longitud de un lado es
    entonces la longitud del otro lado es
    .
    .
    .
    8 es la longitud del otro lado.
    Paso 6. Consultala respuesta en el problema
    ¿Tienen sentido estos números?

    .
     
    Paso 7. Contesta la pregunta Los lados de la vela son de 8, 15 y 17 pies.
    Ejemplo \(\PageIndex{32}\)

    Justine quiere poner una baraja en la esquina de su patio trasero en forma de triángulo recto. La longitud de un lado de la cubierta es 7 pies más que el otro lado. La hipotenusa es de 13. Encuentra las longitudes de los dos lados de la cubierta.

    Contestar

    5 pies y 12 pies

    Ejemplo \(\PageIndex{33}\)

    Un jardín de meditación tiene la forma de un triángulo recto, con una pierna de 7 pies. El largo de la hipotenusa es uno más que el largo de la otra pierna. Encuentra las longitudes de la hipotenusa y la otra pierna.

    Contestar

    24 pies y 25 pies

    El siguiente ejemplo utiliza la función que da la altura de un objeto como una función del tiempo cuando se lanza desde 80 pies sobre el suelo.

    Ejemplo \(\PageIndex{34}\)

    Dennis va a lanzar su bola de goma elástica hacia arriba desde lo alto de un edificio del campus. Cuando lanza la pelota de goma desde 80 pies sobre el suelo, la función \(h(t)=−16t^2+64t+80\) modela la altura, \(h\), de la pelota por encima del suelo en función del tiempo, \(t\). Encuentra:

    ⓐ los ceros de esta función los cuales nos dicen cuando la pelota golpea el suelo
    ⓑ cuando la pelota estará a 80 pies sobre el suelo
    ⓒ la altura de la pelota a \(t=2\) segundos.

    Contestar

    ⓐ Los ceros de esta función se encuentran resolviendo \(h(t)=0\). Esto nos dirá cuándo golpeará el balón al suelo.
    \(\begin{array} {ll} &h(t)=0 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16. &−16(t^2−4t−5)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &−16(t−5)(t+1)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {ll} t−5=0 &t+1=0 \\ t=5 &t=−1 \end{array} \end{array} \)

    El resultado nos \(t=5\) dice que la pelota golpeará el suelo 5 segundos después de que sea lanzada. Dado que el tiempo no puede ser negativo, \(t=−1\) se descarta el resultado.

    ⓑ La pelota estará a 80 pies por encima del suelo cuando \(h(t)=80\).
    \(\begin{array} {ll} &h(t)=80 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=80 \\ \text{Subtract 80 from both sides.} &−16t^2+64t=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16t. &−16t(t−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.}\end{array} &\begin{array} {ll} −16t=0 &t−4=0 \\ t=0 &t=4 \end{array} \\ &\text{The ball will be at 80 feet the moment Dennis} \\ &\text{tosses the ball and then 4 seconds later, when} \\ &\text{the ball is falling.} \end{array} \)

    ⓒ Para encontrar la bola de altura en \(t=2\) segundos encontramos \(h(2)\).
    \(\begin{array} {ll} &h(t)=−16t^2+64t+80 \\ \text{To find }h(2)\text{ substitute }2\text{ for }t. &h(2)=−16(2)^2+64·2+80 \\ \text{Simplify.} &h(2)=144 \\ &\text{After 2 seconds, the ball will be at 144 feet.} \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{35}\)

    Genevieve va a lanzar una roca desde lo alto un sendero con vista al océano. Cuando lanza la roca hacia arriba desde 160 pies sobre el océano, la función \(h(t)=−16t^2+48t+160\) modela la altura \(h\),, de la roca sobre el océano en función del tiempo, \(t\). Encuentra:

    ⓐ los ceros de esta función que nos dicen cuándo la roca golpeará el océano
    ⓑ cuando la roca estará a 160 pies sobre el océano.
    ⓒ la altura de la roca en \(t=1.5\) segundos.

    Contestar

    ⓐ 5 ⓑ 0; 3 ⓒ 196

    Ejemplo \(\PageIndex{36}\)

    Calib va a tirar su centavo de la suerte desde su balcón en un crucero. Cuando lanza el centavo hacia arriba desde 128 pies sobre el suelo, la función \(h(t)=−16t^2+32t+128\) modela la altura \(h\),, del centavo sobre el océano en función del tiempo, \(t\). Encuentra:

    ⓐ los ceros de esta función que es cuando el centavo golpeará el océano
    ⓑ cuando el centavo estará a 128 pies sobre el océano.
    ⓒ la altura del centavo estará en \(t=1\) segundos que es cuando el centavo estará en su punto más alto.

    Contestar

    ⓐ 4 ⓑ 0; 2 ⓒ 144

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    Conceptos Clave

    • Ecuación polinómica: Una ecuación polinómica es una ecuación que contiene una expresión polinómica. El grado de la ecuación polinómica es el grado del polinomio.
    • Ecuación cuadrática: Una ecuación de la forma \(ax^2+bx+c=0\) se llama ecuación cuadrática.

      \[a,b,c\text{ are real numbers and } a\neq 0\nonumber\]

    • Propiedad cero del producto: Si \(a·b=0\), entonces uno \(a=0\) \(b=0\) o ambos.
    • Cómo utilizar la propiedad Zero Product
      1. Establezca cada factor igual a cero.
      2. Resuelve las ecuaciones lineales.
      3. Chequear.
    • Cómo resolver una ecuación cuadrática por factoring.
      1. Escribir la ecuación cuadrática en forma estándar, \(ax^2+bx+c=0\).
      2. Factor de la expresión cuadrática.
      3. Utilice la Propiedad de Producto Cero.
      4. Resuelve las ecuaciones lineales.
      5. Chequear. Sustituir cada solución por separado en la ecuación original.
    • Cero de una Función: Para cualquier función \(f\), si \(f(x)=0\), entonces \(x\) es un cero de la función.
    • Cómo utilizar una estrategia de resolución de problemas para resolver problemas de palabras.
      1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
      2. Identificar lo que estamos buscando.
      3. Nombra lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
      4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil replantear el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración inglesa en una ecuación algebraica.
      5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra apropiadas.
      6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una frase completa.

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