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7.6: Resolver aplicaciones con ecuaciones racionales

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    51798
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    Objetivos de aprendizaje
    • Resuelve proporciones
    • Resolver aplicaciones de figuras similares
    • Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
    • Resolver aplicaciones de trabajo
    • Resolver problemas de variación directa
    • Resolver problemas de variación inversa
    Nota

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Ejemplo 2.2.13. Ejemplo 2.5.13. Ejemplo 2.2.9.

    Resuelve Proporciones

    Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se llama proporción.

    Proporción

    Una proporción es una ecuación de la forma \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), donde \(b \neq 0, d \neq 0\).

    La proporción se lee “\(a\) es a \(b\) como \(c\) es a” \(d\).

    La ecuación \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\) es una proporción porque las dos fracciones son iguales. En la proporción \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\) se lee “1 es a 2 como 4 es a 8”.

    Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el LCD para borrar las fracciones y luego resolver la ecuación resultante.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Resolver: \(\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}\).

    Solución

    \[\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}, \quad n \neq-14 \nonumber \]

    Multiplica ambos lados por LCD.

    \[7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \nonumber \]

    Eliminar los factores comunes en cada lado.

    \[7 n=5(n+14) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[7 n=5 n+70 \nonumber \]

    Resolver para \(n\).

    \[\begin{aligned} 2n&=70\\ n&=35 \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear.

    \[\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \nonumber \]

    Sustituto \(n=35\)

    \[\dfrac{35}{35+14} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]

    Simplificar.

    \[\dfrac{35}{49} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]

    Mostrar factores comunes.

    \[\dfrac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]

    Simplificar.

    \[\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}\; \surd \nonumber \]

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Resuelva la proporción: \(\dfrac{y}{y+55}=\dfrac{3}{8}\).

    Responder

    \(y=33\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Resuelva la proporción: \(\dfrac{z}{z-84}=-\dfrac{1}{5}\).

    Responder

    \(z=14\)

    Observe en el último ejemplo que cuando despejamos las fracciones multiplicando por el LCD, el resultado es el mismo que si tuviéramos multiplicado en cruz.

    \[\begin{aligned} \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7n=5(n+14) \quad \quad \quad 7n=5(n+14) \end{aligned} \nonumber \]

    Para cualquier proporción, \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), obtenemos el mismo resultado cuando despejamos las fracciones multiplicando por el LCD que cuando multiplicamos de manera cruzada.

    \[\begin{aligned} \dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d} \quad \quad \quad \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \\ bd\left(\dfrac{a}{b}=\frac{c}{d}\right) bd \quad \quad \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \\ ad =bc \quad \quad \quad ad=bc \end{aligned} \nonumber \]

    Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones Pero cuando configuramos la proporción, debemos asegurarnos de tener las unidades correctas: las unidades en los numeradores deben coincidir entre sí y las unidades en los denominadores también deben coincidir entre sí.

    Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras del peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de acetaminofén le recetará su médico?

    Solución

    Identificar lo que se nos pide encontrar, y elegir una variable para representarlo.

    ¿Cuántos ml de acetaminofén recetará el médico?

    Deja \(a=ml\) de acetaminofén.

    Escribe una frase que dé la información para encontrarla.

    Si se prescriben 5 ml por cada 25 libras, ¿cuánto se recetará por 80 libras?

    Traducir en una proporción: tenga cuidado con las unidades.

    Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha. Nuestra desigualdad está en esta forma.

    \[\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber \]

    Paso 2. Determinar los puntos críticos, los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.

    La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde \(x-1=0\) cuándo \(x=1\), entonces 1 es un punto crítico. La expresión racional será indefinida cuando el denominador sea cero. Desde \(x+3=0\) cuándo \(x=-3\), entonces -3 es un punto crítico.

    Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    Paso 4. Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente.

    Use valores en cada intervalo para determinar el valor de cada factor en el intervalo. En el intervalo (-3,1), cero es un buen valor a probar. Por ejemplo, cuando \(x=0\) entonces \(x-1=-1\) y \(x+3=3\) El factor \(x-1\) se marca negativo y \(x+3\) marcado positivo. Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca negativo en ese intervalo.

    Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.

    Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los números en los intervalos \((-\infty,-3)\) y \((1, \infty)\) son soluciones. Dado que 3 debe excluirse ya que hace que la expresión racional sea 0, no podemos incluirla en la solución. Podemos incluir 1 en nuestra solución.

    \[(-\infty,-3) \cup[1, \infty) \nonumber \]

    Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, 400. Eliminar los factores comunes en cada lado. Simplifica, pero no multipliques por la izquierda. Observe cuál será el siguiente paso.

    \[16 \cdot 5=5 a \nonumber \]

    Resolver para \(a\).

    \[\begin{aligned} \dfrac{16 \cdot 5}{5}&=\dfrac{5 a}{5}\\ 16&=a \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear. ¿Es razonable la respuesta? Escribe una oración completa.

    El pediatra le recetaría 16 ml de acetaminofén a Zoe.

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofén recetará el médico a Emilia, quien pesa 60 libras?

    Responder

    El pediatra prescribirá 12 ml de acetaminofén a Emilia.

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras prescriben 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre prescribirá el pediatra?

    Responder

    El pediatra le recetará 180 mg de reductor de fiebre a Isabella.

    Resolver aplicaciones de figuras similares

    Cuando encoge o agrades una foto en un teléfono o tableta, descubres una distancia en un mapa, o usas un patrón para construir una estantería o coser un vestido, estás trabajando con figuras similares. Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes tienen la misma relación.

    Figuras Similares

    Dos figuras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma relación.

    Por ejemplo, los dos triángulos en la Figura a continuación son similares. Cada lado de \(\Delta ABC\) es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de \(\Delta XYZ\).

    Esto se resume en la Propiedad de Triángulos Similares.

    Propiedad de Triángulos Similares

    Si \(\Delta ABC\) es similar a \(\Delta XYZ\), entonces su medida de ángulo correspondiente son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma relación.

    Para resolver aplicaciones con figuras similares seguiremos la Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones de Geometría que usamos anteriormente.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    En un mapa, San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de la izquierda abajo representa el triángulo formado por las ciudades en el mapa. Si la distancia real de Los Ángeles a Las Vegas es de 270 millas, encuentra la distancia de Los Ángeles a San Francisco.

    Solución

    Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales.

    Lee el problema. Dibuja las figuras y rótulo con la información dada. Las cifras se muestran arriba.

    Identifica lo que buscamos: la distancia real de Los Ángeles a San Francisco

    Nombra las variables: Let \(x\) = distancia de Los Ángeles a San Francisco.

    Traducir en una ecuación. Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales. Haremos los numeradores “millas” y los denominadores “pulgadas”.

    \[$\dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}$ \nonumber \]

    Resuelve la ecuación.

    \[\begin{aligned} 1.3\left(\dfrac{x}{1.3}\right)&=1.3\left(\dfrac{270}{1}\right) \\ x&=351 \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear. En el mapa, la distancia de Los Ángeles a San Francisco es más que la distancia de Los Ángeles a Las Vegas. Ya que 351 es más de 270 la respuesta tiene sentido.

    Comprobar \(x=351\) en la proporción original. Usa una calculadora.

    \[\begin {aligned} \dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{351 \text { miles }}{1.3 \text { inches }} &\overset{?}{=} \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    Responda a la pregunta: La distancia entre Los Ángeles y San Francisco es de 351 millas.

    En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de la izquierda abajo representa el triángulo formado por las ciudades en el mapa. La distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas.

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Encuentra la distancia real de Seattle a Portland.

    Responder

    La distancia es de 150 millas.

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Encuentra la distancia real de Portland a Boise.

    Responder

    La distancia es de 350 millas.

    Podemos usar figuras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Tyler mide 6 pies de altura. A última hora de la tarde, su sombra medía 8 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Encuentra la altura del árbol.

    Solución

    Lee el problema y dibuja una figura. Estamos buscando \(h\), la altura del árbol.

    Usaremos triángulos similares para escribir una ecuación. El triángulo pequeño es similar al triángulo grande.

    \[\dfrac{h}{24}=\dfrac{6}{8} \nonumber \]

    Resuelve la proporción.

    \[\begin {aligned} 24\left(\dfrac{6}{8}\right)&=24\left(\dfrac{h}{24}\right)\\ 18&=h \end{aligned} \nonumber \]

    Simplificar. Chequear.

    La altura de Tyler es menor que la longitud de su sombra por lo que tiene sentido que la altura del árbol sea menor que la longitud de su sombra. Comprobar \(h=18\) en la proporción original.

    \[\begin{aligned} &\dfrac{6}{8}=\dfrac{h}{24}\\ &\dfrac{6}{8} \overset{?}{=} \dfrac{18}{24}\\ &\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Un poste telefónico proyecta una sombra que mide 50 pies de largo. Cerca, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra que mide 10 pies de largo. ¿A qué altura tiene el poste telefónico?

    Responder

    El poste telefónico mide 40 pies de altura.

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Un pino proyecta una sombra de 80 pies junto a un edificio de 30 pies de altura que proyecta una sombra de 40 pies. ¿A qué altura tiene el pino?

    Responder

    El pino mide 60 pies de altura.

    Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

    Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme utilizando la fórmula \(D=r t\) en capítulos anteriores. Utilizamos una tabla como la de abajo para organizar la información y llevarnos a la ecuación.

    \(\cdot\) Tiempo de la tarifa = Distancia
      \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia” class="lt-math-14671">    
      \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia” class="lt-math-14671">    

    La fórmula \(D=r t\) asume que los conocemos \(r\) y \(t\) y los usamos para encontrar \(D\). Si sabemos \(D\) \(r\) y necesitamos encontrar \(t\), resolveríamos la ecuación para \(t\) y obtendríamos la fórmula \(t=\dfrac{D}{r}\).

    También hemos explicado cómo volar con o contra el viento afecta la velocidad de un avión. Repasaremos esa idea en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Un avión puede volar 200 millas en un viento en contra de 30 mph en la misma cantidad de tiempo que toma volar 300 millas con un viento de cola de 30 mph. ¿Cuál es la velocidad del avión?

    Solución

    Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

    Llenamos el gráfico para organizar la información.

    Estamos buscando la velocidad del avión. Let \(r\) = la velocidad del avión.

    Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y así es la velocidad \(r + 30\).

    Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la velocidad es \(r − 30\).

    Escribe en las tarifas. Escribe en las distancias. Ya que \(D=r \cdot t\), resolvemos para \(t\) y obtenemos \(t=\dfrac{D}{r}\). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

    \(\cdot\) Tiempo de la tarifa = Distancia
    Viento en contra \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r-30\) \(\dfrac{200}{r-30}\) 200
    Tailwind \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r+30\) \(\dfrac{300}{r+30}\) 300

    Sabemos que los tiempos son iguales y así escribimos nuestra ecuación.

    \[\dfrac{200}{r-30}=\dfrac{300}{r+30} \nonumber \]

    Multiplicamos ambos lados por el LCD.

    \[(r+30)(r-30)\left(\frac{200}{r-30}\right)=(r+30)(r-30)\left(\frac{300}{r+30}\right) \nonumber \]

    Simplifique y resuelva.

    \[\begin{aligned} (r+30)(200)&=(r-30) 300 \\ 200 r+6000&=300 r-9000 \\ 15000&=100 r \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear.

    ¿Es \(150 \mathrm{mph}\) una velocidad razonable para un avión? Sí. Si el avión está viajando \(150 \mathrm{mph}\) y el viento lo está \(30 \mathrm{mph}\),

    \[\text { Tailwind } \quad 150+30=180 \mathrm{mph} \quad \dfrac{300}{180}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber \]

    \[\text { Headwind } 150-30=120 \mathrm{mph} \dfrac{200}{120}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber \]

    Los tiempos son iguales, por lo que comprueba. El avión viajaba \(150 \mathrm{mph}\).

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Link puede montar su bicicleta 20 millas en un viento en contra de 3 mph en la misma cantidad de tiempo que puede andar 30 millas con un viento de cola de 3 mph. ¿Cuál es la velocidad de ciclismo de Link?

    Contestar

    La velocidad de ciclismo de Link es de 15 mph.

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Danica puede navegar su bote 5 millas en un viento en contra de 7 mph en la misma cantidad de tiempo que puede navegar 12 millas con un viento de cola de 7 mph. ¿Cuál es la velocidad del barco de Danica sin viento?

    Contestar

    La velocidad del bote de Danica es de 17 mph.

    En el siguiente ejemplo, conoceremos el tiempo total resultante de viajar diferentes distancias a diferentes velocidades.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Jazmine entrenó durante 3 horas el sábado. Ella corrió 8 millas y luego en bicicleta 24 millas. Su velocidad en bicicleta es 4 mph más rápida que su velocidad de carrera. ¿Cuál es su velocidad de carrera?

    Solución

    Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

    Llenamos el gráfico para organizar la información. Estamos buscando la velocidad de carrera de Jazmine. Let \(r\) = Velocidad de carrera de Jazmine.

    Su velocidad en bicicleta es 4 millas más rápida que su velocidad de carrera. \(r + 4\) = su velocidad de ciclismo

    Se dan las distancias, ingréselas en el gráfico. Ya que \(D=r \cdot t\), resolvemos para \(t\) y obtenemos \(t=\dfrac{D}{r}\). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

    \(\cdot\) Tiempo de la tarifa = Distancia
    Ejecutar \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r\) \(\dfrac{8}{r}\) 8
    Bicicleta \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r+4\) \(\dfrac{24}{r+4}\) 24
      \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> 3  

    Escribe una frase de palabra: Su tiempo más el tiempo en bicicleta es de 3 horas.

    Traduce la oración para obtener la ecuación.

    \[\dfrac{8}{r}+\dfrac{24}{r+4}=3 \nonumber \]

    Resolver.

    \ [\ begin {alineado}
    r (r+4)\ left (\ dfrac {8} {r} +\ dfrac {24} {r+4}\ derecha) &=3\ cdot r (r+4)\\
    8 (r+4) +24 r &=3 r (r+4)\\
    8 r+32+24 r &=3 r^ {2} +12 r\\
    32+32 r &=3 r^ {2} +12 r\\
    0 &=3 r^ {2} -20 r-32\\
    0 & =( 3 r+ 4) (r-8)
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    \[\begin{array}{lc} {(3 r+4)=0} & {(r-8)=0} \\ \cancel{r=\dfrac{4}{3}} \quad & {r=8} \end{array} \nonumber \]

    Chequear.

    Una velocidad negativa no tiene sentido en este problema, también lo \(r=8\) es la solución.

    ¿Es 8 mph una velocidad de carrera razonable? Sí.

    Si la tasa de carrera de Jazmine es de 4, entonces su tasa de ciclismo \(r+4\),, que es \(8+4=12\).

    \[\text { Run } 8 \mathrm{mph} \quad \dfrac{8 \mathrm{miles}}{8 \mathrm{mph}}=1 \text { hour } \nonumber \]

    \[\text { Bike } 12 \text { mph } \quad \dfrac{24 \text { miles }}{12 \mathrm{mph}}=2 \text { hours } \nonumber \]

    \(y=\dfrac{k}{x}\)


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