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7.7: Resolver desigualdades racionales

  • Page ID
    51818
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje
    • Resolver desigualdades racionales
    • Resuelve una desigualdad con funciones racionales
    Esté Preparado

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Encuentra el valor de \(x-5\) cuando ⓐ \(x=6\)\(x=-3\)\(x=5\)
      Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 1.2.16.
    2. Resuelve: \(8-2 x<12\)
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.6.13.
    3. Escribir en notación de intervalo: \(-3 \leq x<5 \)
      Si se perdió este problema, revise Ejemplo 2.6.4.

    Resolver desigualdades racionales

    Aprendimos a resolver desigualdades lineales después de aprender a resolver ecuaciones lineales. Las técnicas eran muy similares con una gran excepción. Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de desigualdad se revirtió.

    Habiendo aprendido a resolver ecuaciones racionales ahora estamos listos para resolver desigualdades racionales. Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional.

    Desigualdad Racional

    Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional.

    Desigualdades como\(\quad \dfrac{3}{2 x}>1, \quad \dfrac{2 x}{x-3}<4, \quad \dfrac{2 x-3}{x-6} \geq x,\quad\) y \(\quad \dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{x^{2}} \leq \dfrac{3}{x}\quad \) son desigualdades racionales ya que cada una de ellas contiene una expresión racional.

    Cuando resolvamos una desigualdad racional, utilizaremos muchas de las técnicas que empleamos para resolver desigualdades lineales. Especialmente debemos recordar que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de desigualdad debe revertir.

    Otra diferencia es que debemos considerar cuidadosamente qué valor podría hacer indefinida la expresión racional y por lo tanto debe ser excluida.

    Cuando resolvemos una ecuación y el resultado es \(x=3\), sabemos que hay una solución, que es 3.

    Cuando resolvemos una desigualdad y el resultado es \(x>3\), sabemos que hay muchas soluciones. Gráficamos el resultado para ayudar mejor a mostrar todas las soluciones, y comenzamos con 3. Tres se convierte en un punto crítico y luego decidimos si sombrear a la izquierda o a la derecha del mismo. Los números a la derecha de 3 son mayores que 3, por lo que sombreamos a la derecha.

    Para resolver una desigualdad racional, primero debemos escribir la desigualdad con un solo cociente a la izquierda y 0 a la derecha.

    A continuación determinamos los puntos críticos a utilizar para dividir la línea numérica en intervalos. Un punto crítico es un número que hace que la expresión racional sea cero o indefinida.

    A continuación evaluaremos los factores del numerador y denominador, y encontraremos el cociente en cada intervalo. Esto identificará el intervalo, o intervalos, que contiene todas las soluciones de la desigualdad racional.

    Escribimos la solución en notación de intervalos teniendo cuidado de determinar si los puntos finales están incluidos.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0\)

    Solución

    Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha.

    Nuestra desigualdad está en esta forma. \[\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber \]

    Paso 2. Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.

    La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde \(x-1=0\) cuándo \(x=1\), entonces 1 es un punto crítico.

    La expresión racional quedará indefinida cuando el denominador sea cero. Desde \(x+3=0\) cuándo \(x=-3\), entonces -3 es un punto crítico.

    Los puntos críticos son 1 y -3.

    Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    La línea numérica se divide en tres intervalos:

    \[(-\infty,-3) \quad (-3,1) \quad (1,\infty) \nonumber \]

    Paso 4. Pruebe un valor en cada intervalo. Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente.

    Para encontrar el signo de cada factor en un intervalo, elegimos cualquier punto de ese intervalo y lo usamos como punto de prueba. Cualquier punto en el intervalo dará a la expresión el mismo signo, por lo que podemos elegir cualquier punto en el intervalo.

    \[\text { Interval }(-\infty,-3) \nonumber \]

    El número -4 está en el intervalo \((-\infty,-3)\). Prueba \(x=-4\) en la expresión en el numerador y el denominador.

    El numerador:

    \[\begin{array}{l} {x-1} \\ {-4-1} \\ {-5} \\ {\text {Negative}} \end{array} \nonumber \]

    El denominador:

    \[\begin{array}{l} {x+3} \\ {-4+3} \\ {-1} \\ {\text {Negative}} \end{array} \nonumber \]

    Por encima de la línea numérica, marque el factor \(x-1\) negativo y marque el factor \(x+3\) negativo.

    Dado que un negativo dividido por un negativo es positivo, marque el cociente positivo en el intervalo \((-\infty,-3)\)

    \[\text {Interval } (-3,1) \nonumber \]

    El número 0 está en el intervalo \((-3,1)\). Prueba \(x=0\).

    El numerador:

    \[\begin{array}{l} {x-1} \\ {0-1} \\ {-1} \\ {\text {Negative}} \end{array} \nonumber \]

    El denominador:

    \[\begin{array}{l} {x+3} \\ {0+3} \\ {3} \\ {\text {Positive}} \end{array} \nonumber \]

    Por encima de la línea numérica, marque el factor \(x-1\) negativo y marque \(x+3\) positivo.

    Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca negativo en el intervalo \((-3,1)\).

    \[\text {Interval }(1, \infty) \nonumber \]

    El número 2 está en el intervalo \((1, \infty)\). Prueba \(x=2\).

    El numerador:

    \[\begin{array}{l} {x-1} \\ {2-1} \\ {1} \\ {\text {Positive}} \end{array} \nonumber \]

    El denominador:

    \[\begin{array}{l} {x+3} \\ {2+3} \\ {5} \\ {\text {Positive}} \end{array} \nonumber \]

    Por encima de la línea numérica, marque el factor \(x-1\) positivo y marque \(x+3\) positivo.

    Dado que un positivo dividido por un positivo es positivo, marque el cociente positivo en el intervalo \((1, \infty)\).

    Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.

    Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los números en los intervalos \((-\infty,-3)\) y \((1, \infty) \)son soluciones.

    Pero ¿qué pasa con los puntos críticos?

    El punto crítico \(x=-3\) hace que el denominador sea 0, por lo que debe excluirse de la solución y lo marcamos con un paréntesis.

    El punto crítico \(x=1\) hace que toda la expresión racional sea 0. La desigualdad requiere que la expresión racional sea mayor o igual a. Entonces, 1 es parte de la solución y lo marcaremos con un soporte.

    Recordemos que cuando tenemos una solución compuesta por más de un intervalo utilizamos el símbolo de unión, \(\cup \), para conectar los dos intervalos. La solución en notación de intervalos es \((-\infty,-3) \cup[1, \infty)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{x-2}{x+4} \geq 0\)

    Responder

    \((-\infty,-4) \cup[2, \infty)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{x+2}{x-4} \geq 0\)

    Responder

    \((-\infty,-2] \cup(4, \infty)\)

    Resumimos los pasos para facilitar la referencia.

    Cómo resolver una desigualdad racional

    Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha.

    Paso 2. Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.

    Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    Paso 4. Pruebe un valor en cada intervalo. Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor del numerador y denominador en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente.

    Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.

    El siguiente ejemplo requiere que primero pongamos la desigualdad racional en la forma correcta.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{4 x}{x-6}<1\)

    Solución

    \[\dfrac{4 x}{x-6}<1 \nonumber \]

    Resta 1 para obtener cero a la derecha.

    \[\dfrac{4 x}{x-6}-1<0 \nonumber \]

    Reescribe 1 como fracción usando la pantalla LCD.

    \[\dfrac{4 x}{x-6}-\frac{x-6}{x-6}<0 \nonumber \]

    Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.

    \[\dfrac{4 x-(x-6)}{x-6}<0 \nonumber \]

    Simplificar.

    \[\dfrac{3 x+6}{x-6}<0 \nonumber \]

    Factor el numerador para mostrar todos los factores.

    \[\dfrac{3(x+2)}{x-6}<0 \nonumber \]

    Encuentra los puntos críticos.

    El cociente será cero cuando el numerador sea cero. El cociente es indefinido cuando el denominador es cero.

    \[\begin{array}{rlrl} {x+2} & {=0} & {x-6} & {=0} \\ {x} & {=-2} & {x} & {=6} \end{array} \nonumber \]

    Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    Pruebe un valor en cada intervalo.

    \((-\infty,-2)\) \((-2,6)\) \((6, \infty)\)
    \(x+2)\) \ ((-\ infty, -2)\)” style="vertical-align:middle;” class="lt-math-5164">

    x+2

    -3+2

    -1

    -

    \ ((-2,6)\)” style="vertical-align:middle;” class="lt-math-5164">

    x+2

    0+2

    2

    +

    \ ((6,\ infty)\)” style="vertical-align:middle;” class="lt-math-5164">

    x+2

    7+2

    9

    +

    \(x-6\) \ ((-\ infty, -2)\)” style="vertical-align:middle;” class="lt-math-5164">

    x-6

    -3-6

    -9

    -

    \ ((-2,6)\)” style="vertical-align:middle;” class="lt-math-5164">

    x-6

    0-6

    -6

    -

    \ ((6,\ infty)\)” style="vertical-align:middle;” class="lt-math-5164">

    x-6

    7-6

    1

    +

    Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente.

    Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Queremos que el cociente sea negativo, por lo que la solución incluye los puntos entre −2 y 6. Dado que la desigualdad es estrictamente menor que, los endpoints no están incluidos.

    Escribimos la solución en notación de intervalos como (−2, 6).

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{3 x}{x-3}<1\).

    Responder

    \(\left(-\dfrac{3}{2}, 3\right)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{3 x}{x-4}<2\).

    Responder

    \((-8,4)\)

    En el siguiente ejemplo, el numerador siempre es positivo, por lo que el signo de la expresión racional depende del signo del denominador.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{5}{x^{2}-2 x-15}>0\).

    Solución

    La desigualdad está en la forma correcta.

    \[\dfrac{5}{x^{2}-2 x-15}>0 \nonumber \]

    Factor el denominador.

    \[\dfrac{5}{(x+3)(x-5)}>0 \nonumber \]

    Encuentra los puntos críticos. El cociente es 0 cuando el numerador es 0. Dado que el numerador siempre es 5, el cociente no puede ser 0.

    El cociente será indefinido cuando el denominador sea cero.

    \[\begin{aligned} &(x+3)(x-5)=0\\ &x=-3, x=5 \end{aligned} \nonumber \]

    Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    Valores de prueba en cada intervalo. Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor del denominador en cada intervalo. Debajo de la línea numérica, mostrar el signo del cociente.

    Escribe la solución en notación de intervalos.

    \[(-\infty,-3) \cup(5, \infty) \nonumber \]

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{1}{x^{2}+2 x-8}>0\).

    Responder

    \((-\infty,-4) \cup(2, \infty)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{3}{x^{2}+x-12}>0 \).

    Responder

    \((-\infty,-4) \cup(3, \infty)\)

    El siguiente ejemplo requiere un poco de trabajo para ponerla en la forma necesaria.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{x^{2}}<\dfrac{5}{3 x}\).

    Solución

    \[\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{x^{2}}<\dfrac{5}{3 x} \nonumber \]

    Resta \(\dfrac{5}{3 x}\) para obtener cero a la derecha.

    \[\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{5}{3 x}<0 \nonumber \]

    Reescribe para obtener cada fracción con el LCD

    \[\dfrac{1 \cdot x^{2}}{3 \cdot x^{2}}-\dfrac{2 \cdot 3}{x^{2} \cdot 3}-\dfrac{5 \cdot x}{3 x-x}<0 \nonumber \]

    Simplificar.

    \[\dfrac{x^{2}}{3 x^{2}}-\dfrac{6}{3 x^{2}}-\dfrac{5 x}{3 x^{2}}<0 \nonumber \]

    Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.

    \[\dfrac{x^{2}-5 x-6}{3 x^{2}}<0 \nonumber \]

    Factor el numerador.

    \[\dfrac{(x-6)(x+1)}{3 x^{2}}<0 \nonumber \]

    Encuentra los puntos críticos.

    \[\begin{array}{rlrl} {3 x^{2}=0} && {x-6=0} && {x+1=0} \\ {x=0} && {x=6} && {x=-1} \end{array} \nonumber \]

    Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    Encima de la línea numérica se muestra el signo de cada factor en cada intervalo. Debajo de la línea numérica, mostrar el signo del cociente.

    Dado que, 0 está excluido, la solución son los dos \((-1,0) \cup(0,6)\) intervalos, \((-1,0)\) y \((0,6)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{x^{2}}<\dfrac{3}{x}\).

    Responder

    \((2,4)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{x^{2}}<\dfrac{3}{x}\).

    Responder

    \((3,6)\)

    Resuelve una desigualdad con funciones racionales

    Cuando se trabaja con funciones racionales, a veces es útil saber cuándo la función es mayor o menor que un valor particular. Esto conduce a una desigualdad racional.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Dada la función \(R(x)=\dfrac{x+3}{x-5}\), encuentra los valores de x que hacen que la función sea menor o igual a 0.

    Solución

    Queremos que la función sea menor o igual a 0.

    \[R(x) \leq 0 \nonumber \]

    Sustitúyase la expresión racional por \(R(x)\).

    \[\dfrac{x+3}{x-5} \leq 0 \quad x \neq 5 \nonumber \]

    Encuentra los puntos críticos.

    \[\begin{array}{rlrl} {x+3=0} && {x-5=0} \\ {x=-3} && {x=5} \end{array} \nonumber \]

    Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.

    Valores de prueba en cada intervalo. Encima de la línea numérica, muestre el signo de cada factor en cada intervalo. Debajo de la línea numérica, mostrar el signo del cociente. Escribe la solución en notación de intervalos. Ya que 5 está excluido nosotros, no lo incluimos en el intervalo.

    \[[-3,5) \nonumber \]

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Dada la función \(R(x)=\dfrac{x-2}{x+4}\), encuentra los valores de \(x\) que hacen que la función sea menor o igual a 0.

    Responder

    \((-4,2]\)

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Dada la función \(R(x)=\dfrac{x+1}{x-4}\), encuentra los valores de \(x\) que hacen que la función sea menor o igual a 0.

    Responder

    \([-1,4)\)

    En economía, la función \(C(x)\) se utiliza para representar el costo de producir \(x\) unidades de una mercancía. El costo promedio por unidad se puede encontrar \(C(x)\) dividiendo entre el número de artículos \(x\). Entonces, el costo promedio por unidad es\ (c (x) =\ dfrac {C (x)} {x}).

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    La función\(C(x)=10 x+3000\) representa el costo a producir \(x\), número de artículos. Encuentra:

    1. La función de costo promedio, \(c(x)\)
    2. Cuántos artículos se deben producir para que el costo promedio sea menor a $40.

    Solución

    1. \[C(x)=10 x+3000 \nonumber \]

    La función de costo promedio es \(c(x)=\dfrac{C(x)}{x})\). Para encontrar la función de costo promedio, divida la función de costo por \(x\).

    \[\begin{aligned} &c(x)=\dfrac{C(x)}{x}\\ &c(x)=\dfrac{10 x+3000}{x} \end{aligned} \nonumber \]

    La función de costo promedio es \(c(x)=\dfrac{10 x+3000}{x} \)

    1. Queremos que la función sea menor \(c(x)\) a 40.

    \[c(x)<40 \nonumber \]

    Sustituir la expresión racional forc (x).

    \[\dfrac{10 x+3000}{x}<40, \quad x \neq 0 \nonumber \]

    Resta 40 para obtener 0 a la derecha.

    \[\dfrac{10 x+3000}{x}-40<0 \nonumber \]

    Reescribe el lado izquierdo como un cociente encontrando el LCD y realizando la resta.

    \[\begin{aligned} \dfrac{10 x+3000}{x}-40\left(\dfrac{x}{x}\right) &<0\\ \dfrac{10 x+3000}{x}-\dfrac{40 x}{x} &<0\\ \dfrac{10 x+3000-40 x}{x} &<0 \\ \dfrac{-30 x+3000}{x} &<0 \end{aligned} \nonumber \]

    Factor el numerador para mostrar todos los factores.

    \[\begin{array}{ll} {\dfrac{-30(x-100)}{x}<0} \\ {-30(x-100)=0} && {x=0} \end{array} \nonumber \]

    Encuentra los puntos críticos.

    \[\begin{array}{rl} {-30 \neq 0} & {x-100=0} \\ &{x=100} \end{array} \nonumber \]

    Se deben producir más de 100 artículos para mantener el costo promedio por debajo de $40 por artículo.

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    La función\(C(x)=20 x+6000\) representa el costo a producir \(x\), número de artículos. Encuentra:

    1. Cuántos artículos se deben producir para que el costo promedio sea menor a $60.
    Responder
    1. \(c(x)=\dfrac{20 x+6000}{x}\)
    2. Se deben producir más de 150 artículos para mantener el costo promedio por debajo de $60 por artículo.
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    La función\(C(x)=5 x+900\) representa el costo a producir \(x\), número de artículos. Encuentra:

    1. Cuántos artículos se deben producir para que el costo promedio sea menor a $20.
    Responder
    1. \(c(x)=\dfrac{5 x+900}{x}\)
    2. Se deben producir más de 60 artículos para mantener el costo promedio por debajo de $20 por artículo.

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