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8.8: Uso de radicales en funciones

  • Page ID
    51732
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Evaluar una función radical
    • Encuentra el dominio de una función radical
    • Funciones radicales gráficas

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Resolver: \(1−2x≥0\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.50.
    2. Para \(f(x)=3x−4\), evaluar \(f(2),f(−1),f(0)\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.48.
    3. Gráfica \(f(x)=\sqrt{x}\). Establezca el dominio y el rango de la función en notación de intervalos.
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.56.

    Evaluar una función radical

    En esta sección extenderemos nuestro trabajo previo con funciones para incluir a los radicales. Si una función está definida por una expresión radical, la llamamos función radical.

    • La función de raíz cuadrada es \(f(x)=\sqrt{x}\).
    • La función de raíz cúbica es \(f(x)=\sqrt[3]{x}\).
    Definición \(\PageIndex{1}\): función radical

    Una función radical es una función que se define por una expresión radical.

    Para evaluar una función radical, encontramos el valor de \(f(x)\) para un valor dado de \(x\) tal como lo hicimos en nuestro trabajo anterior con funciones.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\), busque

    1. \(f(5)\)
    2. \(f(-2)\)

    Solución:

    a.

    \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\)

    A evaluar \(f(5)\), sustituya \(5\) por \(x\).

    \(f(5)=\sqrt{2 \cdot 5-1}\)

    Simplificar.

    \(f(5)=\sqrt{9}\)

    Toma la raíz cuadrada.

    \(f(5)=3\)

    b.

    \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\)

    A evaluar \(f(-2)\), sustituya \(-2\) por \(x\).

    \(f(-2)=\sqrt{2(-2)-1}\)

    Simplificar.

    \(f(-2)=\sqrt{-5}\)

    Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, la función no tiene un valor en \(x=-2\).

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt{3 x-2}\), busque

    1. \(f(6)\)
    2. \(f(0)\)
    Responder
    1. \(f(6)=4\)
    2. sin valor en \(x=0\)
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Para la función \(g(x)=\sqrt{5x+5}\), busque

    1. \(g(4)\)
    2. \(g(-3)\)
    Responder
    1. \(g(4)=5\)
    2. sin valor en \(f(-3)\)

    Seguimos el mismo procedimiento para evaluar raíces cúbicas.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Para la función \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\), busque

    1. \(g(14)\)
    2. \(g(-2)\)

    Solución:

    a.

    \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\)

    A evaluar \(g(14)\), sustituya \(14\) por \(x\).

    \(g(14)=\sqrt[3]{14-6}\)

    Simplificar.

    \(g(14)=\sqrt[3]{8}\)

    Toma la raíz cúbica.

    \(g(14)=2\)

    b.

    \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\)

    A evaluar \(g(-2)\), sustituya \(-2\) por \(x\).

    \(g(-2)=\sqrt[3]{-2-6}\)

    Simplificar.

    \(g(-2)=\sqrt[3]{-8}\)

    Toma la raíz cúbica.

    \(g(-2)=-2\)

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Para la función \(g(x)=\sqrt[3]{3 x-4}\), busque

    1. \(g(4)\)
    2. \(g(1)\)
    Responder
    1. \(g(4)=2\)
    2. \(g(1)=-1\)
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Para la función \(h(x)=\sqrt[3]{5 x-2}\), busque

    1. \(h(2)\)
    2. \(h(-5)\)
    Responder
    1. \(h(2)=2\)
    2. \(h(-5)=-3\)

    El siguiente ejemplo tiene cuartas raíces.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\), busque

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(-12)\)

    Solución:

    a.

    \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\)

    A evaluar \(f(4)\), sustituya \(4\) por \(x\).

    \(f(4)=\sqrt[4]{5 \cdot 4-4}\)

    Simplificar.

    \(f(4)=\sqrt[4]{16}\)

    Toma la cuarta raíz.

    \(f(4)=2\)

    b.

    \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\)

    A evaluar \(f(-12)\), sustituya \(-12\) por \(x\).

    \(f(-12)=\sqrt[4]{5(-12)-4}\)

    Simplificar.

    \(f(-12)=\sqrt[4]{-64}\)

    Dado que la cuarta raíz de un número negativo no es un número real, la función no tiene un valor en \(x=-12\).

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt[4]{3 x+4}\), busque

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(-1)\)
    Responder
    1. \(f(4)=2\)
    2. \(f(-1)=1\)
    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Para la función \(g(x)=\sqrt[4]{5 x+1}\), busque

    1. \(g(16)\)
    2. \(g(3)\)
    Responder
    1. \(g(16)=3\)
    2. \(g(3)=2\)

    Encuentra el dominio de una función radical

    Para encontrar el dominio y el rango de las funciones radicales, utilizamos nuestras propiedades de los radicales. Para un radical con un índice par, dijimos que el radicand tenía que ser mayor o igual a cero ya que las raíces pares de números negativos no son números reales. Para un índice impar, el radicand puede ser cualquier número real. Replanteamos las propiedades aquí para referencia.

    Propiedades de \(\sqrt[n]{a}\)

    Cuando \(n\) es un número par y:

    • \(a \geq 0\), entonces \(\sqrt[n]{a}\) es un número real.
    • \(a<0\), entonces no \(\sqrt[n]{a}\) es un número real.

    Cuando \(n\) es un número impar , \(\sqrt[n]{a}\) es un número real para todos los valores de \(a\).

    Entonces, para encontrar el dominio de una función radical con índice par, fijamos el radicando en mayor o igual a cero. Para un radical de índice impar, el radicando puede ser cualquier número real.

    Dominio de una función radical

    Cuando el índice del radical es parejo , el radicando debe ser mayor o igual a cero.

    Cuando el índice del radical es impar , el radicando puede ser cualquier número real.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(f(x)=\sqrt{3 x-4}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Solución:

    Ya que la función, \(f(x)=\sqrt{3 x-4}\) tiene un radical con un índice de \(2\), que es parejo, sabemos que el radicando debe ser mayor o igual a \(0\). Establecimos el radicand para que sea mayor o igual a \(0\) y luego resolvemos encontrar el dominio.

    Resolver.

    \(\begin{aligned} 3 x-4 & \geq 0 \\ 3 x & \geq 4 \\ x & \geq \frac{4}{3} \end{aligned}\)

    El dominio de \(f(x)=\sqrt{3 x-4}\) son todos los valores \(x \geq \frac{4}{3}\) y lo escribimos en notación de intervalo como \(\left[\frac{4}{3}, \infty\right)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(f(x)=\sqrt{6 x-5}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Responder

    \(\left[\frac{5}{6}, \infty\right)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(f(x)=\sqrt{4-5 x}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Responder

    \(\left(-\infty, \frac{4}{5}\right]\)

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Solución:

    Resolver la función, \(g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}\) tiene un radical con un índice de \(2\), que es parejo, sabemos que el radicando debe ser mayor o igual a \(0\).

    El radicando no puede ser cero ya que el numerador no es cero.

    \(\frac{6}{x-1}\) Para ser mayor que cero, el denominador debe ser positivo ya que el numerador es positivo. Sabemos que un positivo dividido por un positivo es positivo.

    Nos fijamos \(x-1>0\) y resolvemos.

    \(x-1>0\)

    Resolver.

    \(x>1\)

    También, como la radicanda es una fracción, debemos darnos cuenta de que el denominador no puede ser cero.

    Solucionamos \(x-1=0\) encontrar el valor que debe eliminarse del dominio.

    \(x-1=0\)

    Resolver.

    \(x=1\) por lo que \(x/neq 1\) en el dominio.

    Al juntar esto obtenemos el dominio es \(x>1\) y lo escribimos como \((1, \infty)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(f(x)=\sqrt{\frac{4}{x+3}}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Responder

    \((-3, \infty)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(h(x)=\sqrt{\frac{9}{x-5}}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Responder

    \((5, \infty)\)

    El siguiente ejemplo involucra una raíz cúbica y por lo tanto requerirá un pensamiento diferente.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Solución:

    Ya que la función, \(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\) tiene un radical con un índice de \(3\), que es impar, sabemos que el radicand puede ser cualquier número real. Esto nos dice que el dominio es cualquier número real. En notación de intervalos, escribimos \((-\infty, \infty)\).

    El dominio de \(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\) son todos los números reales y lo escribimos en notación de intervalos como \((-\infty, \infty)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(f(x)=\sqrt[3]{3 x^{2}-1}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Responder

    \((-\infty, \infty)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Encuentra el dominio de la función, \(g(x)=\sqrt[3]{5 x-4}\). Escribe el dominio en notación de intervalos.

    Responder

    \((-\infty, \infty)\)

    Funciones Radicales Gráficas

    Antes de graficar cualquier función radical, primero encontramos el dominio de la función. Para la función, \(f(x)=\sqrt{x}\), el índice es parejo, por lo que el radicando debe ser mayor o igual a \(0\).

    Esto nos dice que el dominio es \(x≥0\) y lo escribimos en notación de intervalo como \([0,∞)\).

    Anteriormente se utilizó el trazado de puntos para graficar la función, \(f(x)=\sqrt{x}\). Elegimos \(x\)-valores, los sustituimos en y luego creamos un gráfico. Note que elegimos puntos que son cuadrados perfectos con el fin de facilitar la toma de la raíz cuadrada.

    La figura muestra la gráfica de función raíz cuadrada en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de 0 a 7. El eje y va de 0 a 7. La función tiene un punto de partida en (0, 0) y pasa por los puntos (1, 1) y (4, 2). Se muestra una tabla junto a la gráfica con 3 columnas y 5 filas. La primera fila es una fila de cabecera con las expresiones “xâ€, “f (x) = raíz cuadrada de xâ€, y â€( x, f (x)) â€. La segunda fila tiene los números 0, 0 y (0, 0). La tercera fila tiene los números 1, 1 y (1, 1). La cuarta fila tiene los números 4, 2 y (4, 2). La quinta fila tiene los números 9, 3 y (9, 3).
    Figura 8.7.1

    Una vez que vemos la gráfica, podemos encontrar el rango de la función. Los \(y\)-valores de la función son mayores o iguales a cero. El rango entonces es \([0,∞)\).

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt{x+3}\),

    1. encontrar el dominio
    2. graficar la función
    3. utilizar la gráfica para determinar el rango

    Solución:

    1. Dado que el radical tiene índice \(2\), sabemos que el radicando debe ser mayor o igual a cero. Si \(x+3 \geq 0\), entonces \(x \geq-3\). Esto nos dice que el dominio es todos los valores \(x \geq-3\) y escrito en notación de intervalo como \([-3, \infty)\).
    2. Para graficar la función, elegimos puntos en el intervalo \([-3, \infty)\) que también nos darán un radicando que será fácil tomar la raíz cuadrada.
    La figura muestra una gráfica de función de raíz cuadrada en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de negativo 3 a 3. El eje y va de 0 a 7. La función tiene un punto de partida en (negativo 3, 0) y pasa por los puntos (negativo 2, 1) y (1, 2). Se muestra una tabla junto a la gráfica con 3 columnas y 5 filas. La primera fila es una fila de cabecera con las expresiones “xâ€, “f (x) = raíz cuadrada de la cantidad x más 3â€, y â€( x, f (x)) â€. La segunda fila tiene los números negativos 3, 0 y (negativo 3, 0). La tercera fila tiene los números negativos 2, 1 y (negativo 2, 1). La cuarta fila tiene los números 1, 2 y (1, 2). La quinta fila tiene los números 6, 3 y (6, 3).
    Figura 8.7.2

    c. Mirando la gráfica, vemos que los \(y\)-valores de la función son mayores o iguales a cero. El rango entonces es \([0, \infty)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt{x+2}\),

    1. encontrar el dominio
    2. graficar la función
    3. utilizar la gráfica para determinar el rango
    Responder
    1. dominio: \([-2, \infty)\)

    2. La figura muestra una gráfica de función de raíz cuadrada en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de negativo 2 a 6. El eje y va de 0 a 8. La función tiene un punto de partida en (negativo 2, 0) y pasa por los puntos (negativo 1, 1) y (2, 2).
      Figura 8.7.3
    3. rango: \([0, \infty)\)
    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt{x-2}\),

    1. encontrar el dominio
    2. graficar la función
    3. utilizar la gráfica para determinar el rango
    Responder
    1. dominio: \([2, \infty)\)

    2. La figura muestra una gráfica de función de raíz cuadrada en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de 0 a 8. El eje y va de 0 a 6. La función tiene un punto de partida en (2, 0) y pasa por los puntos (3, 1) y (6, 2).
      Figura 8.7.4
    3. rango: \([0, \infty)\)

    En nuestro trabajo anterior graficando funciones, graficamos \(f(x)=x^{3}\) pero no gráficamos la función \(f(x)=\sqrt[3]{x}\). Haremos esto ahora en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Para la función, \(f(x)=\sqrt[3]{x}\),

    1. encontrar el dominio
    2. graficar la función
    3. utilizar la gráfica para determinar el rango

    Solución:

    a. Dado que el radical tiene índice \(3\), sabemos que el radicand puede ser cualquier número real. Esto nos dice que el dominio es todos los números reales y escrito en notación de intervalo como \((-\infty, \infty)\)

    b. para graficar la función, elegimos puntos en el intervalo \((-\infty, \infty)\) que también nos darán un radicando que será fácil tomar la raíz cúbica.

    La figura muestra la gráfica de la función raíz cúbica en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y va de menos 10 a 10. La función tiene un punto central en (0, 0) y pasa por los puntos (1, 1), (negativo 1, negativo 1), (8, 2) y (negativo 8, negativo 2). Se muestra una tabla junto a la gráfica con 3 columnas y 6 filas. La primera fila es una fila de cabecera con las expresiones “xâ€, “f (x) = raíz cúbica de xâ€, y â€( x, f (x)) â€. La segunda fila tiene los números negativos 8, menos 2 y (negativo 8, negativo 2). La tercera fila tiene los números negativos 1, negativo 1 y (negativo 1, negativo 1). La cuarta fila tiene los números 0, 0 y (0, 0). La quinta fila tiene los números 1, 1 y (1, 1). La sexta fila tiene los números 8, 2 y (8, 2).
    Figura 8.7.5

    c. Mirando la gráfica, vemos que los \(y\)-valores de la función son todos números reales. El rango entonces es \((-\infty, \infty)\).

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Para la función \(f(x)=-\sqrt[3]{x}\),

    1. encontrar el dominio
    2. graficar la función
    3. utilizar la gráfica para determinar el rango
    Responder
    1. dominio: \((-\infty, \infty)\)

    2. La figura muestra una gráfica de función de raíz cúbica en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de negativo 2 a 2. El eje y va de negativo 2 a 2. La función tiene un punto central en (0, 0) y pasa por los puntos (1, negativo 1) y (negativo 1, 1).
      Figura 8.7.6
    3. rango: \((-\infty, \infty)\)
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Para la función \(f(x)=\sqrt[3]{x-2}\),

    1. encontrar el dominio
    2. graficar la función
    3. utilizar la gráfica para determinar el rango
    Responder
    1. dominio: \((-\infty, \infty)\)

    2. La figura muestra una gráfica de función de raíz cúbica en el plano de coordenadas x y. El eje x del plano va de negativo 1 a 5. El eje y va de negativo 3 a 3. La función tiene un punto central en (2, 0) y pasa por los puntos (1, negativo 1) y (3, 2).
      Figura 8.7.7
    3. rango: \((-\infty, \infty)\)

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con funciones radicales.

    • Dominio de una función radical
    • Dominio de una función radical 2
    • Encontrar dominio de una función radical

    Conceptos Clave

    • Propiedades de \(\sqrt[n]{a}\)
      • Cuando \(n\) es un número par y:
        \(a≥0\), entonces \(\sqrt[n]{a}\) es un número real.
        \(a<0\), entonces no \(\sqrt[n]{a}\) es un número real.
      • Cuando \(n\) es un número impar , \(\sqrt[n]{a}\) es un número real para todos los valores de \(a\).
    • Dominio de una función radical
      • Cuando el índice del radical es parejo , el radicando debe ser mayor o igual a cero.
      • Cuando el índice del radical es impar , el radicando puede ser cualquier número real.

    Glosario

    función radical
    Una función radical es una función que se define por una expresión radical.

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