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9.5: Resolver ecuaciones cuadráticas en forma cuadrática

  • Page ID
    51771
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted podrá:

    • Resolver ecuaciones en forma cuadrática
    Antes de empezar

    ... toma este cuestionario de preparación.

    1. Factor por sustitución: \(y^{4}-y^{2}-20\).
    2. Factor por sustitución: \((y-4)^{2}+8(y-4)+15\).
    3. Simplificar
      1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}}\)
      2. \(\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\)
      3. \(\left(x^{-1}\right)^{2}\)

    Resolver ecuaciones en forma cuadrática

    A veces cuando factorizamos los trinomios, el trinomio no parecía estar en la \(ax^{2}+bx+c\) forma. Por lo que factorizamos por sustitución permitiéndonos hacer que se ajustara a la \(ax^{2}+bx+c\) forma. Se utilizó el estándar \(u\) para la sustitución.

    Para factorizar la expresión \(x^{4}-4 x^{2}-5\), notamos la parte variable del término medio es \(x^{2}\) y su cuadrado \(x^{4}\),, es la parte variable del primer término. (Lo sabemos \(\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}\).) Por lo que dejamos \(u=x^{2}\) y factorizamos.

      \(x^{4}-4 x^{2}-5\)
      \(\left(\color{red}x^2 \color{black} \right)^{2}-4\left( \color{red}x^{2} \color{black}\right)-5\)
    Dejar \(u=x^{2}\) y sustituir. \(\color{red}u \color{black}^{2}-4 \color{red}u \color{black}-5\)
    Factor el trinomio. \((u+1)(u-5)\)
    Reemplazar \(u\) con \(x^{2}\). \(\left( \color{red}x^{2} \color{black} + 1\right)\left( \color{red}x^2 \color{black}-5\right)\)

    Del mismo modo, a veces una ecuación no está en la \(ax^{2}+bx+c=0\) forma sino que se parece mucho a una ecuación cuadrática. Entonces, muchas veces podemos hacer una sustitución reflexiva que nos permita hacer que se ajuste a la \(ax^{2}+bx+c=0\) forma. Si podemos hacer que se ajuste a la forma, entonces podemos usar todos nuestros métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

    Observe que en la ecuación cuadrática \(ax^{2}+bx+c=0\), el término medio tiene una variable \(x\),, y su cuadrado \(x^{2}\),, es la parte variable del primer término. Busca esta relación mientras intentas encontrar una sustitución.

    Nuevamente, utilizaremos el estándar \(u\) para hacer una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática. Si la sustitución nos da una ecuación de la forma \(ax^{2}+bx+c=0\), decimos que la ecuación original era de forma cuadrática.

    El siguiente ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación en forma cuadrática.

    Ejemplo de \(\PageIndex{1}\) cómo resolver ecuaciones en forma cuadrática

    Resolver: \(6 x^{4}-7 x^{2}+2=0\)

    Solución:

    Paso 1: Identificar una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática. Desde \(\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}\), lo dejamos \(u=x^{2}\). \(6 x^{4}-7 x^{2}+2=0\)
    Paso 2: Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática.

    Reescribir para prepararse para la sustitución.

    Sustituto \(u=x^{2}\).

    \(\begin{aligned}6\color{black}{\left(\color{red}{x^{2}}\right)}^{2}-7\color{red}{ x^{2}}\color{black}{+}2&=0 \\ \color{black}{6 \color{red}{u}^{2}}-7 \color{red}{u}\color{black}{+}2&=0\end{aligned}\)
    Paso 3: Resuelve la ecuación cuadrática para \(u\).

    Podemos resolver por factoring.

    Utilice la Propiedad de Producto Cero.

    \(\begin{aligned}(2 u-1)(3 u-2) &=0 \\ 2 u-1=0, 3 u-2&=0 \\ 2 u =1,3 u&=2 \\ u =\frac{1}{2} u&=\frac{2}{3} \end{aligned}\)
    Paso 4: Sustituir la variable original de nuevo en los resultados, utilizando la sustitución. Reemplazar \(u\) con \(x^{2}\). \(x^{2}=\frac{1}{2} \quad x^{2}=\frac{2}{3}\)
    Paso 5: Resolver para la variable original. Resolver para \(x\), usando la Propiedad Raíz Cuadrada.

    \(\begin{array}{ll}{x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}} & {x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}} \\ {x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}} & {x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\)

    Hay cuatro soluciones.

    \(\begin{array}{ll}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}} & {x=\frac{\sqrt{6}}{3}} \\ {x=-\frac{\sqrt{2}}{2}} & {x=-\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\)

    Paso 6: Revise las soluciones. Consulta las cuatro soluciones. Mostraremos un cheque aquí.

    \(\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 6 x^{4}-7 x^{2}+2&=0 \\ 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}-7\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+2 &\stackrel{?}{=} 0\\ 6\left(\frac{4}{16} \right)-7\left(\frac{2}{4} \right)^{2}+2&\stackrel{?}{=}0 \\ \frac{3}{2}-\frac{7}{2}+\frac{4}{2}&\stackrel{?}{=}0 \\ 0&=0 \end{aligned}\)

    ¡Te dejamos los otros cheques!

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Resolver: \(x^{4}-6 x^{2}+8=0\).

    Contestar

    \(x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}, x=2, x=-2\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Resolver: \(x^{4}-11 x^{2}+28=0\).

    Contestar

    \(x=\sqrt{7}, x=-\sqrt{7}, x=2, x=-2\)

    Resumimos los pasos para resolver una ecuación en forma cuadrática.

    Resolver ecuaciones en forma cuadrática
    1. Identificar una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática.
    2. Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática.
    3. Resuelve la ecuación cuadrática para \(u\).
    4. Sustituir la variable original de nuevo en los resultados, utilizando la sustitución.
    5. Resolver para la variable original.
    6. Consulta las soluciones.

    En el siguiente ejemplo, el binomio en el mediano plazo, \((x-2)\) es cuadrado en el primer término. Si lo dejamos \(u=x-2\) y sustituimos, nuestro trinomio estará en \(a x^{2}+b x+c\) forma.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Resolver: \((x-2)^{2}+7(x-2)+12=0\).

    Solución:

      \((x-2)^{2}+7(x-2)+12=0\)
    Prepárense para la sustitución. \(\color{red}(x-2)\color{black}^{2}+7\color{red}(x-2) \color{black} +12=0\)
    Dejar \(u=x-2\) y sustituir. \(\color{red}u^{\color{black}2} \color{black}+ 7 \color{red}u \color{black}+12=0\)
    Resolver por factoring.

    \((u+3)(u+4)=0\)

    \ (\ begin {reunidos}
    u+3=0,\ quad u+4=0\\
    u=-3,\ quad u=-4
    \ final {reunidos}\)

    Reemplazar \(u\) con \(x-2\).

    \(x-2=-3, \quad x-2=-4\)

    Resolver para \(x\).

    \(x=-1, \quad x=-2\)

    Chequear:

    Figura 9.4.14
     
    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Resolver: \((x-5)^{2}+6(x-5)+8=0\).

    Contestar

    \(x=3, x=1\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Resolver: \((y-4)^{2}+8(y-4)+15=0\).

    Contestar

    \(y=-1, y=1\)

    En el siguiente ejemplo, lo notamos \((\sqrt{x})^{2}=x\). Además, recuerda que cuando cuadramos ambos lados de una ecuación, podemos introducir raíces extrañas. ¡Asegúrate de revisar tus respuestas!

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Resolver: \(x-3 \sqrt{x}+2=0\).

    Solución:

    El \(\sqrt{x}\) en el mediano plazo, es cuadrado en el primer término \((\sqrt{x})^{2}=x\). Si lo dejamos \(u=\sqrt{x}\) y sustituimos, nuestro trinomio estará en \(a x^{2}+b x+c=0\) forma.

      \(x-3 \sqrt{x}+2=0\)
    Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.
    Dejar \(u=\sqrt{x}\) y sustituir.
    Resolver por factoring.

    \((u-2)(u-1)=0\)

    \(u-2=0, \quad u-1=0\)
    \(u=2, \quad u=1\)\)

    Reemplazar \(u\) con \(\sqrt{x}\).

    \(\sqrt{x}=2, \quad \sqrt{x}=1\)

    Resolver para \(x\), cuadrando ambos lados. \(x=4, \quad x=1\)

    Chequear:

     
    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Resolver: \(x-7 \sqrt{x}+12=0\).

    Contestar

    \(x=9, x=16\)

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Resolver: \(x-6 \sqrt{x}+8=0\).

    Contestar

    \(x=4, x=16\)

    Las sustituciones por exponentes racionales también pueden ayudarnos a resolver una ecuación en forma cuadrática. Piensa en las propiedades de los exponentes al comenzar el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Resolver: \(x^{\frac{2}{3}}-2 x^{\frac{1}{3}}-24=0\).

    Solución:

    El \(x^{\frac{1}{3}}\) en el mediano plazo es cuadrado en el primer término \(\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=x^{\frac{2}{3}}\). Si lo dejamos \(u=x^{\frac{1}{3}}\) y sustituimos, nuestro trinomio estará en \(a x^{2}+b x+c=0\) forma.

      \(x^{\frac{2}{3}}-2 x^{\frac{1}{3}}-24=0\)
    Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.
    Let \(u=x^{\frac{1}{3}}\)
    Resolver por factoring.

    \((u-6)(u+4)=0\)

    \(u-6=0, \quad u+4=0\)

    \(u=6, \quad u=-4\)

    Reemplazar \(u\) con \(x^{\frac{1}{3}}\).

    \(x^{\frac{1}{3}}=6, \quad x^{\frac{1}{3}}=-4\)

    Resolver \(x\) por cubicando ambos lados.

    \(\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=(6)^{3}, \quad\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=(-4)^{3}\)

    \(x=216, \quad x=-64\)

    Chequear:

    Figura 9.4.33
     
    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Resolver: \(x^{\frac{2}{3}}-5 x^{\frac{1}{3}}-14=0\).

    Contestar

    \(x=-8, x=343\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Resolver: \(x^{\frac{1}{2}}+8 x^{\frac{1}{4}}+15=0\).

    Contestar

    \(x=81, x=625\)

    En el siguiente ejemplo, debemos tener en cuenta la definición de un exponente negativo así como las propiedades de los exponentes.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Resolver: \(3 x^{-2}-7 x^{-1}+2=0\).

    Solución:

    El \(x^{−1}\) en el mediano plazo es cuadrado en el primer término \(\left(x^{-1}\right)^{2}=x^{-2}\). Si lo dejamos \(u=x^{−1}\) y sustituimos, nuestro trinomio estará en \(a x^{2}+b x+c=0\) forma.

      \(3 x^{-2}-7 x^{-1}+2=0\)
    Reescribir el trinomio para prepararse para la sustitución.
    Dejar \(u=x^{-1}\) y sustituir.
    Resolver por factoring. \((3 u-1)(u-2)=0\)
      \(3 u-1=0, \quad u-2=0\)
      \(u=\frac{1}{3}, \quad u=2\)
    Reemplazar \(u\) con \(x^{-1}\). \(x^{-1}=\frac{1}{3}, \quad x^{-1}=2\)
    Resolver \(x\) por tomando el recíproco desde \(x^{-1}=\frac{1}{x}\). \(x=3, \quad x=\frac{1}{2}\)

    Chequear:

    Figura 9.4.42
     
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Resolver: \(8 x^{-2}-10 x^{-1}+3=0\).

    Contestar

    \(x=\frac{4}{3}, x=2\)

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Resolver: \(6 x^{-2}-23 x^{-1}+20=0\).

    Contestar

    \(x=\frac{2}{5}, x=\frac{3}{4}\)

    Acceda a este video en línea para instrucción adicional y práctica con la resolución de ecuaciones cuadráticas: https://www.youtube.com/watch?v=7X-CZMbpxuw

    Conceptos Clave

    • Cómo resolver ecuaciones en forma cuadrática.
      1. Identificar una sustitución que pondrá la ecuación en forma cuadrática.
      2. Reescribe la ecuación con la sustitución para ponerla en forma cuadrática.
      3. Resuelve la ecuación cuadrática para \(u\).
      4. Sustituir la variable original de nuevo en los resultados, utilizando la sustitución.
      5. Resolver para la variable original.
      6. Consulta las soluciones.

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