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10.4: Evaluar y graficar funciones logarítmicas

  • Page ID
    51761
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Convertir entre forma exponencial y logarítmica
    • Evaluar funciones logarítmicas
    • Funciones logarítmicas de gráficos
    • Resolver ecuaciones logarítmicas
    • Usar modelos logarítmicos en aplicaciones

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Resolver: \(x^{2}=81\).
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.46.
    2. Evaluar: \(3^{−2}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.15.
    3. Resolver: \(2^{4}=3x−5\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.

    Hemos pasado algún tiempo encontrando lo inverso de muchas funciones. Funciona bien para 'deshacer' una operación con otra operación. Resta 'deshace' suma, multiplicación 'deshace' división, tomando la raíz cuadrada 'deshace' cuadrando.

    A medida que estudiamos la función exponencial, vimos que es uno-a-uno a medida que sus gráficas pasan la prueba de línea horizontal. Esto significa que una función exponencial sí tiene una inversa. Si probamos nuestro método algebraico para encontrar un inverso, nos encontramos con un problema.

    \(f(x)=a^{x}\)

    Reescribir con \(y=f(x)\).

    \(y=a^{x}\)

    Intercambiar las variables \(x\) y \(y\).

    \(x=a^{y}\)

    Resolver para \(y\).

    ¡Uy! ¡No tenemos forma de resolver para \(y\)!

    Para hacer frente a esto definimos la función logaritmo con base a para ser la inversa de la función exponencial \(f(x)=a^{x}\). Utilizamos la notación \(f^{−1}(x)=log_{a}x\) y decimos que la función inversa de la función exponencial es la función logarítmica.

    Definición \(\PageIndex{1}\): Función Logarítmica

    La función \(f(x)=\log_{a}x\) es la función logarítmica con base \(a\), donde \(a>0,x>0\), y \(a≠1\).

    \(y=\log _{a} x\) es equivalente a \(x=a^{y}\)

    Convertir entre forma exponencial y logarítmica

    Ya que las ecuaciones \(y=\log _{a} x\) y \(x=a^{y}\) son equivalentes, podemos ir y venir entre ellas. Este será a menudo el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión de ida y vuelta echemos un vistazo de cerca a las ecuaciones. Ver Figura 10.3.1. Observe las posiciones del exponente y de la base.

    Esta figura muestra la expresión y es igual a log sub a de x, donde y es el exponente y a es la base. Junto a esta expresión tenemos x es igual a a la y, donde de nuevo y es el exponente y a es la base.
    Figura 10.3.1

    Si nos damos cuenta de que el logaritmo es el exponente facilita la conversión. Es posible que desee repetir, “base al exponente dénos el número”.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Convertir a forma logarítmica:

    1. \(2^{3}=8\)
    2. \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)
    3. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{16}\)

    Solución:

    En la parte (a) tenemos 2 a la 3 potencia es igual a 8, donde el 2 es rojo y el 3 es azul. Siguiendo esto, tenemos azul y es igual a log sub red a de x Luego 3 es igual a log sub 2 de 8. Por lo tanto, si 2 en cubitos es igual a 8, entonces 3 es igual a log sub 2 de 8. En la parte (b) tenemos 5 al 1 sobre 2 potencia equivale a raíz cuadrada de 5, donde el 5 es rojo y el 1 sobre 2 es azul. Siguiendo esto, tenemos azul y es igual a log sub red a de x Luego 1 sobre 2 es igual a log sub 5 de la raíz cuadrada de 5. Por lo tanto, si 5 a la potencia 1 sobre 2 es igual a la raíz cuadrada de 5, entonces 1 sobre 2 equivale a log sub 5 de la raíz cuadrada de 5. En la parte (c) tenemos 1 sobre 2 a la x potencia es igual a 1 sobre 16, donde el 1 sobre 2 es rojo y la x es azul. Siguiendo esto, tenemos azul y es igual a log sub red a de x Luego x es igual a log sub 1 sobre 2 de 1 sobre 16. Por lo tanto, si 1 sobre 2 a la potencia x es igual a 1 sobre 16, entonces x es igual a log sub 1 sobre 2 de 1 sobre 16.
    Figura 10.3.2
    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Convertir a forma logarítmica:

    1. \(3^{2}=9\)
    2. \(7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}\)
    3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=\frac{1}{27}\)
    Responder
    1. \(\log _{3} 9=2\)
    2. \(\log _{7} \sqrt{7}=\frac{1}{2}\)
    3. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Convertir a forma logarítmica:

    1. \(4^{3}=64\)
    2. \(4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}\)
    3. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{32}\)
    Responder
    1. \(\log _{4} 64=3\)
    2. \(\log _{4} \sqrt[3]{4}=\frac{1}{3}\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}=x\)

    En el siguiente ejemplo hacemos el inverso-convertir forma logarítmica a forma exponencial.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Convertir a forma exponencial:

    1. \(2=\log _{8} 64\)
    2. \(0=\log _{4} 1\)
    3. \(-3=\log _{10} \frac{1}{1000}\)

    Solución:

    En la parte (a) tenemos 2 iguales log sub 8 de 64, donde el 2 es azul y el 8 es rojo. Siguiendo esto, tenemos x es igual a rojo a a la potencia y azul. Entonces 64 es igual a 8 al cuadrado. Por lo tanto, si 2 es igual a log sub 8 de 64, entonces 64 es igual a 8 al cuadrado. En la parte (b) tenemos 0 es igual a log sub 4 de 1, donde el 0 es azul y el 4 es rojo. Siguiendo esto, tenemos x es igual a rojo a a la potencia y azul. Entonces 1 es igual a 4 a la potencia cero. Por lo tanto, si 0 es igual a log sub 4 de 1, entonces 1 es igual a 4 a la potencia cero. En la parte (c) tenemos negativo 3 es igual a log sub 10 de 1 sobre 1000, donde el negativo 3 es azul y el 10 es rojo. Siguiendo esto, tenemos x es igual a rojo a a la potencia y azul. Entonces 1 sobre 1000 equivale a 10 a la potencia negativa tres. Por lo tanto, si negativo 3 es igual a log sub 10 de 1 sobre 1000, entonces 1 sobre 1000 equivale a 10 a la potencia negativa 3.
    Figura 10.3.3
    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Convertir a forma exponencial:

    1. \(3=\log _{4} 64\)
    2. \(0=\log _{x} 1\)
    3. \(-2=\log _{10} \frac{1}{100}\)
    Responder
    1. \(64=4^{3}\)
    2. \(1=x^{0}\)
    3. \(\frac{1}{100}=10^{-2}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Convertir a forma exponencial:

    1. \(3=\log _{3} 27\)
    2. \(0=\log _{x} 1\)
    3. \(-1=\log _{10} \frac{1}{10}\)
    Responder
    1. \(27=3^{3}\)
    2. \(1=x^{0}\)
    3. \(\frac{1}{10}=10^{-1}\)

    Evaluar funciones logarítmicas

    Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas utilizando la técnica de conversión de la ecuación a su ecuación exponencial equivalente.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Encuentre el valor de \(x\):

    1. \(\log _{x} 36=2\)
    2. \(\log _{4} x=3\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)

    Solución:

    a.

    \(\log _{x} 36=2\)

    Convertir a forma exponencial.

    \(x^{2}=36\)

    Resuelve la cuadrática.

    \(x=6, \quad \cancel{x=-6}\)

    La base de una función logarítmica debe ser positiva, por lo que eliminamos \(x=−6\).

    \(x=6 \quad\) Por lo tanto, \(\log _{6} 36=2\)

    b.

    \(\log _{4} x=3\)

    Convertir a forma exponencial.

    \(4^{3}=x\)

    Simplificar.

    \(x=64 \quad\) Por lo tanto \(, \log _{4} 64=3\)

    c.

    \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)

    Convertir a forma exponencial.

    \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{8}\)

    Reescribir \(\frac{1}{8}\) como \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\).

    \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)

    Con la misma base, los exponentes deben ser iguales.

    \(x=3 \quad\) Por lo tanto \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=3\)

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Encuentre el valor de \(x\):

    1. \(\log _{x} 64=2\)
    2. \(\log _{5} x=3\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}=x\)
    Responder
    1. \(x=8\)
    2. \(x=125\)
    3. \(x=2\)
    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Encuentre el valor de \(x\):

    1. \(\log _{x} 81=2\)
    2. \(\log _{3} x=5\)
    3. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
    Responder
    1. \(x=9\)
    2. \(x=243\)
    3. \(x=3\)

    Cuando vemos una expresión como \(log_{3}27\), podemos encontrar su valor exacto de dos maneras. Por inspección nos damos cuenta que significa “¿\(3\) a qué poder será \(27\)”? Desde \(3^{3}=27\), lo sabemos \(log_{3}27=3\). Una forma alternativa es establecer la expresión igual a \(x\) y luego convertirla en una ecuación exponencial.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:

    1. \(\log _{5} 25\)
    2. \(\log _{9} 3\)
    3. \(\log _{2} \frac{1}{16}\)

    Solución:

    a.

    \(\log _{5} 25\)

    \(5\) ¿ a qué poder será \(25\)?

    \(\log _{5} 25=2\)

    O

    Establezca la expresión igual a \(x\).

    \(\log _{5} 25=x\)

    Cambio a forma exponencial.

    \(5^{x}=25\)

    Reescribir \(25\) como \(5^{2}\).

    \(5^{x}=5^{2}\)

    Con la misma base los exponentes deben ser iguales.

    \(x=2 \quad\) Por lo tanto \(, \log _{5} 25=2\).

    b.

    \(\log _{9} 3\)

    Establezca la expresión igual a \(x\).

    \(\log _{9} 3=x\)

    Cambio a forma exponencial.

    \(9^{x}=3\)

    Reescribir \(9\) como \(3^{2}\).

    \(\left(3^{2}\right)^{x}=3^{1}\)

    Simplifica los exponentes.

    \(3^{2 x}=3^{1}\)

    Con la misma base los exponentes deben ser iguales.

    \(2 x=1\)

    Resuelve la ecuación.

    \(x=\frac{1}{2} \quad\) Por lo tanto \(, \log _{9} 3=\frac{1}{2}\).

    c.

    \(\log _{2} \frac{1}{16}\)

    Establezca la expresión igual a \(x\).

    \(\log _{2} \frac{1}{16}=x\)

    Cambio a forma exponencial.

    \(2^{x}=\frac{1}{16}\)

    Reescribir \(16\) como \(2^{4}\).

    \(2^{x}=\frac{1}{2^{4}}\)

    \(2^{x}=2^{-4}\)

    Con la misma base los exponentes deben ser iguales.

    \(x=-4 \quad\) Por lo tanto \(, \log _{2} \frac{1}{16}=-4\).

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:

    1. \(\log _{12} 144\)
    2. \(\log _{4} 2\)
    3. \(\log _{2} \frac{1}{32}\)
    Responder
    1. \(2\)
    2. \(\frac{1}{2}\)
    3. \(-5\)
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:

    1. \(\log _{9} 81\)
    2. \(\log _{8} 2\)
    3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
    Responder
    1. \(2\)
    2. \(\frac{1}{3}\)
    3. \(-2\)

    Funciones Logarítmicas Gráficas

    Para graficar una función logarítmica \(y=log_{a}x\), es más fácil convertir la ecuación a su forma exponencial, \(x=a^{y}\). Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para la gráfica de una función, generalmente elegimos un \(x\)-valor y luego determinamos su \(y\)valor -correspondiente. En este caso puede que le resulte más fácil elegir \(y\)-valores y luego determinar su \(x\)-valor correspondiente.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica \(y=\log _{2} x\).

    Solución:

    Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica \(y=\log _{2} x\),, en forma exponencial, \(2^{y}=x\).

    Usaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil comenzar con valores de \(y\) y luego obtener \(x\).

    Cuadro 10.3.1
    \(y\) \(2^{y}=x\) \((x,y)\)
    \ (y\) ">\(-2\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\) \ ((x, y)\) ">\((\frac{1}{4},2)\)
    \ (y\) ">\(-1\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\) \ ((x, y)\) ">\((\frac{1}{2},-1)\)
    \ (y\) ">\(0\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{0}=1\) \ ((x, y)\) ">\((1,0)\)
    \ (y\) ">\(1\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{1}=2\) \ ((x, y)\) ">\((2,1)\)
    \ (y\) ">\(2\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{2}=4\) \ ((x, y)\) ">\((4,2)\)
    \ (y\) ">\(3\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{3}=8\) \ ((x, y)\) ">\((8,3)\)
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 2, negativo 1), (1, 0), y (2, 1).
    Figura 10.3.4
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Gráfica: \(y=\log _{3} x\).

    Responder
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 3, negativo 1), (1, 0), y (3, 1).
    Figura 10.3.5
    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Gráfica: \(y=\log _{5} x\).

    Responder
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 5, negativo 1), (1, 0), y (5, 1).
    Figura 10.3.6

    Las gráficas de \(y=\log _{2} x, y=\log _{3} x\), y \(y=\log _{5} x\) son la forma que esperamos de una función logarítmica donde \(a>1\).

    Notamos que para cada función la gráfica contiene el punto \((1,0)\). Esto tiene sentido porque \(0=log_{a}1\) significa \(a^{0}=1\) que es cierto para cualquiera \(a\).

    La gráfica de cada función, también contiene el punto \((a,1)\). Esto tiene sentido como \(1=\log _{a} a\) medio \(a^{1}=a\). lo cual es cierto para cualquiera \(a\).

    Observe también, la gráfica de cada función \(y=\log _{a} x\) también contiene el punto \(\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Esto tiene sentido como \(-1=\log _{a} \frac{1}{a}\) medio \(a^{-1}=\frac{1}{a}\), lo cual es cierto para cualquiera \(a\).

    Mira cada gráfica de nuevo. Ahora veremos que muchas características de la función logaritmo son simplemente 'imágenes espejadas' de las características de la función exponencial correspondiente.

    ¿Cuál es el dominio de la función? La gráfica nunca golpea el \(y\)eje. El dominio son todos números positivos. Escribimos el dominio en notación de intervalos como \((0,∞)\).

    ¿Cuál es el rango para cada función? De las gráficas podemos ver que el rango es el conjunto de todos los números reales. No hay restricción en el rango. Escribimos el rango en notación de intervalo como \((−∞,∞)\).

    Cuando la gráfica se acerca tan de cerca al \(y\)eje -pero nunca lo cruzará, llamamos a la línea \(x=0\), el \(y\)-eje, una asíntota vertical.

    Tabla 10.3.2: Propiedades de la Gráfica de \(y=\log _{a} x\) Cuándo \(a>1\)
    Dominio \((0, \infty)\)
    Rango \((-\infty, \infty)\)
    \(x\)-interceptar \((1,0)\)
    \(y\)-interceptar Ninguno
    Contiene \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    Aíntota \(y\)-eje
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre a, negativo 1), (1, 0), y (a, 1).
    Figura 10.3.7

    Nuestro siguiente ejemplo mira la gráfica de \(y=log_{a}x\) cuándo \(0<a<1\).

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica \(y=\log _{\frac{1}{3}} x\).

    Solución:

    Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica \(y=\log _{\frac{1}{3}} x\),, en forma exponencial, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\).

    Usaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil comenzar con valores de \(y\) y luego obtener \(x\).

    Cuadro 10.3.3
    \(y\) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\) \((x,y)\)
    \ (y\) ">\(-2\) \ (\ left (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\) \ ((x, y)\) ">\((9,-2)\)
    \ (y\) ">\(-1\) \ (\ left (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3^{1}=3\) \ ((x, y)\) ">\((3,-1)\)
    \ (y\) ">\(0\) \ (\ left (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1\) \ ((x, y)\) ">\((1,0)\)
    \ (y\) ">\(1\) \ (\ left (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}\) \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{3}, 1\right)\)
    \ (y\) ">\(2\) \ (\ left (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\) \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{9}, 2\right)\)
    \ (y\) ">\(3\) \ (\ left (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}\) \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{27}, 3\right)\)
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 3, 1), (1, 0), y (3, negativo 1).
    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica: \(y=\log _{\frac{1}{2}} x\).

    Responder
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 2, 1), (1, 0), y (2, negativo 1).
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Gráfica: \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\).

    Responder
    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 4, 1), (1, 0), y (4, negativo 1).

    Ahora, echemos un vistazo a las gráficas \(y=\log _{\frac{1}{2}} x, y=\log _{\frac{1}{3}} x\) y \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\), así podemos identificar algunas de las propiedades de las funciones logarítmicas donde \(0<a<1\).

    Las gráficas de todas tienen la misma forma básica. Si bien esta es la forma que esperamos de una función logarítmica donde \(0<a<1\).

    Notamos, que para cada función nuevamente, la gráfica contiene los puntos,\((1,0),(a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Esto tiene sentido por las mismas razones que argumentamos anteriormente.

    Notamos que el dominio y el rango también son los mismos: el dominio es \((0,∞)\) y el rango es \((−∞,∞)\). El \(y\)eje -es nuevamente la asíntota vertical.

    Resumiremos estas propiedades en el siguiente gráfico. Que también incluyen cuándo \(a>1\).

    Cuadro 10.3.4: Propiedades de la Gráfica de \(y=\log _{a} x\)
    Cuando \(a>1\) Cuando \(0<a<1\)
    \ (a">1\) ">Dominio \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Dominio \((0, \infty)\)
    \ (a">1\) ">Rango \((-\infty, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Rango \((-\infty, \infty)\)
    \ (a">1\) ">\(x\)-interceptar \((1,0)\) \ (0<a<1\) ">\(x\)-interceptar \((1,0)\)
    \ (a">1\) ">\(y\)-interceptar Ninguno \ (0<a<1\) ">\(y\)-interceptar Ninguno
    \ (a">1\) ">Contiene \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) \ (0<a<1\) ">Contiene \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    \ (a">1\) ">Aíntota \(y\) -eje \ (0<a<1\) ">Aíntota \(y\) -eje
    \ (a">1\) ">Forma básica Incrementando \ (0<a<1\) ">Forma básica Disminuyendo
    Esta figura muestra que, para un mayor de 1, la curva logarítmica que pasa por los puntos (1 sobre a, negativo 1), (1, 0), y (a, 1). Esta figura muestra que, para un mayor que 0 y menor que 1, la curva logarítmica que pasa por los puntos (a, 1), (1, 0), y (1 sobre a, negativo 1).
    Figura 10.3.11

    Hablamos anteriormente de cómo la función logarítmica \(f^{-1}(x)=\log _{a} x\) es la inversa de la función exponencial \(f(x)=a^{x}\). Las gráficas de la Figura 10.3.12 muestran tanto las funciones exponenciales (azul) como logarítmicas (rojo) en la misma gráfica para ambos \(a>1\) y \(0<a<1\).

    Esta figura muestra que, para un mayor de 1, la curva logarítmica que pasa por los puntos (1 sobre a, negativo 1), (1, 0), y (a, 1). También muestra la curva exponencial que atraviesa los puntos (1, 1 sobre a), (0, 1) y (1, a) junto con la línea y es igual a x La curva logarítmica es una imagen espejo de la curva exponencial a través de la línea y es igual a x. Esta figura muestra que, para un mayor que 0 y menor que 1, la curva logarítmica que pasa por los puntos (a, 1), (1, 0), y (1 sobre a, negativo 1). También muestra la curva exponencial que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre a), (0, 1) y (1, a) junto con la línea y es igual a x La curva logarítmica es una imagen espejo de la curva exponencial a través de la línea y es igual a x.
    Figura 10.3.12

    Observe cómo las gráficas son reflejos unos de otros a través de la línea \(y=x\). Sabemos que esto es cierto para las funciones inversas. Mantener una visual en tu mente de estas gráficas te ayudará a recordar el dominio y el rango de cada función. Observe que el \(x\)eje -es la asíntota horizontal para las funciones exponenciales y el \(y\)eje -es la asíntota vertical para las funciones logarítmicas.

    Resolver ecuaciones logarítmicas

    Cuando hablamos de funciones exponenciales, introdujimos el número \(e\). Al igual \(e\) que era una base para una función exponencial, también se puede utilizar una base para funciones logarítmicas. La función logarítmica con base \(e\) se llama función logarítmica natural. La función \(f(x)=\log _{e} x\) está generalmente escrita \(f(x)=\ln x\) y la leemos como “el en de” \(x\).

    Definición \(\PageIndex{2}\): Función Logarítmica Natural

    La función \(f(x)=\ln x\) es la función logarítmica natural con base \(e\), donde \(x>0\).

    \(y=\ln x\) es equivalente a \(x=e^{y}\)

    Cuando la base de la función logaritmo es \(10\), la llamamos la función logarítmica común y no se muestra la base. Si no se muestra la base \(a\) de un logaritmo, suponemos que sí \(10\).

    Definición \(\PageIndex{3}\): Función Logarítmica Común

    La función \(f(x)=\log x\) es la función logarítmica común con base \(10\), donde \(x>0\).

    \(y=\log x\) es equivalente a \(x=10^{y}\)

    Será importante que utilices tu calculadora para evaluar logaritmos tanto comunes como naturales. Encuentra las claves de registro y ln en tu calculadora.

    Para resolver ecuaciones logarítmicas, una estrategia es cambiar la ecuación a forma exponencial y luego resolver la ecuación exponencial como lo hacíamos antes. A medida que resolvemos ecuaciones logarítmicas \(y=log_{a}x\),, necesitamos recordar que para la base \(a\), \(a>0\) y \(a≠1\). Además, el dominio es \(x>0\). Al igual que con las ecuaciones radicales, debemos revisar nuestras soluciones para eliminar cualquier solución extraña.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resolver:

    1. \(\log _{a} 49=2\)
    2. \(\ln x=3\)

    Solución:

    a.

    \(\log _{a} 49=2\)

    Reescribir en forma exponencial.

    \(a^{2}=49\)

    Resuelva la ecuación usando la propiedad raíz cuadrada.

    \(a=\pm 7\)

    La base no puede ser negativa, por lo que eliminamos \(a=-7\).

    \(a=7, \quad \cancel{a=-7}\)

    Consultar. \(a=7\)

    \(\begin{aligned} \log _{a} 49&=2 \\ \log_{7}49&\stackrel{?}{=}2 \\ 7^{2}&\stackrel{?}{=}49 \\ 49&=49 \end{aligned}\)

    b.

    \(\ln x=3\)

    Reescribir en forma exponencial.

    \(e^{3}=x\)

    Consultar. \(x=e^{3}\)

    \(\begin{aligned} \ln x &=3 \\ \ln e^{3} & \stackrel{?}{=} 3 \\ e^{3} &=e^{3} \end{aligned}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Resolver:

    1. \(\log _{a} 121=2\)
    2. \(\ln x=7\)
    Responder
    1. \(a=11\)
    2. \(x=e^{7}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Resolver:

    1. \(\log _{a} 64=3\)
    2. \(\ln x=9\)
    Responder
    1. \(a=4\)
    2. \(x=e^{9}\)
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Resolver:

    1. \(\log _{2}(3 x-5)=4\)
    2. \(\ln e^{2 x}=4\)

    Solución:

    a.

    \(\log _{2}(3 x-5)=4\)

    Reescribir en forma exponencial.

    \(2^{4}=3 x-5\)

    Simplificar.

    \(16=3 x-5\)

    Resuelve la ecuación.

    \(21=3 x\)

    \(7=x\)

    Consultar. \(x=7\)

    \(\begin{aligned} \log _{2}(3 x-5)&=4 \\ \log_{2}(3\cdot7-5)&\stackrel{?}{=}4\\ \log_{2}(16)&\stackrel{?}{=}4 \\ 2^{4}& \stackrel{?}{=}16 \\ 16&=16 \end{aligned}\)

    b.

    \(\ln e^{2 x}=4\)

    Reescribir en forma exponencial.

    \(e^{4}=e^{2 x}\)

    Dado que las bases son las mismas los exponentes son iguales.

    \(4=2 x\)

    Resuelve la ecuación.

    \(2=x\)

    Consultar. \(x=2\)

    \(\begin{aligned} \ln e^{2 x} &=4 \\ \ln e^{2 \cdot 2} & \stackrel{?}{=} 4 \\ \ln e^{4} &=4 \\ e^{4} &=e^{4} \end{aligned}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Resolver:

    1. \(\log _{2}(5 x-1)=6\)
    2. \(\ln e^{3 x}=6\)
    Responder
    1. \(x=13\)
    2. \(x=2\)
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Resolver:

    1. \(\log _{3}(4 x+3)=3\)
    2. \(\ln e^{4 x}=4\)
    Responder
    1. \(x=6\)
    2. \(x=1\)

    Uso de modelos logarítmicos en aplicaciones

    Hay muchas aplicaciones que se modelan mediante ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de decibelios (dB) del sonido. Los decibelios van desde \(0\), que apenas es audible hasta \(160\), que puede romperse un tímpano. El \(10^{−12}\) en la fórmula representa la intensidad del sonido que apenas es audible.

    Definición \(\PageIndex{4}\)

    Nivel de sonido de decibelios

    El nivel de sonoridad \(D\),, medido en decibelios, de un sonido de intensidad \(I\), medido en vatios por pulgada cuadrada es

    \(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    La exposición prolongada al ruido que mide \(85\) dB puede causar daños permanentes en el oído interno que resultará en pérdida de audición. ¿Cuál es el nivel de decibelios de la música que llega a través de los auriculares con \(10^{−2}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?

    Solución:

      .
    Sustituto en el nivel de intensidad, \(I\). .
    Simplificar. .
    Desde \(\log 10^{10}=10\). .
    Multiplicar. .
      El nivel de decibelios de la música que llega a través de los auriculares es \(100\) dB.
    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    ¿Cuál es el nivel de decibelios de uno de los nuevos lavavajillas silenciosos con \(10^{−7}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?

    Responder

    Los lavavajillas silenciosos tienen un nivel de decibelios de \(50\) dB.

    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    ¿Cuál es el nivel de decibelios tráfico pesado de la ciudad con \(10^{−3}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?

    Responder

    El nivel de decibelios del tráfico pesado es \(90\) dB.

    La magnitud \(R\) de un sismo se mide mediante una escala logarítmica llamada escala de Richter. El modelo es \(R=\log I\), donde \(I\) está la intensidad de la onda de choque. Este modelo proporciona una forma de medir la intensidad del sismo.

    Definición \(\PageIndex{5}\): Intensidad del terremoto

    La magnitud \(R\) de un sismo se mide por\(R=\log I\), donde \(I\) está la intensidad de su onda de choque.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    En 1906, San Francisco experimentó un sismo intenso con una magnitud de \(7.8\) en la escala de Richter. Más del \(80\)% de la ciudad fue destruida por los incendios resultantes. En 2014, Los Ángeles experimentó un sismo moderado que midió \(5.1\) en la escala de Richter y causó daños por $\(108\) millones de dólares. Comparar las intensidades de los dos sismos.

    Solución:

    Para comparar las intensidades, primero necesitamos convertir las magnitudes a intensidades utilizando la fórmula logarítmica. Entonces establecemos una relación para comparar las intensidades.

    Convertir las magnitudes en intensidades.

    \(R=\log I\)

    Terremoto de 1906

    \(7.8=\log I\)

    Convertir a forma exponencial.

    \(I=10^{7.8}\)

    Terremoto de 2014

    \(5.1=\log I\)

    Convertir a forma exponencial.

    \(I=10^{5.1}\)

    Formar una relación de las intensidades.

    \(\frac{\text { Intensity for } 1906}{\text { Intensity for } 2014}\)

    Sustituir en los valores.

    \(\frac{10^{7.8}}{10^{5.1}}\)

    Dividir restando los exponentes.

    \(10^{2.7}\)

    Evaluar.

    \(501\)

    La intensidad del sismo de 1906 fue aproximadamente \(501\) veces la intensidad del terremoto de 2014.

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

    En 1906, San Francisco experimentó un sismo intenso con una magnitud de \(7.8\) en la escala de Richter. En 1989, el sismo de Loma Prieta también afectó la zona de San Francisco, y se midió \(6.9\) en la escala de Richter. Comparar las intensidades de los dos sismos.

    Responder

    La intensidad del sismo de 1906 fue aproximadamente \(8\) veces la intensidad del sismo de 1989.

    Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

    En 2014, Chile experimentó un sismo intenso con una magnitud de \(8.2\) en la escala de Richter. En 2014, Los Ángeles también experimentó un sismo que midió \(5.1\) en la escala de Richter. Comparar las intensidades de los dos sismos.

    Responder

    La intensidad del sismo en Chile fue aproximadamente \(1,259\) veces la intensidad del sismo en Los Ángeles.

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la evaluación y la gráfica de funciones logarítmicas.

    Conceptos Clave

    • Propiedades de la Gráfica de \(y=\log _{a} x\):
    Cuando \(a>1\) Cuando \(0<a<1\)
    \ (a">1\) ">Dominio \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Dominio \((0, \infty)\)
    \ (a">1\) ">Rango \((-\infty, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Rango \((-\infty, \infty)\)
    \ (a">1\) ">\(x\)-interceptar \((1,0)\) \ (0<a<1\) ">\(x\)-interceptar \((1,0)\)
    \ (a">1\) ">\(y\)-interceptar Ninguno \ (0<a<1\) ">\(y\)-interceptar Ninguno
    \ (a">1\) ">Contiene \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) \ (0<a<1\) ">Contiene \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    \ (a">1\) ">Aíntota \(y\) -eje \ (0<a<1\) ">Aíntota \(y\) -eje
    \ (a">1\) ">Forma básica Incrementando \ (0<a<1\) ">Forma básica Disminuyendo
    Esta figura muestra que, para un mayor de 1, la curva logarítmica que pasa por los puntos (1 sobre a, negativo 1), (1, 0), y (a, 1). Esta figura muestra que, para un mayor que 0 y menor que 1, la curva logarítmica que pasa por los puntos (a, 1), (1, 0), y (1 sobre a, negativo 1).
    Figura 10.3.11
    • Decibelios Nivel de Sonido: El nivel de sonoridad \(D\),, medido en decibelios, de un sonido de intensidad, \(I\), medido en vatios por pulgada cuadrada es \(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\).
    • Intensidad del sismo: La magnitud \(R\) de un sismo se mide por \(R=\log I\), dónde \(I\) está la intensidad de su onda de choque.

    Glosario

    función logarítmica común
    La función \(f(x)=\log x\) es la función logarítmica común con base \(10\), donde \(x>0\).

    \(y=\log x\) es equivalente a \(x=10^{y}\)

    función logarítmica
    La función \(f(x)=\log _{a} x\) es la función logarítmica con base \(a\), donde \(a>0,x>0\), y \(a≠1\).

    \(y=\log _{a} x\) es equivalente a \(x=a^{y}\)

    función logarítmica natural
    La función \(f(x)=\ln x\) es la función logarítmica natural con base \(e\), donde \(x>0\).

    \(y=\ln x\) es equivalente a \(x=e^{y}\)


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