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10.4E: Ejercicios

  • Page ID
    51762
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    Sección 10.3 Ejercicios

    La práctica hace a la perfección

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\) Convertir entre forma exponencial y logarítmica

    En los siguientes ejercicios, conviértase de forma exponencial a logarítmica.

    1. \(4^{2}=16\)
    2. \(2^{5}=32\)
    3. \(3^{3}=27\)
    4. \(5^{3}=125\)
    5. \(10^{3}=1000\)
    6. \(10^{-2}=\frac{1}{100}\)
    7. \(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)
    8. \(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{6}\)
    9. \(32^{x}=\sqrt[4]{32}\)
    10. \(17^{x}=\sqrt[5]{17}\)
    11. \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}\)
    12. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{81}\)
    13. \(3^{-2}=\frac{1}{9}\)
    14. \(4^{-3}=\frac{1}{64}\)
    15. \(e^{x}=6\)
    16. \(e^{3}=x\)
    Contestar

    2. \(\log _{2} 32=5\)

    4. \(\log _{5} 125=3\)

    6. \(\log \frac{1}{100}=-2\)

    8. \(\log _{x} \sqrt[3]{6}=\frac{1}{3}\)

    10. \(\log _{17} \sqrt[5]{17}=x\)

    12. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{81}=4\)

    14. \(\log _{4} \frac{1}{64}=-3\)

    16. \(\ln x=3\)

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\) Convertir entre forma exponencial y logarítmica

    En los siguientes ejercicios, convierte cada ecuación logarítmica a forma exponencial.

    1. \(3=\log _{4} 64\)
    2. \(6=\log _{2} 64\)
    3. \(4=\log _{x} 81\)
    4. \(5=\log _{x} 32\)
    5. \(0=\log _{12} 1\)
    6. \(0=\log _{7} 1\)
    7. \(1=\log _{3} 3\)
    8. \(1=\log _{9} 9\)
    9. \(-4=\log _{10} \frac{1}{10,000}\)
    10. \(3=\log _{10} 1,000\)
    11. \(5=\log _{e} x\)
    12. \(x=\log _{e} 43\)
    Contestar

    2. \(64=2^{6}\)

    4. \(32=x^{5}\)

    6. \(1=7^{0}\)

    8. \(9=9^{1}\)

    10. \(1,000=10^{3}\)

    12. \(43=e^{x}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{23}\) Evaluar Funciones Logarítmicas

    En los siguientes ejercicios, encuentra el valor de \(x\) en cada ecuación logarítmica.

    1. \(\log _{x} 49=2\)
    2. \(\log _{x} 121=2\)
    3. \(\log _{x} 27=3\)
    4. \(\log _{x} 64=3\)
    5. \(\log _{3} x=4\)
    6. \(\log _{5} x=3\)
    7. \(\log _{2} x=-6\)
    8. \(\log _{3} x=-5\)
    9. \(\log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{16}=x\)
    10. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}=x\)
    11. \(\log _{\frac{1}{4}} 64=x\)
    12. \(\log _{\frac{1}{9}} 81=x\)
    Contestar

    2. \(x=11\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=125\)

    8. \(x=\frac{1}{243}\)

    10. \(x=2\)

    12. \(x=-2\)

    Ejercicio \(\PageIndex{24}\) Evaluar Funciones Logarítmicas

    En los siguientes ejercicios, encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora.

    1. \(\log _{7} 49\)
    2. \(\log _{6} 36\)
    3. \(\log _{4} 1\)
    4. \(\log _{5} 1\)
    5. \(\log _{16} 4\)
    6. \(\log _{27} 3\)
    7. \(\log _{\frac{1}{2}} 2\)
    8. \(\log _{\frac{1}{2}} 4\)
    9. \(\log _{2} \frac{1}{16}\)
    10. \(\log _{3} \frac{1}{27}\)
    11. \(\log _{4} \frac{1}{16}\)
    12. \(\log _{9} \frac{1}{81}\)
    Contestar

    2. \(2\)

    4. \(0\)

    6. \(\frac{1}{3}\)

    8. \(-2\)

    10. \(-3\)

    12. \(-2\)

    Funciones logarítmicas de \(\PageIndex{25}\) gráfico de ejercicios

    En los siguientes ejercicios, grafica cada función logarítmica.

    1. \(y=\log _{2} x\)
    2. \(y=\log _{4} x\)
    3. \(y=\log _{6} x\)
    4. \(y=\log _{7} x\)
    5. \(y=\log _{1.5} x\)
    6. \(y=\log _{2.5} x\)
    7. \(y=\log _{\frac{1}{3}} x\)
    8. \(y=\log _{\frac{1}{5}} x\)
    9. \(y=\log _{0.4} x\)
    10. \(y=\log _{0.6} x\)
    Contestar

    2.

    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 4, negativo 1), (1, 0), y (4, 1).
    Figura 10.3.19

    4.

    Esta figura muestra que la curva logarítmica va a través de los puntos (1 sobre 7, negativo 1), (1, 0), y (7, 1).
    Figura 10.3.20

    6.

    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (2 sobre 5, negativo 1), (1, 0), y (2.5, 1).
    Figura 10.3.21

    8.

    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (1 sobre 5, 1), (1, 0), y (5, negativo 1).
    Figura 10.3.22

    10.

    Esta figura muestra la curva logarítmica pasando por los puntos (3 sobre 5, 1), (1, 0), y (5 sobre 3, negativo 1).
    Figura 10.3.23
    Ejercicio \(\PageIndex{26}\) Resolver ecuaciones logarítmicas

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación logarítmica.

    1. \(\log _{a} 16=2\)
    2. \(\log _{a} 81=2\)
    3. \(\log _{a} 8=3\)
    4. \(\log _{a} 27=3\)
    5. \(\log _{a} 32=2\)
    6. \(\log _{a} 24=3\)
    7. \(\ln x=5\)
    8. \(\ln x=4\)
    9. \(\log _{2}(5 x+1)=4\)
    10. \(\log _{2}(6 x+2)=5\)
    11. \(\log _{3}(4 x-3)=2\)
    12. \(\log _{3}(5 x-4)=4\)
    13. \(\log _{4}(5 x+6)=3\)
    14. \(\log _{4}(3 x-2)=2\)
    15. \(\ln e^{4 x}=8\)
    16. \(\ln e^{2 x}=6\)
    17. \(\log x^{2}=2\)
    18. \(\log \left(x^{2}-25\right)=2\)
    19. \(\log _{2}\left(x^{2}-4\right)=5\)
    20. \(\log _{3}\left(x^{2}+2\right)=3\)
    Contestar

    2. \(a=9\)

    4. \(a=3\)

    6. \(a=\sqrt[3]{24}\)

    8. \(x=e^{4}\)

    10. \(x=5\)

    12. \(x=17\)

    14. \(x=6\)

    16. \(x=3\)

    18. \(x=-5 \sqrt{5}, x=5 \sqrt{5}\)

    20. \(x=-5, x=5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{27}\) Uso Modelos Logarítmicos en Aplicaciones

    En los siguientes ejercicios, utilice un modelo logarítmico para resolver.

    1. ¿Cuál es el nivel de decibelios de conversación normal con \(10^{−6}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?
    2. ¿Cuál es el nivel de decibelios de un susurro con \(10^{−10}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?
    3. ¿Cuál es el nivel de decibelios del ruido de una motocicleta con \(10^{−2}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?
    4. ¿Cuál es el nivel de decibelios del sonido de un triturador de basura con \(10^{−2}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?
    5. En 2014, Chile experimentó un sismo intenso con una magnitud de \(8.2\) en la escala de Richter. En 2010, Haití también experimentó un intenso terremoto que se midió \(7.0\) en la escala de Richter. Comparar las intensidades de los dos sismos.
    6. El área de Los Ángeles experimenta muchos sismos. En 1994, el terremoto de Northridge midió magnitud de \(6.7\) en la escala de Richter. En 2014, Los Ángeles también experimentó un terremoto que midió \(5.1\) en la escala de Richter. Comparar las intensidades de los dos sismos.
    Contestar

    2. Un susurro tiene un nivel de decibelios de \(20\) dB.

    4. El sonido de un triturador de basura tiene un nivel de decibelios de \(100\) dB.

    6. La intensidad del terremoto de Northridge de 1994 en el área de Los Ángeles fue aproximadamente \(40\) veces la intensidad del terremoto de 2014.

    Ejercicios de \(\PageIndex{28}\) escritura de ejercicios
    1. Explicar cómo cambiar una ecuación de forma logarítmica a forma exponencial.
    2. Explicar la diferencia entre logaritmos comunes y logaritmos naturales.
    3. Explica por qué \(\log _{a} a^{x}=x\).
    4. Explica cómo encontrar el \(\log _{7} 32\) en tu calculadora.
    Contestar

    2. Las respuestas pueden variar

    4. Las respuestas pueden variar

    Autocomprobación

    a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Esta tabla tiene cuatro filas y cinco columnas. La primera fila, que sirve como cabecera, lee I can…, Con confianza, Con algo de ayuda, y No— I don’ t conseguirlo. La primera columna debajo de la fila del encabezado lee Convertir entre forma exponencial y logarítmica, evaluar funciones logarítmicas, graficar funciones logarítmicas, resolver ecuaciones logarítmicas y usar modelos logarítmicos en aplicaciones. El resto de las celdas están en blanco.
    Figura 10.3.24

    b. Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?


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