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12.4E: Ejercicios

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    51653
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    La práctica hace a la perfección

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\) Determinar si una secuencia es geométrica

    En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica, y si es así, indique la relación común.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
    3. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
    4. \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
    5. \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
    6. \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)
    Contestar

    1. La secuencia es geométrica con relación común \(r=4\).

    3. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\).

    5. La secuencia es geométrica con relación común \(r=−2\).

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\) Determinar si una secuencia es geométrica

    En los siguientes ejercicios, determine si cada secuencia es aritmética, geométrica o ninguna. Si es aritmética, indique la diferencia común. Si es geométrico, indique la relación común.

    1. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
    4. \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
    5. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
    6. \(4,8,12,24,48,96, \dots\)
    Contestar

    1. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\).

    3. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=5\).

    5. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\).

    Ejercicio \(\PageIndex{23}\) Determinar si una secuencia es geométrica

    En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común.

    1. \(a_{1}=4\) y \(r=3\)
    2. \(a_{1}=9\) y \(r=2\)
    3. \(a_{1}=-4\) y \(r=-2\)
    4. \(a_{1}=-5\) y \(r=-3\)
    5. \(a_{1}=27\) y \(r=\frac{1}{3}\)
    6. \(a_{1}=64\) y \(r=\frac{1}{4}\)
    Contestar

    1. \(4,12,36,108,324\)

    3. \(-4,8,-16,32,-64\)

    5. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{24}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Geométrica
    1. Encuentra \(a_{11}\) dado \(a_{1}=8\) y \(r=3\).
    2. Encuentra \(a_{13}\) dado \(a_{1}=7\) y \(r=2\).
    3. Encuentra \(a_{10}\) dado \(a_{1}=-6\) y \(r=-2\).
    4. Encuentra \(a_{15}\) dado \(a_{1}=-4\) y \(r=-3\).
    5. Encuentra \(a_{10}\) dado \(a_{1}=100,000\) y \(r=0.1\).
    6. Encuentra \(a_{8}\) dado \(a_{1}=1,000,000\) y \(r=0.01\).
    Contestar

    1. \(472,392\)

    3. \(3,072\)

    5. \(0.0001\)

    Ejercicio \(\PageIndex{25}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general para la secuencia.

    1. Hallar \(a_{9}\) de la secuencia, \(9,18,36,72,144,288, \dots\)
    2. Hallar \(a_{12}\) de la secuencia, \(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
    3. Hallar \(a_{15}\) de la secuencia, \(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
    4. Hallar \(a_{16}\) de la secuencia, \(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
    5. Hallar \(a_{10}\) de la secuencia, \(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
    6. Hallar \(a_{9}\) de la secuencia, \(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)
    Contestar

    1. \(a_{9}=2,304 .\) El término general es \(a_{n}=9(2)^{n-1}\).

    3. \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\) El término general es \(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).

    5. \(a_{10}=0.000000001 .\) El término general es \(a_{n}=(0.1)^{n-1}\).

    Ejercicio \(\PageIndex{26}\) Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.

    1. \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
    2. \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
    3. \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
    4. \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
    5. \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
    6. \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
    Contestar

    1. \(57,395,624\)

    3. \(-65,538\)

    5. \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{27}\) Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de la secuencia geométrica.

    1. \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
    4. \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
    5. \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    Contestar

    1. \(65,534\)

    3. \(4088\)

    5. \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{28}\) Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de cada serie geométrica infinita.

    1. \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
    2. \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
    3. \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
    4. \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
    5. \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
    6. \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
    7. \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
    8. \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)
    Contestar

    1. \(\frac{3}{2}\)

    3. \(\frac{9}{2}\)

    5. ninguna suma como \(r≥1\)

    7.\ (2,048\ (

    Ejercicio \(\PageIndex{29}\) Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

    En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como fracción.

    1. \(0 . \overline{3}\)
    2. \(0 . \overline{6}\)
    3. \(0 . \overline{7}\)
    4. \(0 . \overline{2}\)
    5. \(0 . \overline{45}\)
    6. \(0 . \overline{27}\)
    Contestar

    1. \(\frac{1}{3}\)

    3. \(\frac{7}{9}\)

    5. \(\frac{5}{11}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{30}\) Aplicar Secuencias Geométricas y Series en el Mundo Real

    En los siguientes ejercicios, resuelve el problema.

    1. Encontrar el efecto total en la economía de cada rebaja de impuestos gubernamentales a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará el porcentaje indicado de la rebaja en bienes y servicios.
    Rebaja de impuestos a cada hogar Porcentaje gastado en bienes y servicios Efecto total en la economía
    a. $\(1,000\) \(85\)%  
    b. $\(1,000\) \(75\)%  
    c. $\(1,500\) \(90\)%  
    d. $\(1,500\) \(80\)%  
    Cuadro 12.3.3

    2. Los nuevos abuelos deciden invertir $\(100\) al mes en una anualidad para su nieto. La cuenta pagará \(6\)% de interés anual el cual se agrava mensualmente (\(12\) veces al año). ¿Cuánto habrá en la cuenta del niño en su vigésimo primer cumpleaños?

    3. Berenice acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad a la edad \(30\). Decidió invertir $\(500\) por trimestre en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es \(7\)% el cual se compone trimestralmente (\(4\) veces al año). ¿Cuánto habrá en la cuenta de la Berenice cuando se retire a la edad \(65\)?

    4. Alice quiere comprar una casa en unos cinco años. Ella está depositando $\(500\) al mes en una anualidad que gana \(5\)% por año que se agrava mensualmente (\(12\) veces al año). ¿Cuánto tendrá Alice por su pago inicial en cinco años?

    5. Myra acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad. Ella planea obtener una maestría, y también lo es depositar $\(2,500\) al año de su bono de fin de año en una anualidad. La anualidad paga \(6.5\)% anual y se compone anualmente. ¿Cuánto habrá ahorrado en cinco años para cursar su maestría?

    Contestar

    1. a. $\(6666.67\) b. $\(4000\) c. $\(15,000\) d. $\(7500\)

    3. $\(295,581.88\)

    5. $\(14,234.10\)

    Ejercicios de \(\PageIndex{31}\) escritura de ejercicios
    1. En tus propias palabras, explica cómo determinar si una secuencia es geométrica.
    2. En tus propias palabras, explica cómo encontrar el término general de una secuencia geométrica.
    3. En tus propias palabras, explica la diferencia entre una secuencia geométrica y una serie geométrica.
    4. En tus propias palabras, explica cómo determinar si una serie geométrica infinita tiene una suma y cómo encontrarla.
    Contestar

    2. Las respuestas variarán.

    4. Las respuestas variarán

    Autocomprobación

    Esta figura muestra siete filas y cuatro columnas. La primera fila es la fila del encabezado y dice: “Puedo”, “Con confianza”, “Con algo de ayuda”, y “No, no lo consigo. En la primera columna se lee: “Determina si una secuencia es geométrica”, “Encuentra el término general (enésimo término) de una”, “Secuencia geométrica”, “Encuentra la suma de una serie geométrica infinita”, Usar secuencias geométricas para resolver aplicaciones”. Las columnas restantes están en blanco.
    Figura 12.3.11
    1. Después de completar los ejercicios, utiliza esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección.
    2. ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

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