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12.5: Teorema Binomial

  • Page ID
    51661
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Usa el Triángulo de Pascal para expandir un binomio
    • Evaluar un coeficiente binomial
    • Utilizar el Teorema Binomial para expandir un binomio

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: \(\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.25.
    2. Ampliar: \((3 x+5)^{2}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.32.
    3. Ampliar: \((x-y)^{2}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.32.

    Usa el Triángulo de Pascal para Expandir un Binomial

    En nuestro trabajo anterior, hemos cuadrado binomios ya sea mediante el uso de FOILO o mediante el patrón de cuadrados binomiales. También podemos decir que ampliamos \((a+b)^{2}\).

    \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)

    Para ampliar \((a+b)^{3}\), reconocemos que esto es \((a+b)^{2}(a+b)\) y multiplicar.

    \((a+b)^{3}\)
    \((a+b)^{2}(a+b)\)
    \(\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)\)
    \(a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}\)
    \(a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)
    \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)

    Para encontrar un método que sea menos tedioso que funcione para expansiones más altas como \((a+b)^{7}\), nuevamente buscamos patrones en algunas expansiones.

    Número de Términos Primer Término Último Término
    \((a+b)^{1}=a+b\) \(2\) \(a^{1}\) \(b^{1}\)
    \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\) \(3\) \(a^{2}\) \(b^{2}\)
    \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\) \(4\) \(a^{3}\) \(b^{3}\)
    \((a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}\) \(5\) \(a^{4}\) \(b^{4}\)
    \((a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}\) \(6\) \(a^{5}\) \(b^{5}\)
    \((a+b)^{n}\) \(n\) \(a^{n}\) \(b^{n}\)
    Cuadro 12.4.1

    Observe que el primer y último término muestran sólo una variable. Recordemos eso \(a^{0}=1\), para que pudiéramos reescribir el primer y último término para incluir ambas variables. Por ejemplo, podríamos expandirnos \((a+b)^{3}\) para mostrar cada término con ambas variables.

    Esta figura muestra el patrón a más b a la potencia de 3 equivale a a una potencia de 3 veces b a una potencia de 0 más 3 veces a a una potencia de 2 veces b a una potencia de 1 más 3 a a una potencia de 0 veces b a una potencia de 3.
    Figura 12.4.1

    Generalmente, no mostramos los exponentes cero, tal como solemos escribir \(x\) en lugar de \(1x\).

    Nota

    Patrones en la Expansión de \((a+b)^{n}\)

    • El número de términos es \(n+1\).
    • El primer término es \(a^{n}\) y el último es \(b^{n}\).
    • Los exponentes en \(a\) disminución en uno en cada término yendo de izquierda a derecha.
    • Los exponentes en \(b\) aumento en uno en cada término yendo de izquierda a derecha.
    • La suma de los exponentes en cualquier término es \(n\).

    Veamos un ejemplo para resaltar los últimos tres patrones.

    Esta figura muestra el patrón a más b a la potencia de 5 es igual a a más 5 veces a veces a veces b más 10 veces a veces a veces b más 5 veces a veces b más b.
    Figura 12.4.2

    A partir de los patrones que identificamos, vemos las variables en la expansión de \((a+b)^{n}\), serían

    \((a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}\).

    Para encontrar los coeficientes de los términos, escribimos nuestras expansiones nuevamente enfocándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes.

    A más b a la potencia de 0 es igual a 1. El nivel superior del Triángulo de Pascal es 1. A más b a la potencia de 1 es igual a 1 a más 1 b El segundo nivel del Triángulo de Pascal es 1, 1. A más b a la potencia de 2 es igual a 1 a la potencia de 2 más 2 a b más 1 b a la potencia de 2. El tercer nivel del Triángulo de Pascal es 1, 2, 1. A más b a la potencia de 3 equivale a 1 a la potencia de 3 más 3 a a la potencia de 2 b más 3 a b a la potencia de 2 más 1 b a la potencia de 3. El cuarto nivel del Triángulo de Pascal es 1,3,3,1. A más b a la potencia de 4 equivale a 1 a la potencia de 4 más 4 a a la potencia de 3 b más 6 a la potencia de 2 b a la potencia de 2 más 4 a b a la potencia de 3 más 1 b a la potencia de 4. El quinto nivel del Triángulo de Pascal es 1, 4, 6, 4, 1. A más b a la potencia de 5 es igual a 1 a la potencia de 5 más 5 a la potencia de 4 b más 10 a la potencia de 3 b a la potencia de 2 más 10 a la potencia de 2 b a la potencia de 3. La sexta fila del Triángulo de Pascal es 1, 5, 10, 10, 5, 1.
    Figura 12.4.3

    El array a la derecha se llama Triángulo de Pascal. Observe que cada número en la matriz es la suma de los dos números más cercanos en la fila anterior. Podemos encontrar la siguiente fila comenzando y terminando con uno y luego sumando dos números adyacentes.

    Esta figura muestra el Triángulo de Pascal. El primer nivel es 1. El segundo nivel es 1, 1. El tercer nivel es 1, 2, 1. El cuarto nivel es 1, 3, 3, 1. El quinto nivel es 1, 4, 6, 4, 1. El sexto nivel es 1, 5, 10, 10, 5, 1. El séptimo nivel es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
    Figura 12.4.4

    Este triángulo da los coeficientes de los términos cuando expandimos binomios.

    Definición \(\PageIndex{1}\)

    Triángulo de Pascal

    Esta figura muestra el Triángulo de Pascal. El primer nivel es 1. El segundo nivel es 1, 1. El tercer nivel es 1, 2, 1. El cuarto nivel es 1, 3, 3, 1. El quinto nivel es 1, 4, 6, 4, 1. El sexto nivel es 1, 5, 10, 10, 5, 1. El séptimo nivel es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
    Figura 12.4.5

    En el siguiente ejemplo, utilizaremos este triángulo y los patrones que reconocimos para expandir el binomio.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((x+y)^{6}\).

    Solución:

    Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. Los exponentes distintos de cero \(x\) comenzarán en seis y disminuirán a uno. Los exponentes distintos de cero \(y\) comenzarán en uno y aumentarán a seis. La suma de los exponentes en cada término será de seis. En nuestro patrón, \(a=x\) y \(b=y\).

    \(\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}\)

    Esta figura muestra a más b a la potencia de n equivale a a la potencia de n más a a la potencia si n menos 1 b a la potencia de 1 más a a la potencia de n menos 2 b a la potencia si 2 más elipsis más a la potencia de 1 b a la potencia de n menos 1 más b a la potencia de n La siguiente figura muestra x más y a la potencia de n de 6 equivale x a la potencia de 6 más x a la potencia de 5 y a la potencia de 1 más x a la potencia de 4 y a la potencia de 2 más x a la potencia de 3 y a la potencia de 3 más x a la potencia de 2 y a la potencia de 4 más x a la potencia de 1 y a la potencia de 5 más y a la potencia de 6.
    Figura 12.4.6
    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((x+y)^{5}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((p+q)^{7}\).

    Responder

    \(\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}\)

    En el siguiente ejemplo queremos expandir un binomio con una variable y una constante. Tenemos que identificar el \(a\) y \(b\) aplicar cuidadosamente el patrón.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((x+3)^{5}\).

    Solución:

    Identificamos el \(a\) y \(b\) del patrón.

    Esta figura muestra cómo identificamos a más b a la potencia de n, en el patrón x más 3 a la potencia de 5.
    Figura 12.4.7

    En nuestro patrón, \(a=x\) y \(b=3\).

    Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. La suma de los exponentes en cada término será de cinco.

    \((a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} \)

    \((x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}\)

    Esta figura muestra el Triángulo de Pascal. El primer nivel es 1. El segundo nivel es 1, 1. El tercer nivel es 1, 2, 1. El cuarto nivel es 1, 3, 3, 1. El quinto nivel es 1, 4, 6, 4, 1. El sexto nivel es 1, 5, 10, 10, 5, 1. El séptimo nivel es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Esta figura muestra X más 3 a la potencia de 5 equivale a 1 x a la potencia de 5 g 3 x a la potencia de 4 más 10 g 9 x a la potencia de 3 más 10 g 27 x a la potencia de 2 más 5 g 81 x a la potencia de 1 más 1 g 243. Entonces, x más 3 a la potencia de 5 equivale a x a la potencia de 5 más 15 x a la potencia de 4 más 90 x a la potencia de 3 más 270 x a la potencia de 2 más 405 más 243.
    Figura 12.4.8
    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((x+2)^{4}\).

    Responder

    \(x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((x+1)^{6}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}\)

    En el siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia y el primer término tiene una constante por la variable. Una vez que identificamos el \(a\) y \(b\) del patrón, debemos una vez más aplicar cuidadosamente el patrón.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((3x-2)^{4}\).

    Solución:

    Identificamos el \(a\) y \(b\) del patrón.

    Esta figura muestra cómo identificamos a más b a la potencia de n, en el patrón 3 x menos 2 a la potencia de 4.
    Figura 12.4.9

    En nuestro patrón, \(a=3x\) y \(b=-2\).

    Esta figura muestra el Triángulo de Pascal. El primer nivel es 1. El segundo nivel es 1, 1. El tercer nivel es 1, 2, 1. El cuarto nivel es 1, 3, 3, 1. El quinto nivel es 1, 4, 6, 4, 1. El sexto nivel es 1, 5, 10, 10, 5, 1. El séptimo nivel es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
    Figura 12.4.10

    \((a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} \)

    \((3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.\)

    \((3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16\)

    \((3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16\)

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((2x-3)^{4}\).

    Responder

    \(16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81\)

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Usa el Triángulo de Pascal para expandirte \((2x-1)^{6}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}\)

    Evaluar un coeficiente binomial

    Si bien el Triángulo de Pascal es un método para expandir un binomio, también veremos otro método. Antes de llegar a eso, necesitamos introducir alguna notación factorialmás. Esta notación no sólo se utiliza para expandir binomios, sino también en el estudio y uso de la probabilidad.

    Para encontrar los coeficientes de los términos de binomios expandidos, necesitaremos ser capaces de evaluar la notación \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\) que se denomina coeficiente binomial. Leemos \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\) como “\(n\) elegir \(r\)” o “\(n\) tomado \(r\) a la vez”.

    Definición \(\PageIndex{1}\)

    Un coeficiente binomial \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\), donde \(r\) y \(b\) son enteros con \(0 \leq r \leq n\), se define como

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)

    Leemos \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\) como "\(n\) elegir \(r\)" o "\(n\) tomado \(r\) a la vez”.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Evaluar:

    1. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)\)

    Solución:

    a. Usaremos la definición de un coeficiente binomial,

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)

    \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)\)

    Usa la definición, \(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\), donde \(n=5, r=1\).

    \(\frac{5 !}{1 !(5-1) !}\)

    Simplificar.

    \(\frac{5 !}{1 !(4) !}\)

    Reescribir \(5!\) como \(5\cdot 4!\)

    \(\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}\)

    Simplificar, eliminando factores comunes.

    \(\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}\)

    Simplificar.

    \(5\)

    \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5\)

    b. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)\)

    Usa la definición, \(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\), donde \(n=7, r=7\).

    \(\frac{7 !}{7 !(7-7) !}\)

    Simplificar.

    \(\frac{7 !}{7 !(0) !}\)

    Simplificar. Recuerda \(0!=1\).

    \(1\)

    \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1\)

    c. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)

    Usa la definición, \(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\), donde \(n=4, r=0\).

    \(\frac{4 !}{0 !(4-0) !}\)

    Simplificar.

    \(\frac{4 !}{0 !(4) !}\)

    Simplificar.

    \(1\)

    \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    d. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)\)

    Usa la definición, \(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\), donde \(n=8, r=5\).

    \(\frac{8 !}{5 !(8-5) !}\)

    Simplificar.

    \(\frac{8 !}{5 !(3) !}\)

    Reescribir \(8!\) como \(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!\) y eliminar los factores comunes.

    \(\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}\)

    Simplificar.

    \(56\)

    \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56\)

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Evaluar cada coeficiente binomial:

    1. \(\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)\)
    Responder
    1. \(6\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(35\)
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Evaluar cada coeficiente binomial:

    1. \(\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)\)
    Responder
    1. \(2\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(6\)

    En el ejemplo anterior, \((a)\), \((b)\), \((c)\) demuestran algunas propiedades especiales de los coeficientes binomiales.

    Definición \(\PageIndex{2}\)

    Propiedades de los coeficientes binomiales

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    Usar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

    Ahora estamos listos para usar el método alternativo de expansión de binomios. ElTeorema Binomial utiliza el mismo patrón para las variables, pero utiliza el coeficiente binomial para el coeficiente de cada término.

    Definición \(\PageIndex{3}\)

    Teorema Binomial

    Para cualquier número real \(a\) y \(b\), y entero positivo \(n\),

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((p+q)^{4}\).

    Solución:

    Identificamos el \(a\) y \(b\) del patrón.

    Esta figura muestra cómo identificamos a más b a la potencia de n, en el patrón p más q a la potencia de 4.
    Figura 12.4.11

    En nuestro patrón, \(a=p\) y \(b=q\).

    Utilizamos el Teorema Binomial.

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    Sustituir en los valores \(a=p, b=q\) y \(n=4\).

    \((p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}\)

    Simplifica los exponentes.

    \((p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}\)

    Evalúe los coeficientes, recuerde, \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    \((p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}\)
    \((p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((x+y)^{5}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((m+n)^{6}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}\)

    Note que cuando nos expandimos \((p+q)^{4}\) en el último ejemplo, usando el Teorema Binomial, obtuvimos los mismos coeficientes que obtendríamos de usar el Triángulo de Pascal.

    La figura anterior es P más q a la potencia de 4 igual a 4 elige 0 veces p a la potencia de 4 más 4 elige 1 veces p a la potencia de 3 q más 4 elige 2 veces p a la potencia de 2 q a la potencia de 2 más 4 elige 3 veces p q a la potencia de 3 más 4 elige 4 veces q a la potencia de 4. P más q a la potencia de 4 es igual a p a la potencia de 4 p a la potencia de 3 q más 6 p a la potencia de 2 q a la potencia de 2 más 4 p q a la potencia de 3 más q a la potencia de 4. Esta figura de la derecha muestra el Triángulo de Pascal. El primer nivel es 1. El segundo nivel es 1, 1. El tercer nivel es 1, 2, 1. El cuarto nivel es 1, 3, 3, 1. El quinto nivel es 1, 4, 6, 4, 1. El sexto nivel es 1, 5, 10, 10, 5, 1. El séptimo nivel es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
    Figura 12.4.12

    El siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia. Cuando el binomio es una diferencia, debemos tener cuidado en identificar los valores que usaremos en el patrón.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((x-2)^{5}\).

    Solución:

    Identificamos el \(a\) y \(b\) del patrón.

    Esta figura muestra x menos 2 a la potencia de 5.
    Figura 12.4.13

    En nuestro patrón, \(a=x\) y \(b=-2\).

    Utilizamos el Teorema Binomial.

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    Sustituir en los valores \(a=x, b=-2\), y \(n=5\).

    \((x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}\)

    Simplifica los coeficientes. Recuerda, \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\).

    \((x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}\)

    \((x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}\)

    \((x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)\)

    \((x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32\)

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((x-3)^{5}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((y-1)^{6}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}\)

    Las cosas pueden ponerse desordenadas cuando ambos términos tienen un coeficiente y una variable.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((2x-3y)^{4}\).

    Solución:

    Identificamos el \(a\) y \(b\) del patrón.

    Esta figura muestra cómo identificamos a más b a la potencia de n, en el patrón 2 x menos 3 y veces la potencia de 4.
    Figura 12.4.14

    En nuestro patrón, \(a=2x\) y \(b=-3y\).

    Utilizamos el Teorema Binomial.

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    Sustituir en los valores \(a=2x, b=-3y\) y \(n=4\).

    \((2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}\)

    Simplifica los exponentes.

    \((2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}\)

    Evaluar los coeficientes. Recuerda, \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    \((2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}\)

    \((2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}\)

    \((2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((3x-2y)^{5}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Utilizar el Teorema Binomial para expandirse \((4x-3y)^{4}\).

    Responder

    \(\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)

    La verdadera belleza del Teorema Binomial es que da una fórmula para cualquier término particular de la expansión sin tener que computar toda la suma. Busquemos un patrón en el Teorema Binomial.

    Esta figura muestra a más b a la potencia de n es igual a n elegir 0 veces a a la potencia de n b a la potencia de 0 más n elegir 1 veces a a la potencia de n menos 1 b al 1 más n elegir 2 veces a a la potencia de n menos 2 b a la potencia de 2 más elipsis más n elegir r veces a a la potencia de n menos r más elipsis más n elegir n veces b a la potencia de n.
    Figura 12.4.15

    Nótese, que en cada caso el exponente sobre el \(b\) es uno menor que el número del término. El \((r+1)^{st}\) término es el término donde \(b\) está el exponente de \(r\). Por lo que podemos usar el formato del \((r+1)^{st}\) término para encontrar el valor de un término específico.

    Nota

    Encuentra un Término Específico en una Expansión Binomial

    El \((r+1)^{s t}\) término en la expansión de \((a+b)^{n}\) es

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el cuarto término de \((x+y)^{7}\).

    Solución:

    En nuestro patrón, \(n=7, a=x\) y \(b=y\). .

    Estamos buscando el cuarto periodo.

    Desde \(r+1=4\), entonces \(r=3\).

     
    Escribe la fórmula .
    Sustituir en los valores, \(n=7, r=3, a=x\), y \(b=y\). .
    . .
    Simplificar. .
    Simplificar. .
    Cuadro 12.4.1
    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Encuentra el tercer término de \((x+y)^{6}\).

    Responder

    \(15x^{4}y^{2}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Encuentra el quinto término de \((a+b)^{8}\).

    Responder

    \(8ab^{7}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Encuentra el coeficiente del \(x^{6}\) término de \((x+3)^{9}\).

    Solución:

    En nuestro patrón, entonces \(n=9, a=x\), y \(b=3\).
    .
    Figura 12.4.23
    Estamos buscando el coeficiente del \(x^{6}\) término. Desde \(a=x\), y \(x^{9-r}=x^{6}\), sabemos \(r=3\).  
    Escribe la fórmula.
    .
    Figura 12.4.24
    Sustituir en los valores, \(n=9, 4=3, a=x\), y \(b=3\).
    .
    Figura 12.4.25
    .
    Figura 12.4.26
    .
    Figura 12.4.27
    Simplificar.
    .
    Figura 12.4.28
    Simplificar.
    .
    Figura 12.4.29
    Simplificar.
    .
    Figura 12.4.30
    Cuadro 12.4.2
    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Encuentra el coeficiente del \(x^{5}\) término de \((x+4)^{8}\).

    Responder

    \(7,168\)

    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Encuentra el coeficiente del \(x^{4}\) término de \((x+2)^{7}\).

    Responder

    \(280\)

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    Conceptos Clave

    • Patrones en la expansión de \ ((a+b) ^ {n}\ (
      • El número de términos es \(n+1\).
      • El primer término es \(a^{n}\) y el último es \(b^{n}\).
      • Los exponentes en \(a\) disminución en uno en cada término yendo de izquierda a derecha.
      • Los exponentes en \(b\) aumento en uno en cada término yendo de izquierda a derecha.
      • La suma de los exponentes en cualquier término es \(n\).
    • Triángulo de Pascal
    Esta figura muestra el Triángulo de Pascal. El primer nivel es 1. El segundo nivel es 1, 1. El tercer nivel es 1, 2, 1. El cuarto nivel es 1, 3, 3, 1. El quinto nivel es 1, 4, 6, 4, 1. El sexto nivel es 1, 5, 10, 10, 5, 1. El séptimo nivel es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
    Figura 12.4.31
    • Coeficiente binomial \(\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)\) : Un coeficiente binomial \(\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)\), donde \(r\) y \(n\) son enteros con \(0≤r≤n\), se define como

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)

    Leemos \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\) como “\(n\) elegir \(r\)” o “\(n\) tomado \(r\) a la vez”.

    • Propiedades de los coeficientes binomiales

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    • Teorema Binomial:

    Para cualquier número real \(a\), \(b\), y entero positivo \(n\),

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)


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