4.4: Desigualdades de valor absoluto
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Resolviendo |x| < a
Las soluciones de\[|x|<a\] nuevo dependen del valor y signo del número a. Para resolver |x| < a gráficamente, debemos determinar dónde se encuentra la gráfica del lado izquierdo debajo de la gráfica del lado derecho de la desigualdad |x| < a. Hay tres casos a considerar.
- Caso I: a < 0
En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente por debajo del eje x. Como se puede ver en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), la gráfica de y = |x| nunca se encuentra debajo de la gráfica de y = a, de ahí que la desigualdad |x| < a no tiene soluciones.
- Caso II: a = 0
En este caso, la gráfica de y = 0 coincide con el eje x. Como puede ver en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b), la gráfica de y = |x| nunca se encuentra estrictamente por debajo del eje x. De ahí que la desigualdad |x| < 0 no tiene soluciones.
- Caso III: a > 0
En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente por encima del eje x. En la Figura\(\PageIndex{1}\) (c), la gráfica de y = |x| e y = a se cruzan en x = −a y x = a. En la Figura\(\PageIndex{1}\) (c), también vemos que la gráfica de y = |x| se encuentra estrictamente debajo de la gráfica de y = a cuando x está entre −a y a; es decir, cuando −a < x < a.
En la Figura\(\PageIndex{1}\) (c), hemos caído líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección de las dos gráficas hasta el eje x. En el eje x, hemos sombreado la solución de |x| < a, es decir, −a < x < a.
Esta discusión lleva a la siguiente propiedad clave.
propiedad 1
La solución de |x| < a depende del valor y signo de a.
- Caso I: a < 0
La desigualdad |x| < a no tiene solución.
- Caso II: a = 0
La desigualdad |x| < 0 no tiene solución.
- Caso III: a > 0
La desigualdad |x| < a tiene un conjunto de soluciones {x: −a < x < a}.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Resolver la desigualdad |x| < −5 para x.
Solución
La gráfica del lado izquierdo de |x| < −5 es la “V” de la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). La gráfica del lado derecho de |x| < −5 es una línea horizontal ubicada 5 unidades por debajo del eje x. Esta es la situación que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). La gráfica de y = |x| por lo tanto nunca está por debajo de la gráfica de y = −5. Así, la desigualdad |x| < −5 no tiene solución.
Un enfoque alternativo es considerar el hecho de que el valor absoluto de x es siempre no negativo y nunca puede ser inferior a −5. Así, la desigualdad |x| < −5 no tiene solución.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Resolver la desigualdad |x| < 0 para x.
Solución
Este es el caso que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). La gráfica de y = |x| nunca está estrictamente por debajo del eje x. Así, la desigualdad |x| < 0 no tiene solución.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Resolver la desigualdad |x| < 8 para x.
Solución
La gráfica del lado izquierdo de |x| < 8 es la “V” de la Figura\(\PageIndex{1}\) (c). La gráfica del lado derecho de |x| < 8 es una línea horizontal ubicada 8 unidades por encima del eje x. Esta es la situación representada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c). Las gráficas se cruzan en (−8, 8) y (8, 8) y la gráfica de y = |x| se encuentra estrictamente por debajo de la gráfica de y = 8 para los valores de x entre −8 y 8. Así, la solución de |x| < 8 es −8 < x < 8.
Ayuda a la intuición si revisas los resultados del último ejemplo. Obsérvese que los números entre −8 y 8, como −7.75, −3 y 6.8 satisfacen la desigualdad,
\[|-7.75|<8 \qquad \text { and } \quad|-3|<8 \quad \text { and } \quad|6.8|<8\]
mientras que los valores que no se encuentran entre −8 y 8 no satisfacen la desigualdad. Por ejemplo, ninguno de los números −9.3, 8.2 y 11.7 se encuentra entre −8 y 8, y cada uno de los siguientes es una declaración falsa.
\[|-9.3|<8 \quad \text { and } \qquad|8.2|<8 \qquad \text { and } \qquad|11.7|<8 \quad \text { (all are false) }\]
Si reflexionas sobre estos resultados, ayudarán a cimentar la noción de que la solución de |x| < 8 es todos los valores de x satisfaciendo −8 < x < 8.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Resolver la desigualdad |5 − 2x| < −3 para x.
Solución
Si la desigualdad fuera |x| < −3, no dudaríamos. Esta es la situación representada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) y la desigualdad |x| < −3 no tiene soluciones. El razonamiento aplicado a |x| < −3 funciona igualmente bien para la desigualdad |5 − 2x| < −3. El lado izquierdo de esta desigualdad debe ser no negativo, por lo que su gráfica debe estar sobre o por encima del eje x. El lado derecho de |5 − 2x| < −3 es una línea horizontal ubicada 3 unidades debajo del eje x. Por lo tanto, la gráfica de y = |5 − 2x| nunca puede estar debajo de la gráfica de y = −3 y la desigualdad |5 − 2x| < −3 no tiene solución.
Podemos verificar este resultado con la calculadora gráfica. Cargue los lados izquierdo y derecho de |5 − 2x| < −3 en Y1 e Y2, respectivamente, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a). En el menú ZOOM, seleccione 6:ZStandard para producir la imagen que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b).
Como se predijo, la gráfica de y = |5 − 2x| nunca se encuentra debajo de la gráfica de y = −3, por lo que la desigualdad |5 − 2x| < −3 no tiene solución.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Resolver la desigualdad |5 − 2x| < 0 para x.
Solución
Sabemos que el lado izquierdo de la desigualdad |5 − 2x| < 0 tiene la forma de “V” indicada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). La gráfica “toca” el eje x cuando |5 − 2x| = 0, o cuando
\[\begin{aligned} 5-2 x &=0 \\-2 x &=-5 \\ x &=\frac{5}{2} \end{aligned}\]
Sin embargo, la gráfica de y = |5 − 2x| nunca cae por debajo del eje x, por lo que la desigualdad |5 − 2x| < 0 no tiene solución.
Intuitivamente, debe quedar claro que la desigualdad |5−2x| < 0 no tiene solución. En efecto, el lado izquierdo de esta desigualdad siempre es no negativo, y nunca puede ser estrictamente inferior a cero.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Resolver la desigualdad |5 − 2x| < 3 para x.
Solución
En este ejemplo, la gráfica del lado derecho de la desigualdad |5 − 2x| < 3 es una línea horizontal ubicada 3 unidades por encima del eje x. La gráfica del lado izquierdo de la desigualdad tiene la forma de “V” que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\) (b) y (c). Puede utilizar la utilidad de intersección en la calculadora gráfica para encontrar los puntos de intersección de las gráficas de y = |5 − 2x| e y = 3, como hemos hecho en las Figuras\(\PageIndex{3}\) (b) y (c). Tenga en cuenta que la calculadora indica dos puntos de intersección, uno en x = 1 y un segundo en x = 4.
La gráfica de y = |5 − 2x| cae por debajo de la gráfica de y = 3 para todos los valores de x entre 1 y 4. De ahí que la solución de la desigualdad |5 − 2x| < 3 es el conjunto de todos x satisfaciendo 1 < x < 4; es decir, {x: 1 < x < 4}.
Expectativas:
Necesitamos una forma de resumir este enfoque de calculadora gráfica en nuestro trabajo de tarea. Primero, dibuje un facsímil razonable de la ventana de visualización de su calculadora en su papel de tarea. Usa una regla para dibujar todas las líneas. Complete la siguiente lista de verificación.
- Etiquete cada eje, en este caso con x e y.
- Escala cada eje. Para ello, presione el botón VENTANA en su calculadora, luego reporte los valores de xmin, xmax, ymin e ymax en el eje apropiado.
- Etiquete cada gráfica con su ecuación.
- Coloque líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje x. Sombra y etiquete el conjunto de soluciones de la desigualdad en el eje x.
Siguiendo las pautas de la lista de verificación anterior, obtenemos la imagen en la Figura\(\PageIndex{4}\).
Aproximación algebraica. Exploremos ahora una solución algebraica de la desigualdad |5 − 2x| < 3. Tanto como |x| < 3 implica que −3 < x < 3, la desigualdad
\[|5-2 x|<3\]
requiere que
\[-3<5-2 x<3\]
Podemos restar 5 de los tres miembros de esta última desigualdad, luego simplificar.
\[\begin{aligned}-3-5 &<5-2 x-5<3-5 \\ &-8<-2 x<-2 \end{aligned}\]
Divide los tres miembros de esta última desigualdad por −2, invirtiendo los símbolos de desigualdad a medida que avanzas.
\[4>x>1\]
Preferimos que nuestras desigualdades lean de “pequeñas a grandes”, así que escribimos
\[1<x<4\]
Este formulario coincide con el orden de la solución sombreada en la línea numérica en la Figura\(\PageIndex{4}\), que encontramos usando la calculadora gráfica.
La técnica algebraica de este último ejemplo nos lleva a la siguiente propiedad.
Propiedad 8
Si a > 0, entonces la desigualdad |x| < a es equivalente a la desigualdad −a < x < a.
Esta propiedad proporciona un método simple para resolver desigualdades de la forma |x| < a. Apliquemos esta técnica algebraica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{7}\)
Resolver la desigualdad |4x + 5| < 7 para x.
Solución
El primer paso es usar la Propiedad 8 para escribir eso\[|4 x+5|<7\]
es equivalente a la desigualdad
\[-7<4 x+5<7\]
A partir de aquí, podemos resolver para x restando primero 5 de los tres miembros, luego dividiendo por 4.
\[\begin{array}{l}{-12<4 x<2} \\ {-3<x<\frac{1}{2}}\end{array}\]
Podemos bosquejar la solución en una línea numérica.
Y podemos describir la solución tanto en la notación interval como en la notación set-builder de la siguiente manera.
\[\left(-3, \frac{1}{2}\right)=\left\{x :-3<x<\frac{1}{2}\right\}\]
Suponiendo que a > 0, la desigualdad\(|x| \leq a\) requiere que encontremos donde el valor absoluto de x es “menor que” a o “igual a” a. Sabemos que |x| < a cuando −a < x < a y sabemos que |x| = a cuando x = −a o x = a. Así, la solución de\(|x| \leq a\) es la “unión” de estas dos soluciones.
Este argumento lleva a la siguiente propiedad.
Propiedad 10
Si\(a > 0\), entonces la desigualdad\(|x| \leq a\) es equivalente a la desigualdad\(−a \leq x \leq a\).
Ejemplo\(\PageIndex{8}\)
Resolver la desigualdad\(5 − 3|x − 4| \geq −4\) para x.
Solución
A primera vista, la desigualdad\[5-3|x-4| \geq-4\] tiene una forma bastante distinta a la que hemos hecho hasta ahora. No obstante, restemos 5 de ambos lados de la desigualdad.
\[-3|x-4| \geq-9\]
Ahora, dividamos ambos lados de esta última desigualdad por −3, invirtiendo el signo de desigualdad.
\[|x-4| \leq 3\]
¡Ajá! Suelo familiar. Usando la Propiedad 10, esta última desigualdad equivale a
\[-3 \leq x-4 \leq 3\]
y cuando sumamos 4 a los tres miembros, tenemos la solución.
\[1 \leq x \leq 7\]
Podemos bosquejar la solución en una línea numérica
Y podemos describir la solución con interval y notación set-builder.
\[[1,7]=\{x : 1 \leq x \leq 7\}\]
Resolviendo |x| > a
Las soluciones de |x| > a vuelven a depender del valor y signo de a. Para resolver |x| > a gráficamente, debemos determinar dónde se encuentra la gráfica de y = |x| por encima de la gráfica de y = a. Nuevamente, consideramos tres casos.
- Caso I: a < 0
En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente por debajo del eje x. Por lo tanto, la gráfica de y = |x| en la Figura\(\PageIndex{5}\) (a) siempre se encuentra por encima de la gráfica de y = a, de ahí que todos los números reales son soluciones de la desigualdad |x| > a.
- Caso II: a = 0
En este caso, la gráfica de y = 0 coincide con el eje x. Como se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\) (b), la gráfica de y = |x| estará estrictamente por encima de la gráfica de y = 0 para todos los valores de x con una excepción, es decir, x no puede ser igual a cero. De ahí que cada número real excepto x = 0 es una solución de |x| > 0. En la Figura\(\PageIndex{5}\) (b), hemos sombreado la solución de |x| > 0, es decir, el conjunto de todos los números reales excepto x = 0.
- Caso III: a > 0
En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente por encima del eje x. En la Figura\(\PageIndex{5}\) (c), la gráfica de y = |x| cruza la gráfica de y = a en x = −a y x = a En la Figura\(\PageIndex{5}\) (c), vemos que la gráfica de y = |x| se encuentra estrictamente por encima de la gráfica de y = a si x es menor que −a o mayor que a.
En la Figura\(\PageIndex{5}\) (c), hemos caído líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje x. En el eje x, hemos sombreado la solución de |x| > a, es decir, el conjunto de todos los números reales x tales que x < −a or x > a.
Esta discusión lleva a la siguiente propiedad.
Propiedad 12
La solución de |x| > a depende del valor y signo de a.
- Caso I: a < 0
Todos los números reales son soluciones de la desigualdad |x| > a.
- Caso II: a = 0
Todos los números reales, con la excepción de x = 0, son soluciones de |x| > 0.
- Caso III: a > 0
La desigualdad |x| > a tiene conjunto de soluciones {x: x < −a or x > a}.
Ejemplo\(\PageIndex{9}\)
Indicar la solución de cada una de las siguientes desigualdades.
\[\text { a. }|x|>-5 \qquad \text { b. }|x|>0 \qquad \text { c. }|x|>4\]
Solución
a. La solución de |x| > −5 son todos los números reales.
b. La solución de |x| > 0 son todos los números reales excepto cero.
c. La solución de |x| > 4 es el conjunto de todos los números reales menores que −4 o mayores que 4.
Ejemplo\(\PageIndex{10}\)
Resolver la desigualdad |4 − x| > −5 para x.
Solución
El lado izquierdo de la desigualdad |4 − x| > −5 no es negativo, por lo que la gráfica de y = |4 − x| debe estar por encima o sobre el eje x. La gráfica del lado derecho de |4 − x| > −5 es una línea horizontal ubicada 5 unidades debajo del eje x. Por lo tanto, la gráfica de y = |4 − x| siempre se encuentra por encima de la gráfica de y = −5. Así, todos los números reales son soluciones de la desigualdad |4 − x| > −5.
Podemos verificar nuestro pensamiento con la calculadora gráfica. Cargue los lados izquierdo y derecho de la desigualdad |4 − x| > −5 en Y1 e Y2, respectivamente, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\) (a). En el menú ZOOM, seleccione 6:ZStandard para producir la imagen que se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\) (b).
Como se predijo, la gráfica de y = |4 − x| se encuentra por encima de la gráfica de y = −5 para todos los números reales.
Intuitivamente, el valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, por lo que |4−x| > −5 para todos los valores reales de x.
Ejemplo\(\PageIndex{11}\)
Resolver la desigualdad |4 − x| > 0 para x.
Solución
Como vimos en la Figura\(\PageIndex{6}\) (b), la gráfica de y = |4 − x| se encuentra sobre o por encima del eje x para todos los números reales. “Toca” el eje x en el “vértice” de la “V”, donde\[|4-x|=0\]
Esto puede ocurrir solo si
\[\begin{aligned} 4-x &=0 \\-x &=-4 \\ x &=4 \end{aligned}\]
Así, la gráfica de y = |4 − x| está estrictamente por encima del eje x para todos los números reales excepto x = 4. Es decir, la solución de |4 − x| > 0 es {x: x 6= 4}.
Ejemplo\(\PageIndex{12}\)
Resolver la desigualdad |4 − x| > 5 para x.
Solución
En este ejemplo, la gráfica del lado derecho de |4 − x| > 5 es una línea horizontal ubicada 5 unidades por encima del eje x. La gráfica de y = |4 − x| tiene la forma de “V” mostrada en la Figura\(\PageIndex{6}\) (c). Puede utilizar la utilidad de intersección en la calculadora gráfica para aproximar los puntos de intersección de las gráficas de y = |4 − x| e y = 5, como hemos hecho en la Figura\(\PageIndex{7}\) (c) y (d). La calculadora indica dos puntos de intersección, uno en x = −1 y un segundo en x = 9.
La gráfica de y = |4 − x| se encuentra por encima de la gráfica de y = 5 para todos los valores de x que se encuentran a la izquierda de −1 o a la derecha de 9. De ahí que la solución de |4 − x| > 5 es el conjunto {x: x < −1 or x > 9}.
Siguiendo los lineamientos establecidos en Ejemplo\(\PageIndex{6}\), creamos la imagen mostrada en Figura\(\PageIndex{8}\) en nuestro papel de tarea. Tenga en cuenta que hemos etiquetado cada eje, escalado cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax, etiquetado cada gráfico con su ecuación, y sombreado y etiquetado la solución en el eje x.
Aproximación algebraica. Exploremos una solución algebraica de |4 − x| > 5. De la misma manera que |x| > 5 conduce a las condiciones x < −5 or x > 5, la desigualdad
\[|4-x|>5\]
requiere que
\[4-x<-5 \qquad \text { or } \qquad 4-x>5\]
Podemos resolver cada uno de estos de forma independiente restando primero 4 de cada lado de la desigualdad, luego multiplicando ambos lados de cada desigualdad por −1, invirtiendo cada desigualdad a medida que lo hacemos.
\[\begin{array}{rllrrl}{4-x} & {<} & {-5} & {\text { or }} & {4-x} & {>} & {5} \\ {-x} & {<} & {-9} && {-x} & {>} & {1} \\ {x} & {>} & {9} && {x} & {<} & {-1}\end{array}\]
Preferimos escribir esta solución en el orden
\[x<-1 \qquad \text { or } \qquad x>9\]
ya que luego coincide con el orden de la solución gráfica sombreada en la Figura\(\PageIndex{8}\). Es decir, el conjunto de soluciones es {x: x < −1 or x > 9}.
La técnica algebraica de este último ejemplo lleva a la siguiente propiedad.
Propiedad 17
Si a > 0, entonces la desigualdad |x| > a es equivalente a la desigualdad compuesta x < −a or x > a.
Esta propiedad proporciona una técnica algebraica simple para resolver desigualdades de la forma |x| > a, cuando a > 0. Concentrémonos en esta técnica en los ejemplos que siguen.
Ejemplo\(\PageIndex{13}\)
Resolver la desigualdad |4x − 3| > 1 para x.
Solución
El primer paso es usar la Propiedad 17 para escribir que\[|4 x-3|>1\] sea equivalente a
\[4 x-3<-1 \qquad \text { or } \qquad 4 x-3>1\]
Ahora podemos resolver cada desigualdad de forma independiente. Comenzamos por sumar 3 a ambos lados de cada desigualdad, luego dividimos ambos lados de las desigualdades resultantes por 4.
\[\begin{array}{rrlrrl}{4 x-3} & {<} & {-1} & {\text { or }} & {4 x-3} & {>} & {1} \\ {4 x} & {<} & {2} && {4 x} & {>} & {4} \\ {x} & {<} & {\frac{1}{2}} & &{x} & {>} & {1}\end{array}\]
Podemos esbozar las soluciones en una línea numérica.
Y podemos describir la solución usando la notación interval y set-builder.
\[(-\infty, 1 / 2) \cup(1, \infty)=\{x : x<1 / 2 \text { or } x>1\}\]
Nuevamente, vamos a > 0. Como hicimos con\(|x| \leq a\), podemos tomar la unión de las soluciones de |x| = a y |x| > a para encontrar la solución de\(|x| \geq a\). Esto lleva a la siguiente propiedad.
Definición
Si a > 0, entonces la desigualdad\(|x| \geq a\) es equivalente a la desigualdad\(x \leq −a\) o\(x \geq a\).
Ejemplo\(\PageIndex{14}\)
Resolver la desigualdad\(3|1 − x| − 4 \geq |1 − x|\) para x.
Solución
Nuevamente, a primera vista, la desigualdad\[3|1-x|-4 \geq|1-x|\]
se ve diferente a cualquier desigualdad que hayamos intentado hasta este punto. Sin embargo, si restamos |1 − x| de ambos lados de la desigualdad, luego sumamos 4 a ambos lados de la desigualdad, obtenemos
\[3|1-x|-|1-x| \geq 4\]
A la izquierda, tenemos términos similares. Tenga en cuenta que 3|1−x|−|1−x| = 3|1−x|−1|1−x| = 2|1−x|. Por lo tanto,
\[2|1-x| \geq 4\]
Dividir ambos lados de la última desigualdad por 2.
\[|1-x| \geq 2\]
Ahora podemos usar el Inmueble 19 para escribir
\[1-x \leq-2 \quad \text { or } \qquad 1-x \geq 2\]
Podemos resolver cada una de estas desigualdades de forma independiente. Primero, resta 1 de ambos lados de cada desigualdad, luego multiplica ambos lados de cada desigualdad resultante por −1, invirtiendo cada desigualdad a medida que avanzas.
\[\begin{array}{rllrrl}{1-x } & {\leq} & {-2} & {\text { or }} & {1-x } & {\geq} & { 2} \\ {-x } & {\leq} & {-3} && {-x } & {\geq } & {1} \\ {x} & { \geq } & {3} & &{x} & { \leq} & {-1}\end{array}\]
Preferimos escribir esto en el orden
\[x \leq-1 \qquad \text { or } \qquad x \geq 3\]
Podemos esbozar las soluciones en una línea numérica.
Y podemos describir las soluciones usando la notación interval y set-builder.
\[(-\infty,-1] \cup[3, \infty)=\{x : x \leq-1 \text { or } x \geq 3\}\]
Revisitando Distancia
Si a y b son algunos números en la línea real, entonces la distancia entre a y b se encuentra tomando el valor absoluto de su diferencia. Es decir, la distancia d entre a y b se calcula con d = |a − b|. Más importante aún, hemos aprendido a pronunciar el simbolismo |a − b| como “la distancia entre a y b”. Esta pronunciación es mucho más útil que decir “el valor absoluto de a menos b”.
Ejemplo\(\PageIndex{15}\)
Resolver la desigualdad |x − 3| < 8 para x.
Solución
Esta desigualdad se pronuncia “la distancia entre x y 3 es menor que 8”. Dibuja una recta numérica, localiza 3 en la línea, luego anota dos puntos que están a 8 unidades de distancia de 3.
Ahora, necesitamos sombrear los puntos que son menos de 8 unidades de 3.
De ahí que la solución de la desigualdad |x − 3| < 8 es\[(-5,11)=\{x :-5<x<11\}\]
Ejemplo\(\PageIndex{16}\)
Resolver la desigualdad |x + 5| > 2 para x.
Solución
Primero, escribe la desigualdad como diferencia.
\[|x-(-5)|>2\]
Esta última desigualdad se pronuncia “la distancia entre x y −5 es mayor que 2”. Dibuje una recta numérica, ubique −5 en la recta numérica, luego anote dos puntos que son 2 unidades de −5.
Ahora, necesitamos sombrear los puntos que son mayores de 2 unidades de −5.
De ahí que la solución de la desigualdad |x + 5| > 2 es
\[(-\infty,-7) \cup(-3, \infty)=\{x : x<-7 \quad \text { or } \quad x>-3\}\]
Ejercicio
Para cada una de las desigualdades en los Ejercicios 1 - 10, realizar cada una de las siguientes tareas.
- Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel gráfico. Etiquetar y escalar cada eje.
- Dibuje la gráfica de cada lado de la desigualdad sin la ayuda de una calculadora. Etiquete cada gráfica con su ecuación.
- Sombrear la solución de la desigualdad en el eje x (si la hay) de la manera mostrada en las Figuras 4 y 8 en la narrativa. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x. Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalos (cuando sea posible) para describir su conjunto de soluciones.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
|x| > −2
- Responder
-
Solución:\(\mathbb{R} = (−\infty, \infty)\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
|x| > 0
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
|x| < 3
- Responder
-
Solución: (−3, 3) = {x: −3 < x < 3}
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
|x| > 2
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
|x| > 1
- Responder
-
Solución:\((−\infty,−1) \cup (1,\infty)\) = {x: x <−1 o x > 1}.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
|x| < 4
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
|x| ≤ 0
- Responder
-
Solución: {x: x = 0}
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
|x| ≤ −2
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
|x| ≤ 2
- Responder
-
Solución: [−2, 2] = {x:\(−2 \le x \le 2\)}.
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
|x| ≥ 1
Para cada una de las desigualdades en los Ejercicios 11 - 22, realizar cada una de las siguientes tareas.
- Cargue cada lado de la desigualdad en el menú Y= de su calculadora. Ajuste la ventana de visualización para que todos los puntos de intersección de las dos gráficas sean visibles en la ventana de visualización.
- Copia la imagen en tu pantalla de visualización en tu papel de tarea. Etiquete cada eje y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Etiquete cada gráfica con su ecuación.
- Utilice la utilidad Intersect en el menú CALC para determinar los puntos de intersección. Sombrear la solución de la desigualdad en el eje x (si la hubiera) de la manera mostrada en las Figuras 4 y 8 en la narrativa. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x. Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalos (cuando sea apropiado) para describir su conjunto de soluciones.
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
|3−2x| > 5
- Responder
-
Solución:\((−\infty, −1) \cup (4, \infty)\) = {x: x <−1 o x > 4}.
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
|2x+7| < 4
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
|4x+5| < 7
- Responder
-
Solución: (−3, 0.5) = {x: −3 < x < 0.5}.
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
|5x−7| > 8
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
|4x+5| > −2
- Responder
-
Solución:\(\mathbb{R} = (−\infty, \infty)\)
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
|3x−5| < −3
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
\(|2x−9| \ge 6\)
- Responder
-
Solución:\((−\infty, 1.5] \cup [7.5, \infty)\) = {x:\(x \ le 1.5 or x \ge 7.5\)}.
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
\(|3x+25| \ge 8\)
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
\(|13−2x| \le 7\)
- Responder
-
Solución: [3, 10] = {x:\(3 \le x \le 10\)}.
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
\(|2x+15| \le 7\)
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
\(|3x−11| > 0\)
- Responder
-
Solución: {x:\(x \ne \frac{11}{3}\)}
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
\(|4x+19| \le 0\)
Para cada una de las desigualdades en los Ejercicios 23 - 32, proporcionar una solución puramente algebraica sin el uso de una calculadora. Muestre todo su trabajo que conduzca a la solución, sombree su conjunto de soluciones en una línea numérica, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos (si es posible) para describir su conjunto de soluciones.
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
|4x+3| < 8
- Responder
-
(\(−\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\)) = {x:\(−\frac{11}{4} < x < \frac{5}{4}\)}
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
|3x−5| > 11
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
\(|2x−3| \le 10\)
- Responder
-
[\(−\frac{7}{2}, \frac{13}{2}\)] = {x:\(−\frac{7}{2} \le x \le \frac{13}{2}\)}
Ejercicio\(\PageIndex{26}\)
\(|3−5x| \ge 15\)
Ejercicio\(\PageIndex{27}\)
|3x−4| < 7
- Responder
-
(−1,\(\frac{11}{3}\)) = {x:\(−1 < x < \frac{11}{3}\)}
Ejercicio\(\PageIndex{28}\)
|5−2x| > 10
Ejercicio\(\PageIndex{29}\)
\(|3−7x| \ge 5\)
- Responder
-
\((−\infty,−\frac{2}{7}] \cup [\frac{8}{7}, \infty)\)= {x:\(x \le −\frac{2}{7}\) o\(x \ge \frac{8}{7}\)}
Ejercicio\(\PageIndex{30}\)
\(|2−11x| \le 6\)
Ejercicio\(\PageIndex{31}\)
\(|x+2| \ge −3\)
- Responder
-
\(\mathbb{R} = (−\infty, \infty)\)
Ejercicio\(\PageIndex{32}\)
|x+5| < −4
Para cada una de las desigualdades en los Ejercicios 33 - 38, realizar cada una de las siguientes tareas.
- Organice cada una de las siguientes partes en su papel de tarea en la misma ubicación. No coloques la obra algebraica en una página y la obra gráfica en otra.
- Siga cada una de las instrucciones dadas para los Ejercicios 11 - 22 para encontrar y registrar una solución con su calculadora gráfica.
- Proporcione una solución puramente algebraica, mostrando todos los pasos de su trabajo. Haga un boceto de su solución en una línea numérica, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su conjunto de soluciones ¿Estas soluciones se comparan favorablemente con las que se encuentran usando su calculadora gráfica en la parte (2)? Si no, busca un error en tu trabajo.
Ejercicio\(\PageIndex{33}\)
|x−8| < 7
- Responder
-
(1, 15) = {x: 1 < x < 15}
Ejercicio\(\PageIndex{34}\)
|2x−15| > 5
Ejercicio\(\PageIndex{35}\)
\(|2x+11| \ge 6\)
- Responder
-
\((−\infty, −8.5] \cup [−2.5, \infty)\)= {x:\(x \le −8.5\) o\(x \ge −2.5\)}
Ejercicio\(\PageIndex{36}\)
\(|5x−21| \le 7\)
Ejercicio\(\PageIndex{37}\)
|x−12| > 6
- Contestar
-
\((−\infty, 6) \cup (18, \infty)\)= {x: x < 6 or x > 18}
Ejercicio\(\PageIndex{38}\)
|x+11| < 5
Utilizar una técnica estrictamente algebraica para resolver cada una de las ecuaciones en los Ejercicios 39 - 46. No utilice una calculadora. Sombra el conjunto de soluciones en una línea numérica y describa el conjunto de soluciones usando tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalo.
Ejercicio\(\PageIndex{39}\)
|x+2|−3 > 4
- Contestar
-
\((−\infty, −9) \cup (5, \infty)\)= {x: x < −9 or x > 5}
Ejercicio\(\PageIndex{40}\)
3|x+5| < 6
Ejercicio\(\PageIndex{41}\)
\(−2|3−2x| \le −6\)
- Contestar
-
\((−\infty, 0] \cup [3, \infty)\)= {x:\(x \le 0\) o\(x \ge 3\)}
Ejercicio\(\PageIndex{42}\)
\(|4−x|+5 \ge 12\)
Ejercicio\(\PageIndex{43}\)
3|x+2|−5 > |x+2|+7
- Contestar
-
\((−\infty, −8) \cup (4, \infty)\)= {x: x < −8 or x > 4}
Ejercicio\(\PageIndex{44}\)
4−3|4−x| > 2|4−x|−1
Ejercicio\(\PageIndex{45}\)
\(|\frac{x}{3}−\frac{1}{4}| \le \frac{1}{12}\)
- Contestar
-
[\(\frac{1}{2}\), 1] = {x:\(\frac{1}{2} \le x \le 1\)}
Ejercicio\(\PageIndex{46}\)
\(|\frac{x}{4}−\frac{1}{2}| \ge \frac{2}{3}\)
Utilizar la técnica de distancia en la recta numérica demostrada en los Ejemplos 21 y 22 para resolver cada una de las desigualdades en los Ejercicios 47 - 50. Proporcionar bocetos de líneas numéricas como en el Ejemplo 17 en la narrativa. Describa el conjunto de soluciones utilizando tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalos.
Ejercicio\(\PageIndex{47}\)
|x−5| < 8
- Contestar
-
(−3, 13) = {x: −3 < x < 13}
Ejercicio\(\PageIndex{48}\)
|x−2| > 4
Ejercicio\(\PageIndex{49}\)
\(|x+4| \ge 3\)
- Contestar
-
\((−\infty, −7] \cup [−1, \infty)\)= {x:\(x \le −7\) o\(x \ge −1\)}
Ejercicio\(\PageIndex{50}\)
\(|x+2| \le 11\)
Usa las instrucciones proporcionadas en los Ejercicios 11 - 22 para resolver las desigualdades en los Ejercicios 51 - 52. Describa el conjunto de soluciones utilizando tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalos.
Ejercicio\(\PageIndex{51}\)
\(|x+2| < \frac{1}{3}x+5\)
- Contestar
-
(−5.25, 4.5) = {x: −5.25 < x < 4.5}
Ejercicio\(\PageIndex{52}\)
\(|x−3| > 5−\frac{1}{2}x\)
En los Ejercicios 53 - 54, realizar cada una de las siguientes tareas.
- Configure un sistema de coordenadas en papel gráfico. Etiquetar y escalar cada eje.
- Sin el uso de una calculadora, dibuje los gráficos de los lados izquierdo y derecho de la desigualdad dada. Etiquete cada gráfica con su ecuación.
- Sombrear la solución de la desigualdad en el eje x (si la hay) de la manera mostrada en las Figuras 4 y 8 en la narrativa. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x (tendrás que aproximar). Describa el conjunto de soluciones utilizando tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalos.
Ejercicio\(\PageIndex{53}\)
\(|x−2| > \frac{1}{3}x+2\)
- Contestar
-
\((−\infty, 0) \cup (6, \infty)\)= {x: x < 0 or x > 6}
Ejercicio\(\PageIndex{54}\)
\(|x+4| < \frac{1}{3}x+4\)