7.5: Sumas y diferencias de funciones racionales
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Primero y ante todo está el concepto del múltiplo de un entero. Esto se explica mejor con un ejemplo sencillo. Los múltiplos de 8 es el conjunto de enteros\(\{8 k : k \text { is an integer }\}\). Es decir, si multiplicas 8 por\(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4\), etc., se produce lo que se conoce como los múltiplos de 8.
\[\text { Multiples of } 8 \text { are: } 0, \pm 8, \pm 16, \pm 24, \pm 32, \text { etc. }\]
No obstante, para nuestros fines, sólo los múltiplos positivos son de interés. Entonces diremos:
De igual manera, podemos enumerar los múltiplos positivos de 6.
Hemos enmarcado esos números que son múltiplos tanto del 8 como del 6. Estos se denominan los múltiplos comunes de 8 y 6.
\[\text { Common multiples of } 8 \text { and } 6 \text { are: } 24,48,72, \ldots\]
El más pequeño de esta lista de múltiplos comunes de 8 y 6 se llama el múltiplo menos común de 8 y 6. Usaremos la siguiente notación para representar el mínimo común múltiplo de 8 y 6: MCM (8, 6).
Ojalá, ahora te sientas cómodo con la siguiente definición.
Definición: Mínimo Común Múltiple (MCM)
Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros. El múltiplo menos común de a y b, denotado LCM (a, b), es el múltiplo positivo más pequeño que a y b tienen en común.
Para números más grandes, enumerar múltiplos hasta que encuentres uno en común puede ser poco práctico y llevar mucho tiempo. Encontremos el múltiplo menos común de 8 y 6 por segunda vez, solo que esta vez usemos una técnica diferente.
Primero, escribe cada número como producto de primos en forma exponencial.
\[\begin{array}{l}{8=2^{3}} \\ {6=2 \cdot 3}\end{array}\]
Aquí está la regla.
Un procedimiento para encontrar el LCM
Para encontrar el LCM de dos enteros, proceda de la siguiente manera.
- Expresar la factorización prima de cada entero en formato exponencial.
- Para encontrar el múltiplo menos común, anote cada número primo que aparezca, luego coloca el mayor exponente de ese primo que aparece.
En nuestro ejemplo, los primos que ocurren son 2 y 3. El poder más alto de 2 que ocurre es\(2^{3}\). El poder más alto de 3 que ocurre es\(3^{1}\). Así, el LCM (8, 6) es
\[\operatorname{LCM}(8,6)=2^{3} \cdot 3^{1}=24\]
Tenga en cuenta que este resultado es idéntico al resultado encontrado anteriormente al enumerar todos los múltiplos comunes y elegir el más pequeño.
Intentemos un ejemplo más duro.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra el mínimo común múltiplo de 24 y 36.
Solución
Usando la primera técnica, enumeramos los múltiplos de cada número, enmarcando los múltiplos en común.
Los múltiplos en común son 72, 144, etc., y el múltiplo menos común es MCM (24, 36) = 72.
Ahora, usemos nuestra segunda técnica para encontrar el múltiplo menos común (LCM). Primero, expresar cada número como producto de primos en formato exponencial.
\[\begin{array}{l}{24=2^{3} \cdot 3} \\ {36=2^{2} \cdot 3^{2}}\end{array}\]
Para encontrar el múltiplo menos común, anote cada primo que ocurra y afije el poder más alto de ese primo que ocurra. Así, el poder más alto de 2 que ocurre es\(2^{3}\), y el poder más alto de 3 que ocurre es\(3^{2}\). Por lo tanto, el múltiplo menos común es\[\operatorname{LCM}(24,36)=2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72\]
Suma y resta definida
Imagina una pizza que ha sido cortada en 12 rebanadas iguales. Entonces, cada rebanada de pizza representa 1/12 de toda la pizza.
Si Jimmy come 3 rebanadas, entonces ha consumido 3/12 de toda la pizza. Si Margaret come 2 rebanadas, entonces ha consumido 2/12 de toda la pizza. Está claro que juntos han consumido\[\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\]
de la pizza. ¡Parecería que sumar dos fracciones con un denominador común es tan sencillo como comer pizza! Esperemos que la siguiente definición parezca razonable.
Definición
Para sumar dos fracciones con denominador común, como a/c y b/c, sumar los numeradores y dividir por el denominador común. En símbolos,
\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\]
Observe cómo esta definición concuerda precisamente con nuestro consumo de pizza discutido anteriormente. Aquí hay algunos ejemplos de sumar fracciones que tienen denominadores comunes.
\[\begin{array}{llllll} {\frac{5}{21}+\frac{3}{21}} & {=} & {\frac{5+3}{21}} & {\frac{2}{x+2}+\frac{x-3}{x+2}} & {=} & {\frac{2+(x-3)}{x+2}} \\{}& {=}&{\frac{8}{21}} & {} & {=}&{\frac{2+x-3}{x+2}} \\ {} &&&{}& {=}&{\frac{x-1}{x+2}}\end{array}\]
La resta funciona de la misma manera que la suma.
Definición
Para restar dos fracciones con un denominador común, como a/c y b/c, restar los numeradores y dividir por el denominador común. En símbolos,
\[\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}\]
Aquí algunos ejemplos de restar fracciones que ya tienen denominadores comunes.
\[\begin{array}{llllll} {\frac{5}{21}-\frac{3}{21}} & {=} & {\frac{5-3}{21}} & {\frac{2}{x+2}-\frac{x-3}{x+2}} & {=} & {\frac{2-(x-3)}{x+2}} \\{}& {=}&{\frac{2}{21}} & {} & {=}&{\frac{2-x+3}{x+2}} \\ {} &&&{}& {=}&{\frac{5-x}{x+2}}\end{array}\]
En el ejemplo de la derecha, tenga en cuenta que es sumamente importante usar símbolos de agrupación al restar numeradores. Tenga en cuenta que el signo menos delante de la expresión entre paréntesis cambia el signo de cada término dentro de los paréntesis.
Hay momentos en que un cambio de signo proporcionará un denominador común.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Simplifique todas las restricciones\[\frac{x}{x-3}-\frac{2}{3-x}\] estatales.
Solución
A primera vista, parece que no tenemos un denominador común. A segunda vista, si hacemos un cambio de señal en la segunda fracción, podría ayudar. Entonces, en la segunda fracción, negemos el denominador y la barra de fracción para obtener\[\frac{x}{x-3}-\frac{2}{3-x}=\frac{x}{x-3}+\frac{2}{x-3}=\frac{x+2}{x-3}\]
Los denominadores x−3 o 3−x son cero cuando x = 3. De ahí que 3 sea un valor restringido. Para todos los demás valores de x, el lado izquierdo de
\[\frac{x}{x-3}-\frac{2}{3-x}=\frac{x+2}{x-3}\]
es idéntico al lado derecho.
Esto se prueba fácilmente usando la utilidad de tabla en la calculadora gráfica, como se muestra en la secuencia de capturas de pantalla en la Figura\(\PageIndex{1}\). Primero cargue los lados izquierdo y derecho de la ecuación (7) en Y1 e Y2 en el menú Y= de su calculadora gráfica, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). Presione 2do TBLSET y realice los cambios mostrados en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). Presione 2da TABLA para producir la tabla mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c). Observe el mensaje ERR (error) en la restricción x = 3, pero tenga en cuenta también el acuerdo de Y1 e Y2 para todos los demás valores de x.
Fracciones Equivalentes
Si corta una pizza en cuatro trozos iguales, luego consume dos de las cuatro rebanadas, ha consumido la mitad de la pizza. Esto motiva el hecho de que\[\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\]. En efecto, si rebanas la pizza en seis trozos iguales, entonces consumes tres rebanadas, has consumido la mitad de la pizza, así que es justo decir que 3/6 = 1/2. De hecho, todas las fracciones siguientes son equivalentes:
\[\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{7}{14}=\cdots\]
Una forma más formal de demostrar que 1/2 y 7/14 son iguales es comenzar con el hecho de que 1/2 = 1/2 × 1, luego reemplazar 1 por 7/7 y multiplicar.
\[\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times \color{blue}{1}=\frac{1}{2} \times \color{blue}{\frac{7}{7}}=\frac{7}{14}\]
Aquí hay otro ejemplo de este principio en acción, solo que esta vez reemplazamos 1 por (x − 2)/(x − 2).
\[\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2} \cdot \color{blue}{1}=\frac{3}{x+2} \cdot \color{blue}{\frac{x-2}{x-2}}=\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)}\]
En el siguiente ejemplo reemplazamos 1 por (x (x − 3))/(x (x − 3)).
\[\frac{2}{x-4}=\frac{2}{x-4} \cdot \color{blue}{1}=\frac{2}{x-4} \cdot \color{blue}{\frac{x(x-3)}{x(x-3)}}=\frac{2 x(x-3)}{x(x-4)(x-3)}\]
Ahora, vamos a aplicar el concepto de fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.
Sumando y restando fracciones con diferentes denominadores
En esta sección mostramos a nuestros lectores cómo sumar y restar fracciones que tienen diferentes denominadores. Por ejemplo, supongamos que se nos pide agregar las siguientes fracciones.
\[\frac{5}{12}+\frac{5}{18}\]
Primero, debemos encontrar un “denominador común”. Afortunadamente, la maquinaria para encontrar el “denominador común” ya está en su lugar. Resulta que el mínimo denominador común para 12 y 18 es el múltiplo menos común de 12 y 18.
\[\begin{aligned} 18 &=2 \cdot 3^{2} \\ 12 &=2^{2} \cdot 3 \\ \operatorname{LCD}(12,18) &=2^{2} \cdot 3^{2}=36 \end{aligned}\]
El siguiente paso es crear fracciones equivalentes usando la LCD como denominador. Entonces, en el caso del 5/12,
\[\frac{5}{12}=\frac{5}{12} \cdot \color{blue}{1}=\frac{5}{12} \cdot \color{blue}{\frac{3}{3}}=\frac{15}{36}\]
En el caso del 5/18,\[\frac{5}{18}=\frac{5}{18} \cdot \color{blue}{1}=\frac{5}{18} \cdot \color{blue}{\frac{2}{2}}=\frac{10}{36}\]
Si reemplazamos las fracciones de la ecuación (8) por sus fracciones equivalentes, entonces podemos sumar los numeradores y dividirlas por el denominador común, como en
\[\frac{5}{12}+\frac{5}{18}=\frac{15}{36}+\frac{10}{36}=\frac{15+10}{36}=\frac{25}{36}\]
Examinemos un método de organización del trabajo que sea más compacto. Considera el siguiente arreglo, donde hemos usado color para resaltar la forma de 1 requerida para convertir las fracciones a fracciones equivalentes con un denominador común de 36.
\[\begin{aligned} \frac{5}{12}+\frac{5}{18} &=\frac{5}{12} \cdot \color{blue}{\frac{3}{3}}+\frac{5}{18} \cdot \color{blue}{\frac{2}{2}} \\ &=\frac{15}{36}+\frac{10}{36} \\ &=\frac{25}{36} \end{aligned}\]
Veamos un ejemplo más complicado.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Simplificar la expresión\[\frac{x+3}{x+2}-\frac{x+2}{x+3}\] Estado todas las restricciones.
Solución
Los denominadores ya están factorizados. Si tomamos cada factor que aparece a la mayor potencia exponencial que aparece, nuestro mínimo denominador común es (x+2) (x+3). Nuestra primera tarea es hacer fracciones equivalentes que tengan este denominador común.
\[\begin{aligned} \frac{x+3}{x+2}-\frac{x+2}{x+3} &=\frac{x+3}{x+2} \cdot \color{blue}{\frac{x+3}{x+3}}-\frac{x+2}{x+3} \cdot \color{blue}{\frac{x+2}{x+2}} \\ &=\frac{x^{2}+6 x+9}{(x+2)(x+3)}-\frac{x^{2}+4 x+4}{(x+2)(x+3)} \end{aligned}\]
Ahora, restar los numeradores y dividir por el denominador común.
\[\begin{aligned} \frac{x+3}{x+2}-\frac{x+2}{x+3} &=\frac{\left(x^{2}+6 x+9\right)-\left(x^{2}+4 x+4\right)}{(x+2)(x+3)} \\ &=\frac{x^{2}+6 x+9-x^{2}-4 x-4}{(x+2)(x+3)} \\ &=\frac{2 x+5}{(x+2)(x+3)} \end{aligned}\]
Anote el uso de paréntesis cuando restamos los numeradores. Observe además cómo el signo menos niega cada término en la expresión entre paréntesis que sigue al signo menos.
Tip
Siempre use símbolos de agrupación al restar los numeradores de fracciones.
En la respuesta final, los factores x + 2 y x + 3 en el denominador son cero cuando x = −2 o x = −3. Estas son las restricciones. Ningún otro denominador, en el problema original o en el cuerpo de nuestro trabajo, proporciona restricciones adicionales.
Así, para todos los valores de x, excepto los valores restringidos −2 y −3, el lado izquierdo de
\[\frac{x+3}{x+2}-\frac{x+2}{x+3}=\frac{2 x+5}{(x+2)(x+3)}\]
es idéntico al lado derecho. Esta afirmación se prueba fácilmente en la calculadora gráfica que se evidencia en la secuencia de capturas de pantalla en la Figura\(\PageIndex{2}\). Observe el mensaje ERR (error) en cada valor restringido de x en la Figura\(\PageIndex{2}\) (c), pero también anote el acuerdo de Y1 e Y2 para todos los demás valores de x.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Simplifica la expresión\[\frac{4}{x^{2}+6 x+5}-\frac{2}{x^{2}+8 x+15}\]. Estado todas las restricciones.
Solución
Primero, factorial cada denominador. \[\frac{4}{x^{2}+6 x+5}-\frac{2}{x^{2}+8 x+15}=\frac{4}{(x+1)(x+5)}-\frac{2}{(x+3)(x+5)}\]
El mínimo común denominador, o mínimo común múltiplo (LCM), requiere que escribamos cada factor que ocurra, luego fijemos la mayor potencia de ese factor que se produce. Debido a que todos los factores en los denominadores se elevan a una potencia entendida de uno, el LCD (mínimo denominador común) o LCM es (x + 1) (x + 5) (x + 3).
A continuación, hacemos fracciones equivalentes teniendo este denominador común.
\[\begin{aligned} \frac{4}{x^{2}+6 x+5}-\frac{2}{x^{2}+8 x+15} &=\frac{4}{(x+1)(x+5)} \cdot \color{blue}{\frac{x+3}{x+3}}-\frac{2}{(x+3)(x+5)} \cdot \color{blue}{\frac{x+1}{x+1}} \\ &=\frac{4 x+12}{(x+3)(x+5)(x+1)}-\frac{2 x+2}{(x+3)(x+5)(x+1)} \end{aligned}\]
Restar los numeradores y dividir por el denominador común. Asegúrese de usar símbolos de agrupación, particularmente con el signo menos que está en juego.
\[\begin{aligned} \frac{4}{x^{2}+6 x+5}-\frac{2}{x^{2}+8 x+15} &=\frac{(4 x+12)-(2 x+2)}{(x+3)(x+5)(x+1)} \\ &=\frac{4 x+12-2 x-2}{(x+3)(x+5)(x+1)} \\ &=\frac{2 x+10}{(x+3)(x+5)(x+1)} \end{aligned}\]
Por último, siempre debemos asegurarnos de que nuestra respuesta se reduzca a los términos más bajos. Con ese pensamiento en mente, factorizamos el numerador con la esperanza de que podamos obtener un factor común para cancelar.
\[\begin{aligned} \frac{4}{x^{2}+6 x+5}-\frac{2}{x^{2}+8 x+15} &=\frac{2(x+5)}{(x+3)(x+5)(x+1)} \\ &=\frac{2(x+5)}{(x+3)(x+5)(x+1)} \\ &=\frac{2}{(x+3)(x+1)} \end{aligned}\]
Los denominadores tienen factores de x+ 3, x+ 5 y x+ 1, por lo que las restricciones son x = −3, x = −5 y x = −1, respectivamente. Para todos los demás valores de x, el lado izquierdo de
\[\frac{4}{x^{2}+6 x+5}-\frac{2}{x^{2}+8 x+15}=\frac{2}{(x+3)(x+1)}\]
es idéntico a su lado derecho. Nuevamente, esto se prueba fácilmente usando la función de tabla de la calculadora gráfica, como se muestra en las capturas de pantalla de la Figura\(\PageIndex{3}\). Nuevamente, tenga en cuenta los mensajes ERR (error) en cada valor restringido de x, pero también tenga en cuenta que Y1 e Y2 están de acuerdo para todos los demás valores de x.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Simplifica la expresión\[\frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x}\]. Estado todas las restricciones.
Solución
Primero, factorial todos los denominadores.
\[\frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x-3}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x}\]
Si no tenemos cuidado, podríamos tener la tentación de tomar uno de cada factor y usar (x+ 1) (x− 1) (1−x) como denominador común. No obstante, primero hagamos dos negaciones de la última de las tres fracciones de la derecha, negando la barra de fracciones y denominador para obtener
\[\frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x-3}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\]
Ahora podemos ver que bastará con un denominador común de (x + 1) (x − 1). Hagamos fracciones equivalentes con este denominador común.
\[\begin{aligned} \frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x} &=\frac{x-3}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{x+1} \cdot \color{blue}{\frac{x-1}{x-1}}+\frac{1}{x-1} \cdot \color{blue}{\frac{x+1}{x+1}} \\ &=\frac{x-3}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} \end{aligned}\]
Sumar los numeradores y dividir por el denominador común. A pesar de que los símbolos de agrupación no son tan críticos en este problema (debido a los signos más), seguimos pensando que es una buena práctica usarlos.
\[\begin{aligned} \frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x} &=\frac{(x-3)+(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)} \\ &=\frac{3 x-3}{(x+1)(x-1)} \end{aligned}\]
Por último, asegúrate siempre de que tu respuesta final se reduzca a los términos más bajos. Con ese pensamiento en mente, factorizamos el numerador con la esperanza de que podamos obtener un factor común para cancelar.
\[\begin{aligned} \frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x} &=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ &=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ &=\frac{3}{x+1} \end{aligned}\]
Los factores x + 1 y x − 1 en el denominador producen restricciones x = −1 y x = 1, respectivamente. Sin embargo, para todos los demás valores de x, el lado izquierdo de
\[\frac{x-3}{x^{2}-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{1-x}=\frac{3}{x+1}\]
es idéntico al lado derecho. Nuevamente, esto se verifica fácilmente en la calculadora gráfica como se muestra en la secuencia de capturas de pantalla en la Figura\(\PageIndex{4}\).
Nuevamente, anote los mensajes ERR (error) en cada restricción, pero también tenga en cuenta que los valores de Y1 e Y2 coinciden para todos los demás valores de x.
Veamos un ejemplo usando notación de funciones.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Si las funciones f y g están definidas por las reglas\[f(x)=\frac{x}{x+2} \quad \text { and } \quad g(x)=\frac{1}{x}\], simplifique f (x) − g (x).
Solución
En primer lugar,\[f(x)-g(x)=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\]
Observe lo tentador que sería cancelar. No obstante, cancelar sería un error en esta situación, porque la resta requiere de un denominador común.
\[\begin{aligned} f(x)-g(x) &=\frac{x}{x+2} \cdot \color{blue}{\frac{x}{x}}-\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{x+2}{x+2}} \\ &=\frac{x^{2}}{x(x+2)}-\frac{x+2}{x(x+2)} \end{aligned}\]
Restar numeradores y dividir por el denominador común. Esto requiere que “distribuyamos” el signo menos.
\[\begin{aligned} f(x)-g(x) &=\frac{x^{2}-(x+2)}{x(x+2)} \\ &=\frac{x^{2}-x-2}{x(x+2)} \end{aligned}\]
Este resultado es válido para todos los valores de x excepto 0 y −2. Dejamos a nuestros lectores verificar que este resultado se reduzca a los términos más bajos. Es posible que también desee verificar el resultado en su calculadora.
Ejercicio
En los Ejercicios 1 - 16, suma o resta las expresiones racionales, como se indica, y simplifica tu respuesta. Estado todas las restricciones.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
\(\frac{7x^2−49x}{x−6}+\frac{42}{x−6}\)
- Contestar
-
7 (x−1), siempre\(x \ne 6\).
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
\(\frac{2x^2−110}{x−7}−\frac{12}{7−x}\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
\(\frac{27x− 9x^2}{x+3}+\frac{162}{x+3}\)
- Contestar
-
−9 (x−6), siempre\(x \ne −3\).
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
\(\frac{2x^2−28}{x+2}−\frac{10x}{x+2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
\(\frac{4x^2−8}{x−4}+\frac{56}{4−x}\)
- Contestar
-
4 (x+4), siempre\(x \ne 4\).
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
\(\frac{4x^2}{x−2}−\frac{36x−56}{x−2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
\(\frac{9x^2}{x−1}+\frac{72x−63}{1−x}\)
- Contestar
-
9 (x−7), siempre\(x \ne 1\).
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
\(\frac{5x^2+30}{x−6}−\frac{35x}{x−6}\)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
\(\frac{4x^2−60x}{x−7}+\frac{224}{x−7}\)
- Contestar
-
4 (x−8), siempre\(x \ne 7\).
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
\(\frac{3x^2}{x−7}−\frac{63−30x}{7−x}\)
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
\(\frac{3x^2}{x−2}−\frac{48−30x}{2−x}\)
- Contestar
-
3 (x−8), siempre\(x \ne 2\).
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
\(\frac{4x^2−164}{x−6}−\frac{20}{6−x}\)
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
\(\frac{9x^2}{x−2}−\frac{81x−126}{x−2}\)
- Contestar
-
9 (x−7), siempre\(x \ne 2\).
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
\(\frac{9x^2}{x−8}+\frac{144x−576}{8−x}\)
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
\(\frac{3x^2−12}{x−3}+\frac{15}{3−x}\)
- Contestar
-
3 (x+3), siempre\(x \ne 3\).
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
\(\frac{7x^2}{x−9}−\frac{112x−441}{x−9}\)
En los Ejercicios 17 - 34, suma o resta las expresiones racionales, como se indica, y simplifica tu respuesta. Estado todas las restricciones.
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
\(\frac{3x}{x^2−6x+5}+\frac{15}{x^2−14x+45}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 5, 1, 9\),
\(\frac{3(x+1)}{(x−1)(x−9)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
\(\frac{7x}{x^2−4x}+\frac{28}{x^2−12x+32}\)
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
\(\frac{9x}{x^2+4x−12}−\frac{54}{x^2+20x+84}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne −6, 2, −14\),
\(\frac{9(x+2)}{(x−2)(x+14)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
\(\frac{9x}{x^2−25}−\frac{45}{x^2+20x+75}\)
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
\(\frac{5x}{x^2−21x+98}−\frac{35}{7x−x^2}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 7, 14, 0\),
\(\frac{5(x+14)}{x(x−14)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
\(\frac{7x}{7x−x^2}+\frac{147}{x^2+7x−98}\)
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
\(\frac{−7x}{x^2−8x+15}−\frac{35}{x^2−12x+35}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 5, 3, 7\),
\(\frac{−7(x+3)}{(x−3)(x−7)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
\(\frac{−6x}{x^2+2x}+\frac{12}{x^2+6x+8}\)
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
\(\frac{−9x}{x^2−12x+32}−\frac{36}{x^2−4x}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 4, 8, 0\),
\(\frac{−9(x+8)}{x(x−8)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{26}\)
\(\frac{5x}{x^2−12x+32}−\frac{20}{4x−x^2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{27}\)
\(\frac{6x}{x^2−21x+98}−\frac{42}{7x−x^2}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 7, 14, 0\),
\(\frac{6(x+14)}{x(x−14)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{28}\)
\(\frac{−2x}{x^2−3x−10}+\frac{4}{x^2+11x+18}\)
Ejercicio\(\PageIndex{29}\)
\(\frac{−9x}{x^2−6x+8}−\frac{18}{x^2−2x}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 2,4,0\),
\(\frac{−9(x+4)}{x(x−4)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{30}\)
\(\frac{6x}{5x−x^2}+\frac{90}{x^2+5x−50}\)
Ejercicio\(\PageIndex{31}\)
\(\frac{8x}{5x−x^2}+\frac{120}{x^2+5x−50}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne 5, 0, −10\),
\(\frac{−8}{x+10}\)
Ejercicio\(\PageIndex{32}\)
\(\frac{−5x}{x^2+5x}+\frac{25}{x^2+15x+50}\)
Ejercicio\(\PageIndex{33}\)
\(\frac{−5x}{x^2+x−30}+\frac{30}{x^2+23x+102}\)
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne −6, 5, −17\),
\(\frac{−5(x+5)}{(x−5)(x+17)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{34}\)
\(\frac{9x}{x^2+12x+32}−\frac{36}{x^2+4x}\)
Ejercicio\(\PageIndex{35}\)
Let
\(f(x) = \frac{8x}{x^2+6x+8}\)
y
\(g(x) = \frac{16}{x^2+2x}\)
Calcula f (x) −g (x) y simplifica tu respuesta.
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne −2, −4, 0\),
\(\frac{8(x−4)}{x(x+4)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{36}\)
Let
\(f(x) = \frac{−7x}{x^2+8x+12}\)
y
\(g(x) = \frac{42}{x^2+16x+60}\)
Calcula f (x) +g (x) y simplifica tu respuesta.
Ejercicio\(\PageIndex{37}\)
Let
\(f(x) = \frac{11x}{x^2+12x+32}\)
y
\(g(x) = \frac{44}{−4x−x^2}\)
Calcula f (x) +g (x) y simplifica tu respuesta.
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne −4, −8, 0\),
\(\frac{11(x−8)}{x(x+8)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{38}\)
Let
\(f(x) = \frac{8x}{x^2−6x}\)
y
\(g(x) = \frac{48}{x^2−18x+72}\)
Calcula f (x) +g (x) y simplifica tu respuesta.
Ejercicio\(\PageIndex{39}\)
Let
\(f(x) = \frac{4x}{−x−x^2}\)
y
\(g(x) = \frac{4}{x^2+3x+2}\)
Calcula f (x) +g (x) y simplifica tu respuesta.
- Contestar
-
Proporcionado\(x \ne −1, 0, −2\),
\(\frac{−4}{x+2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{40}\)
Let
\(f(x) = \frac{5x}{x^2−x−12}\)
y
\(g(x) = \frac{15}{x^2+13x+30}\)
Calcula f (x) −g (x) y simplifica tu respuesta.