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2.2: Usar una estrategia general para resolver ecuaciones lineales

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    112717
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    Resumen

    Al final de esta sección, podrás:

    • Utilizar las propiedades conmutativas y asociativas
    • Usar las propiedades de identidad, inversa y cero
    • Simplificar expresiones usando la propiedad distributiva

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar:\(\frac{3}{2}(12x+20)\).
    2. Simplificar:\(5−2(n+1)\).
    3. Encuentra la pantalla LCD de\(\frac{5}{6}\) y\(\frac{1}{4}\).

    Resolver ecuaciones lineales usando una estrategia general

    Resolver una ecuación es como descubrir la respuesta a un rompecabezas. El propósito al resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la variable que la convierte en una declaración verdadera. Cualquier valor de la variable que haga verdadera la ecuación se denomina solución a la ecuación. ¡Es la respuesta al rompecabezas!

    Solución de una ecuación

    Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.

    Para determinar si un número es una solución a una ecuación, sustituimos el valor por la variable en la ecuación. Si la ecuación resultante es una declaración verdadera, entonces el número es una solución de la ecuación.

    DETERMINAR SI UN NUMERO ES UNA SOLUCIÓN A UNA
    1. Sustituir el número por la variable en la ecuación.
    2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
    3. Determinar si la ecuación resultante es verdadera.
      • Si es cierto, el número es una solución.
      • Si no es cierto, el número no es una solución.
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Determinar si los valores son soluciones a la ecuación:\(5y+3=10y−4\).

    1. \(y=\frac{3}{5}\)
    2. \(y=\frac{7}{5}\)
    Solución

    Dado que una solución a una ecuación es un valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera, comience por sustituir el valor de la solución por la variable.

    a.

      \(5 y+3=10 y-4\)
    Sustituto\(\color{rec}\frac{3}{5}\) de\(y\) \(5\left( \color{red} \frac{3}{5} \color{black}\right)+3 \stackrel{?}{=} 10\left( \color{red}\frac{3}{5} \color{black}\right)-4\)
    Multiplicar. \(3+3\stackrel{?}{=} 6-4\)
    Simplificar. \(6 \neq 2\)

    Dado que\(y=\frac{3}{5}\) no da como resultado una ecuación verdadera, no\(y=\frac{3}{5}\) es una solución a la ecuación\(5y+3=10y−4.\)

    b.

      \(5 y+3=10 y-4\)
    Sustituto\(\color{red} \frac{7}{5}\) de\(y\) \(5\left(\color{red} \frac{7}{5} \color{black}\right)+3 \stackrel{?}{=} 10\left(\color{red}\frac{7}{5}\color{back}\right)-4\)
    Multiplicar. \(7+3 \stackrel{?}{=} 14-4\)
    Simplificar. \(10=10 \checkmark\)

    Dado que\(y=\frac{7}{5}\) resulta en una ecuación verdadera,\(y=\frac{7}{5}\) es una solución a la ecuación\(5y+3=10y−4.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1A}\)

    Determinar si los valores son soluciones a la ecuación:\(9y+2=6y+3.\)

    1. \(y=\frac{4}{3}\)
    2. \(y=\frac{1}{3}\)
    Contestar a

    no

    Respuesta b

    si

    Ejercicio\(\PageIndex{1B}\)

    Determinar si los valores son soluciones a la ecuación:\(4x−2=2x+1\).

    1. \(x=\frac{3}{2}\)
    2. \(x=−\frac{1}{2}\)
    Contestar a

    si

    Respuesta b

    no

    Hay muchos tipos de ecuaciones que aprenderemos a resolver. En esta sección nos centraremos en una ecuación lineal.

    Ecuación Lineal

    Una ecuación lineal es una ecuación en una variable que se puede escribir, donde\(a\) y\(b\) son números reales y\(a≠0\), como:

    \[ax+b=0\]

    Para resolver una ecuación lineal es una buena idea tener una estrategia global que pueda ser utilizada para resolver cualquier ecuación lineal. En el siguiente ejemplo, daremos los pasos de una estrategia general para resolver cualquier ecuación lineal. Simplificar cada lado de la ecuación tanto como sea posible primero facilita el resto de los pasos.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Resolver:\(7(n−3)−8=−15\)

    Contestar

    En el paso 1, simplifique cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Utilizamos la propiedad distributiva del lado izquierdo para obtener, 7n - 29 = -15.En el Paso 2, recoja todos los términos variables en un lado de la ecuación. Aquí todas las n están del lado izquierdo, así que no hay nada que hacer.En el paso 3, recoja términos constantes en el otro lado de la ecuación. Aquí agregamos 29 a ambos lados para obtener 7n = 14.En el Paso 4, hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1. Aquí dividimos cada lado por 7 y simplificamos para obtener n igual a 2.En el paso 5, comprobamos la solución, n = 2, en la ecuación.

    Resolver:\(2(m−4)+3=−1.\)

    Contestar

    \(m=2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2B}\)

    Resolver:\(5(a−3)+5=−10.\)

    Contestar

    \(a=0\)

    Estos pasos se resumen en la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales a continuación.

    Resolver ecuaciones lineales usando una estrategia general
    1. Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible.
      Utilice la Propiedad Distributiva para eliminar cualquier paréntesis.
      Combina términos similares.
    2. Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación.

      Utilice la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

    3. Recoge todos los términos constantes del otro lado de la ecuación.

      Utilice la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

    4. Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1.

      Utilizar el Propiedad de Multiplicación o División de Igualdad.

      Anotar la solución a la ecuación.

    5. Consulta la solución.

      Sustituya la solución en la ecuación original para asegurarse de que el resultado es una declaración verdadera.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Resolver:\(\frac{2}{3}(3m−6)=5−m\).

    Contestar
      \(\frac{2}{3}(3 m-6)=5-m\)
    Distribuir. \(2 m-4=5-m\)
    Agrega\(m\) a ambos lados para obtener las variables solo a la izquierda. alt
    Simplificar. \(3 m-4=5\)
    Agrega\(4\) a ambos lados para obtener constantes solo a la derecha. alt
    Simplificar. \(3 m=9\)
    Divide ambos lados por tres. alt
    Simplificar. \(m=3\)
    Comprobar: alt
    Vamos\(m=3\). alt
      alt
      alt
      alt
    Ejercicio\(\PageIndex{3A}\)

    Resolver:\(\frac{1}{3}(6u+3)=7−u\).

    Contestar

    \(u=2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3B}\)

    Resolver:\(\frac{2}{3}(9x−12)=8+2x\).

    Contestar

    \(x=4\)

    Podemos resolver ecuaciones obteniendo todos los términos variables a cada lado del signo igual. Al recopilar los términos variables en el lado donde el coeficiente de la variable es mayor, evitamos trabajar con algunos negativos. Esta será una buena estrategia cuando resolvamos las desigualdades más adelante en este capítulo. También nos ayuda a prevenir errores con negativos.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resolver:\(4(x−1)−2=5(2x+3)+6\).

    Contestar
      \(4(x-1)-2=5(2 x+3)+6\)
    Distribuir.

    \(4 x-4-2=10 x+15+6\)

    Combina términos similares. \(4 x-6=10 x+21\)
    Restar\(4x\) de cada lado para obtener las variables solo a la derecha desde entonces\(10>4\). \(4 x \color{red} -4 \color{black} x-6=10 x \color{red}-4 x \color{black}+21\)
    Simplificar. \(-6=6 x+21\)
    Restar\(21\) de cada lado para obtener las constantes a la izquierda.

    \(-6 \color{red} -21 \color{black} =6 x+21 \color{red}-21\)

    Simplificar. \(-27=6 x\)
    Divide ambos lados por\(6\). \(\frac{-27}{\color{red}6} \color{black}=\frac{6 x}{\color{red}6}\)
    Simplificar. \(-\frac{9}{2}=x\)
    Comprobar: \(4(x-1)-2=5(2 x+3)+6\)\)  
    Vamos\(x=−92\). alt  
      alt
      alt  
      alt  
      alt  
    Ejercicio\(\PageIndex{4A}\)

    Resolver:\(6(p−3)−7=5(4p+3)−12.\)

    Contestar

    \(p=−2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4B}\)

    Resolver:\(8(q+1)−5=3(2q−4)−1.\)

    Contestar

    \(q=−8\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Resolver:\(10[3−8(2s−5)]=15(40−5s)\).

    Contestar
      \(10[3-8(2 s-5)]=15(40-5 s)\)
    Simplifique primero desde los paréntesis más íntimos. \(10[3-16 s+40]=15(40-5 s)\)
    Combina términos similares entre corchetes. \(10[43-16 s]=15(40-5 s)\)
    Distribuir. \(430-160 s=600-75 s\)
    Agregue\(160s\) a ambos lados para obtener el\(160s\) a ambos lados para obtener las variables a la derecha. alt
    Simplificar. \(430=600+85 s\)
    Restar\(600\) de ambos lados para obtener las constantes a la izquierda. alt
    Simplificar. \(-170=85 s\)
    Divide ambos lados por\(85\). alt
    Simplificar. \(-2=s,\)entonces\(s = -2\)
    Comprobar: \(10[3-8(2 s-5)]=15(40-5 s)\)  
    Vamos\(s=−2\). alt  
      alt  
      alt  
      alt  
      alt  
      alt  
    Ejercicio\(\PageIndex{5A}\)

    Resolver:\(6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)\).

    Contestar

    \(y=−\frac{17}{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5B}\)

    Resolver:\(12[1−5(4z−1)]=3(24+11z).\)

    Contestar

    \(z=0\)

    Clasificar ecuaciones

    El hecho de que una ecuación sea verdadera o no depende del valor de la variable. La ecuación\(7x+8=−13\) es verdadera cuando reemplazamos la variable, x, con el valor\(−3\), pero no verdadera cuando reemplazamos x por cualquier otro valor. Una ecuación como esta se llama ecuación condicional. Todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora son ecuaciones condicionales.

    ECUACIÓN CONDICIONAL

    Una ecuación que es verdadera para uno o más valores de la variable y falsa para todos los demás valores de la variable es una ecuación condicional.

    Ahora consideremos la ecuación\(7y+14=7(y+2)\). ¿Reconoces que el lado izquierdo y el lado derecho son equivalentes? Veamos qué pasa cuando resolvemos para y.

    Resolver:

      \(7 y+14=7(y+2)\)
    Distribuir. \(7 y+14=7 y+14\)
    Restar\(7y\) a cada lado para obtener la\(y’\) s a un lado. \(7 y \color{red}-7 y \color{black} +14=7 y \color{red} -7 y \color{black}+14\)
    Simplify,\(y\) los's se eliminan. \(14=14\)
      Pero\(14=14\) es verdad.

    Esto significa que la ecuación\(7y+14=7(y+2)\) es verdadera para cualquier valor de\(y\). Decimos que la solución a la ecuación son todos los números reales. Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama identidad.

    IDENTIDAD

    Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama identidad.

    La solución de una identidad es válida para todos los números reales.

    Qué pasa cuando resolvemos la ecuación\(−8z=−8z+9?\)

    Resolver:

      \(-8 z=-8 z+9\)
    Agrega\(8z\) a ambos lados para dejar la constante sola a la derecha. \(-8 z \color{red} +8 z \color{black}=-8 z \color{red}+8 z \color{black} +9\)
    Simplify,\(z\) los's se eliminan. \(0 \neq 9\)
      Pero\(0≠9\).

    Resolver la ecuación\(−8z=−8z+9\) condujo a la falsa afirmación\(0=9\). La ecuación no\(−8z=−8z+9\) será cierta para ningún valor de\(z\). No tiene solución. Una ecuación que no tiene solución, o que es falsa para todos los valores de la variable, se llama contradicción.

    CONTRADICCIÓN

    Una ecuación que es falsa para todos los valores de la variable se llama contradicción.

    Una contradicción no tiene solución.

    Los siguientes ejemplos nos pedirán clasificar una ecuación como condicional, una identidad, o como una contradicción.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)\).

    Contestar
      \(6(2 n-1)+3=2 n-8+5(2 n+1)\)
    Distribuir. \(12 n-6+3=2 n-8+10 n+5\)
    Combina términos similares. \(12 n-3=12 n-3\)
    Restar\(12n\) de cada lado para obtener los\(n\)'s a un lado. alt
    Simplificar. \(-3=-3\)
    Esta es una verdadera afirmación. La ecuación es una identidad.
      La solución son todos los números reales.
    Ejercicio\(\PageIndex{6A}\)

    Clasifica la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establece la solución:\(4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2).\)

    Contestar

    identidad; todos los números reales

    Ejercicio\(\PageIndex{6B}\)

    Clasifica la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establece la solución:\(8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1.\)

    Contestar

    identidad; todos los números reales

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(8+3(a−4)=0\).

    Contestar
      \(8+3(a-4)=0\)
    Distribuir. \(8+3 a-12=0\)
    Combina términos similares. \(3 a-4=0\)
    Añadir\(4\) a ambos lados. \(3 a-4 \color{red}+4 \color{black}=0 \color{red}+4\)
    Simplificar. \(3 a=4\)
    Dividir. \(\frac{3 a}{\color{red}3} \color{black}=\frac{4}{\color{red}3}\)
    Simplificar. \(a=\frac{4}{3}\)
    La ecuación es verdadera cuando\(a=\frac{4}{3}\). Esta es una ecuación condicional.
     

    La solución es\(a=\frac{4}{3}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7A}\)

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(11(q+3)−5=19\).

    Contestar

    ecuación condicional;\(q=−\frac{9}{11}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7B}\)

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(6+14(k−8)=95\).

    Contestar

    ecuación condicional;\(k=\frac{201}{14}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(5m+3(9+3m)=2(7m−11)\).

    Contestar
      \(5 m+3(9+3 m)=2(7 m-11)\)
    Distribuir. \(5 m+27+9 m=14 m-22\)
    Combina términos similares. \(14 m+27=14 m-22\)
    Restar\(14m\) de ambos lados. \(14 m+27 \color{red}-14 m \color{black}=14 m-22 \color{red}-14 m\)
    Simplificar. \(27 \neq-22\)
    Pero\(27≠−22\). La ecuación es una contradicción.
      No tiene solución.

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(12c+5(5+3c)=3(9c−4)\).

    Contestar

    contradicción; no hay solución

    Ejercicio\(\PageIndex{8B}\)

    Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(4(7d+18)=13(3d−2)−11d\).

    Contestar

    contradicción; no hay solución

    Resumimos los métodos para clasificar ecuaciones en la tabla.

    Tipo de ecuación ¿Qué pasa cuando lo resuelves? Solución
    Ecuación Condicional Verdadero para uno o más valores de las variables y falso para todos los demás valores Uno o más valores
    Identidad True para cualquier valor de la variable Todos los números reales
    Contradicción False para todos los valores de la variable Sin solución

    Resolver ecuaciones con coeficientes de fracción o decimales

    Podríamos usar la Estrategia General para resolver el siguiente ejemplo. Este método funcionaría bien, pero muchos estudiantes no se sienten muy seguros cuando ven todas esas fracciones. Entonces, vamos a mostrar un método alternativo para resolver ecuaciones con fracciones. Este método alternativo elimina las fracciones.

    Aplicaremos la Propiedad de Multiplicación de Igualdad y multiplicaremos ambos lados de una ecuación por el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones de la ecuación. El resultado de esta operación será una nueva ecuación, equivalente a la primera, pero sin fracciones. A este proceso se le llama borrar la ecuación de fracciones.

    Para aclarar una ecuación de decimales, pensamos en todos los decimales en su forma de fracción y luego encontramos el LCD de esos denominadores.

    Ejercicio\(\PageIndex{9A}\)

    Resolver:\(\frac{1}{12}x+\frac{5}{6}=\frac{3}{4}\).

    Contestar

    En el Paso 1, encuentra el LCD de todas las fracciones en la ecuación. Aquí el LCD es 12.En el Paso 2, multiplique ambos lados de la ecuación por la LCD, limpiando las fracciones. Aquí multiplicamos ambos lados por 12 y simplificamos, limpiando las fracciones.En el Paso 3, resuelve usando la Estrategia General para resolver ecuaciones lineales. Para aislar el término variable, restar 10 y simplificar. Obtenemos x es igual a negativo 1. Entonces lo comprobamos en la ecuación.

    Ejercicio\(\PageIndex{9B}\)

    Resolver:\(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}\).

    Contestar

    \(x=\frac{1}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9C}\)

    Resolver:\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

    Contestar

    \(x=−2\)

    Observe en el ejemplo anterior, una vez que aclaramos la ecuación de fracciones, la ecuación fue como las que resolvimos anteriormente en este capítulo. Cambiamos el problema a uno que ya sabíamos resolver. Luego se utilizó la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales.

    Resuelve ecuaciones con coeficientes fraccionarios o decimales.
    1. Encuentra el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones y decimales (en forma de fracción) en la ecuación.
    2. Multiplica ambos lados de la ecuación por esa LCD. Esto borra las fracciones y decimales.
    3. Resuelve usando la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales.
    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Resolver:\(5=\frac{1}{2}y+\frac{2}{3}y−\frac{3}{4}y\).

    Contestar

    Queremos borrar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD de todas las fracciones de la ecuación.

    Encuentra la pantalla LCD de todas las fracciones en la ecuación. \(5=\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\)
    El LCD es\(12\).  
    Multiplique ambos lados de la ecuación por\(12\). \(\color{red}12 \color{black}(5)=\color{red}12 \color{black} \cdot\left(\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\right)\)
    Distribuir. \(12(5)=12 \cdot \frac{1}{2} y+12 \cdot \frac{2}{3} y-12 \cdot \frac{3}{4} y\)
    Simplificar: observe, no más fracciones. \(60=6 y+8 y-9 y\)
    Combina términos similares. \(60=5 y\)
    Dividir por cinco. \(\frac{60}{\color{red}5} \color{black}=\frac{5 y}{\color{red}5}\)
    Simplificar. \(12=y\)
    Comprobar: \(5=\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\)  
    Vamos\(y=12\). alt  
      alt  
      alt  
    Ejercicio\(\PageIndex{10A}\)

    Resolver:\(7=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}x−\frac{2}{3}x\).

    Contestar

    \(x=12\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10B}\)

    Resolver:\(−1=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}u−\frac{2}{3}u\).

    Contestar

    \(u=−12\)

    En el siguiente ejemplo, distribuiremos antes de borrar las fracciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Resolver:\(\frac{1}{2}(y−5)=\frac{1}{4}(y−1)\).

    Contestar
      alt
    Distribuir. alt
    Simplificar. alt
    Multiplicar por la pantalla LCD, cuatro. alt
    Distribuir. alt
    Simplificar. alt
    Recoge las variables a la izquierda. alt
    Simplificar. alt
    Recoge las constantes a la derecha. alt
    Simplificar. alt
    Una forma alternativa de resolver esta ecuación es despejar las fracciones sin distribuir primero. Si multiplicas los factores correctamente, este método será más fácil.
      alt
    Multiplicar por la pantalla LCD,\(4\). alt
    Multiplica cuatro veces las fracciones. alt
    Distribuir. alt
    Recoge las variables a la izquierda. alt
    Simplificar. alt
    Recoge las constantes a la derecha. alt
    Simplificar. alt
    Comprobar: alt  
    Vamos\(y=9\). alt  
    Termina el cheque por tu cuenta.
    Ejercicio\(\PageIndex{11A}\)

    Resolver:\(\frac{1}{5}(n+3)=\frac{1}{4}(n+2)\).

    Contestar

    \(n=2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11B}\)

    Resolver:\(\frac{1}{2}(m−3)=\frac{1}{4}(m−7)\).

    Contestar

    \(m=−1\)

    Cuando multipliques ambos lados de una ecuación por la LCD de las fracciones, asegúrate de multiplicar cada término por el LCD, incluso si no contiene una fracción.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Resolver:\(\frac{4q+3}{2}+6=\frac{3q+5}{4}\)

    Contestar
      \(\frac{4 q+3}{2}+6=\frac{3 q+5}{4}\)
    Multiplique ambos lados por la pantalla LCD,\(4\). alt
    Distribuir. alt
    Simplificar. \(2(4 q+3)+24=3 q+5\)
      \(8 q+6+24=3 q+5\)
      \(8 q+30=3 q+5\)
    Recoge las variables a la izquierda. alt
    Simplificar. \(5 q+30=5\)
    Recoge las constantes a la derecha. alt
    Simplificar. \(5 q=-25\)
    Divide ambos lados por cinco. alt
    Simplificar. \(q=-5\)
    Comprobar: \(\frac{4 q+3}{2}+6=\frac{3 q+5}{4}\)  
    Vamos\(q=−5.\) alt  
    Termina el cheque por tu cuenta.  

    Resolver:\(\frac{3r+5}{6}+1=\frac{4r+3}{3}\).

    Contestar

    \(r=3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12B}\)

    Resolver:\(\frac{2s+3}{2}+1=\frac{3s+2}{4}\).

    Contestar

    \(s=−8\)

    Algunas ecuaciones tienen decimales en ellas. Este tipo de ecuación puede ocurrir cuando resolvemos problemas relacionados con el dinero o los porcentajes. Pero los decimales también se pueden expresar como fracciones. Por ejemplo,\(0.7=\frac{7}{10}\) y\(0.29=\frac{29}{100}\). Entonces, con una ecuación con decimales, podemos usar el mismo método que usamos para borrar fracciones, multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común.

    El siguiente ejemplo utiliza una ecuación que es típica de las que veremos en las aplicaciones de dinero en una sección posterior. Observe que limpiaremos todos los decimales multiplicando por la LCD de su forma de fracción.

    Resolver:\(0.25x+0.05(x+3)=2.85\).

    Contestar

    Mira los decimales y piensa en las fracciones equivalentes:

    \[0.25=\frac{25}{100}, \; \; \; \;\;\;\;\; 0.05=\frac{5}{100}, \;\;\;\;\;\;\;\; 2.85=2\frac{85}{100}.\]

    Aviso, la pantalla LCD es\(100\). Al multiplicar por la LCD borraremos los decimales de la ecuación.

      alt
    Distribuir primero. alt
    Combina términos similares. alt
    Para borrar decimales, multiplique por\(100\). alt
    Distribuir. alt
    Restar\(15\) de ambos lados. alt
    Simplificar. alt
    Dividir por\(30\). alt
    Simplificar. alt
    Compruébalo tú mismo\(x=9\) sustituyéndolo en la ecuación original.
    Ejercicio\(\PageIndex{13A}\)

    Resolver:\(0.25n+0.05(n+5)=2.95.\)

    Contestar

    \(n=9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13B}\)

    Resolver:\(0.10d+0.05(d−5)=2.15.\)

    Contestar

    \(d=16\)

    Conceptos clave

    • Cómo determinar si un número es una solución a una ecuación
      1. Sustituir el número en por la variable en la ecuación.
      2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
      3. Determinar si la ecuación resultante es verdadera.

        Si es cierto, el número es una solución.

        Si no es cierto, el número no es una solución.

    • Cómo Resolver Ecuaciones Lineales Usando una Estrategia General
      1. Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible.

        Utilice la Propiedad Distributiva para eliminar cualquier paréntesis.

        Combina términos similares.

      2. Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación.

        Utilice la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

      3. Recoge todos los términos constantes del otro lado de la ecuación.

        Utilice la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

      4. Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1.

        Utilizar el Propiedad de Multiplicación o División de Igualdad.

        Anotar la solución a la ecuación.

      5. Consulta la solución.

        Sustituya la solución en la ecuación original para asegurarse de que el resultado es una declaración verdadera.

    • Cómo Resolver Ecuaciones con Coeficientes Fracciones o Decimales
      1. Encuentra el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones y decimales (en forma de fracción) en la ecuación.
      2. Multiplica ambos lados de la ecuación por esa LCD. Esto borra las fracciones y decimales.
      3. Resuelve usando la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales.

    Glosario

    ecuación condicional
    Una ecuación que es verdadera para uno o más valores de la variable y falsa para todos los demás valores de la variable es una ecuación condicional.
    contradicción
    Una ecuación que es falsa para todos los valores de la variable se llama contradicción. Una contradicción no tiene solución.
    identidad
    Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama Identidad. La solución de una identidad son todos los números reales.
    ecuación lineal
    Una ecuación lineal es una ecuación en una variable que se puede escribir, donde a y b son números reales y\(a≠0\), as\(ax+b=0\).
    solución de una ecuación
    Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.

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