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2.4: Resolver una fórmula para una variable específica

  • Page ID
    112718
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, podrás:

    • Resolver una fórmula para una variable específica
    • Utilizar fórmulas para resolver aplicaciones de geometría

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar\(2(x+3)\) cuándo\(x=5\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    2. La longitud de un rectángulo es tres menos que el ancho. Deje que w represente el ancho. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
    3. Evaluar\(\frac{1}{2}bh\) cuándo\(b=14\) y\(h=9\).
      Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

    Resolver una fórmula para una variable específica

    Probablemente todos hemos trabajado con algunas fórmulas geométricas en nuestro estudio de las matemáticas. Las fórmulas se utilizan en tantos campos, es importante reconocer fórmulas y poder manipularlas fácilmente.

    A menudo es útil resolver una fórmula para una variable específica. Si necesitas poner una fórmula en una hoja de cálculo, no es raro tener que resolverla primero para una variable específica. Aislamos esa variable en un lado del signo igual con un coeficiente de una y todas las demás variables y constantes están en el otro lado del signo igual.

    Las fórmulas geométricas a menudo necesitan ser resueltas para otra variable, también. La fórmula\(V=\frac{1}{3}πr^2h\) se utiliza para encontrar el volumen de un cono circular derecho cuando se le da el radio de la base y la altura. En el siguiente ejemplo, resolveremos esta fórmula para la altura.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Resuelve la fórmula\(V=\frac{1}{3}πr^2h\) para h.

    Responder
    Escribe la fórmula.     alt
    Retire la fracción de la derecha.     alt
    Simplificar.     alt
    Divide ambos lados por\(πr^2\).     alt

    Ahora podríamos usar esta fórmula para encontrar la altura de un cono circular derecho cuando conocemos el volumen y el radio de la base, usando la fórmula\(h=\frac{3V}{πr^2}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

    Usa la fórmula\(A=\frac{1}{2}bh\) para resolver para b.

    Responder

    \(b=\frac{2A}{h}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

    Usa la fórmula\(A=\frac{1}{2}bh\) para resolver por h.

    Responder

    \(h=\frac{2A}{b}\)

    En las ciencias, a menudo necesitamos cambiar la temperatura de Fahrenheit a Celsius o viceversa. Si viajas en un país extranjero, es posible que quieras cambiar la temperatura Celsius a la temperatura Fahrenheit más familiar.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resuelve la fórmula\(C=\frac{5}{9}(F−32)\) para F.

    Responder
    Escribe la fórmula.     alt
    Retire la fracción de la derecha.     alt
    Simplificar.     alt
    Agrega 32 a ambos lados.     alt

    Ahora podemos usar la fórmula\(F=\frac{9}{5}C+32\) para encontrar la temperatura Fahrenheit cuando conocemos la temperatura Celsius.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

    Resuelve la fórmula\(F=\frac{9}{5}C+32\) para C.

    Responder

    \(C=\frac{5}{9}(F−32)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

    Resuelve la fórmula\(A=\frac{1}{2}h(b+B)\) para b.

    Responder

    \(b=\frac{2A−Bh}{h}\)

    En el siguiente ejemplo se utiliza la fórmula para el área de superficie de un cilindro derecho.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Resuelve la fórmula\(S=2πr^2+2πrh\) para\(h\).

    Responder
    Escribe la fórmula. alt
    Aísle el\(h\) término restando\(2πr^2\) de cada lado. alt
    Simplificar. alt
    Resuelve\(h\) dividiendo ambos lados por\(2πr.\) alt
    Simplificar. alt
    Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

    Resuelve la fórmula\(A=P+Prt\) para\(t\).

    Responder

    \(t=\frac{A−P}{Pr}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

    Resuelve la fórmula\(A=P+Prt\) para\(r\).

    Responder

    \(r=\frac{A−P}{Pt}\)

    A veces se nos puede dar una ecuación que está resuelta\(y\) y necesita resolverla para\(x\), o viceversa. En el siguiente ejemplo, se nos da una ecuación con ambos\(x\) y\(y\) del mismo lado y la resolveremos para\(y\).

     

    Resuelve la fórmula\(8x+7y=15\) para\(y\).

    Responder
    Nos aislaremos\(y\) en un lado de la ecuación. alt
    Restar\(6x\) de ambos lados para aislar el término con\(y\). alt
    Simplificar. alt
    Dividir ambos lados por\(7\) para hacer el coeficiente de\(y\) uno. alt
    Simplificar. alt
     

    Resuelve la fórmula\(4x+7y=9\) para\(y\).

    Responder

    \(y=\frac{9−4x}{7}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Resuelve la fórmula\(5x+8y=1\) para\(y\).

    Responder

    \(y=\frac{1−5x}{8}\)

    Uso de fórmulas para resolver aplicaciones de geometría

    En este objetivo utilizaremos algunas fórmulas geométricas comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para que podamos resolver aplicaciones de geometría. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación a resolver.

    Además, dado que todas estas aplicaciones involucrarán formas de algún tipo, a la mayoría de las personas les resulta útil dibujar una figura y etiquetarla con la información dada. Incluiremos esto en el primer paso de la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

    SOLVER APLICACIONES DE GEOM
    1. Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que estamos buscando eligiendo una variable para representarlo. Dibuja la figura y etiquétalo con la información dada.
    4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una oración completa.

    Cuando resolvemos aplicaciones de geometría, muchas veces tenemos que usar algunas de las propiedades de las figuras. Revisaremos esas propiedades según sea necesario.

    El siguiente ejemplo involucra el área de un triángulo. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Podemos escribir esto como\(A=\frac{1}{2}bh\), donde\(b\) = longitud de la base y\(h\) = altura.

    La figura es un triángulo con su altura mostrada. Su base es b y su altura es h. La fórmula para el área del triángulo es A es igual a media vez b por h.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    El área de una pintura triangular es de pulgadas\(126\) cuadradas. La base es\(18\) pulgadas. ¿Cuál es la altura?

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identifica lo que buscas. altura de un triángulo
    Paso 3. Nombre.  
    Elija una variable para representarla. Deja que\(h=\) la altura.
    Dibuja la figura y etiquétalo con la información dada. Superficie = 126 sq. in.
      alt
    Paso 4. Traducir.  
    Escriba la fórmula apropiada. \(A=\frac{1}{2}bh\)
    Sustituir en la información dada. \(126=\frac{1}{2}·18·h\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación. \(126=9h\)
    Divide ambos lados por 9. \(14=h\)
    Paso 6. Cheque.

    \(\begin{align*} A &= \frac{1}{2}bh \\126 & \stackrel{?}{=} 12·18·14 \\ 126 &=126✓ \end{align*}\)

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. La altura del triángulo es de\(14\) pulgadas.
    Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

    El área de una ventana triangular de iglesia es de metros\(90\) cuadrados. La base de la ventana es de\(15\) metros. ¿Cuál es la altura de la ventana?

    Responder

    La altura de la ventana es de\(12\) metros.

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\):

    Una puerta triangular para tienda tiene área de pies\(15\) cuadrados. La altura es de cinco pies. ¿Cuál es la longitud de la base?

    Responder

    La longitud de la base es\(6\) pies.

    En el siguiente ejemplo, trabajaremos con un triángulo rectángulo. Para resolver la medida de cada ángulo, necesitamos usar dos propiedades de triángulo. En cualquier triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es\(180°\). Podemos escribir esto como una fórmula:\(m∠A+m∠B+m∠C=180\). Además, como el triángulo es un triángulo rectángulo, recordamos que un triángulo rectángulo tiene un\(90°\) ángulo.

    Aquí, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Esperaremos a dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\):

    La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 40 grados más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identifica lo que buscas. las medidas de los tres ángulos
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. \(\begin{align*} \text{Let }a \; & = \; \mathrm{1^{st} \; angle.} \\ a+40 &= \mathrm{2^{nd} \; angle} \\90 &= \mathrm{3^{rd} \; angle \; (the \; right \; angle)} \end{align*}\)
    Dibuja la figura y etiquétalo con la información dada. alt
    Paso 4. Traducir.  
    Escriba la fórmula apropiada. alt
    Sustituir en la fórmula. alt
    Paso 5. Resuelve la ecuación. alt
    Paso 6. Cheque. \( \begin{align*} 25+65+90 & \stackrel{?}{=} 180\\ 180 &= 180✓ \end{align*}\)  
    Paso 7. Contesta la pregunta. Los tres ángulos miden\(25°,\;65°\), y\(90°\).
    Ejemplo\(\PageIndex{17}\):

    La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 50 más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Responder

    Las medidas de los ángulos son\(20°, \;70°\), y\(90°\).

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\):

    La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es\(30\) mayor que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Responder

    Las medidas de los ángulos son\(30°,\; 60°\), y\(90°\).

    El siguiente ejemplo utiliza otra fórmula de geometría importante. El Teorema de Pitágoras cuenta cómo las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Escribir la fórmula en cada ejercicio y decirlo en voz alta mientras la escribes puede ayudarte a memorizar el Teorema de Pitágoras.

    EL TEORMA DE PITAGORAS

    En cualquier triángulo rectángulo, donde a y b son las longitudes de las patas, y c es la longitud de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

    La figura es un triángulo rectángulo con lados a y b, y una hipotenusa c. a cuadrado más b cuadrado es igual a c cuadrado. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

    Usaremos el Teorema de Pitágoras en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la otra pierna en

    Esta figura es un triángulo rectángulo con una pata que es de 12 unidades y una hipotenusa que es de 13 unidades.

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identifica lo que buscas. la longitud de la pata del triángulo
    Paso 3. Nombre.  
    Elija una variable para representarla. Let\(a\) = la pierna del triángulo.
    Lado de la etiqueta a. alt
    Paso 4. Traducir.  
    Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. \(\begin{align*}a^2+b^2 &=c ^2 \\ a^2+12^2 &=13^2 \end{align*}\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación. Aísle el término variable. Usa la definición de raíz cuadrada. Simplificar. \(\begin{align*} a^2+144 &= 169 \\ a^2 &= 25 \\ a &= \sqrt{25} \\ a&=5 \end{align*}\)
    Paso 6. Cheque.

    alt

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. La longitud de la pierna es\(5\).
    Ejemplo\(\PageIndex{20}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna en la figura.

    La figura es un triángulo rectángulo con patas que son unidades b y 15 unidades, y una hipotenusa que es de 17 unidades.

    Responder

    La longitud de la pierna es\(8\).

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna en la figura.

    La figura es un triángulo rectángulo con patas que son unidades b y 9 unidades, y una hipotenusa que es de 15 unidades.

    Responder

    La longitud de la pierna es\(12\).

    El siguiente ejemplo es sobre el perímetro de un rectángulo. Dado que el perímetro es solo la distancia alrededor del rectángulo, encontramos la suma de las longitudes de sus cuatro lados, la suma de dos longitudes y dos anchos. Podemos escribir es como\(P=2L+2W\) donde\(L\) está el largo y\(W\) es el ancho. Para resolver el ejemplo, necesitaremos definir la longitud en términos del ancho.

    Ejemplo\(\PageIndex{22}\):

    La longitud de un rectángulo es de seis centímetros más del doble de ancho. El perímetro es de\(96\) centímetros. Encuentra el largo y ancho.

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. el largo y el ancho
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar el ancho. El largo es de seis más del doble de ancho. Dejar\(w=\) ancho.

    \(2w+6=\)longitud

    alt

    \(P=96\)cm
    Paso 4. Traducir.  
    Escriba la fórmula apropiada. alt
    Sustituir en la información dada. alt
    Paso 5. Resuelve la ecuación. alt
    Paso 6. Cheque.

    alt

    \(\begin{align*} P &=2L+2W \\ 96 & \stackrel{?}{=}2·34+2·14 \\ 96 &=96✓ \end{align*}\)
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. El largo es\(34\) cm y el ancho es\(14\) cm
    Ejemplo\(\PageIndex{23}\):

    La longitud de un rectángulo es siete más del doble del ancho. El perímetro es de\(110\) pulgadas. Encuentra el largo y ancho.

    Responder

    El largo es\(16\) pulgadas y el ancho es\(39\) pulgadas.

    Ejemplo\(\PageIndex{24}\):

    El ancho de un rectángulo es de ocho yardas menos del doble de la longitud. El perímetro es de\(86\) yardas. Encuentra el largo y ancho.

    Responder

    El largo es\(17\) yardas y el ancho es\(26\) yardas.

    El siguiente ejemplo es sobre el perímetro de un triángulo. Dado que el perímetro es justo la distancia alrededor del triángulo, encontramos la suma de las longitudes de sus tres lados. Podemos escribir esto como\(P=a+b+c\), dónde\(a\),\(b\), y\(c\) son las longitudes de los lados.

    Ejemplo\(\PageIndex{25}\):

    Un lado de un triángulo es tres pulgadas más que el primer lado. El tercer lado es dos pulgadas más del doble que el primero. El perímetro es de\(29\) pulgadas. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. las longitudes de los tres lados de un triángulo
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar la longitud del primer lado.

    \( \begin{align*} \mathrm{Let \;}x \;& \mathrm{= \; length \; of \;1^{st} \;side.} \\ x+3 \; &= \; \mathrm{length \; of \; 2^{nd} \; side} \\ 2x+2 \; &= \; \mathrm{length \; of \;3^{rd} \; side} \end{align*}\)

    alt

    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituir en la información dada. alt

    alt

    Paso 5. Resuelve la ecuación. alt
    Paso 6. Cheque.

    alt

    \(\begin{align*} 29 & \stackrel{?}{=}6+9+14 \\ 29 &= 29✓ \end{align*}\)
     
    Paso 7. Contesta la pregunta. Las longitudes de los lados del triángulo son\(6\),\(9\), y\(14\) pulgadas.
    Ejemplo\(\PageIndex{26}\):

    Un lado de un triángulo es siete pulgadas más que el primer lado. El tercer lado es cuatro pulgadas menos que tres veces el primero. El perímetro es de\(28\) pulgadas. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

    Responder

    Las longitudes de los lados del triángulo son\(5\),\(11\) y\(12\) pulgadas.

    Ejemplo\(\PageIndex{27}\):

    Un lado de un triángulo es tres pies menos que el primer lado. El tercer lado es cinco pies menos que dos veces el primero. El perímetro es\(20\) pies. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

    Responder

    Las longitudes de los lados del triángulo son\(4\),\(7\) y\(9\) pies.

    Ejemplo\(\PageIndex{28}\):

    El perímetro de un campo de fútbol rectangular es de\(360\) pies. El largo es\(40\) pies más que el ancho. Encuentra el largo y ancho.

    La figura es una ilustración de un campo de fútbol rectangular.

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. el largo y ancho del campo de fútbol
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. El largo es 40 pies más que el ancho. Dibuja la figura y etiquétalo con la información dada. Dejar w = ancho. \(w+40=\)longitud

    alt

    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada y sustituya. alt

    alt

    Paso 5. Resuelve la ecuación.  
    Paso 6. Cheque. \( \begin{align*} P &=2L+2W \\ 360 & \stackrel{?}{=} 2(110)+2(70) \\360 &=360✓ \end{align*}\) alt
    Paso 7. Contesta la pregunta. El largo del campo de futbol es\(110\) pies y el ancho es\(70\) pies.
    Ejemplo\(\PageIndex{29}\):

    El perímetro de una piscina rectangular es de\(200\) pies. El largo es\(40\) pies más que el ancho. Encuentra el largo y ancho.

    Responder

    La longitud de la piscina es de\(70\) pies y el ancho es de\(30\) pies.

    Ejemplo\(\PageIndex{30}\):

    La longitud de un jardín rectangular es\(30\) yardas más que el ancho. El perímetro es de\(300\) yardas. Encuentra el largo y ancho.

    Responder

    La longitud del jardín es de\(90\) yardas y el ancho es de\(60\) yardas.

    Las aplicaciones de estas propiedades geométricas se pueden encontrar en muchas situaciones cotidianas como se muestra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{31}\):

    Kelvin está construyendo una glorieta y quiere apoyar cada esquina colocando una pieza de madera de 10” en diagonal como se muestra.

    La figura es una ilustración de una glorieta cuya esquina forma un triángulo rectángulo con una pieza de madera de 10 pulgadas que se coloca diagonalmente para sujetarlo.

    ¿A qué distancia de la esquina debe sujetar la madera si quiere que las distancias de la esquina sean iguales? Aproximado a la décima de pulgada más cercana.

    Responder
    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. la distancia desde la esquina a la que se debe unir el soporte
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Dibuja la figura y etiquétalo con la información dada. Deja que\(x=\) la distancia de la esquina.

    alt

    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada y sustituya. \(a^2+b^2=c^2\)\(x^2+x^2=10^2\)
    Paso 5. Resuelve la ecuación.

    Aísle la variable.

    Usa la definición de raíz cuadrada.

    Simplificar. Aproximado a la décima más cercana.

    \( \begin{align*} 2x^2 &= 100 \\ \\ x^2 &=50 \\ \\ x &= \sqrt{50} \\ \\ x &≈7.1 \end{align*}\)

    Paso 6. Cheque.

    \( \begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 \\ (7.1)^2+(7.1)^2 &≈10^2 \; \;\;\;\; \text{Yes.} \end{align*}\)

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. Kelvin debe sujetar cada pieza de madera aproximadamente a 7.1” de la esquina.
    Ejemplo\(\PageIndex{32}\):

    John pone la base de una escalera\(13\) de pie a cinco pies de la pared de su casa como se muestra en la figura. ¿A qué distancia de la pared llega la escalera?

    La figura es una ilustración que muestra una escalera colocada contra la pared de una casa. La escalera forma un triángulo rectángulo con el costado de la casa. La escalera mide 13 pies de largo y la base de la escalera está a 5 pies de la pared de la casa.

    Responder

    La escalera alcanza\(12\) los pies.

    Ejemplo\(\PageIndex{33}\):

    Randy quiere sujetar una cadena de luces de\(17\) -pie a la parte superior del mástil de\(15\) pie de su velero, como se muestra en la figura. ¿A qué distancia de la base del mástil debe sujetar el extremo de la cuerda de luz?

    La figura es una ilustración de un velero que tiene un mástil de 15 pies. Una cadena de luces que miden 17 pies de largo se colocan diagonalmente desde la parte superior del mástil.

    Responder

    Debe fijar los\(8\) pies de las luces desde la base del mástil.

    Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de una variable en ecuaciones literales.

    • Resolviendo ecuaciones literales

    Conceptos clave

    • Cómo resolver aplicaciones de geometría
      1. Lee el problema y asegúrate de que se entiendan todas las palabras e ideas.
      2. Identifica lo que buscas.
      3. Nombra lo que buscas eligiendo una variable para representarlo. Dibuja la figura y etiquétalo con la información dada.
      4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
      5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
      6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una oración completa.
    • El teorema de Pitágoras
      • En cualquier triángulo rectángulo, donde a y b son las longitudes de las patas, y c es la longitud de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

    La figura es un triángulo rectángulo con lados a y b, y una hipotenusa c con la fórmula, a cuadrado más b cuadrado es igual a c cuadrado.


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