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# 3.5: Graficar desigualdades lineales en dos variables

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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##### RESUMEN

Al final de esta sección, podrás:

• Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables.
• Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica.
• Graficar desigualdades lineales en dos variables
• Resolver aplicaciones usando desigualdades lineales en dos variables

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Gráfica$$x>2$$ en una recta numéricamente.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
2. Resolver:$$4x+3>23$$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
3. Traducir:$$8<x>3$$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

### Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables

Anteriormente aprendimos a resolver desigualdades con una sola variable. Ahora aprenderemos sobre las desigualdades que contienen dos variables. En particular veremos las desigualdades lineales en dos variables que son muy similares a las ecuaciones lineales en dos variables.

Las desigualdades lineales en dos variables tienen muchas aplicaciones. Si dirigías un negocio, por ejemplo, querrías que tus ingresos fueran mayores que tus costos, para que tu negocio obtuviera ganancias.

Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:

$$\begin{array} {l} { }& {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} &{Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ \end{array}$$

Donde A y B no son ambos cero.

Recordemos que una desigualdad con una variable tuvo muchas soluciones. Por ejemplo, la solución a la desigualdad x>3x>3 es cualquier número mayor que 3. Esto lo mostramos en la recta numérica sombreando en la recta numérica a la derecha de 3, y poniendo un paréntesis abierto en 3. Ver Figura.

De igual manera, las desigualdades lineales en dos variables tienen muchas soluciones. Cualquier par ordenado (x, y) (x, y) que haga verdadera una desigualdad cuando sustituimos en los valores es una solución a una desigualdad lineal.

##### Solución a una desigualdad lineal

Un par ordenado$$(x,y)$$ es una solución a una desigualdad lineal si la desigualdad es verdadera cuando sustituimos los valores de x e y.

##### pageIndex {1}\)

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y>x+4:y>x+4:

ⓐ (0,0) (0,0) ⓑ (1,6) (1,6) ⓒ (2,6) (2,6) ⓓ (−5, −15) (−5, −15) ⓔ (−8,12) (−8,12)

Contestar

 $$(0,0)$$ Simplificar. Entonces, no$$(0,0)$$ es una solución para$$y>x+4$$.

 $$(1,6)$$ Simplificar. Entonces,$$(1,6)$$ es una solución para$$y>x+4$$.

 $$(2,6)$$ Simplificar. Entonces, no$$(2,6)$$ es una solución para$$y>x+4$$.

 $$(−5,−15)$$ Simplificar. Entonces, no$$(−5,−15)$$ es una solución para$$y>x+4$$.

 $$(−8,12)$$ Simplificar. Entonces,$$(−8,12)$$ es una solución para$$y>x+4$$.

Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad$$y>x−3$$:

$$(0,0)$$$$(4,9)$$$$(−2,1)$$$$(−5,−3)$$$$(5,1)$$

Contestar

ⓐ si ⓑ si ⓒ si ⓓ si ⓔ no

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad$$y<x+1$$:

$$(0,0)$$$$(8,6)$$$$(−2,−1)$$$$(3,4)$$$$(−1,−4)$$

Contestar

ⓐ si ⓑ si ⓒ no ⓓ no ⓔ si

## Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica

Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.

Pensemos de nuevo en la recta numérica que se muestra anteriormente. El punto$$x=3$$ separó esa recta numérica en dos partes. En un lado de 3 están todos los números menores que 3. En el otro lado de 3 todos los números son mayores que 3. Ver Figura.

Del mismo modo, la línea$$y=x+4$$ separa el plano en dos regiones. En un lado de la línea hay puntos con$$y<x+4$$. Al otro lado de la línea están los puntos con$$y>x+4$$. Llamamos a la línea$$y=x+4$$ línea límite.

##### LÍNEA DE LÍNEA

La línea con ecuación$$Ax+By=C$$ es la línea límite que separa la región donde$$Ax+By>C$$ de la región donde$$Ax+By<C$$.

Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un paréntesis dependiendo de si se incluye o no a en la solución:

De igual manera, para una desigualdad en dos variables, la línea límite se muestra con una línea continua o discontinua para mostrar si la línea está incluida o no en la solución.

$\begin{array} {ll} {Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} \\ {\text{Boundary line is }Ax+By=C.} &{\text{Boundary line is }Ax+By=C.} \\ {\text{Boundary line is not included in solution.}} &{\text{Boundary line is not included in solution.}} \\ {\textbf{Boundary line is dashed.}} &{\textbf{Boundary line is solid.}} \\ \nonumber \end{array}$

Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en Ejemplo. Empezaremos por graficar la línea$$y=x+4$$, y luego trazaremos los cinco puntos que probamos, como se muestra en la gráfica. Ver Figura.

En Ejemplo encontramos que algunos de los puntos eran soluciones a la desigualdad$$y>x+4$$ y otros no.

¿Cuáles de los puntos que trazamos son soluciones a la desigualdad$$y>x+4$$?

Los puntos$$(1,6)$$ y$$(−8,12)$$ son soluciones a la desigualdad$$y>x+4$$. Observe que ambos están en el mismo lado de la línea de límite$$y=x+4$$.

Los dos puntos$$(0,0)$$ y$$(−5,−15)$$ están al otro lado de la línea limítrofe$$y=x+4$$, y no son soluciones a la desigualdad$$y>x+4$$. Para esos dos puntos,$$y<x+4$$.

¿Qué pasa con el punto$$(2,6)$$? Porque$$6=2+4$$, el punto es una solución a la ecuación$$y=x+4$$, pero no una solución a la desigualdad$$y>x+4$$. Entonces el punto$$(2,6)$$ está en la línea limítrofe.

Tomemos otro punto por encima de la línea límite y probemos si es o no una solución a la desigualdad$$y>x+4$$. El punto$$(0,10)$$ claramente mira por encima de la línea límite, ¿no es así? ¿Es una solución a la desigualdad?

$\begin{array} {lll} {y} &{>} &{x+4} \\ {10} &{\overset{?}{>}} &{0+4} \\ {10} &{>} &{4} \\ \nonumber \end{array}$

Entonces,$$(0,10)$$ es una solución para$$y>x+4$$.

Cualquier punto que elija por encima de la línea de límite es una solución a la desigualdad$$y>x+4$$. Todos los puntos por encima de la línea límite son soluciones.

De igual manera, todos los puntos por debajo de la línea límite, el lado con$$(0,0)$$ y$$(−5,−15)$$, no son soluciones a$$y>x+4$$, como se muestra en la Figura.

A continuación$$y>x+4$$ se muestra la gráfica de la desigualdad.

La línea$$y=x+4$$ divide el plano en dos regiones. El lado sombreado muestra las soluciones a la desigualdad$$y>x+4$$.

Los puntos en la línea límite, aquellos donde$$y=x+4$$, no son soluciones a la desigualdad$$y>x+4$$, por lo que la línea en sí no es parte de la solución. Lo demostramos haciendo la línea discontinua, no sólida.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

La línea límite que se muestra en esta gráfica es$$y=2x−1$$. Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.

Contestar

La línea$$y=2x−1$$ es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con$$y>2x−1$$ y en el otro lado de la línea están los puntos con$$y<2x−1$$.

Probemos el punto$$(0,0)$$ y veamos qué desigualdad describe su posición relativa a la línea límite.

En$$(0,0)$$, que desigualdad es verdadera:$$y>2x−1$$ o$$y<2x−1$$?

$\begin{array} {ll} {y>2x−1} &{y<2x−1} \\ {0\overset{?}{>}2·0−1} &{0\overset{?}{<}2·0−1} \\ {0>−1\text{ True}} &{0<−1\text{ False}} \\ \nonumber \end{array}$

Ya que,$$y>2x−1$$ es cierto, el lado de la línea con$$(0,0)$$, es la solución. La región sombreada muestra la solución de la desigualdad$$y>2x−1$$.

Dado que la línea límite se grafica con una línea continua, la desigualdad incluye el signo igual.

La gráfica muestra la desigualdad$$y\geq 2x−1$$.

Podríamos usar cualquier punto como punto de prueba, siempre que no esté en la línea. ¿Por qué elegimos$$(0,0)$$? Porque es lo más fácil de evaluar. Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificarlo$$y<2x−1$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea límite$$y=−2x+3$$.

Contestar

$$y\geq −2x+3$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea límite$$y=\frac{1}{2}x−4$$.

Contestar

$$y\leq \frac{1}{2}x−4$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

La línea límite que se muestra en esta gráfica es$$2x+3y=6$$. Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.

Contestar

La línea$$2x+3y=6$$ es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con$$2x+3y>6$$ y en el otro lado de la línea están los puntos con$$2x+3y<6$$.

Probemos el punto$$(0,0)$$ y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea límite.

En$$(0,0)$$, que desigualdad es verdadera:$$2x+3y>6$$ o$$2x+3y<6$$?

$\begin{array} {ll} {2x+3y>6} &{2x+3y<6} \\ {2(0)+3(0)\overset{?}{>}6} &{2(0)+3(0)\overset{?}{<}6} \\ {0>6\text{ False}} &{0<6\text{ True}} \\ \nonumber \end{array}$

Entonces el lado con$$(0,0)$$ es el lado donde$$2x+3y<6$$.

(Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificarlo)$$2x+3y>6$$.

Dado que la línea límite se grafica como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual.

La región sombreada muestra la solución a la desigualdad$$2x+3y<6$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en la gráfica con la línea límite$$x−4y=8$$.

Contestar

$$x−4y\leq 8$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en la gráfica con la línea límite$$3x−y=6$$.

Contestar

$$3x−y\geq 6$$

## Graficar desigualdades lineales en dos variables

Ahora que sabemos cómo es la gráfica de una desigualdad lineal y cómo se relaciona con una ecuación límite podemos usar este conocimiento para graficar una desigualdad lineal dada.

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$: How to Graph a Linear Equation in Two Variables

Grafica la desigualdad lineal$$y\geq \frac{3}{4}x−2$$.

Contestar

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$

Grafica la desigualdad lineal$$y>\frac{5}{2}x−4$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite, representan las soluciones a$$y>\frac{5}{2}x−4$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$

Grafica la desigualdad lineal$$y<\frac{2}{3}x−5$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$y<\frac{2}{3}x−5$$.

Aquí se resumen los pasos que damos para graficar una desigualdad lineal.

##### GRÁFICA UNA Desigualdad lineal en dos variables.
1. Identificar y graficar la línea límite.
• Si la desigualdad es\ leq o\ geq,\ leq o\ geq, la línea límite es sólida.
• Si la desigualdad es <or><or>, la línea límite es discontinua.
2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
3. Sombra en un lado de la línea límite.
• Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto.
• Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.
##### Ejemplo$$\PageIndex{13}$$

Grafica la desigualdad lineal$$x−2y<5$$.

Contestar

Primero, graficamos la línea límite$$x−2y=5$$. La desigualdad es$$<$$ así que trazamos una línea discontinua.

Entonces, probamos un punto. Volveremos a usar$$(0,0)$$ porque es fácil de evaluar y no está en la línea límite.

Es$$(0,0)$$ una solución de$$x−2y<5$$?

El punto$$(0,0)$$ es una solución de$$x−2y<5$$, así que sombreamos en ese lado de la línea limítrofe.

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$x−2y<5$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{14}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$2x−3y<6$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$2x−3y<6$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{15}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$2x−y>3$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$2x−y>3$$.

¿Y si la línea límite pasa por el origen? Entonces, no podremos usar$$(0,0)$$ como punto de prueba. No hay problema, solo elegiremos algún otro punto que no esté en la línea límite.

##### Ejemplo$$\PageIndex{16}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$y\leq −4x$$.

Contestar

Primero, graficamos la línea límite$$y=−4x$$. Está en forma de pendiente-intercepción, con$$m=−4$$ y$$b=0$$. La desigualdad es$$\leq$$ así que trazamos una línea sólida.

Ahora necesitamos un punto de prueba. Podemos ver que el punto (1,0) (1,0) no está en la línea límite.

Es$$(1,0)$$ una solución de$$y\leq −4x$$?

El punto no$$(1,0)$$ es una solución para$$y\leq −4x$$, así que sombreamos en el lado opuesto de la línea limítrofe.

Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite representan las soluciones a$$y\leq −4x$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{17}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$y>−3x$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$y>−3x$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{18}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$y\geq −2x$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite, representan las soluciones a$$y\geq −2x$$.

Algunas desigualdades lineales tienen sólo una variable. Pueden tener una x pero no y, o una y pero no x. En estos casos, la línea límite será una línea vertical u horizontal.

Recordemos que:

$\begin{array} {ll} {x=a} &{\text{vertical line}} \\ {y=b} &{\text{horizontal line}} \\ \nonumber \end{array}$

##### Ejemplo$$\PageIndex{19}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$y>3$$.

Contestar

Primero, graficamos la línea límite$$y=3$$. Es una línea horizontal. La desigualdad es$$>$$ así que trazamos una línea discontinua.

Probamos el punto$$(0,0)$$.

$y>3\nonumber$$0\slashed{>}3\nonumber$

Entonces, no$$(0,0)$$ es una solución para$$y>3$$.

Por lo que sombreamos el lado que no incluye$$(0,0)$$ como se muestra en esta gráfica.

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$y>3$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{20}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$y<5$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada, pero no los de la línea límite, representan las soluciones a$$y<5$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{21}$$

Grafica la desigualdad lineal:$$y\leq −1$$.

Contestar

Todos los puntos en la región sombreada y en la línea límite representan las soluciones a$$y\leq −1$$.

## Resolver aplicaciones usando desigualdades lineales en dos variables

Muchos campos utilizan desigualdades lineales para modelar un problema. Si bien nuestros ejemplos pueden ser sobre situaciones simples, nos dan la oportunidad de desarrollar nuestras habilidades y tener una idea de cómo podrían usarse.

##### Ejemplo$$\PageIndex{22}$$

Hilaria trabaja dos trabajos a tiempo parcial con el fin de ganar suficiente dinero para cumplir con sus obligaciones de al menos 240 dólares a la semana. Su trabajo en el servicio de alimentos paga $10 la hora y su trabajo de tutoría en el campus paga$15 la hora. ¿Cuántas horas necesita Hilaria para trabajar en cada trabajo para ganar al menos 240 dólares?

ⓐ Que xx sea el número de horas que trabaja en el trabajo en el servicio de alimentos y que y sea el número de horas que trabaja como tutoría. Escribir una desigualdad que modelaría esta situación.

ⓑ Graficar la desigualdad.

ⓒ Encuentra tres pares ordenados$$(x,y)$$ que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Hilaria.

Contestar

ⓐ Dejamos x ser el número de horas que trabaja en el trabajo en el servicio de alimentos y dejamos y ser el número de horas que trabaja como tutoría.

Ella gana $10 por hora en el trabajo en servicio de alimentos y$15 la hora de tutoría. En cada puesto, el número de horas multiplicado por el salario por hora dará la cantidad ganada en ese puesto de trabajo.

ⓑ Para graficar la desigualdad, la ponemos en forma de pendiente-intercepción.

\begin{align} {10x+15y} &\geq 240 \\ 15y &\geq -10x+240 \\ y &\geq {−\frac{2}{3}x+16} \\ \nonumber \end{align}

ⓒ De la gráfica, vemos que los pares ordenados$$(15,10)$$,$$(0,16)$$,$$(24,0)$$ representan tres de infinitamente muchas soluciones. Comprobar los valores en la desigualdad.

Para Hilaria, significa que para ganar al menos 240 dólares, puede trabajar 15 horas de tutoría y 10 horas en su trabajo de comida rápida, ganar todo su dinero dando clases particulares durante 16 horas, o ganar todo su dinero mientras trabaja las 24 horas en el trabajo de servicio de alimentos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{23}$$

Hugh trabaja en dos trabajos a tiempo parcial. Uno en una tienda de abarrotes que paga $10 la hora y el otro es niñera por$13 hora. Entre los dos trabajos, Hugh quiere ganar al menos 260 dólares a la semana. ¿Cuántas horas necesita Hugh para trabajar en cada trabajo para ganar al menos 260 dólares?

ⓐ Que x sea el número de horas que trabaja en la tienda de abarrotes y que y sea el número de horas que trabaja cuidando niños. Escribir una desigualdad que modelaría esta situación.

ⓑ Graficar la desigualdad.

ⓒ Encuentra tres pares ordenados (x, y) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Hugh.

Contestar

$$10x+13y\geq 260$$

ⓒ Las respuestas variarán..

##### Ejemplo$$\PageIndex{24}$$

Veronica trabaja dos trabajos a tiempo parcial con el fin de ganar suficiente dinero para cumplir con sus obligaciones de al menos 280 dólares a la semana. Su trabajo en el spa de día paga $10 la hora y su trabajo de auxiliar administrativo en el campus paga$17.50 la hora. ¿Cuántas horas necesita Veronica para trabajar en cada trabajo para ganar al menos 280 dólares?

ⓐ Deja x ser el número de horas que trabaja en el spa diurno y deja y ser el número de horas que trabaja como auxiliar administrativa. Escribir una desigualdad que modelaría esta situación.

ⓑ Graficar la desigualdad.

ⓒ Encuentra tres pares ordenados (x, y) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Verónica

Contestar

$$10x+17.5y\geq 280$$

ⓒ Las respuestas variarán.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con la representación gráfica de desigualdades lineales en dos variables.

## Conceptos clave

• Cómo graficar una desigualdad lineal en dos variables.
1. Identificar y graficar la línea límite.
Si la desigualdad es$$\leq$$ o$$\geq$$, la línea límite es sólida.
Si la desigualdad es$$<$$ o$$>$$, la línea límite es discontinua.
2. Pruebe un punto que no esté en la línea límite. ¿Es una solución de la desigualdad?
3. Sombra en un lado de la línea límite.
Si el punto de prueba es una solución, sombra en el lado que incluye el punto.
Si el punto de prueba no es una solución, sombree en el lado opuesto.

## Glosario

línea límite
La línea con ecuación$$Ax+By=C$$ es la línea límite que separa la región donde$$Ax+By>C$$ de la región donde$$Ax+By<C$$.
Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:$$Ax+By>C$$,$$Ax+By\geq C$$,$$Ax+By<C$$, o$$Ax+By\leq C$$, donde A y B no son ambos cero.
Un par ordenado$$(x,y)$$ es una solución a una desigualdad lineal si la desigualdad es verdadera cuando sustituimos los valores de x e y.