3.7E: Ejercicios

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La práctica hace la perfección

Utilice la prueba de línea vertical

En los siguientes ejercicios, determine si cada gráfica es la gráfica de una función.

1. ⓐ

$La figura tiene un círculo graficado en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. El círculo pasa por los puntos (negativo 3, 0), (3, 0), (0, negativo 3) y (0, 3).$

ⓑ

$La figura tiene una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de negativo 4 a 8. La parábola pasa por los puntos (negativos 2, 6), (1, 3), (0, 2), (1, 3) y (2, 6).$

Contestar: ⓐ no ⓑ si

2. ⓐ

$La figura tiene una línea curva en forma de s graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea curva en forma de s pasa por los puntos (negativo 1, 1), (0, 0) y (1, 1).$

ⓑ

$La figura tiene un círculo graficado en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. El círculo pasa por los puntos (negativo 4, 0), (4, 0), (0, negativo 4) y (0, 4).$

3. ⓐ

$La figura tiene una abertura parábola derecha graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 2, 0), (negativo 1, 1), (negativo 1, negativo 1), (negativo 2, 2) y (2, 2).$

ⓑ

$La figura tiene una función de cubo graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea curva pasa por los puntos (negativo 1, negativo 1), (0, 0) y (1, 1).$

Contestar: ⓐ no ⓑ si

4. ⓐ

$La figura tiene dos líneas curvas gráficas en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea curva de la izquierda pasa por los puntos (negativo 2, 0), (negativo 4, 5) y (negativo 4, negativo 5). La línea curva de la derecha pasa por los puntos (2, 0), (4, 5) y (4, negativo 5).$

ⓑ

$La figura tiene una función de valor absoluto lateral graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea se dobla en el punto (0, 2) y va hacia la derecha. La línea pasa por los puntos (1, 3), (2, 4), (1, 1) y (2, 0).$

Identificar gráficas de funciones básicas

En los siguientes ejercicios, ⓐ grafica cada función ⓑ indica su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalos.

5. $f(x)=3x+4$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función lineal graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (negativo 2, negativo 2), (negativo 1, 1) y (0, 4).$

ⓑ$ D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf ) $

6. $f(x)=2x+5$

7. $f(x)=−x−2$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función lineal graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (negativo 2, 0), (0, negativo 2) y (2, negativo 4).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

8. $f(x)=−4x−3$

9. $f(x)=−2x+2$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función lineal graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (negativo 2, 2), (negativo 1, 0) y (0, negativo 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

10. $f(x)=−3x+3$

11. $f(x)=\frac{1}{2}x+1$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función lineal graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (negativo 2, 0), (0, 1) y (2, 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

12. $f(x)=\frac{2}{3}x−2$

13. $f(x)=5$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función constante graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 8 a 8. El eje y va de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (negativo 2, 5), (negativo 1, 5) y (0, 5).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:{5}$

14. $f(x)=2$

15. $f(x)=−3$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función constante graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (0, negativo 3), (1, negativo 3) y (2, negativo 3).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R: {−3}$

16. $f(x)=−1$

17. $f(x)=2x$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función lineal graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 8 a 8. El eje y va de negativo 8 a 8. La línea pasa por los puntos (0, 0), (2, 4) y (negativo 2, negativo 4).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

18. $f(x)=3x$

19. $f(x)=−2x$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función lineal graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 12 a 12. El eje y va de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (0, 0), (1, negativo 2) y (negativo 1, 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:(-\inf ,\inf )$

20. $f(x)=−3x$

21. $f(x)=3x^2$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativos 1, 3), (0, 0) y (1, 3). El punto más bajo de la gráfica es (0, 0).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:[0,\inf )$

22. $f(x)=2x^2$

23. $f(x)=−3x^2$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de negativo 10 a 2. La parábola pasa por los puntos (negativo 1, negativo 3), (0, 0) y (1, negativo 3). El punto más alto de la gráfica es (0, 0).$

ⓑ$ D: (-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,0]$

24. $f(x)=−2x^2$

25. $f(x)=12x^2$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 4, 8), (negativo 2, 2), (0, 0), (2, 2) y (4, 8). El punto más bajo de la gráfica es (0, 0).$

ⓑ$D: (-\inf ,\inf ),\space R:[-\inf ,0)$

26. $f(x)=\frac{1}{3}x^2$

27. $f(x)=x^2−1$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 2, 3), (negativo 1, 0), (0, negativo 1), (1, 0) y (2, 3). El punto más bajo en la gráfica es (0, negativo 1).$

ⓑ$D: (-\inf ,\inf ),\space R:[−1, \inf )$

28. $f(x)=x^2+1$

29. $f(x)=−2x^3$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función de cubo graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea curva pasa por los puntos (negativo 1, 2), (0, 0) y (1, negativo 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

30. $f(x)=2x^3$

31. $f(x)=x^3+2$

Contestar

ⓐ

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:(-\inf ,\inf )$

32. $f(x)=x^3−2$

33. $f(x)=2\sqrt{x}$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función de raíz cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 0 a 10. El eje y va de 0 a 10. La media línea inicia en el punto (0, 0) y pasa por los puntos (1, 2) y (4, 4).$

ⓑ$D:[0,\inf ), R:[0,\inf )$

34. $f(x)=−2\sqrt{x}$

35. $f(x)=\sqrt{x-1}$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función de raíz cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 0 a 10. El eje y va de 0 a 10. La media línea inicia en el punto (1, 0) y pasa por los puntos (2, 1) y (5, 2).$

ⓑ$D:[1,\inf ), R:[0,\inf )$

36. $f(x)=\sqrt{x+1}$

37. $f(x)=3|x|$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función de valor absoluto graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. El vértice está en el punto (0, 0). La línea pasa por los puntos (negativo 1, 3) y (1, 3).$

ⓑ$D:[ −1,−1, \inf ), R:[−\inf ,\inf )$

38. $f(x)=−2|x|$

39. $f(x)=|x|+1$

Contestar

ⓐ

$La figura tiene una función de valor absoluto graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. El vértice está en el punto (0, 1). La línea pasa por los puntos (negativo 1, 2) y (1, 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:[1,\inf )$

40. $f(x)=|x|−1$

Leer información de una gráfica de una función

En los siguientes ejercicios, usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalos.

41.
$La figura tiene una función de raíz cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 2 a 8. El eje y va de negativo 2 a 8. La media línea inicia en el punto (2, 0) y pasa por los puntos (3, 1) y (6, 2).$

Contestar: $D: [2,\inf ),\space R: [0,\inf )$

42.
$La figura tiene una función de raíz cuadrada graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 2 a 8. El eje y va de 2 a 10 negativos. La media línea comienza en el punto (negativo 3, 0) y pasa por los puntos (negativo 2, 1) y (1, 2).$

43.
$La figura tiene una función de valor absoluto graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 0 a 12. El vértice está en el punto (0, 4). La línea pasa por los puntos (negativo 2, 6) y (2, 6).$

Contestar: $D: (-\inf ,\inf ),\space R: [4,\inf )$

44.
$La figura tiene una función de valor absoluto graficada en el plano de coordenadas x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de negativo 4 a 8. El vértice está en el punto (0, negativo 1). La línea pasa por los puntos (negativo 1, 0) y (1, 0).$

45.
$La figura tiene un semicírculo graficado en el plano de la coordenada x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. El segmento de línea curva comienza en el punto (negativo 2, 0). La línea pasa por el punto (0, 2) y termina en el punto (2, 0).$

Contestar: $D: [−2,2],\space R: [0, 2]$

46.
$La figura tiene un semicírculo graficado en el plano de la coordenada x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. El segmento de línea curva comienza en el punto (negativo 3, 3). La línea pasa por el punto (0, 6) y termina en el punto (3, 3).$

En los siguientes ejercicios, utilice la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

47.
$Esta figura tiene una línea curva ondulada graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 2 veces pi a 2 veces pi. El eje y va de 6 a 6 negativos. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 2 veces pi, 0), (negativo 3 dividido por 2 veces pi, negativo 1), (negativo pi, 0), (negativo 1 dividido por 2 veces pi, 1), (0, 0), (1 dividido por 2 veces pi, negativo 1), (pi, 0), (3 dividido por 2 veces pi, 1), y (2 veces pi, 0). Los puntos (negativo 3 dividido por 2 veces pi, negativo 1) y (1 dividido por 2 veces pi, negativo 1) son los puntos más bajos de la gráfica. Los puntos (negativo 1 dividido por 2 veces pi, 1) y (3 dividido por 2 veces pi, 1) son los puntos más altos de la gráfica. El patrón se extiende infinitamente hacia la izquierda y hacia la derecha.$

ⓐ Encuentra:$f(0)$.
ⓑ Encuentra:$f(12\pi)$.
ⓒ Encuentra:$f(−32\pi)$.
ⓓ Encuentra los valores para$x$ cuándo$f(x)=0$.
ⓔ Encuentra las$x$ -intercepciones.
ⓕ Encuentra las$y$ -intercepciones.
ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

Contestar: ⓐ$f(0)=0$ ⓑ$(\pi/2)=−1$
ⓒ$f(−3\pi/2)=−1$ ⓓ$f(x)=0$ para$x=−2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi$
ⓔ$(−2\pi,0),(−\pi,0),$$(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$$(f)(0,0)$
ⓖ$[−2\pi,2\pi]$ ⓗ$[−1,1]$

48.
$Int_Alg_Section03_07_Exercise_48.jpeg$

ⓐ Encuentra:$f(0)$.
ⓑ Encuentra:$f(\pi)$.
ⓒ Encuentra:$f(−\pi)$.
ⓓ Encuentra los valores para$x$ cuándo$f(x)=0$.
ⓔ Encuentra las$x$ -intercepciones.
ⓕ Encuentra las$y$ -intercepciones.
ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓗ Encuentra la gama. Escribirlo en notación de intervalos

49.
$La figura tiene la mitad superior de un círculo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de negativo 4 a 8. El segmento de línea curva comienza en el punto (negativo 3, 2). La línea pasa por el punto (0, 5) y termina en el punto (3, 2). El punto (0, 5) es el punto más alto de la gráfica. Los puntos (negativo 3, 2) y (3, 2) son los puntos más bajos de la gráfica.$

ⓐ Encuentra:$f(0)$.
ⓑ Encuentra:$f(−3)$.
ⓒ Encuentra:$f(3)$.
ⓓ Encuentra los valores para$x$ cuándo$f(x)=0$.
ⓔ Encuentra las$x$ -intercepciones.
ⓕ Encuentra las$y$ -intercepciones.
ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

50.
$La figura tiene la mitad superior de un círculo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va desde el 6 negativo hasta el 6. El eje y va de negativo 4 a 8. El segmento de línea curva comienza en el punto (negativo 4, 0). La línea pasa por el punto (0, 4) y termina en el punto (4, 0). El punto (0, 4) es el punto más alto de la gráfica. Los puntos (negativo 4, 0) y (4, 0) son los puntos más bajos de la gráfica.$

ⓐ Encuentra:$f(0)$.
ⓑ Encuentra los valores para$x$ cuándo$f(x)=0$.
ⓒ Encuentra las$x$ -intercepciones.
ⓓ Encuentra las$y$ -intercepciones.
ⓔ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓕ Encuentra la gama. Escribirlo en notación de intervalos

Ejercicios de escritura

51. Explica con tus propias palabras cómo encontrar el dominio a partir de una gráfica.

52. Explica con tus propias palabras cómo encontrar el rango a partir de una gráfica.

53. Explica con tus propias palabras cómo usar la prueba de línea vertical.

54. Dibuja un boceto de las funciones cuadrado y cubo. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias en las gráficas?

Autocomprobación

ⓐ Después de completar los ejercicios, usa esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección.

$La figura muestra una tabla con cuatro filas y cuatro columnas. La primera fila es una fila de encabezado y etiqueta cada columna. El encabezado de la primera columna es “puedo...”, el segundo es “con confianza”, el tercero es “con algo de ayuda”, “¡no menos no lo consigo!”. Debajo de la primera columna se encuentran las frases “usar la prueba de línea vertical”, “identificar gráficas de funciones básicas” y “leer información de una gráfica”. Debajo de la segunda, tercera, cuarta columnas son espacios en blanco donde el alumno puede verificar qué nivel de dominio ha logrado$

ⓑ Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué harás para tener confianza en todos los objetivos?